YEON MATH · 행복수학

여러 가지 방정식 실전 완전정복
— 복잡하면 치환하거나 강제로 인수분해 · 연습 10제

고차방정식·연립이차방정식·부정방정식 · 장대경 선생님의 특강

연플래닝 ACADEMY

먼저 · 여러 가지 방정식, 네 가지 무기

1
고차방정식은 조립제법·치환 — 3차·4차식은 인수 하나를 찾아 조립제법으로 낮추거나, 반복되는 덩어리를 한 문자로 치환한다.
2
연립이차방정식은 인수분해되는 식부터 — 두 식 중 인수분해되는 식을 먼저 처리해서 관계식을 얻고, 나머지 식에 대입한다.
3
접선·한 쌍의 해 조건은 판별식=0 — 직선과 이차식이 오직 한 점에서 만나면 판별식 D=0이다.
＋
부정방정식은 강제 인수분해 — 정수 조건이 있으면 식을 (일차식)×(일차식)=상수 꼴로 억지로 만들어 약수 쌍을 따진다.

이 개념, 학년마다 이렇게

🐣 초등 (직관)
"반복되는 덩어리를 상자 하나로 묶어서" 생각하는 치환의 감각을 체험한다.
📐 고1 (핵심)
고차방정식 치환·조립제법, 연립이차방정식, 부정방정식.
🎓 고등 (확장)
삼차함수의 그래프와 근의 개수, 복소수 범위의 해, 정수론의 디오판토스 방정식.

🐣 저학년 직관 — "반복되는 덩어리는 상자 하나로"

(사과+배)를 두 번 곱하고, 거기에 (사과+배)를 한 번 더 더하는 계산이 있다고 해봐요. 매번 "사과+배"를 따로 계산하지 말고, "사과+배 = 상자"라고 이름 붙이면 계산이 훨씬 쉬워져요.

반복되는 덩어리 = 치환(대신 문자로 바꾸기)

연습 10제 · 그림 해설

문제 1고차방정식 · 기본
삼차방정식 x³-3x²+2x=0의 모든 실근을 구하라.

풀이 — 공통인수부터

  1. x(x²-3x+2)=x(x-1)(x-2)=0이므로 x=0, 1, 2.
x = 0, 1, 2
문제 2고차방정식 · 조립제법 · 진가
삼차방정식 2x³-x²-5x-2=0의 모든 실근의 곱을 구하라.

풀이 — 조립제법으로 인수 하나씩 찾기

  1. x=2를 대입하면 16-4-10-2=0 — 근이다. 조립제법으로 나누면 (x-2)(2x²+3x+1)=(x-2)(x+1)(2x+1)=0.
  2. 실근은 x=2, -1, -1/2.
  3. 세 실근의 곱: 2×(-1)×(-1/2)=1.
1
문제 3고차방정식 · 치환 · 진가
방정식 (x²+x)²+(x²+x)-56=0을 풀어라.

풀이 — 반복되는 덩어리를 t로 치환

  1. t=x²+x로 치환: t²+t-56=(t+8)(t-7)=0 → t=-8 또는 t=7.
  2. x²+x+8=0(t=-8): 판별식<0, x=(-1±√31 i)/2(허근).
  3. x²+x-7=0(t=7): x=(-1±√29)/2(실근).
x = (−1±√29)/2 또는 (−1±√31 i)/2
문제 4연립이차방정식 · 기본
연립방정식 x-y=1, x²-y²=5를 풀어라.

풀이 — 인수분해되는 식부터

  1. x²-y²=(x-y)(x+y)=5. x-y=1이므로 x+y=5. 연립하면 x=3, y=2.
x=3, y=2
문제 5연립이차방정식 · 진가
연립방정식 x²-4xy+3y²=0, x²+y²=20을 만족하는 실수 x, y에 대하여 x²y²의 최댓값을 구하라.

풀이 — 인수분해되는 식으로 대입 관계 얻기

  1. x²-4xy+3y²=(x-y)(x-3y)=0이므로 x=y 또는 x=3y.
  2. x=y 대입: 2y²=20 → y²=10 → x²y²=100.
  3. x=3y 대입: 10y²=20 → y²=2, x²=18 → x²y²=36.
  4. 최댓값은 100.
100
문제 6판별식 조건 · 진가
연립방정식 y=-x+a, x²+y²=10이 오직 한 쌍의 해를 가질 때, 양수 a의 값을 구하라.

풀이 — 대입 후 판별식=0

  1. 대입: x²+(-x+a)²=10 → 2x²-2ax+(a²-10)=0.
  2. 한 쌍의 해(중근) 조건: D/4=a²-2(a²-10)=-a²+20=0 → a²=20.
  3. 양수이므로 a=2√5.
a = 2√5
문제 7부정방정식 · 기본
방정식 xy-x-y+1=0을 만족하는 정수 x, y의 관계를 구하라.

풀이 — 강제 인수분해

  1. xy-x-y+1=(x-1)(y-1)=0이므로 x=1 또는 y=1.
x=1 또는 y=1
문제 8부정방정식 · 진가
방정식 xy+2x+y-7=0을 만족시키는 자연수 x, y의 값을 구하라.

풀이 — (x+1)(y+2) 꼴로 강제 인수분해

  1. x(y+2)+(y+2)-9=(x+1)(y+2)=9.
  2. 자연수 조건: x+1≥2, y+2≥3. 곱해서 9가 되는 쌍 중 조건 만족은 (3,3)뿐.
  3. x+1=3, y+2=3 → x=2, y=1.
x=2, y=1
문제 9부정방정식 · 근과 계수 · 진가
이차방정식 x²-(a-1)x+a+1=0의 두 근이 모두 정수일 때, 양수 a의 값을 구하라.

풀이 — 근과 계수의 관계로 강제 인수분해

  1. 두 근을 α,β라 하면 α+β=a-1, αβ=a+1.
  2. a를 소거: αβ-(α+β)=2 → (α-1)(β-1)=3.
  3. 곱해서 3이 되는 정수쌍: (1,3),(3,1),(-1,-3),(-3,-1).
  4. (1,3)→α=2,β=4→a=7. (3,1)→같음. (-1,-3)→α=0,β=-2→a=-1(제외). (-3,-1)→a=-1(제외).
  5. 양수 a는 7뿐.
a = 7
문제 10실생활 · 겹치는 조건
두 자연수 x, y의 곱이 xy=12이고 x+y=7일 때, x, y를 구하라.

풀이 — 두 수를 근으로 하는 이차방정식

  1. 두 수는 t²-7t+12=0=(t-3)(t-4)의 근 → t=3, 4.
x=3,y=4 또는 x=4,y=3

제일 밑에 · 이 방법을 다른 학년·개념에 쓰는 비법

"복잡하면 치환하거나 강제로 인수분해" 하나로 함수·정수론까지

여러 가지 방정식에서 익힌 "덩어리는 치환, 정수 조건은 강제 인수분해"라는 눈이, 학년이 올라가면 삼차함수·정수론으로 그대로 이어집니다.

① 고2 · 삼차함수의 그래프와 근의 개수
수학Ⅱ · 미분
삼차방정식의 실근 개수는 삼차함수 그래프가 x축과 몇 번 만나는지로 판단해요. 오늘 배운 조립제법으로 찾은 인수가 그래프의 x절편이 됩니다.
② 고2 · 원과 직선의 위치관계
기하 · 도형의 방정식
원과 직선이 접하는 조건(오늘의 판별식=0)은 원의 중심에서 직선까지 거리=반지름이라는 기하적 조건과 완전히 같은 걸 대수로 확인한 거예요.
③ 고3 · 디오판토스 방정식
정수론
부정방정식은 정수론에서 디오판토스 방정식이라 불려요. 강제 인수분해로 약수 쌍을 찾는 방법이 암호학의 소인수분해 문제와도 연결돼요.
④ 공학 · 복소수와 진동 해석
전자공학
고차방정식의 허근(복소수 해)은 전기회로의 진동·감쇠 현상을 나타내는 데 쓰여요. 실근·허근을 구분하는 오늘의 감각이 실제 공학 계산의 기초예요.
⑤ 암호학 · RSA와 인수분해
정보보안
부정방정식의 "곱해서 특정 수가 되는 정수쌍 찾기"는 RSA 암호의 핵심 원리(큰 수를 소인수분해하기 어려움)와 같은 뿌리의 발상이에요.

도전 · 이 비법만으로 위 학년 문제 풀기

"치환과 강제 인수분해" 하나로 삼차함수·기하·정수론까지. 학년별 3문제씩!

도전 · 고2삼차함수 근의 개수
함수 f(x)=x³-3x에 대해 방정식 f(x)=0의 서로 다른 실근의 개수를 구하라.

풀이

  1. x³-3x=x(x²-3)=0 → x=0, ±√3.
3개
도전 · 고2원과 직선의 위치관계
원 x²+y²=8과 직선 y=x+k가 접할 때, 양수 k의 값을 구하라.

풀이 — 판별식=0

  1. x²+(x+k)²=8 → 2x²+2kx+(k²-8)=0. D/4=k²-2(k²-8)=-k²+16=0 → k=4.
k = 4
도전 · 고3디오판토스 방정식
방정식 3x+5y=1을 만족하는 정수 x, y의 한 쌍을 구하라.

풀이 — 시행착오 또는 유클리드 호제법

  1. x=2, y=-1일 때 6-5=1 ✓.
x=2, y=-1 (한 예)
도전 · 공학복소수 해석
방정식 x²+4=0의 해를 구하고, 이것이 왜 실수 범위에서 해가 없는지 설명하라.

풀이

  1. x²=-4 → x=±2i. 실수의 제곱은 항상 0 이상이라 -4가 될 수 없음.
x = ±2i (허근)
도전 · 암호학인수분해와 암호
부정방정식 (x-3)(y-5)=15를 만족하는 자연수 x, y의 순서쌍의 개수를 구하라.

풀이

  1. 15의 양의 약수쌍: (1,15),(3,5),(5,3),(15,1) — 4가지. (x-3, y-5는 -2 이상이어야 하므로 음의 약수쌍도 확인 필요하나 자연수 조건상 4가지가 유효).
4가지
도전 · 고등치환 응용
방정식 x⁴-5x²+4=0을 풀어라.

풀이 — t=x²로 치환

  1. t²-5t+4=(t-1)(t-4)=0 → t=1 또는 4. x²=1→x=±1, x²=4→x=±2.
x = ±1, ±2
※ 이 자료의 예제 6문항(문제 2·3·5·6·8·9)은 장대경 선생님이 실제 태블릿으로 직접 녹화한 강의 원본(G드라이브)에서 가져와 클로드가 직접 전수 재검산했습니다(안티의 초기 정답 3건 오류를 발견·수정: 실근곱 1, 최댓값 100, a=7). 나머지 문항은 같은 방법을 수학적으로 정확한 값으로 재구성한 교육 자료입니다.
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