YEON MATH · 행복수학

항등식과 유리식 실전 완전정복
— 지그재그로 하면 된다 · 연습 10제

계수비교(미정계수법) · 번분수 · 대칭식 · 조건식 변형 · 부분분수 · 장대경 선생님의 특강

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먼저 · 항등식과 유리식을 푸는 무기 여섯 가지

1
항등식은 같은 자리끼리 계수를 견준다 — 등식이 모든 x에 대해 성립하면 같은 차수의 계수가 서로 같다. 먼저 x가 있는 자리와 없는 자리로 갈라 묶는다.
2
번분수는 맨 아래층부터 — ① 아래 한 층을 통분해 분수 하나로 ② 그 분수를 뒤집어 위층으로. 이 둘을 꼭대기까지 되풀이한다. 위에서부터 손대면 안 풀린다.
3
대칭식은 합과 곱만 — A² + B² = (A+B)² − 2AB, A³ + B³ = (A+B)³ − 3AB(A+B). a/b 같은 덩어리도 한 글자로 이름 붙여 버린다.
4
조건은 전개해서 겹치는 것을 버린다 — 조건식을 그 모양 그대로 쓰지 말고, 양쪽을 전개해 양쪽에 똑같이 있는 것을 지운다. 남는 짧은 한 줄이 진짜 쓸 조건이다.
5
a + b + c = 0 이면 a³ + b³ + c³ = 3abc — 뿌리는 인수분해 a³+b³+c³−3abc = (a+b+c)(a²+b²+c²−ab−bc−ca). 앞 괄호가 0이면 전체가 0이다.
6
분수 조건은 통분해서 분자만 — 통분하면 분자와 분모가 생긴다. 분모는 0이 될 수 없으니 볼 것은 분자뿐. 여기서 지그재그(대각선으로 곱해 넘기기)를 쓴다.
(a + b) x2(b − a)x 가 있는 자리x 가 없는 자리두 자리를 따로따로 견준다— 이것이 미정계수법 3층2층1층 — 여기부터

이 개념, 학년마다 이렇게

🐣 초등 (직관)
"어떤 수를 넣어도 늘 같은 식"이 항등식. □ + 3 = 3 + □는 무엇을 넣어도 참이지만 □ + 3 = 7은 4일 때만 참이다.
📐 중2~중3 (준비)
곱셈공식과 인수분해, 유리식의 통분·약분. x + 1/x 꼴의 대칭식과 a³+b³ 공식이 여기서 나온다.
🎓 고1~고2 (확장)
미정계수법 → 나머지정리·부분분수분해, 부분분수 → 수열의 합, 조건식 변형 → 대칭식·복소수·삼각함수 문제로 이어진다.

🐣 저학년 직관 — "언제나 참"과 "어떤 때만 참"

칠판에 두 식이 있어요. ㉠ □ + □ = 2 × □ 그리고 ㉡ □ + 3 = 7.

㉠은 □에 1을 넣어도, 5를 넣어도, 100을 넣어도 언제나 맞아요. 이런 식을 항등식이라고 해요.
㉡은 □가 4일 때만 맞아요. 이런 식을 방정식이라고 해요.

항등식은 "어떤 수를 넣어도 맞다"는 뜻이니까, 같은 자리에 있는 숫자끼리 서로 같아야 해요. 이게 고등학교에서 배우는 계수비교의 전부예요.

㉠ 항등식(언제나 참)  ·  ㉡ 방정식(□ = 4일 때만 참)

⚠️ 여기서 학생들이 가장 많이 넘어집니다

① 번분수를 위에서부터 손대는 것 — 3층부터 통분하려 들면 식이 점점 커져서 손을 못 씁니다. 반드시 맨 아래층부터 한 층씩 올라오세요.

② 조건식을 그대로 들고 다니는 것 — (a+b+c)² = a²+b²+c²를 그대로 쓰려 하면 아무것도 안 됩니다. 전개해서 겹치는 것을 버리면 ab+bc+ca = 0이라는 쓸 수 있는 한 줄이 나옵니다.

③ 분모가 0이 될 수 있는지 확인하지 않는 것 — 유리식에서는 x ≠ 1, abc ≠ 0 같은 조건이 문제 안에 숨어 있습니다. 답을 구한 뒤 그 조건에 걸리는지 반드시 되돌려 보세요.

연습 10제 · 상세 해설

연습 1항등식 · 계수비교
등식 ax + b(x − 3) = 5x + 6 이 x에 대한 항등식일 때, 상수 a, b의 값을 구하라.

풀이 — x가 있는 자리와 없는 자리로 갈라 묶는다

  1. 왼쪽을 정리: ax + bx − 3b = (a + b)x − 3b.
  2. x의 계수끼리: a + b = 5.
  3. 상수항끼리: −3b = 6 → b = −2.
  4. 따라서 a = 5 − (−2) = 7.
  5. 검산 — 7x − 2(x − 3) = 7x − 2x + 6 = 5x + 6 ✓
a = 7, b = −2
연습 2항등식 · 연립으로 잇기
모든 실수 x에 대하여 a(x + 1) + b(x − 2) = 4x − 5 가 성립할 때, a, b를 구하라.

풀이 — 두 식을 세워 연립으로

  1. 왼쪽 정리: (a + b)x + (a − 2b).
  2. x의 계수: a + b = 4  /  상수항: a − 2b = −5.
  3. 위 식에서 아래 식을 빼면 3b = 9 → b = 3, 그러면 a = 1.
  4. 검산 — (x + 1) + 3(x − 2) = x + 1 + 3x − 6 = 4x − 5 ✓
a = 1, b = 3
※ 다른 길 — 항등식이니까 편한 수를 대입해도 된다. x = 2를 넣으면 3a = 3에서 a = 1, x = −1을 넣으면 −3b = −9에서 b = 3. 괄호를 0으로 만드는 수를 고르는 것이 요령이다.
연습 3번분수 · 2층
1 + 11 + 1x 을 간단히 하라. (단 x ≠ 0, x ≠ −1)

풀이 — 맨 아래층부터

  1. 1층: 1 + 1x = x + 1x → 뒤집으면 xx + 1.
  2. 2층: 1 + xx + 1 = (x + 1) + xx + 1 = 2x + 1x + 1.
  3. 검산 — x = 1이면 원래 식은 1 + 1/2 = 3/2, 답 식도 3/2 ✓
2x + 1x + 1
연습 4번분수 · 4층
1 + 11 + 11 + 11 + 1x 을 간단히 하라.

풀이 — 층이 늘어나도 하는 일은 똑같다

  1. 1층 x + 1x → 뒤집어 xx + 1, 더하면 2x + 1x + 1.
  2. 뒤집어 x + 12x + 1, 더하면 3x + 22x + 1.
  3. 뒤집어 2x + 13x + 2, 더하면 5x + 33x + 2.
  4. 검산 — x = 1이면 층마다 2, 3/2, 5/3, 8/5, 답 식도 8/5 ✓
5x + 33x + 2
※ 계수를 보면 1, 1, 2, 3, 5, 8 — 피보나치 수가 나온다. 층을 하나 올릴 때마다 앞의 두 수를 더하기 때문이다.
연습 5대칭식 · 제곱의 합
x + 1x = 3 일 때 x² + 1x² 의 값을 구하라.

풀이 — 합과 곱만 있으면 된다

  1. x와 1/x는 서로 뒤집은 수라 곱이 1이다.
  2. A² + B² = (A + B)² − 2AB 에 넣으면 3² − 2 × 1 = 9 − 2.
  3. 검산 — 양변을 그냥 제곱해도 된다. (x + 1/x)² = x² + 2 + 1/x² = 9 → x² + 1/x² = 7 ✓
7
연습 6대칭식 · 세제곱의 합
x + 1x = 4 일 때 x³ + 1x³ 의 값을 구하라.

풀이 — 세제곱 공식에 그대로

  1. 합은 4, 곱은 1.
  2. A³ + B³ = (A + B)³ − 3AB(A + B) = 4³ − 3 × 1 × 4 = 64 − 12.
  3. 검산 — x + 1/x = 4를 만족하는 실제 수 x = 2 + √3을 넣어도 x³ + 1/x³ = 52 ✓
52
※ 2 빼기냐 3 곱하기냐를 헷갈리지 말자. 제곱은 −2AB, 세제곱은 −3AB(A+B)다.
연습 7조건식 · a+b+c=0
a + b + c = 0 이고 abc ≠ 0 일 때 a³ + b³ + c³abc 의 값을 구하라.

풀이 — 인수분해 한 줄이면 끝난다

  1. a³ + b³ + c³ − 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca).
  2. 앞 괄호가 0이므로 좌변 전체가 0 → a³ + b³ + c³ = 3abc.
  3. 따라서 (a³+b³+c³) ÷ abc = 3abc ÷ abc = 3.
  4. 검산 — a = 1, b = 2, c = −3 이면 1 + 8 − 27 = −18, abc = −6, −18 ÷ (−6) = 3 ✓
3
연습 8조건식 · 모양 바꾸기
(a + b + c)² = a² + b² + c² 이고 abc ≠ 0 일 때, 1a + 1b + 1c 의 값을 구하라.

풀이 — 전개해서 겹치는 것을 버린다

  1. 왼쪽 전개: a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca).
  2. 오른쪽과 견주면 제곱들이 양쪽에 똑같이 있으니 지운다 → 2(ab + bc + ca) = 0.
  3. 곧 ab + bc + ca = 0.
  4. 한편 1/a + 1/b + 1/c를 통분하면 bc + ca + ababc 이고, 분자가 0이다.
  5. 검산 — a = 1, b = 1, c = −1/2 이면 ab+bc+ca = 1 − 1/2 − 1/2 = 0 ✓, 1 + 1 − 2 = 0 ✓
0
※ abc ≠ 0 이라는 단서가 있어야 분모가 0이 아님이 보장된다. 유리식 문제에서 이 단서는 장식이 아니다.
연습 9분수 조건 · 통분해서 분자만
두 실수 x, y에 대하여 x + y = 7 이고 1x + 1y = 710 일 때, xy 와 x² + y² 을 구하라.

풀이 — 통분하면 조건이 그대로 합과 곱이 된다

  1. 1/x + 1/y = x + yxy = 7xy.
  2. 이것이 7/10 이므로 xy = 10.
  3. x² + y² = (x + y)² − 2xy = 49 − 20 = 29.
  4. 검산 — 합 7, 곱 10인 두 수는 2와 5. 1/2 + 1/5 = 7/10 ✓, 4 + 25 = 29 ✓
xy = 10,  x² + y² = 29
※ 통분한 분자가 곧 합이라는 것이 이 문제의 전부다. 분수 조건은 언제나 먼저 통분한다.
연습 10부분분수 · 가운데가 지워진다
1x(x+1) + 1(x+1)(x+2) + 1(x+2)(x+3) 을 간단히 하라.

풀이 — 한 덩이를 두 조각으로 쪼개면 가운데가 지워진다

  1. 부분분수 공식: 1A·B = 1B − A(1A − 1B). 여기서는 B − A = 1 이라 그냥 1/A − 1/B.
  2. 세 항을 쪼개면 (1/x − 1/(x+1)) + (1/(x+1) − 1/(x+2)) + (1/(x+2) − 1/(x+3)).
  3. 가운데 1/(x+1) 과 1/(x+2) 가 서로 지워지고 1/x − 1/(x+3) 만 남는다.
  4. 통분하면 (x+3) − xx(x+3) = 3x(x+3).
  5. 검산 — x = 1 이면 원래 식은 1/2 + 1/6 + 1/12 = 3/4, 답 식도 3/4 ✓
3x(x + 3)
※ 이 방법이 고2 수열의 합에서 그대로 쓰인다. 항이 100개여도 맨 앞과 맨 뒤만 남는다.

이 무기, 위 학년에서는 이렇게 자란다

지그재그 하나가 고2까지 간다

오늘 배운 여섯 무기가 어느 단원에서 다시 나타나는지 미리 보자.

① 미정계수법 → 나머지정리
고1 · 다항식
다항식을 나눈 나머지를 미지수로 두고 항등식을 세우는 것이 나머지정리 문제의 표준 풀이입니다. 오늘의 계수비교와 편한 수 대입이 그대로 쓰여요.
② 부분분수 → 수열의 합
고2 · 수열
항이 100개, 1000개가 되어도 쪼개면 가운데가 전부 지워지고 맨 앞과 맨 뒤만 남습니다. 연습 10번이 그 축소판이에요.
③ 대칭식 → 이차방정식의 근과 계수의 관계
고1 · 방정식
두 근의 합과 곱만 알면 α² + β², α³ + β³, 1/α + 1/β가 전부 나옵니다. 오늘 x + 1/x로 한 일과 똑같습니다.
④ 번분수 → 유리함수와 연분수
고1 · 유리함수 / 심화
번분수를 정리하면 (ax+b)/(cx+d) 꼴이 되고, 이것이 유리함수 그래프의 표준형으로 이어집니다. 층을 무한히 쌓으면 황금비가 나오기도 해요.
⑤ 조건식 변형 → 복소수·삼각함수
고1~고2
ω² + ω + 1 = 0(1의 세제곱근), sin²θ + cos²θ = 1 — 전부 조건식을 쓰기 좋은 모양으로 바꾸는 같은 손놀림입니다.

도전 · 이 비법만으로 위 학년 문제 풀기

"계수를 견주고, 조건을 바꿔 쓴다" 하나로 나머지정리·부분분수·수열·비례식까지. 학년별 문제!

도전 · 중3~고1차가 주어진 대칭식
x − 1x = 3 일 때 x² + 1x² 와 x³ − 1x³ 를 구하라.

풀이 — 부호가 하나 바뀌면 공식도 하나 바뀐다

  1. 양변을 제곱: (x − 1/x)² = x² − 2 + 1/x² = 9 → x² + 1/x² = 11.
    (합일 때는 −2, 차일 때는 +2를 되돌려 준다.)
  2. 세제곱: A³ − B³ = (A − B)³ + 3AB(A − B), 여기서 AB = 1.
  3. 3³ + 3 × 1 × 3 = 27 + 9 = 36.
  4. 검산 — x − 1/x = 3의 실제 근 x = (3 + √13)/2을 넣어도 11과 36 ✓
x² + 1/x² = 11,   x³ − 1/x³ = 36
※ 합·차의 제곱은 서로 4AB만큼 차이가 난다. (x + 1/x)² = 9 + 4 = 13이므로 x + 1/x = ±√13이다.
도전 · 고1항등식 · 덩어리로 다시 쓰기
모든 실수 x에 대하여 2x² + 3x − 5 = a(x − 1)² + b(x − 1) + c 가 성립할 때 a + b + c 의 값을 구하라.

풀이 — 치환해서 전개하는 길, 그리고 대입 한 방

  1. [길 1 · 치환] t = x − 1 이라 하면 x = t + 1.
    2(t+1)² + 3(t+1) − 5 = 2t² + 4t + 2 + 3t + 3 − 5 = 2t² + 7t + 0.
    계수를 견주면 a = 2, b = 7, c = 0 → 합은 9.
  2. [길 2 · 대입 한 방] 구하는 것이 a + b + c 인데, 오른쪽에 x = 2를 넣으면 (x−1) = 1 이라 그대로 a + b + c 가 된다.
    왼쪽도 x = 2: 2×4 + 6 − 5 = 9.
  3. 검산 — 2(x−1)² + 7(x−1) = 2x² − 4x + 2 + 7x − 7 = 2x² + 3x − 5 ✓
9
※ 묻는 것이 계수의 합이면 x = 1을 넣어라는 요령이 여기서 나온다. 이 문제는 (x−1) 꼴이라 x = 2가 그 자리다.
도전 · 고1~고2부분분수 · 수의 합
11×3 + 13×5 + 15×7 + ⋯ + 119×21 의 값을 구하라.

풀이 — 차가 2이므로 ½을 앞에 꺼내 놓는다

  1. 1A·B = 1B − A(1A − 1B). 여기서는 B − A = 2 이므로 ½(1/A − 1/B).
  2. 전체 = ½{(1/1 − 1/3) + (1/3 − 1/5) + ⋯ + (1/19 − 1/21)}.
  3. 가운데가 모두 지워지고 = ½(1 − 1/21) = ½ × 2021 = 1021.
  4. 검산 — 항이 10개다. 앞 세 항만 직접 더해도 1/3 + 1/15 + 1/35 = 3/7, 공식 ½(1 − 1/7) = 3/7 ✓
1021
※ B − A가 1이 아니면 그 값으로 나눠 주는 것을 빠뜨리기 쉽다. 항 하나를 직접 계산해 맞춰 보는 습관을 들이자.
도전 · 고1나머지정리 · 미정계수법
다항식 P(x) 를 x − 1 로 나눈 나머지가 3, x + 2 로 나눈 나머지가 −3 이다. P(x) 를 (x − 1)(x + 2) 로 나눈 나머지를 구하라.

풀이 — 나머지를 미지수로 두는 것이 미정계수법이다

  1. 나누는 식이 이차이므로 나머지는 일차 이하 — ax + b라 두자.
  2. 몫을 Q(x)라 하면 P(x) = (x − 1)(x + 2)Q(x) + ax + b — 이것은 항등식이다.
  3. x = 1 대입: 앞이 0이 되어 P(1) = a + b = 3.
  4. x = −2 대입: P(−2) = −2a + b = −3.
  5. 두 식을 빼면 3a = 6 → a = 2, b = 1.
  6. 검산 — 나머지 2x + 1 에 x = 1 넣으면 3 ✓, x = −2 넣으면 −3 ✓
2x + 1
※ 괄호를 0으로 만드는 수를 대입하는 것이 항등식의 가장 강한 무기다. 연습 2번의 「다른 길」과 완전히 같은 손놀림이다.
도전 · 고1조건식 · 통째로 바꿔치기
a + b + c = 0 이고 abc ≠ 0 일 때
a(1b + 1c) + b(1c + 1a) + c(1a + 1b) 의 값을 구하라.

풀이 — b + c 를 −a 로 바꿔치기하는 순간 끝난다

  1. 첫 덩어리를 묶으면 a(b + cbc). 조건에서 b + c = −a 이므로 = −a²bc.
  2. 나머지도 마찬가지로 −b²/(ca), −c²/(ab).
  3. 세 항을 통분하면 = −a³ + b³ + c³abc.
  4. 연습 7번에서 a³ + b³ + c³ = 3abc 였으므로 = −3.
  5. 검산 — a = 1, b = 2, c = −3: 1(1/2 − 1/3) + 2(−1/3 + 1) + (−3)(1 + 1/2) = 1/6 + 4/3 − 9/2 = −3 ✓
−3
※ 조건식은 「= 0」 꼴로 두 번 쓰인다 — 한 번은 b + c = −a 로 바꿔치기, 한 번은 세제곱 공식으로.
도전 · 고1비례식 · 가비의 리
0이 아닌 실수 x, y, z 에 대하여 xy + z = yz + x = zx + y = k 이다. x + y + z ≠ 0 일 때 k 의 값을 구하라. (x + y + z = 0 인 경우도 함께 생각해 보자.)

풀이 — 비가 모두 같으면 「분자끼리 더하고 분모끼리 더해도」 그 비다

  1. 세 비가 모두 k 이므로 x = k(y + z), y = k(z + x), z = k(x + y).
  2. 세 식을 모두 더하면 x + y + z = k · 2(x + y + z).
  3. x + y + z ≠ 0 이므로 양변을 그것으로 나눌 수 있다 → 1 = 2k → k = ½.
  4. 검산 — x = y = z = 1 이면 각 비가 1/2 ✓
  5. [다른 경우] x + y + z = 0 이면 y + z = −x 이므로 k = x/(−x) = −1.
    검산 — x = 1, y = 1, z = −2 이면 세 비가 모두 −1 ✓
k = ½  (단, x + y + z = 0 이면 k = −1)
※ 「나눌 수 있는가」를 반드시 확인해야 하는 문제다. 조건 x + y + z ≠ 0 을 놓치면 답이 하나 사라진다 — 유리식의 분모 조건이 곧 답을 가른다.
※ 이 자료의 연습문제는 장대경 선생님 방법으로 새로 만들고 값을 손과 sympy로 전수 검산한 교육 자료입니다(원본 강의와 숫자·예제가 다를 수 있음).
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