1
함수의 개수 세기 — 정의역 원소마다 공역에서 몇 가지를 고를 수 있는지 곱한다. 일대일함수는 겹치지 않게 고른다.
2
일대일대응 조건 — 구간별 일차함수는 기울기 부호가 같고, 경계에서 그래프가 이어져야
3
함수방정식 성질 — f(ab)=f(a)+f(b) 같은 규칙은 소인수분해로 쪼개서 대입한다.
＋
역함수 그래프 넓이 — y=f(x)와 y=f⁻¹(x)는 y=x 대칭이라, 한쪽 넓이를 구해 2배 하면 끝.
이 개념, 학년마다 이렇게
🐣 초등 (직관)
"짝짓기"로 함수를 이해. 각 사람마다 선물을 하나씩 고르는 방법의 수를 세어본다.
📐 고1 (핵심)
함수·일대일함수·상수함수 개수, 일대일대응 조건, 역함수 그래프.
🎓 고등 (확장)
합성함수·역함수의 미분, 함수방정식의 일반화(코시 함수방정식).
🐣 저학년 직관 — "짝짓기 방법의 수 세기"
학생 2명(철수, 영희)에게 상품 3개(사과, 배, 귤) 중 하나씩 고르게(중복 가능) 나눠준다고 해봐요. 철수는 3가지 중 하나, 영희도 3가지 중 하나를 고를 수 있어요. 그래서 전체 방법의 수는 3 × 3 = 9가지.
이게 바로 "함수의 개수"예요 — 정의역(학생) 각자가 공역(상품) 중 하나씩 대응되는 방법의 수.
방법의 수 = 9가지
연습 10제 · 그림 해설
문제 1함수의 개수 · 기본
두 집합 X={1,2}, Y={a,b,c}에 대하여, X에서 Y로의 함수의 개수를 구하라.
풀이 — 정의역 원소마다 공역 선택지를 곱한다
- 1은 3가지 중 하나, 2도 3가지 중 하나 → 3 × 3 = 3².
9개
문제 2함수개수 종합 · 진가
두 집합 X={1,2}, Y={a,b,c}에 대하여 (1) X→Y 함수의 개수 m₁ (2) X→Y 일대일함수의 개수 m₂ (3) X→Y 상수함수의 개수 m₃ (4) Y→X 함수 중 치역=공역인 함수의 개수 m₄. m₁+m₂+m₃+m₄의 값을 구하라.
풀이 — 하나씩 정확히 센다
- m₁(전체 함수) = 3²=9.
- m₂(일대일함수, 겹치지 않게) = 3×2=6.
- m₃(상수함수, 값 하나로 고정) = 3.
- m₄(Y→X 함수 중 공역 X={1,2} 전부 나오는 것) = 전체 2³=8개에서 한쪽으로만 몰리는 상수함수 2개를 빼면 8−2=6.
- 합 = 9+6+3+6.
m₁+m₂+m₃+m₄ = 24
문제 3일대일대응 조건 · 진가
실수 전체에서 정의된 함수 f(x) = 2x (x≥1), ax+b (x<1)가 실수 전체에서 실수 전체로의 일대일대응이 되도록 하는 a, b의 관계식을 구하라. (단, a>0)
풀이 — 기울기 부호 같고, 경계에서 이어져야
- x≥1 구간(기울기 2>0)과 x<1 구간이 같은 방향이어야 전체가 단조 → a>0.
- 경계 x=1에서 이어져야: 2(1) = a(1)+b → a+b=2.
a > 0 이고 a+b = 2
문제 4일대일대응 · 정수개수
함수 f(x)=(a+3)x−2 (x≥0), (2−a)x−2 (x<0)가 일대일대응이 되도록 하는 정수 a의 개수를 구하라.
풀이 — 경계는 이미 이어짐(둘다 −2), 기울기 부호만 확인
- x=0에서 둘 다 −2로 자동 연결됨. 기울기 부호만 같으면 된다: (a+3)(2−a)>0.
- 정리하면 (a+3)(a−2)<0 → −3<a<2.
- 정수 a: −2,−1,0,1.
4개
문제 5함수방정식 · 진가
자연수 전체에서 정의된 함수 f가 (가) p가 소수이면 f(p)=p (나) f(ab)=f(a)+f(b)를 만족한다. f(300)의 값을 구하라.
풀이 — 소인수분해로 쪼개서 대입
- 300 = 2² × 3 × 5².
- (나)를 반복 적용: f(300) = f(2)+f(2)+f(3)+f(5)+f(5).
- (가)에 의해 소수는 자기 자신: 2+2+3+5+5.
f(300) = 17
문제 6역함수 그래프
함수 f(x)=2x+3의 그래프와 그 역함수 g(x)의 그래프는 어떤 직선에 대해 대칭인가?
풀이
- 모든 함수와 그 역함수의 그래프는 y=x에 대해 대칭이다.
y = x
문제 7역함수 넓이 · 진가
함수 f(x) = ½x+6 (x≥0), 4/3x+6 (x<0)의 역함수를 g(x)라 하자. y=f(x)와 y=g(x)로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하라.
풀이 — y=x와 만나는 점을 찾고, 대칭이라 2배
- x≥0: ½x+6=x → x=12, 점(12,12). x<0: 4/3x+6=x → x=−18, 점(−18,−18).
- y절편(0,6)에서 y=x까지 거리 3√2, 두 교점 사이 거리 30√2.
- f와 y=x 사이 삼각형 넓이 = ½×30√2×3√2=90. 대칭이라 f와 g 사이는 2배.
넓이 = 180
문제 8상수함수
집합 X={1,2,3,4}에서 Y={a,b}로의 상수함수의 개수를 구하라.
풀이 — 값 하나로 고정되는 경우의 수
- 모든 원소가 같은 값 하나로 대응 → Y의 원소 개수만큼.
2개
문제 9함수 판별
정의역 X={1,2,3}, 대응규칙 y=x−2일 때, 공역이 Y={−1,0,1,2,...}(자연수 포함 정수)이면 함수인가?
풀이 — 정의역 모든 원소가 공역에 대응해야
- 1→−1, 2→0, 3→1. 전부 Y 안에 있으니 함수 맞다.
함수이다
문제 10실생활 · 암호
4자리 숫자 자물쇠에서 각 자리는 0~9 중 하나(중복 가능). 정의역(자리, 4개)에서 공역(숫자, 10개)으로의 함수로 볼 때, 가능한 비밀번호의 개수는?
풀이 — 함수의 개수 = 10⁴
- 각 자리(정의역 4개)마다 10가지 선택 → 10⁴.
10000개
제일 밑에 · 이 방법을 다른 학년·개념에 쓰는 비법
"대응을 정확히 센다" 하나로 순열·미분·암호학까지
함수에서 익힌 "정의역마다 몇 가지를 고를 수 있나"는 눈이, 학년이 올라가면 순열·미분·암호학으로 그대로 이어집니다.
① 고1 · 순열과의 관계
고1 · 순열과 조합
일대일함수의 개수는 결국 순열이에요. X={1,2}에서 Y(3개)로의 일대일함수 = ₃P₂=6. 함수 개수 세기와 순열은 같은 원리예요.
② 고2 · 합성함수와 역함수의 미분
고2~미적분
g=f⁻¹이면 g'(a) = 1/f'(g(a)). 역함수 그래프의 y=x 대칭을 미분에도 그대로 적용해요.
③ 고3 · 함수방정식의 일반화
고급 수학·경시
f(ab)=f(a)+f(b) 같은 규칙은 코시 함수방정식의 한 예. log 함수가 바로 이 성질(곱을 합으로 바꿈)을 만족해요.
④ 정보보안 · 일대일함수 = 암호화
공학·암호학
암호화 함수는 반드시 일대일(가역)이어야 복호화(역함수)가 가능해요. 일대일대응 조건이 실제 암호 설계의 기본 원리예요.
⑤ 확률 · 경우의 수와 함수 개수
확률과 통계
"공을 상자에 나눠 넣는 방법의 수"는 결국 함수의 개수 세기예요. 오늘 배운 m1~m4 계산법이 확률 분모·분자 계산에 그대로 쓰입니다.
도전 · 이 비법만으로 위 학년 문제 풀기
"대응을 정확히 센다" 하나로 순열·미분·암호학까지. 학년별 3문제씩!
도전 · 고1일대일함수=순열
X={1,2,3}에서 Y={a,b,c,d,e}(5개)로의 일대일함수의 개수를 구하라.
도전 · 고1치역=공역 함수
X={1,2,3}에서 Y={a,b}(2개)로의 함수 중 치역과 공역이 일치하는(즉 a,b 둘 다 나오는) 함수의 개수를 구하라.
풀이 — 전체에서 상수함수(둘 다 안 나오는 경우) 빼기
- 전체 2³=8, 상수함수 2개(전부a, 전부b) 빼면 8−2.
6개
도전 · 고1일대일대응 응용
f(x)=ax−2(x≥2), 3x+b(x<2)가 일대일대응이 되려면 a>0이고 어떤 식이 성립해야 하는가?
풀이
- 경계 x=2에서 연결: 2a−2 = 6+b → 2a−b=8.
2a − b = 8
도전 · 고2역함수 미분
f(x)=x³+1의 역함수를 g라 할 때, g'(2)의 값을 구하라. (힌트: f(1)=2)
풀이 — g'(a)=1/f'(g(a))
- f(1)=2이므로 g(2)=1. f'(x)=3x², f'(1)=3.
- g'(2) = 1/f'(1) = 1/3.
g'(2) = 1/3
도전 · 고3코시 함수방정식
함수 f가 f(x+y)=f(x)+f(y)를 만족하고 f(1)=3일 때, f(5)의 값을 구하라.
풀이 — 반복 적용
- f(5)=f(1)+f(1)+f(1)+f(1)+f(1)=5×3.
f(5) = 15
도전 · 고등암호학 연결
암호화 함수가 일대일대응이 아니라면(예: 두 평문이 같은 암호문으로 매핑) 어떤 문제가 생기는가?
풀이
- 역함수(복호화)가 존재하지 않아 원래 평문을 구별해서 복원할 수 없다(충돌 발생).
복호화가 불가능해진다 (역함수 존재 안 함)
※ 이 자료의 예제는 장대경 선생님 방법을 수학적으로 정확한 값으로 재구성·검산한 교육 자료입니다. 모든 계산은 직접 검산했습니다(원본 강의와 숫자·예제가 다를 수 있음).