연플래닝 아카데미 행복수학
장대경 선생님의 특강

x²+bx+c를 십자곱으로 단번에 인수분해하는 장대경 선생님의 대표 방법. 곱해서 상수·더해서 가운데 계수인 두 수만 찾으면 끝나요. 계수가 붙은 2x²+7x+3까지, 정확한 예제로 단계별 애니메이션·음성 해설로 풀어냅니다.

연습 10문제를 십자곱 도해와 상세 해설로 풀어내는 문서예요. 문서만 봐도 깔끔하게 이해돼요.

y절편·기울기 공식 외우지 말고 — 점 두 개 찍고, 평행이동하고, 기울기 부호는 팔 방향으로. 직각삼각형 가로·세로 칸으로 기울기 크기까지 한눈에. 중2 1학기 일차함수를 직관으로 그려냅니다.

△ABC≡△DEF를 쓴 순서 그대로 색깔 맞춰 짝짓고, SSS·SAS·ASA 중 무엇인지 각의 위치로 판별. 그리고 SSA·AAA·AAS 함정 3형제를 정면으로 걸러내는 장대경 선생님의 방법을, 정확한 예제로 단계별 애니메이션·음성 해설로 풀어냅니다. 🎚️ 한 강의로 저학년~고학년 — 초등은 ‘포개기’ 직관으로, 중1은 세 조건으로, 고등은 좌표·RHS·닮음으로 이어집니다.

대진표는 관문 개수만큼 곱, 주머니는 고를 확률 먼저 곱하고 더해, 비복원은 순서가 대칭이라 하나만 구해 곱. 헷갈리던 확률을 세 무기로 정복하는 장대경 선생님의 방법을 정확한 예제로 단계별 애니메이션·음성 해설로 풀어냅니다.

입체를 전개도로 펼치면 겉넓이 = 밑넓이 + 옆넓이. 기둥 옆면은 펼치면 긴 직사각형 하나라 옆넓이 = 둘레 × 높이, 원뿔은 부채꼴이라 πrℓ, 반구는 잘린 원까지 더해 3πr². 원기둥·삼각기둥·원뿔·반구를 정확한 예제로 단계별 애니메이션·음성 해설로 풀어냅니다. 🎚️ 한 강의로 저학년~고학년 — 초등은 ‘포장지 펼치기’ 직관으로, 중1은 밑+옆으로, 고등은 회전체·표면적 적분으로 이어집니다.

연습 10문제를 입체·전개도 그림과 상세 해설로 풀어내고, 저학년 포장지 직관부터 맨 아래엔 이 방법을 부피·회전체·표면적 적분·최적화까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

구조 먼저(짝은 통째로) · 뽑고 세우기(이웃 금지=상대 먼저) · 격자 2방향(선 2줄씩) · ÷대칭 ×배분(중복 나누고 자리에 곱). 부부·댄서·평행사변형·조 분배를 정확한 예제로 풀고, 함정(중복·배분)까지 짚습니다. 🎚️ 무기 넷이 모든 학년과 연결 — 초등 세어보기, 중3 곱셈공식·같은것 순열, 중1·중2 좌표·경우의 수, 고2 이항정리까지.

연습 8문제를 그림·상세 해설로 풀어내고, 저학년 세어보기부터 맨 아래엔 이 무기를 식의 구조·경우의 수·좌표·같은것 순열·이항정리까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

지불방법≠지불금액(환전으로 겹침 제거) · 이웃 조건(한 덩어리로 묶기) · 안이웃(빈의자 모형). 동전 지불·6명 이웃조건·7의자 배치를 정확한 예제로 단계별 애니메이션·음성 해설로 풀어냅니다. 🎚️ 제8강 조합의 완벽한 짝 — 순열↔조합 변환, 확률·이항정리로 이어집니다.

연습 10문제를 그림·상세 해설로 풀어내고, 저학년 줄서기 직관부터 맨 아래엔 이 방법을 조합·확률·이항정리·알고리즘까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

기둥은 밑넓이 × 높이, 뿔은 그 ⅓, 구는 원기둥의 ⅔ — 그래서 원기둥 : 구 : 원뿔 = 3 : 2 : 1(아르키메데스). 원기둥·원뿔·구·결합도형·구멍 뚫린 관을 정확한 예제로 단계별 애니메이션·음성 해설로 풀어냅니다. 🎚️ 한 강의로 저학년~고학년 — 초등은 ‘쌓기나무’ 직관으로, 중1은 밑넓이×높이로, 고등은 적분·카발리에리로 이어집니다.

연습 10문제를 입체 그림과 상세 해설로 풀어내고, 저학년 쌓기나무 직관부터 맨 아래엔 이 방법을 회전체·적분·카발리에리·닮음비까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

직사각형(대각선 길이 같음) · 마름모(대각선 수직이등분) · 정사각형(둘 다) · 등변사다리꼴(보조선 기법). 대각선 방정식·정사각형+정삼각형 결합·등변사다리꼴 보조선 문제를 정확한 예제로 단계별 애니메이션·음성 해설로 풀어냅니다. 🎚️ 한 강의로 저학년~고학년 — 초등은 변·각 구분으로, 중2는 합동 증명으로, 고등은 좌표·벡터로 이어집니다.

연습 10문제를 도형 그림과 상세 해설로 풀어내고, 저학년 변·각 직관부터 맨 아래엔 이 방법을 좌표기하·벡터·최적화까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

등차수열 합의 최댓값(부호 전환점) · 시그마 k제곱 공식과 이차식 전개 · 등비중항(가운데 제곱=양끝 곱). 전환점 찾기·시그마 전개·등비중항 문제를 원문 전사에서 직접 확인한 예제로 단계별 애니메이션·음성 해설로 풀어냅니다.

연습 10문제를 소거 그림과 상세 해설로 풀어내고, 저학년 소거 직관부터 맨 아래엔 이 방법을 무한급수·구분구적법·금융수학까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

포함관계(P⊂Q이면 p→q 참) · 여집합 변환(드모르간) · 원소 순환추적(최솟값) · 부분집합 원소합(대칭성). 명제 증명·순환 원소·집합의 경계값 문제를 정확한 예제로 단계별 애니메이션·음성 해설로 풀어냅니다. 🎚️ 한 강의로 저학년~고학년 — 초등은 동그라미 그림으로, 고1은 포함관계 증명으로, 고등은 확률·귀류법으로 이어집니다.

연습 10문제를 벤다이어그램과 상세 해설로 풀어내고, 저학년 동그라미 직관부터 맨 아래엔 이 방법을 확률·함수·귀류법까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

함수의 개수 세기(전체·일대일·상수·치역=공역) · 일대일대응 조건(기울기 부호+경계 연속) · 함수방정식 성질(소인수분해) · 역함수 그래프 넓이(y=x 대칭 2배). 함수 개수·일대일대응·역함수 넓이 문제를 정확한 예제로 단계별 애니메이션·음성 해설로 풀어냅니다. 🎚️ 한 강의로 저학년~고학년 — 초등은 선물 짝짓기 그림으로, 고1은 함수 개수·일대일대응으로, 고2~고3은 역함수 미분·코시 함수방정식으로 이어집니다.

연습 10문제를 그래프와 상세 해설로 풀어내고, 저학년 짝짓기 직관부터 맨 아래엔 이 방법을 순열·미분·암호학까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

정의역·치역 판별(근호 안 부호+이동값) · 평행이동과 사분면(시작점+방향) · 무리방정식 검산 필수(무연근 제거) · 제한구간 최대·최소(단조성). 정의역·사분면·무리방정식·최대최소 문제를 정확한 예제로 단계별 애니메이션·음성 해설로 풀어냅니다. 🎚️ 한 강의로 저학년~고학년 — 초등은 넓이는 음수가 될 수 없다는 그림으로, 고1은 정의역·치역·검산으로, 고2~고3은 극한·역함수로 이어집니다.

연습 10문제를 그래프와 상세 해설로 풀어내고, 저학년 넓이 직관부터 맨 아래엔 이 방법을 부등식·극한·공학까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

점근선 구하기(분자÷분모 표준형) · 정의역·치역(분모≠0) · 유리식 통분(공통분모) · 제한구간 최대·최소(단조성). 점근선·정의역·통분·최대최소 문제를 정확한 예제로 단계별 애니메이션·음성 해설로 풀어냅니다. 🎚️ 한 강의로 저학년~고학년 — 초등은 나눌 수 없는 딱 하나 그림으로, 고1은 점근선·통분으로, 고2~고3은 극한·급수·공학으로 이어집니다.

연습 10문제를 그래프와 상세 해설로 풀어내고, 저학년 나눗셈 직관부터 맨 아래엔 이 방법을 극한·부등식·공학까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

0/0 꼴 인수분해(공통인수 약분) · ∞−∞ 꼴 유리화(켤레식) · 연속의 조건(좌극한=우극한=함숫값) · 미정계수 역산(분자도 0). 극한값·연속·미정계수 문제를 정확한 예제로 단계별 애니메이션·음성 해설로 풀어냅니다. 🎚️ 한 강의로 저학년~고학년 — 초등은 딱 한 곳만 파인 길 그림으로, 고2는 인수분해·유리화·연속으로, 고3은 미분계수·중간값 정리로 이어집니다.

연습 10문제를 그래프와 상세 해설로 풀어내고, 저학년 이어진 길 직관부터 맨 아래엔 이 방법을 미분계수·중간값정리·물리까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

정비례 판별(y=ax 꼴, 분모·상수항 있으면 탈락) · 비례상수 구하기(점 대입) · 그래프에서 a 구하기(3강 오른팔·왼팔+칸세기) · 도형과 결합한 응용. 🎚️ 한 강의로 저학년~고학년 — 초등은 사탕 개수·가격 그림으로, 중1은 판별·비례상수로, 고등은 일차함수·유리함수로 이어집니다.

연습 10문제를 그래프와 상세 해설로 풀어내고, 저학년 같이늘기·나눠갖기 직관부터 맨 아래엔 이 방법을 일차함수·유리함수·물리법칙까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

교점·교선(입체도형) · 직선·반직선(세 점) · 중점(비율) · 평각·직각 방정식 · 맞꼭지각(방정식+몇 쌍인지 세기) · 점과 직선 사이의 거리(수선의 발). 🎚️ 한 강의로 저학년~고학년 — 초등은 뿔 모형 손으로 짚어 세기로, 중1은 교점·교선·맞꼭지각으로, 고등은 오일러 공식·순열로 이어집니다.

연습 10문제를 그림과 상세 해설로 풀어내고, 저학년 뿔 모형 직관부터 맨 아래엔 이 방법을 경우의 수·오일러 공식까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

고차방정식(조립제법·치환) · 연립이차방정식(인수분해되는 식부터) · 판별식 조건(한 쌍의 해=D 0) · 부정방정식(강제 인수분해). 고차방정식·연립방정식·부정방정식 문제를 정확한 예제로 단계별 애니메이션·음성 해설로 풀어냅니다. 🎚️ 한 강의로 저학년~고학년 — 초등은 반복되는 덩어리를 상자로 묶는 그림으로, 고1은 조립제법·치환·판별식·강제인수분해로, 고2~고3은 삼차함수·기하·정수론으로 이어집니다.

연습 10문제를 단계별 상세 해설로 풀어내고, 저학년 상자 치환 직관부터 맨 아래엔 이 방법을 삼차함수·기하·정수론까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

극값 판정(f'(x)=0에서 부호변화) · 접선의 방정식(기울기=f'(a)) · 증가·감소(f'(x) 부호) · 닫힌구간 최대·최소(극값+양끝값 비교). 극값·접선·증가감소·최대최소 문제를 정확한 예제로 단계별 애니메이션·음성 해설로 풀어냅니다. 🎚️ 한 강의로 저학년~고학년 — 초등은 산꼭대기가 평평해지는 그림으로, 고2는 극값·접선·최대최소로, 고3~공학은 변곡점·최적화·경사하강법으로 이어집니다.

연습 10문제를 그래프와 상세 해설로 풀어내고, 저학년 산꼭대기 직관부터 맨 아래엔 이 방법을 물리·경제·AI까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

이차함수 판별(x²항 확인) · 표준형(완전제곱식→꼭짓점) · 접선 조건(판별식 D=0) · 최댓값·최솟값(꼭짓점 y좌표). 판별·표준형·접선·최대최소 문제를 정확한 예제로 단계별 애니메이션·음성 해설로 풀어냅니다. 🎚️ 한 강의로 저학년~고학년 — 초등은 정사각형 넓이 그림으로, 중3~고1은 표준형·판별식으로, 고2~물리는 극값·포물선운동으로 이어집니다.

연습 10문제를 그래프와 상세 해설로 풀어내고, 저학년 넓이 직관부터 맨 아래엔 이 방법을 부등식·미분·물리까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

등비수열 판별(공비 일정) · 일반항(aₙ=a·rⁿ⁻¹) · 등비수열의 합(Sₙ 공식) · S₂ₙ/Sₙ 비율 활용(공비 역산). 판별·일반항·합공식·비율활용 문제를 정확한 예제로 단계별 애니메이션·음성 해설로 풀어냅니다. 🎚️ 한 강의로 저학년~고학년 — 초등은 세균 2배씩 늘어나는 그림으로, 고2는 일반항·합공식으로, 고3~공학은 무한급수·복리·반감기로 이어집니다.

연습 10문제를 단계별 상세 해설로 풀어내고, 저학년 세균 증식 직관부터 맨 아래엔 이 방법을 무한급수·복리·생물학까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

연립일차부등식(각각 풀어 공통범위) · 절댓값부등식(안·바깥 두 갈래) · 이차부등식(근을 기준으로 부호 구간) · 항상 성립 조건(판별식 D<0). 네 가지 무기를 정확한 예제로 단계별 애니메이션·음성 해설로 풀어냅니다. 🎚️ 한 강의로 저학년~고학년 — 초등은 "5보다 크고 10보다 작은 수" 겹치는 범위 그림으로, 고1은 연립·절댓값·이차부등식으로, 심화는 판별식 조건까지 이어집니다.

연습 10문제를 단계별 상세 해설로 풀어내고, 저학년 겹치는 범위 직관부터 맨 아래엔 이 방법을 연립부등식 영역·최적화 문제까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

제곱근의 성질·부호판별(√(A²)=|A|) · 자연수가 되는 조건(소인수분해) · 제곱근 부등식(범위 좁히기) · 정수부분·소수부분+유리화. 네 가지 무기를 정확한 예제로 단계별 애니메이션·음성 해설로 풀어냅니다. 🎚️ 한 강의로 저학년~고학년 — 초등은 정사각형 넓이로 제곱근을 직관으로, 중3은 부호판별·자연수조건·부등식으로, 고1은 실수의 대소관계·무리함수 정의역·판별식으로 이어집니다.

연습 10문제를 단계별 상세 해설로 풀어내고, 저학년 넓이 직관부터 맨 아래엔 이 방법을 실수의 대소관계·무리함수·판별식까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

수의 성질(연속하는 자연수) · 도형(넓이 조건) · 발사체 운동(h=−5t²+v₀t) · 분배 문제. 네 가지 무기를 정확한 예제로 단계별 애니메이션·음성 해설로 풀어냅니다. 🎚️ 한 강의로 저학년~고학년 — 초등은 "공은 같은 높이를 두 번 지난다"는 직관으로, 중3은 수·도형·발사체·분배로, 공통수학1은 이차함수와의 관계·최적화로 이어집니다.

연습 10문제를 단계별 상세 해설로 풀어내고, 저학년 발사체 직관부터 맨 아래엔 이 방법을 이차함수 최적화·물리학·경제학까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

y축 방향 이동(y=ax²+q) · x축 방향 이동(y=a(x−p)²) · 동시 이동(y=a(x−p)²+q) · 지나는 점으로 미지수 구하기. 네 가지 무기를 정확한 예제로 단계별 애니메이션·음성 해설로 풀어냅니다. 🎚️ 한 강의로 저학년~고학년 — 초등은 도장 밀어 찍기 직관으로, 중3은 y축·x축·동시이동으로, 공통수학은 최댓값·최솟값·도형의 평행이동으로 이어집니다.

연습 10문제를 단계별 상세 해설로 풀어내고, 저학년 도장찍기 직관부터 맨 아래엔 이 방법을 최댓값·최솟값·도형이동까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

합의 법칙(배타적 사건은 더하기) · 곱의 법칙(연속 사건은 곱하기) 두 무기로 순열·조합·확률의 뿌리를 잡습니다. 나뭇가지 그림부터 여러 단계 응용, 순서까지 정하는 경우까지 정확한 예제로 단계별 애니메이션·음성 해설로 풀어냅니다. 🎚️ 한 강의로 저학년~고학년 — 초등은 나뭇가지 그림 직관으로, 중2는 합·곱 두 법칙으로, 고1은 순열·조합 기호로 이어집니다.

연습 10문제를 나뭇가지 그림·단계도와 상세 해설로 풀어내고, 맨 아래엔 이 방법을 순열·조합까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

순서쌍(가로·세로) · 사분면 부호표 · 대칭점(x축·y축·원점) · 그래프 해석(기울어질수록 빠르다) 네 가지 무기를 정확한 예제로 단계별 애니메이션·음성 해설로 풀어냅니다. 🎚️ 한 강의로 저학년~고학년 — 초등은 보물지도 격자 직관으로, 중1은 사분면·대칭으로, 중2는 정비례·기울기로 이어집니다.

연습 10문제를 좌표평면 도식과 상세 해설로 풀어내고, 맨 아래엔 이 방법을 정비례·기울기까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

연습 10문제를 수형도·대진표·표 그림과 상세 해설로 풀어내고, 맨 아래엔 이 방법을 여사건·조건부·독립시행까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

연습 10문제를 대응 도형·합동 표시 그림과 상세 해설로 풀어내고, 맨 아래엔 이 방법을 이등변·평행사변형·직각삼각형(RHS)·닮음·좌표기하까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요. 함정 판별까지 한 문서로.

연습 10문제를 정확한 그래프·직각삼각형 그림과 상세 해설로 풀어내고, 맨 아래엔 이 방법을 삼각비·이차함수·미분·물리까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요. 문서만 봐도 깔끔하게 이해돼요.

직각삼각형에서 각 θ 기준으로 빗변·밑변·높이 이름을 붙이고, sin=높이/빗변, cos=밑변/빗변, tan=높이/밑변을 하나의 그림으로 정리합니다. 30°·45°·60° 특수각과 나무·사다리·드론 등 실생활 예제로 완전정복. 🎚️ 초등 비례식 직관부터 고등 사인법칙까지 — 학년을 관통하는 하나의 원리로 이어집니다.

연습 10문제를 정확한 직각삼각형 그림과 상세 해설로 풀어내고, 맨 아래엔 초등·중2·고1·고등까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

사인법칙 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R과 코사인법칙 c²=a²+b²−2ab·cosC을 각각 낀각 120°인 둔각삼각형 예제(a=6,b=10 → c=14)로 완전정복. 예각이든 둔각이든 다 통한다는 걸 확인합니다. 🎚️ 중2 피타고라스 정리부터 고등 삼각함수까지 — 각C=90°일 때 코사인법칙이 그대로 피타고라스 정리가 됩니다.

연습 10문제를 정확한 삼각형 그림과 상세 해설로 풀어내고, 맨 아래엔 중3·고1·고등까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

대입해서 0/0이 나오면 분자·분모에 숨은 공통인수를 인수분해로, 근호가 있으면 유리화로 지웁니다. 마지막엔 선생님표 지름길 — 분자·분모를 각각 미분해서 대입하는 방법까지 같은 문제로 교차검증. 🎚️ 이 지름길의 진짜 원리는 다음 학기 미분계수와 도함수 단원에서 — 여기서 씨앗을 심고 갑니다.

연습 10문제(인수분해·유리화·미분 지름길 교차검증)를 정확한 그래프와 상세 해설로 풀어내고, 맨 아래엔 중2·고1·고3까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

눈금 없는 자와 컴퍼스만으로 삼각형을 그리는 작도. 대변·대각의 뜻부터 삼각형의 성립 조건(가장 긴 변 < 나머지 두 변의 합), 삼각형을 하나로 정하는 SSS·SAS·ASA 세 조건, 컴퍼스로 정삼각형을 그리는 법까지 단계별 애니메이션·음성 해설로 풀어냅니다.

연습 10문제(성립조건·대변대각·SSS/SAS/ASA 판별·작도 순서)를 정확한 삼각형 그림과 상세 해설로 풀어내고, 맨 아래엔 중2·고1·고2까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

비율이 똑같다는 뜻의 정비례. 표에서 "얼마씩 커지나"로 y = ax를 세우는 법, 반드시 원점을 지나는 직선이라는 성질, 오른팔(a>0)·왼팔(a<0)로 방향과 사분면을 읽는 법, 직각삼각형을 그려 몇 칸 갔나로 기울기를 찾는 법, 그리고 물통·기온·휘발유 활용까지 단계별 애니메이션·음성 해설로 풀어냅니다.

연습 10문제(표에서 식 세우기·정비례 판별·점 대입·기울기 읽기·역수 곱하기·물통/기온 활용)를 정확한 좌표평면 그림과 상세 해설로 풀어내고, 맨 아래엔 중2 일차함수·고1 직선의 방정식·과학의 후크의 법칙까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

반비례를 알아보는 눈 두 개(곡선이다 · x가 분모에 있다)에서 시작해, 점 하나만 곱하면 나오는 a, 부호로 사분면을 정하는 오른팔·왼팔, 표를 만들어 그리는 곡선, 그리고 속력·주스·타일·기체의 압력까지 실생활 반비례를 단계별 애니메이션·음성 해설로 풀어냅니다. 마지막엔 "둘레가 일정한 직사각형은 반비례가 아니다"라는 함정과 그래프의 성질 세 가지까지 짚습니다.

연습 10문제(반비례 판별·점 대입으로 a 구하기·그래프 성질·|a| 비교·넓이 응용)를 정확한 그래프 그림과 상세 해설로 풀어내고, 맨 아래엔 중2 톱니바퀴·고1 유리함수 점근선·산술기하평균·경시 정수해까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

외심을 외접원의 중심으로 잡는 데서 시작해, OA=OB=OC 하나로 이등변삼각형 세 개를 만들고 거기서 세 각을 하나씩 더하면 90°라는 첫 번째 무기를 뽑아냅니다. 이어서 중심각은 원주각의 두 배, 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점까지 세 무기를 갖추고, 수직이등분선으로 둘레 구하기·중심각의 비· 내심과 외심을 한 문제에서 다루는 실전까지 단계별 애니메이션과 음성 해설로 풀어냅니다. 마지막엔 고등학교 사인법칙 a ÷ sin A = 2R이 오늘 배운 성질에서 나온다는 것까지 짚습니다.

연습 10문제(90° 법칙·중심각 2배·직각삼각형의 빗변 중점·수직이등분선으로 둘레· 중심각의 비·내심과 외심 결합)를 정확한 그림과 상세 해설로 풀어내고, 맨 아래엔 중3 원주각, 고1 좌표평면 외심·사인법칙, 고2 코사인법칙, 경시 오일러 선까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

피타고라스 정리를 식이 아니라 넓이로 먼저 보여 주는 데서 시작합니다. 정사각형 넓이 81과 25, 144와 225에서 나머지 변을 찾아내고, 짧은 두 변의 제곱합을 가장 긴 변의 제곱과 비교해 예각·직각·둔각을 판정합니다. 외워 둘 네 쌍(3:4:5 · 5:12:13 · 8:15:17 · 7:24:25), "8, 15, a"처럼 답이 두 개 나오는 함정, 격자에서 √20과 넓이 10 구하기, 마주 보는 짝으로 묶는 AP²+CP²=BP²+DP²까지 이어집니다. 마지막엔 세 변 위 반원의 S₁+S₂=S₃와 히포크라테스의 초승달(색칠한 넓이 = 삼각형의 넓이)로 마무리합니다.

연습 10문제(답이 두 개인 함정·넓이로 보기·예각/직각/둔각 판정·격자에서 직각 판별· 마주 보는 짝 공식·세 변 위 반원·히포크라테스의 초승달·이등변삼각형의 높이·직육면체의 대각선·사다리 문제)를 정확한 그림과 상세 해설로 풀어내고, 맨 아래엔 중3 정삼각형의 높이·원의 현, 고1 두 점 사이 거리·원과 점의 최단거리, 고2 공간의 거리, 경시 피타고라스 세 쌍 만드는 공식까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

각마다 화살표를 그려서 동위각과 엇각을 단번에 가려내는 장대경 선생님의 방법에서 시작해, 평행하면 둘 다 같다는 성질을 100°·65°·55°·81°·115° 예제로 익힙니다. 이어서 각을 한 직선에 모아 방정식을 세우고(3x+90°=180°), 꺾인 각이 나오면 보조선을 긋는 비법(30°+35°=65°, 70°−30°=40°, 5x=80°, 보조선 둘로 x=120°)까지. 마지막엔 종이접기와 이등변삼각형, 그리고 거꾸로 "이 두 직선 평행할까?" 판정법을 짚습니다.

연습 10문제(동위각·엇각 찾기·직선 180°·맞꼭지각·동위각 방정식· 보조선으로 더하기와 빼기·보조선 방정식·종이접기 이등변삼각형·평행 판정)를 정확한 그림과 상세 해설로 풀어내고, 맨 아래엔 중2 삼각형 내각의 합·외각·평행선과 닮음비, 고1 평행 ⇔ 기울기가 같다· 평행한 두 직선 사이의 거리, 고2 벡터의 평행, 경시 보조선 문자식까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

내심을 내접원의 중심으로 잡는 데서 시작해, ID=IE=IF 하나로 직각삼각형 두 개를 RHS 합동으로 묶어 세 내각의 이등분선이 한 점에서 만난다는 것을 보입니다. 거기서 반쪽 각 셋을 더하면 90°, ∠BIC = 90° + ½∠A, 넓이 = ½r(a+b+c), 접선의 길이는 같다는 네 무기를 차례로 뽑아내고, 내심을 지나 BC와 평행하게 그으면 △APQ의 둘레 = AB + AC가 되는 것까지 단계별 애니메이션과 음성 해설로 풀어냅니다. 마지막엔 IA=IB=IC는 내심이 아니라 외심의 성질이라는, 시험에 가장 많이 나오는 함정을 짚습니다. 제39강 삼각형의 외심과 짝이 되는 강의예요.

연습 10문제(반쪽 각 90° 법칙·∠BIC=90°+½∠A와 그 역·직각삼각형의 내접원 반지름· 넓이 ½r(a+b+c)·접선의 길이로 AD와 BD 구하기·이등변삼각형·내심을 지나는 평행선)를 정확한 그림과 상세 해설로 풀어내고, 맨 아래엔 중3 접선의 길이와 r = (a+b−c)÷2, 고1 헤론의 공식과 S = rs·좌표평면에서 내심 구하기, 고2 내접원과 외접원을 잇는 S = abc÷4R, 경시 각의 이등분선 정리와 방접원까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

정적분을 F(b) − F(a)로 잡는 데서 시작해, 위끝과 아래끝이 같으면 0, 자리를 바꾸면 부호가 바뀐다, 같은 함수면 구간을 붙이고 뗀다는 세 성질을 먼저 세웁니다. 이어서 절댓값은 부호가 바뀌는 곳에서 끊는다(∫₀²|x²−1|dx = 2, ∫₀²|x²+x−2|dx = 3), 대칭 구간에서는 홀수 차수를 지우고 짝수는 두 배, 숫자 구간의 정적분은 그냥 상수라 k로 놓는다, 위끝에 x가 있으면 대입하거나 미분한다는 무기를 예제와 함께 차례로 뽑아냅니다. 마지막엔 정적분 꼴 극한이 사실은 미분계수의 정의였다는 것까지, 단계별 그래프와 음성 해설로 풀어냅니다. 제17강 함수의 극한과 연속, 제21강 도함수의 활용과 이어지는 강의예요.

연습 10문제(기본 계산·값이 음수인 까닭·자리 바꾸기·인수분해로 약분·대칭 구간· 절댓값이 붙은 일차식과 이차식·구간 이어붙이기·정적분을 상수 k로 놓기·위끝에 x가 있는 꼴)를 그래프와 단계별 해설로 풀어내고, 도전 6문제에서는 절댓값과 인수분해, 전개 뒤 대칭성, 두 번 미분, k가 음수로 나오는 경우, 극한을 미분계수로 읽기, 거꾸로 위끝을 구하기까지 규칙을 겹쳐 씁니다. 맨 아래엔 두 곡선 사이의 넓이, 속도를 적분한 위치와 거리, 구분구적법, 회전체의 부피로 넓혀 쓰는 비법을 담았어요. 16문항 전부 sympy와 손계산으로 검산했습니다.

이름을 읽는 데서 시작해 두 밑각은 같다(SAS 합동)와 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다를 뽑아냅니다. 이어서 밑각 54°·꼭지각 40° 같은 기본 계산을 "빼고, 반으로 나눈다" 두 걸음으로 정리하고, 외각 = 이웃하지 않은 두 내각의 합을 무기로 챙겨 꼭지각 76°·각의 이등분선 문제를 풀어냅니다. 뒤이어 거꾸로 두 각이 같으면 두 변도 같다(ASA 합동)를 세우고, 꼭지각 36°에서 AD = BD = BC를 찾아내는 숨은 이등변삼각형, 종이띠 접기, "길이를 물으면 넓이를 쓴다"는 PD + PE 문제까지 단계별 애니메이션과 음성 해설로 풀어냅니다. 마지막엔 30°인 직각삼각형에서 빗변이 짧은 변의 두 배임을 보조선 하나로 짚습니다.

연습 10문제(두 밑각·꼭지각의 이등분선과 수직이등분·외각과 각의 이등분선· 거꾸로 성질로 길이 구하기·숨은 이등변삼각형 찾기·넓이로 PD+PE 구하기·종이띠 접기·30° 직각삼각형)를 정확한 그림과 상세 해설로 풀어내고, 맨 아래엔 중2 피타고라스로 높이·넓이, 중3 원의 반지름과 삼각비, 고1 좌표평면의 수직이등분선, 경시 황금비 (√5−1)÷2까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

모르는 것을 x로 두고 읽는 순서대로 그대로 옮기는 첫 걸음에서 시작합니다. 이어 합이 정해지면 나머지는 (전체 − x)라는 개수·금액 문제의 뼈대를 세우고, 이 강의의 가장 큰 무기인 "~보다 얼마 크다·작다"는 작은 쪽에 그만큼 더한다를 저울 그림으로 몸에 익힙니다. 여기에 나누는 수 × 몫 + 나머지, 연속하는 수는 가운데를 x로(짝수·홀수 둘 다 ±2), 두 자리 수는 10a + b까지 무기 여섯 가지를 차례로 챙깁니다. 선생님이 강의 중에 직접 두 번 "여기서 잘못했다"며 고치신 자리(귤의 개수를 20 → 20 − x로, 홀수를 ±1 → ±2로)와, 부호를 반대로 넣어 답이 틀리자 되짚으신 장면까지 그대로 살려 단계별 애니메이션과 음성 해설로 풀어냈습니다.

연습 10문제(순서대로 옮기기·합이 정해진 개수·직사각형 둘레·분수가 있는 저울· 차가 정해진 두 수·나머지가 있는 나눗셈·잘못 계산한 수·연속하는 세 자연수·두 자리 수 자리값)를 정확한 도해와 상세 해설로 풀어내고, 맨 아래엔 중1 일차부등식, 중2 연립방정식과 일차함수, 중3 이차방정식의 활용, 고1 절댓값 방정식의 경우 나누기까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

낱말 두 개를 갈라 놓는 데서 시작합니다. 앞뒤를 바꾼 것이 역, 둘 다 부정한 것이 이, 바꾸고 부정까지 한 것이 대우. 그리고 이 강의의 심장인 "원명제와 대우는 언제나 한 몸, 역은 아니다"를 못 박습니다. 이어서 a ≥ 1 ⇒ a² ≥ 1의 역이 왜 거짓인지(음수를 잊지 마라), a² + b² = 0에서 대우를 만들 때 "그리고"가 "또는"으로 바뀌는 함정, 4의 약수와 8의 약수로 대우는 따져 볼 것도 없다는 요령을 차례로 익힙니다. 삼단논법은 기온·A제품·B제품 이야기로 각각의 대우를 다 찾아 사슬을 잇는 법까지 보여 주고, 마지막에 쏙 들어가면 충분 · 안 들어가면 필요 · 똑같으면 필요충분 세 줄로 정리합니다. x = 4를 대입해 k = −5를 얻는 대우 활용, 두 부등식을 더해 k의 최댓값 −2를 찾는 문제, 그리고 벤 다이어그램 영역마다 번호를 매기는 비법까지 단계별 애니메이션과 음성 해설로 풀어냈습니다.

연습 10문제(역·대우 쓰기·이(裏)의 참거짓·드모르간 부정·대우로 판정· 필요·충분 판별·삼단논법 사슬·대우로 미지수·범위의 포함관계·집합식 ↔ 조건)를 수직선·벤 다이어그램과 반례까지 붙인 상세 해설로 풀어내고, 맨 아래엔 중3 대우로 증명하기, 고1 필요충분조건 계수 결정, 이차부등식과 포함관계, 경시 논리 사슬까지 넓혀 쓰는 비법을 담았어요.

정적분의 계산을 다룬 제43강의 짝 강의로, 이번엔 활용입니다. x축 위는 +, 아래는 −라서 부호가 바뀌는 자리에서 끊어 더한다는 데서 시작해 (y = x² − 6x 와 x = −1, 1 사이의 넓이 6), 두 그래프 사이는 「위 − 아래」이고 그 전에 교점부터 찾는다는 원칙을 세웁니다. 이어서 S = |a|/6 (β − α)³ 공식을 뽑아내 포물선과 직선(32/3, 4/3), 포물선 두 개(9)를 적분 없이 한 줄로 풀고, 삼차가 되면 공식을 못 쓰고 구간을 나눈다(131/4)는 경계를 그어 줍니다. 접선이 만드는 넓이(1/3), "두 넓이가 같다"는 곧 정적분이 0(a = 1/4), 그리고 속도를 적분하면 위치, 절댓값을 씌우면 움직인 거리(원점 복귀 8/3)까지 단계별 그래프와 음성 해설로 풀어냅니다. 제17강 함수의 극한과 연속, 제21강 도함수의 활용, 제43강 정적분과 이어지는 강의예요.

연습 10문제(x축과의 넓이·부호가 바뀌면 끊기·포물선과 직선·공식 연습· 포물선 두 개·삼차함수·접선과 y축·넓이가 같을 조건·속도와 움직인 거리·직선이면 삼각형 넓이로)를 정확한 그래프와 단계별 해설로 풀어내고, 도전 6문제에서는 근이 무리수인 경우, 삼차 × 직선, 넓이가 주어졌을 때 거꾸로 기울기 구하기, 위끝을 구하기, 속도의 부호가 두 번 갈리는 경우, 쏘아 올린 물체의 최고 높이까지 규칙을 겹쳐 씁니다. 맨 아래엔 회전체의 부피, 구분구적법, 가속도→속도→위치, 넓이의 최댓값·최솟값으로 넓혀 쓰는 비법을 담았어요. 16문항 전부 전수 재검산했습니다.

선생님이 이 시간에 가장 여러 번 하신 말씀 "지그재그로 하면 된다"에서 출발합니다. 먼저 항등식의 계수비교(미정계수법) — ax − 2a + bx + 2b 를 x가 있는 자리와 없는 자리로 갈라 묶어 a = −1, b = 1 을 찾고, 이어서 번분수는 맨 아래층부터 통분하고 뒤집어 올라오면 (3x + 2)/(2x + 1) 이 나온다는 것을 층별로 보여 줍니다. 대칭식은 합과 곱만 알면 되므로 a/b + b/a = 5 에서 세제곱의 합 110이 한 줄에 나오고, 조건은 전개해서 겹치는 것을 버리면 (a+b+c)² = a²+b²+c² 이 ab+bc+ca = 0 으로, 다시 세 수의 역수의 합 0 으로 바뀝니다. a + b + c = 0 이면 a³+b³+c³ = 3abc 라는 것까지 짚고, 마지막으로 분수 조건은 통분해서 분자만 보는 법으로 1/(x−1) + 1/(y−1) = −1 에서 xy = 1 을, 그것으로 1/(x+1) + 1/(y+1) = 1 을 끌어냅니다. 제16강 유리함수로 곧장 이어지는 강의예요.

연습 10문제(계수비교 두 문제·번분수 2층과 4층·대칭식 제곱과 세제곱· a+b+c=0·조건식 모양 바꾸기·통분해서 합과 곱 찾기·부분분수)를 도해와 검산까지 붙인 상세 해설로 풀어내고, 도전 6문제에서는 차가 주어진 대칭식, 덩어리로 다시 쓰는 항등식, 부분분수로 열 항의 합, 나머지정리, 조건식 통째로 바꿔치기, 비례식(가비의 리)까지 무기를 겹쳐 씁니다. 맨 아래엔 이 방법이 나머지정리·수열의 합·근과 계수의 관계·유리함수·복소수로 자라나는 길을 담았어요. 16문항 전부 손과 sympy로 전수 검산했습니다.

제17강·제35강이 0/0 꼴을 계산으로 뚫는 법이었다면, 이번 강의는 그 앞에 있는 읽는 법입니다. 극한값이 존재한다는 말은 오직 하나 — 좌극한과 우극한이 같다는 뜻이라는 데서 출발해, 좌·우가 갈리는 대표 선수인 절댓값을 부호로 갈라 두 줄로 쓰는 습관을 잡습니다 (|x − 2| ÷ (x − 2) 의 좌극한 −1, 우극한 1). 이어서 그래프 한 장에서 좌극한 · 우극한 · f(a) 셋을 따로 읽고 (뚫린 ○ 는 아니다, 꽉 찬 ● 가 f(a)), 불연속의 이유는 뛴다 · 뚫렸다 · 떠 있다 셋뿐이라는 것을 정리합니다. 같은 절댓값인데도 x³ ÷ |x| 는 연속이고 x ÷ |x| 는 불연속인 까닭을 나란히 보여 주고, 정의역의 끝처럼 한쪽 극한만 있는 자리와 정수마다 끊기는 가우스 함수까지 갑니다. 제17강 함수의 극한과 연속, 제35강 함수의 극한과 짝을 이루는 강의예요.

연습 10문제(절댓값을 부호로 가르기·분자가 인수분해되는 경우·구간별 함수의 연속· 그래프에서 셋 읽기·분모의 절댓값·가우스 함수·정의역의 끝·구멍과 무한의 차이·미지수 둘·불연속점 세기)를 정확한 그래프와 단계별 해설로 풀어내고, 도전 6문제에서는 조건이 둘인 미정계수, 인수분해 × 절댓값, 소수 부분 함수, 각각은 극한이 없어도 곱하면 생기는 경우, 둘 다 ∞ 라도 수렴이 아닌 까닭, 사잇값 정리까지 규칙을 겹쳐 씁니다. 맨 아래엔 미분가능성(좌미분계수 = 우미분계수), 사잇값·최대최소 정리, 점근선, 엡실론-델타로 넓혀 쓰는 비법을 담았어요. 16문항 전부 전수 재검산했습니다.

삼각비의 뜻을 배운 제33강의 짝 강의로, 이번엔 그것으로 실제 길이를 계산합니다. 대변 = 빗변 × sin A, 인접변 = 빗변 × cos A, 대변 = 인접변 × tan A를 「양쪽에 곱한다」 한 동작으로 뽑아내고, 거꾸로 갈 땐 ÷ cos·÷ tan로 되돌립니다 (빗변 8·30° → 4와 4√3 / 55°·빗변 6 → 4.92와 3.42 / 50°·빗변 8 → 5.12와 6.16 / 밑변 2·tan63° → 3.92). 이어서 직각이 없으면 수선을 그어 만든다는 결정적 한 수로 일반 삼각형까지 넘어가고 (∠B=30°·AB=6·BC=4√3 → AC=2√3 / ∠B=60°·AB=2·BC=5 → AC=√19), 75° 같은 낯선 각은 60°+45° 특수각 둘로 가른다는 요령으로 4√6, 6√3을 한 줄에 구합니다. 마지막은 삼각형의 높이 — 밑각을 90°에서 뺀 위쪽 각으로 바꿔 h tan 두 조각을 더하거나 빼는 법(15−5√3, 2√3+2 그리고 넓이 4√3+4), 그리고 눈높이 1.6m를 더해야 진짜 나무 높이가 되는 실생활 문제(8.9m)까지 단계별 그림과 음성 해설로 풀어냅니다. 제33강 삼각비, 제34강 사인법칙과 코사인법칙과 이어지는 강의예요.

연습 10문제(빗변에서 두 변·삼각비의 표·인접변 × tan·÷cos로 되돌리기·÷tan로 되돌리기· 수선 긋기와 피타고라스·두 각을 알 때·높이 더하기형·높이 빼기형(둔각)·건물 높이와 눈높이)를 정확한 그림과 단계별 해설로 풀어내고, 도전 6문제에서는 삼각비로 넓이 구하기, 두 각으로 변과 넓이 한꺼번에, 표를 거꾸로 읽기, 두 지점에서 관측하는 삼각측량, 평행사변형의 넓이, 그리고 삼각형의 높이 공식 h = a ÷ (tan(90°−B) + tan(90°−C))의 유도까지 이어집니다. 맨 아래엔 사인법칙·코사인법칙, 넓이 ½ab sin C, 삼각측량, 힘의 분해로 넓혀 쓰는 비법을 담았어요. 16문항 전부 전수 재검산했고, 삼각비의 표도 함께 실었습니다.