⭐ 여기가 고비 — 「이어져 있다」로 끝내면 안 된다
연속까지 확인하고 "됐다" 하는 순간 이 문제는 틀립니다. 연속과 미분가능은 다른 조사입니다.
미분은 기울기를 보는 것이니, 갈라 놓은 두 조각을 각각 미분해서 그 값이 같은지 봐야 합니다.
· 우미분계수 : \(x>2\) 쪽 식 \(x-2\) 를 미분하면 \(1\) → +1
· 좌미분계수 : \(x<2\) 쪽 식 \(-x+2\) 를 미분하면 \(-1\) → −1
정의로 확인해도 같습니다 —
\(\displaystyle\lim_{h\to 0+}\frac{|h|}{h}=1,\quad \lim_{h\to 0-}\frac{|h|}{h}=-1\).
\(1\ne -1\) 이므로 미분계수가 하나로 정해지지 않습니다.
그래프로 보면 \((2,0)\) 에서 V자로 꺾여 있다. 접선을 하나로 그을 수 없다.
"미분 가능성과 연속성을 조사하시오."— 장대경 선생님 특강 (원본 전사 13:44) · 이 단원의 물음은 늘 이 한 줄이다
x = 2 에서 연속이지만 미분가능하지 않다 (좌 −1, 우 +1)
문제 2C절댓값인데 미분이 되는 경우
함수 \(f(x)=x|x|\) 가 \(x=0\) 에서 미분가능한지 조사하고, 미분가능하면 \(f'(0)\) 을 구하라.
⭐ 여기가 고비 — 「절댓값 = 미분 안 됨」이라고 외우면 틀린다
많은 학생이 절댓값만 보면 반사적으로 "꺾이니까 미분 안 돼"라고 씁니다. 그것은 규칙이 아닙니다.
규칙은 오직 하나 — 갈라 쓴 두 조각의 기울기가 같은지입니다.
· \(x>0\) 쪽 : \((x^{2})'=2x\) → \(x=0\) 을 넣으면 0
· \(x<0\) 쪽 : \((-x^{2})'=-2x\) → \(x=0\) 을 넣으면 0
정의로도 \(\displaystyle\lim_{h\to 0\pm}\frac{h|h|-0}{h}=\lim_{h\to 0\pm}|h|=0\) 으로 양쪽 다 0입니다. 두 조각이 「같은 기울기 0」으로 만나기 때문에, 꺾이지 않고 매끄럽게 이어집니다.
문제 1의 \(|x-2|\) 는 \(-1\)과 \(1\)로 만나서 꺾였던 것이고요.
따라서 미분가능하고 \(f'(0)=0\). (실제로 \(f'(x)=2|x|\) 로 모든 실수에서 미분가능하다.)
"절댓값이 보이면 부호로 갈라 두 줄 — 그렇게 쓰는 순간 좌·우가 저절로 갈린다."— 장대경 선생님 제49강 「좌극한과 우극한」 구호
미분가능하다. f′(0) = 0
문제 3B미정계수 · 두 조건을 모두 세운다
함수 \(f(x)=\begin{cases} x^{2}+ax+b & (x\le 1)\\ 3x-2 & (x>1)\end{cases}\) 가 \(x=1\) 에서 미분가능할 때, 상수 \(a,\;b\) 의 값을 구하라.
풀이 — 식이 두 개 필요하니 조건도 두 개를 세운다
⭐ 여기가 고비 — 「미분가능」 한 마디에 조건이 둘 들어 있다
미지수가 \(a,\;b\) 둘인데 조건을 하나만 세우면 답이 안 나옵니다.
여기서 미분가능 ⇒ 연속 이라는 성질이 일을 합니다. 미분가능하다고 했으니 연속은 공짜로 따라옵니다.
그래서 조건이 둘이 됩니다.
· ① 연속 조건 (위가 같다) : 좌극한 = 우극한 = \(f(1)\)
\(\lim\limits_{x\to 1-}(x^{2}+ax+b)=1+a+b\), \(\lim\limits_{x\to 1+}(3x-2)=1\), \(f(1)=1+a+b\)
→ \(1+a+b=1\), 곧 \(\;a+b=0\)
· ② 미분 조건 (밑이 같다) : 좌미분계수 = 우미분계수
\((x^{2}+ax+b)'=2x+a\) 에 \(x=1\) → \(2+a\) · \((3x-2)'=3\)
→ \(2+a=3\) 미지수가 둘이면 조건도 둘 — 연속에서 하나, 미분에서 하나. 이 짝이 이 유형의 전부입니다.
②에서 \(a=1\). 이를 ①에 넣으면 \(1+b=0\) 이므로 \(b=-1\).
검산 ① 연속: 왼쪽 식은 \(x^{2}+x-1\) 이고 \(f(1)=1+1-1=1\), 오른쪽 \(3\cdot 1-2=1\) → 같다 ✓
검산 ② 미분: 좌미분계수 \(2\cdot 1+1=3\), 우미분계수 \(3\) → 같다 ✓ (정의로 구해도 양쪽 3)
"영을 잡으니까 (위가) 같나 안 같나, 밑에도 같나 — 그래서 연속도 되고 미분도 된다."— 장대경 선생님 특강 (원본 전사 15:14~15:31)
a = 1, b = −1
문제 4B미정계수 · 삼차와 이차가 만난다
함수 \(f(x)=\begin{cases} x^{3}+ax & (x\le 2)\\ bx^{2}-4 & (x>2)\end{cases}\) 가 \(x=2\) 에서 미분가능할 때, 상수 \(a,\;b\) 의 값을 구하라.
풀이 — 두 조건을 세워 연립한다
① 연속 조건: \(2^{3}+2a=b\cdot 2^{2}-4\) → \(8+2a=4b-4\)
② 미분 조건: \((x^{3}+ax)'=3x^{2}+a\) 에 \(x=2\) → \(12+a\), \((bx^{2}-4)'=2bx\) 에 \(x=2\) → \(4b\). 따라서 \(12+a=4b\)
⭐ 여기가 고비 — 두 식이 「같은 4b」를 품고 있다
여기서 무턱대고 대입하면 계산이 길어집니다. 두 식을 나란히 놓고 보세요 —
①의 우변에도 \(4b\), ②의 우변에도 \(4b\) 가 있습니다.
②에서 \(4b=12+a\) 이므로 이것을 ①에 통째로 갈아 끼웁니다:
\(8+2a=(12+a)-4=8+a\) → \(2a-a=0\) → \(a=0\)
그러면 \(4b=12+0=12\) 이므로 \(b=3\). 미지수를 하나씩 없애는 것이 아니라, 두 식에 공통으로 들어 있는 덩어리를 통째로 옮기는 것이 짧은 길입니다.
검산 ① 연속: 왼쪽 \(f(2)=2^{3}+0=8\), 오른쪽 \(3\cdot 4-4=8\) → 같다 ✓
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 연속 조건만 세우면\(8+2a=4b-4\) 하나만으로는 \(a\) 와 \(b\) 가 무수히 많이 나옵니다 (예: \(a=2,\;b=4\)).
\(a=2,\;b=4\) 를 넣어 보면 이어지기는 합니다(양쪽 \(f(2)=12\)). 그런데 기울기는 좌 \(14\), 우 \(16\) 으로 꺾입니다.→ 「미분가능」이라는 말은 연속 + 기울기 일치. 조건을 둘 다 써야 답이 하나로 정해집니다.
a = 0, b = 3
문제 5B|이차식| 의 꺾인 점 찾기
함수 \(f(x)=|x^{2}-4|\) 가 미분가능하지 않은 \(x\) 의 값을 모두 구하라.
⭐ 여기가 고비 — 후보는 「\(x^2-4=0\) 인 자리」뿐이고, 그중 진짜만 남긴다
절댓값 안이 0이 되는 자리가 후보입니다. 여기서는 \(x=-2,\;2\).
그런데 후보라고 다 꺾이는 것은 아닙니다 — 실제로 좌·우 미분계수를 재 봐야 합니다.
\(x=2\) 에서 :
우 \((x^{2}-4)'=2x \to 4\), 좌 \((4-x^{2})'=-2x \to -4\) → \(4\ne -4\) 꺾인다
\(x=-2\) 에서 :
좌 \(2x \to -4\), 우 \(-2x \to 4\) → \(-4\ne 4\) 꺾인다 왜 이렇게 되나 — 접어 올리면 기울기의 부호가 뒤집히기 때문입니다.
원래 기울기가 \(m\)이었다면 접힌 쪽은 \(-m\) 이 되고, 두 값이 같으려면 \(m=-m\), 곧 \(m=0\) 이어야 합니다.
\(x=\pm 2\) 에서는 \(2x=\pm4\ne 0\) 이므로 반드시 꺾입니다.
한편 \(x=0\) 은 최대점이지만 꺾이지 않는다 — 좌·우 모두 \((4-x^{2})'=-2x=0\) 으로 같다 ✓
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 꼭짓점도 꺾인 점이라고 세면그림에서 \(x=0\) 이 뾰족해 보인다고 세면 답이 3개가 됩니다.
하지만 \(x=0\) 근처는 포물선 \(4-x^{2}\) 한 덩어리일 뿐, 절댓값이 아무 일도 하지 않은 구간입니다.
→ 꺾이는 곳은 절댓값 안이 0이 되면서 부호가 실제로 바뀌는 자리뿐. 답은 두 개.
"x 대신에 영을 넣으니까 … 같나 안 같나? 안 같지. 틀렸어. 그러니까 안 된다."— 장대경 선생님 특강 (원본 전사 14:29~14:54)
x = −2, x = 2 (두 개)
문제 6B절댓값 앞에 x가 붙은 꼴
함수 \(f(x)=x|x-2|\) 에 대하여 \(x=2\) 에서의 연속성과 미분가능성을 조사하라.
풀이 — 앞의 x까지 데리고 갈라 쓴다
⭐ 여기가 고비 — \(|x-2|\) 만 갈라 놓고 앞의 \(x\) 를 잊는다
\(|x-2|\) 를 \(x-2\) 와 \(-(x-2)\) 로 가르는 것까지는 다들 합니다. 그런데
앞에 곱해진 \(x\) 를 함께 데려와 전개하지 않으면 미분에서 반드시 틀립니다.
· \(x\ge 2\) : \(f(x)=x(x-2)=x^{2}-2x\)
· \(x<2\) : \(f(x)=x\cdot\{-(x-2)\}=-x^{2}+2x\) 여기서 「\(|x-2|\) 의 기울기가 \(\pm 1\) 이니까 답도 \(\pm 1\)」이라고 넘겨짚으면 안 됩니다.
\(x\) 가 곱해져 있어 이차식이 되었고, 그 기울기는 자리마다 다릅니다.
연속: \(\lim\limits_{x\to 2-}(-x^{2}+2x)=0\), \(\lim\limits_{x\to 2+}(x^{2}-2x)=0\), \(f(2)=2\cdot 0=0\) → 연속 ✓
우미분계수: \((x^{2}-2x)'=2x-2\) 에 \(x=2\) → \(2\)
좌미분계수: \((-x^{2}+2x)'=-2x+2\) 에 \(x=2\) → \(-2\)
\(2\ne -2\) 이므로 미분가능하지 않다. (정의로 구해도 우 \(2\), 좌 \(-2\) 로 일치)
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 곱의 미분을 건너뛰면"\(x\) 는 그냥 상수처럼 두고 \(|x-2|\) 만 미분" 하면 좌 \(-1\)·우 \(1\) 이라고 쓰게 됩니다.
결론(미분 불가)은 우연히 맞지만 값이 틀립니다. 미분계수를 물으면 그대로 오답이 됩니다.
→ 절댓값이 든 함수는 먼저 전개해서 다항식 두 조각으로 만든 뒤 미분합니다.
x = 2 에서 연속이지만 미분가능하지 않다 (좌 −2, 우 2)
문제 7B이번엔 미분이 되는 경우
함수 \(f(x)=\begin{cases} 2x-2 & (x<1)\\ x^{2}-1 & (x\ge 1)\end{cases}\) 에 대하여 \(x=1\) 에서의 연속성과 미분가능성을 조사하고, 미분가능하면 \(f'(1)\) 을 구하라.
직선과 포물선이라도 만나는 자리의 기울기가 같으면 미분가능하다.
풀이 — 두 조각의 「모양」이 달라도 상관없다
연속: \(\lim\limits_{x\to 1-}(2x-2)=0\), \(\lim\limits_{x\to 1+}(x^{2}-1)=0\), \(f(1)=1-1=0\) → 연속 ✓
⭐ 여기가 고비 — 「직선과 곡선이니까 꺾이겠지」는 눈속임이다
한쪽은 일차식, 다른 쪽은 이차식이라 모양이 다르니 당연히 꺾일 것이라 넘겨짚기 쉽습니다.
그러나 미분가능을 정하는 것은 모양이 아니라 만나는 그 점에서의 기울기 하나입니다.
· 좌미분계수 : \((2x-2)'=2\) → 2 (일차식이니 어디서나 2)
· 우미분계수 : \((x^{2}-1)'=2x\) 에 \(x=1\) → 2 두 값이 같으므로 미분가능하고 \(f'(1)=2\).
직선이 포물선의 \(x=1\) 에서의 접선 역할을 하며 매끄럽게 이어 붙은 것입니다.
(실제로 \(x=1\) 에서 \(y=x^2-1\) 의 접선이 \(y=2x-2\) 입니다.)
함수 \(f(x)=|x-1|+|x-3|\) 에 대하여 ① 미분가능하지 않은 점의 개수를 구하고, ② \(f'(2)\) 의 값을 구하라.
풀이 — 절댓값이 둘이면 수직선을 셋으로 나눈다
⭐ 여기가 고비 — 가운데 구간에서 \(x\) 가 통째로 사라진다
절댓값이 두 개이니 갈리는 자리는 \(x=1\) 과 \(x=3\), 수직선이 세 구간으로 나뉩니다.
그런데 가운데 구간에서 놀라운 일이 일어납니다.
· \(x<1\) : \((1-x)+(3-x)=\mathbf{4-2x}\) → 기울기 \(-2\)
· \(1\le x<3\) : \((x-1)+(3-x)=\mathbf{2}\) → \(x\) 가 서로 지워져 상수 2 → 기울기 \(0\)
· \(x\ge 3\) : \((x-1)+(x-3)=\mathbf{2x-4}\) → 기울기 \(2\) 가운데는 평평한 선분입니다. 두 점 \(1\)과 \(3\) 사이에 있는 점은 두 점까지의 거리의 합이
언제나 \(2\)로 일정하기 때문입니다.
① \(x=1\): 좌 \(-2\), 우 \(0\) → 다르다. \(x=3\): 좌 \(0\), 우 \(2\) → 다르다. 따라서 2개.
② \(x=2\) 는 가운데 구간의 안쪽이고 그 근처에서 \(f(x)=2\) (상수) 이므로 \(f'(2)=0\).
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 절댓값 개수를 그대로 답하면"절댓값이 두 개니까 꺾인 점도 두 개" — 이번에는 우연히 맞습니다.
하지만 \(f(x)=|x-1|+|x-1|=2|x-1|\) 이라면 절댓값은 둘인데 꺾인 점은 하나이고,
\(f(x)=|x^{2}-4|\)(문제 5)는 절댓값이 하나인데 꺾인 점이 둘입니다.
→ 개수를 세는 것이 아니라 구간마다 기울기를 적어 좌·우를 견주는 것이 정답 루트입니다.
① 2개 (x = 1, x = 3) · ② f′(2) = 0
문제 9B참·거짓 판정 · 명제
함수 \(f(x)\) 와 실수 \(a\) 에 대한 다음 설명 중 옳은 것을 모두 고르라.
㉠ \(x=a\) 에서 미분가능하면 \(x=a\) 에서 연속이다.
㉡ \(x=a\) 에서 연속이면 \(x=a\) 에서 미분가능하다.
㉢ \(x=a\) 에서 연속이 아니면 \(x=a\) 에서 미분가능하지 않다.
㉣ \(x=a\) 에서 미분가능하지 않으면 \(x=a\) 에서 연속이 아니다.
㉤ \(x=a\) 에서 좌미분계수와 우미분계수가 모두 존재하면 \(x=a\) 에서 미분가능하다.
풀이 — 반례 하나면 거짓이 판정된다
㉠ 참. \(f(a+h)-f(a)=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\times h \to f'(a)\times 0=0\) 이므로 \(\lim\limits_{h\to 0}f(a+h)=f(a)\).
⭐ 여기가 고비 — ㉡·㉣·㉤ 을 한 방에 무너뜨리는 반례 하나
거짓임을 보이는 데 긴 설명은 필요 없습니다. 반례 하나면 끝입니다.
그리고 그 반례는 \(y=|x|\), \(a=0\) 하나로 충분합니다.
\(y=|x|\) 는 \(x=0\) 에서 연속이지만(양쪽 극한과 함숫값이 모두 0),
좌미분계수 \(-1\), 우미분계수 \(1\) 로 미분불가능합니다. 그러므로 —
· ㉡ 「연속 ⇒ 미분가능」의 반례 → 거짓
· ㉣ 「미분불가능 ⇒ 불연속」의 반례 (미분불가능인데 연속이다) → 거짓
· ㉤ 좌·우 미분계수가 둘 다 존재하지만(\(-1\)과 \(1\)) 미분가능이 아니다 → 거짓.
존재하는 것만으로는 안 되고 「값까지 같아야」 합니다.
㉢ 참. ㉠의 대우이므로 ㉠이 참이면 자동으로 참이다.
따라서 옳은 것은 ㉠, ㉢.
"불연속은 연결이 안 되는 거예요." · "미분 가능하지 않다 — 연결이 안 되면 안 돼."— 장대경 선생님 특강 (원본 전사 17:32 · 17:50)
㉠, ㉢
문제 10A모든 실수에서 미분가능할 조건
함수 \(f(x)=\left|x^{2}-2ax+a+6\right|\) 가 모든 실수 \(x\) 에서 미분가능하도록 하는 정수 \(a\) 의 개수를 구하라.
풀이 — 「접히지 않으려면 꿰뚫지 말아야 한다」
\(g(x)=x^{2}-2ax+a+6\) 이라 두면 \(f(x)=|g(x)|\) 이고, \(g\) 는 아래로 볼록한 이차함수다.
⭐ 여기가 고비 — 미분가능 조건이 「판별식」으로 바뀌는 자리
절댓값은 \(g\) 의 그래프에서 \(x\)축 아래 부분을 위로 접어 올립니다.
접힌 자국이 생기면 그 자리에서 미분이 안 되므로, 애초에 접을 일이 없어야 합니다.
그런데 "접을 일이 없다"는 것은 \(g\) 가 \(x\)축을 꿰뚫고 내려가지 않는다는 뜻입니다.
근의 종류로 갈라 봅니다 —
· 서로 다른 두 실근(\(D>0\)) : 두 근 사이에서 \(g<0\) 이라 그 구간이 접혀 올라오고,
두 근에서 기울기가 \(m \to -m\;(m\ne 0)\) 로 뒤집혀 꺾인다 → 안 된다.
· 중근(\(D=0\)) : \(g(x)=(x-p)^{2}\ge 0\) 이라 접을 부분이 아예 없다.
\(|g|=g\) 그대로이고 그 점에서 \(g'(p)=0\) 이라 매끄럽다 → 된다.
· 실근 없음(\(D<0\)) : \(g>0\) 이라 \(|g|=g\) → 된다. 그래서 조건은 \(D\le 0\) — 등호가 들어간다는 것이 이 문제의 핵심입니다.
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 등호를 빼면"\(x\)축에 닿기만 해도 뾰족해질 것 같으니 \(D<0\)" 이라고 쓰면 \(-2<a<3\), 정수는 4개가 됩니다.
하지만 중근일 때는 \(g(x)=(x-p)^{2}\) 로 이미 0 이상이라 절댓값이 아무것도 바꾸지 않습니다.
\((x-p)^{2}\) 은 \(x=p\) 에서 기울기 0으로 매끄럽게 바닥을 찍고 올라갑니다.
→ 접히는 것은 부호가 실제로 바뀔 때뿐. \(D=0\) 은 포함해야 합니다. 답은 6개.
"이 부분은 엄청나게 중요하다 … 어마어마하게 중요하니까 문제를 풀어 보도록 해라."— 장대경 선생님 특강 (원본 전사 25:13~25:20)
6개
제일 밑에 · 이 방법을 다른 학년·개념에 쓰는 비법
"좌 = 우 인가?" 하나로 고3 수능까지
오늘 익힌 좌미분계수 = 우미분계수는 고2에서 끝나지 않습니다. 조건이 붙는 자리마다 그대로 다시 나타납니다.
① 고2 · 극값과 미분가능
수학Ⅱ · 도함수의 활용
"미분가능한 함수가 \(x=a\) 에서 극값을 가지면 \(f'(a)=0\)" — 미분가능이라는 단서가 반드시 붙습니다. \(y=|x|\) 는 \(x=0\) 에서 극소이지만 \(f'(0)\) 이 없으니까요.
② 고2 · 함수의 연속과 미정계수
수학Ⅱ · 극한과 연속
연속만 물으면 조건이 하나, 미분가능까지 물으면 조건이 둘. 미지수가 몇 개인지 세어 보면 문제가 무엇을 물을지 미리 보입니다.
③ 고2 · 접선의 방정식
수학Ⅱ · 도함수의 활용
두 곡선이 접한다는 말은 「만나고(값이 같고) + 기울기까지 같다」입니다. 미분가능 조건과 완전히 같은 두 식이지요.
④ 고3 · \(|f(x)|\) 와 \(f(|x|)\) 의 미분가능
미적분 · 수능 단골
\(|f(x)|\) 는 \(f\) 가 부호를 바꾸는 자리에서, \(f(|x|)\) 는 \(x=0\) 에서 의심합니다. 문제 10의 「중근이면 통과」가 사차함수로 확장되어 그대로 출제됩니다.
⑤ 고3 · 합성함수의 미분가능
미적분 · 도함수
\(g(f(x))\) 에서는 \(f\) 가 꺾이는 자리와 \(g\) 가 꺾이는 값을 \(f\) 가 지나는 자리, 두 곳을 다 살펴야 합니다. 조사할 점을 빠뜨리지 않는 것이 승부처입니다.
⑥ 교양 · 어디서도 미분되지 않는 함수
해석학 · 수학사
모든 점에서 연속인데 어느 점에서도 미분불가능한 함수가 실제로 있습니다(바이어슈트라스, 1872). "연속 ⇒ 미분가능"이 얼마나 거짓인지를 끝까지 보여 준 예입니다.
※ 이 자료의 열 문항은 장대경 선생님 방법으로 새로 만든 것이며, 모든 답과 좌·우 미분계수를 조각식 미분과 정의(극한) 두 갈래로 직접 검산했습니다. 미정계수 문항은 연속 조건과 미분 조건을 모두 세워 확인했습니다.