YEON MATH · 행복수학

미분계수의 정의 실전 완전정복
— 꼴을 맞춰 넣는 연습 10제

먼저 그냥 넣어 본다 · 0/0 이면 정의식이 열쇠 · 계수는 분모에도 만들어 밖으로 · 가운데가 비면 빼고 더한다 · 장대경 선생님의 특강

연플래닝 ACADEMY

먼저 · 이 다섯 걸음이면 다 풀린다

1
일단 그냥 넣어 본다 — 분모에 넣어서 0이 아니면 그걸로 끝이다. 정의식을 꺼낼 일이 없다. 넣었더니 분모도 0, 분자도 0일 때만 아래로 내려간다.
2
0/0 이면 정의식이 열쇠 — \(f(a)=g(a)=0\) 이면 위아래를 똑같이 \(x-a\) 로 갈라 \(\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(a)}{g'(a)}\) (단 \(g'(a)\neq0\)).
3
계수가 붙으면 분모에도 만들어 준다 — \(f(a+\color{#c47f16}{k}h)\) 가 보이면 분모도 \(\color{#c47f16}{k}h\) 로 만들고, 만들어 준 \(k\) 를 밖으로 꺼낸다. 그래서 값은 \(k\,f'(a)\).
4
가운데가 비었으면 빼고 더한다 — \(f(a+3h)-f(a-2h)\) 처럼 \(f(a)\) 가 없으면, 없는 \(f(a)\) 를 빼고 다시 더해 두 덩이로 가른다. 부호를 조심 — \(-2h\) 쪽은 더해진다.
5
안에 들어 있는 것은 한 번 더 미분 — \(\{f(x)\}^2\) 의 미분계수는 \(2f(a)f'(a)\). 곱은 「앞 미분 뒤 그대로 + 앞 그대로 뒤 미분」.
분모 ≠ 0그냥 대입하면 끝
0/0정의식으로 간다
계수 k밖으로 꺼내 \(k f'(a)\)
가운데가 비면\(f(a)\) 를 빼고 더한다

이 개념, 학년마다 이렇게

🐣 초등 (직관)
"3걸음 가는 동안 15칸 올라갔으면 한 걸음에 5칸" — 간 만큼으로 나눈다는 그 감각이 그대로 이어집니다.
📐 중2~중3 (준비)
일차함수의 기울기 \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\), 인수분해로 약분하기, 무리식의 분모 유리화 — 오늘 쓰는 손기술이 전부 여기서 나옵니다.
🎓 고2 수학Ⅱ (핵심)
미분계수의 정의를 도구로 쓰기 — 계수 맞추기, 두 항 가르기, \(x\to a\) 꼴 위장, 미정계수 정하기. 도함수·접선·속도로 이어집니다.

🐣 저학년 직관 — "몇 걸음 갔는지로 나눠야 한 걸음 값이 나온다"

계단을 3걸음 올라가서 15칸이 올랐다고 해요. 그럼 한 걸음에 몇 칸일까요? 15 ÷ 3 = 5칸이죠. 여기서 3으로 나누는 것을 잊으면 "한 걸음에 15칸"이라는 엉뚱한 답이 나옵니다.

오늘 문제에서 \(f(a+3h)\) 를 보고도 분모를 \(h\) 인 채로 두는 실수가 바로 이것이에요. 3걸음 갔으면 3으로 나눠야 한 걸음 값이 나옵니다. 그래서 \(3\) 을 밖으로 꺼내는 거예요.

3걸음에 15칸 = 한 걸음에 5칸 → \(3f'(a)\) 의 3이 바로 그 3

연습 10제 · 단계별 해설

난이도 배분 — C 2제 · B 7제 · A 1제. 열 문제 모두 정의식으로 맞춰 넣은 값과 컴퓨터 대수로 직접 구한 극한값을 대조했고, 조건을 만족하는 서로 다른 함수 셋에 각각 넣어 셋 다 같은 값이 나오는 것까지 확인했습니다.

문제 1C기본 · 계수 맞추기
미분가능한 함수 \(f(x)\) 에 대하여 \(f'(3)=7\) 일 때, \(\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(3+2h)-f(3)}{h}\) 의 값을 구하여라.

풀이 — 위에 붙은 2를 분모에도 만들어 준다

  1. 먼저 정의식을 옆에 적어 둔다 : \(\displaystyle f'(3)=\lim_{h\to 0}\frac{f(3+h)-f(3)}{h}\).
  2. ⭐ 여기가 고비 — 분자의 \(2h\) 와 분모의 \(h\) 가 짝이 맞지 않는다 정의식은 안에 더한 것과 분모가 같아야 쓸 수 있습니다. 지금 안에는 \(2h\), 분모에는 \(h\). 그러니 분모를 \(2h\) 로 만들어 주고, 만들어 준 \(2\) 를 밖으로 꺼냅니다. $$\lim_{h\to 0}\frac{f(3+2h)-f(3)}{h}=2\cdot\lim_{h\to 0}\frac{f(3+2h)-f(3)}{2h}$$ 오른쪽 극한에서 \(2h\) 를 통째로 하나의 \(h\) 로 보면 그대로 \(f'(3)\) 입니다. \(h\to0\) 이면 \(2h\to0\) 이니 자리를 옮겨도 괜찮습니다.
  3. 그래서 값은 \(2f'(3)\).
  4. \(f'(3)=7\) 을 넣으면 \(2\times 7=14\).
"하나씩 하나씩 업데이트 된다는 사실, 충분히 숙지를 하고 따라 봐 주기 바랍니다."— 장대경 선생님 (전사 0:28)
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 2를 안 꺼내면 "안이 \(3+2h\) 니까 그냥 \(f'(3)\) 이겠지" → 답 7 분모를 \(2h\) 로 만들어 주지 않았으니 절반만 센 셈입니다. 정답은 14.

답 : 14

문제 2C기본 · 분모가 커진 꼴
미분가능한 함수 \(f(x)\) 에 대하여 \(f'(3)=7\) 일 때, \(\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(3+h)-f(3)}{3h}\) 의 값을 구하여라.

풀이 — 이번엔 분모가 세 배로 커졌다

  1. 분자는 정의식 그대로 \(f(3+h)-f(3)\) 이다. 손댈 것이 없다.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 분모가 커지면 값은 그만큼 작아진다 \(3h\) 는 \(h\) 의 세 배입니다. 같은 것을 세 배 큰 것으로 나누니 값은 \(\dfrac{1}{3}\) 이 됩니다. $$\lim_{h\to 0}\frac{f(3+h)-f(3)}{3h}=\frac{1}{3}\lim_{h\to 0}\frac{f(3+h)-f(3)}{h}=\frac{1}{3}f'(3)$$ 문제 1과 정반대 방향입니다. 분자 안에 계수가 붙으면 곱해지고, 분모에 계수가 붙으면 나뉜다. 둘을 나란히 놓고 보면 헷갈리지 않습니다.
  3. \(f'(3)=7\) 이므로 \(\dfrac{1}{3}\times 7=\dfrac{7}{3}\).
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 문제 1과 헷갈리면 "계수가 3이니까 \(3f'(3)=21\)" 3이 분모에 있습니다. 곱하는 게 아니라 나눕니다. 정답은 \(\dfrac{7}{3}\).

답 : \(\dfrac{7}{3}\)

문제 3B두 항 가르기
미분가능한 함수 \(f(x)\) 에 대하여 \(f'(1)=6\) 일 때, \(\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(1+3h)-f(1-2h)}{h}\) 의 값을 구하여라.

풀이 — 없는 \(f(1)\) 을 내가 만들어 넣는다

  1. 분자에 \(f(1)\) 이 없다. 이대로는 정의식에 넣을 수가 없다.
  2. ⭐ 여기가 고비 — \(f(1)\) 을 빼고, 곧바로 다시 더한다 빼고 더하면 값은 그대로인데 모양은 정의식 두 개가 됩니다. $$\frac{f(1+3h)-\color{#c47f16}{f(1)}+\color{#c47f16}{f(1)}-f(1-2h)}{h}$$ 앞 덩이는 \(\dfrac{f(1+3h)-f(1)}{h}\to 3f'(1)\), 뒤 덩이는 \(\dfrac{f(1)-f(1-2h)}{h}\). 뒤 덩이를 정의식 꼴로 맞추려면 \(-2h\) 를 하나의 걸음으로 봅니다. \(\dfrac{f(1-2h)-f(1)}{-2h}\to f'(1)\) 이므로, \(\dfrac{f(1)-f(1-2h)}{h}=2\cdot\dfrac{f(1-2h)-f(1)}{-2h}\to 2f'(1)\). 부호가 두 번 뒤집혀 결국 더해집니다.
  3. 그래서 값은 \(3f'(1)+2f'(1)=5f'(1)\).
  4. \(f'(1)=6\) 이므로 \(5\times 6=30\).
"바꿔서 문제를 풀어 줘야 된다."— 장대경 선생님 (전사 7:13)
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 부호를 그대로 빼면 "\(3-2=1\) 이니까 \(1\cdot f'(1)=6\)" 뒤쪽은 \(f(1)\) 에서 빼는 꼴이라 부호가 한 번 더 뒤집힙니다. 3 + 2 = 5. 정답은 30.

답 : 30

문제 4B분모를 인수분해
미분가능한 함수 \(f(x)\) 가 \(f(2)=5,\; f'(2)=-3\) 을 만족할 때, \(\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{f(x)-5}{x^{2}-4}\) 의 값을 구하여라.

풀이 — 분모에서 \((x-2)\) 를 끄집어낸다

  1. 먼저 넣어 본다. \(x=2\) 에서 분자는 \(f(2)-5=0\), 분모는 \(4-4=0\). 0/0 꼴이다.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 정의식이 쓸 수 있게 \((x-2)\) 를 만들어 준다 분자는 \(f(x)-f(2)\) 이니 분모에 \((x-2)\) 만 있으면 바로 \(f'(2)\) 입니다. 그래서 분모를 \(x^{2}-4=(x-2)(x+2)\) 로 갈라 놓습니다. $$\frac{f(x)-f(2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{f(x)-f(2)}{x-2}\cdot\frac{1}{x+2}$$ 앞은 \(f'(2)\) 로 가고, 뒤는 극한과 아무 상관 없는 보통 식이라 \(x=2\) 를 그냥 넣으면 \(\dfrac14\). 가를 수 있으면 갈라라 — 이게 이 갈래의 전부입니다.
  3. 그래서 값은 \(f'(2)\times\dfrac{1}{2+2}=\dfrac{f'(2)}{4}\).
  4. \(f'(2)=-3\) 이므로 \(-\dfrac34\).
"각각 (하나씩) 나눠 놓으란 얘기야."— 장대경 선생님 (전사 21:24)

답 : \(-\dfrac{3}{4}\)

문제 5B\(x\to a\) 꼴 위장
미분가능한 함수 \(f(x)\) 가 \(f(1)=4,\; f'(1)=2\) 를 만족할 때, \(\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x\,f(1)-f(x)}{x-1}\) 의 값을 구하여라.

풀이 — 분자를 두 덩이로 가른다

  1. 넣어 보면 분자는 \(1\cdot f(1)-f(1)=0\), 분모도 \(0\). 0/0 꼴이다.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 분자에 \(f(1)\) 을 한 번 더 빼고 더한다 \(x f(1)-f(x)\) 안에는 \(f(x)-f(1)\) 이 숨어 있습니다. 꺼내 보이게 만듭니다. $$x f(1)-f(x)=\underbrace{f(1)(x-1)}_{①}-\underbrace{\bigl(f(x)-f(1)\bigr)}_{②}$$ 확인해 보면 \(f(1)x-f(1)-f(x)+f(1)=xf(1)-f(x)\) 로 원래 식과 똑같습니다. 없던 \(f(1)\) 을 넣었다 뺐다 했을 뿐이니 값이 변할 리가 없습니다.
  3. \((x-1)\) 로 나누면 ① → \(f(1)\), ② → \(f'(1)\).
  4. 그래서 값은 \(f(1)-f'(1)=4-2=2\).
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 부호를 놓치면 "두 덩이를 더해서 \(f(1)+f'(1)=4+2=6\)" ②는 원래 식에서 빼는 자리에 있었습니다. \(f(1)-f'(1)=4-2=2\).

답 : 2

문제 6B구체적인 f 로 확인
\(f(x)=x^{3}-2x\) 일 때, \(\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(1+2h)-f(1-h)}{h}\) 의 값을 구하여라.

풀이 — 함수가 주어져도 방법은 똑같다

  1. \(f'(x)=3x^{2}-2\) 이므로 \(f'(1)=3-2=1\).
  2. ⭐ 여기가 고비 — 전개하지 말고 「가르기」로 간다 \((1+2h)^{3}\) 을 펼치면 계산이 길어집니다. 문제 3과 똑같은 꼴임을 알아보는 것이 요령입니다. $$\lim_{h\to 0}\frac{f(1+2h)-f(1-h)}{h}=(2+1)f'(1)=3f'(1)$$ 두 걸음의 폭이 각각 \(+2h\) 와 \(-h\). 서로 반대쪽이므로 폭이 더해져 \(2+1=3\). 안이 \(f(a+ph)-f(a-qh)\) 꼴이면 답은 \((p+q)f'(a)\) 라고 통째로 익혀 두면 빠릅니다.
  3. 그래서 값은 \(3\times 1=3\).
  4. 전개해서 확인해도 같다 : \(f(1+2h)=8h^{3}+12h^{2}+2h-1\), \(f(1-h)=-h^{3}+3h^{2}-h-1\), 차는 \(9h^{3}+9h^{2}+3h\). \(h\) 로 나누면 \(9h^{2}+9h+3\) 이고 \(h\to0\) 하면 3 ✓
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 뒤쪽을 빼면 "\(2-1=1\) 이니까 \(1\cdot f'(1)=1\)" 두 걸음이 서로 반대쪽으로 갔으니 폭이 더해집니다. \((2+1)f'(1)=3\).

답 : 3

문제 7B제곱꼴 · 안을 한 번 더
미분가능한 함수 \(f(x)\) 가 \(f(1)=2,\; f'(1)=-4\) 를 만족할 때, \(\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\{f(1+h)\}^{2}-\{f(1)\}^{2}}{h}\) 의 값을 구하여라.

풀이 — \(g(x)=\{f(x)\}^{2}\) 라 두면 이건 그냥 \(g'(1)\)

  1. \(g(x)=\{f(x)\}^{2}\) 로 두면 구하는 것은 \(\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{g(1+h)-g(1)}{h}=g'(1)\) 이다.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 제곱은 「곱」으로 보고 두 번 미분한다 \(\{f(x)\}^{2}=f(x)\cdot f(x)\) 입니다. 곱의 미분 구호 「앞 미분 뒤 그대로 + 앞 그대로 뒤 미분」 을 그대로 쓰면 $$g'(x)=f'(x)f(x)+f(x)f'(x)=2f(x)f'(x)$$ 지수 2가 앞으로 내려오고, 안에 들어 있는 \(f(x)\) 를 한 번 더 미분해 곱하는 것과 같습니다. \(\{f(x)\}^{n}\) 이면 \(n\{f(x)\}^{n-1}f'(x)\) — 같은 이야기입니다.
  3. \(g'(1)=2f(1)f'(1)=2\times 2\times(-4)\).
  4. 계산하면 \(-16\).
"f(x) 하고, 요 안에 들어있는 것을 한번 더 미분을 해준다."— 장대경 선생님 (전사 11:48~11:57)
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 안을 안 미분하면 "\(\{f(x)\}^{2}\) 의 미분은 \(2f(x)\)" → \(2\times 2=4\) 안쪽 \(f(x)\) 를 한 번 더 미분해 곱해야 합니다. \(2f(1)f'(1)=-16\).

답 : \(-16\)

문제 8B분모가 무리식
미분가능한 함수 \(f(x)\) 에 대하여 \(f'(2)=3\) 일 때, \(\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{f(x)-f(2)}{\sqrt{x}-\sqrt{2}}\) 의 값을 구하여라.

풀이 — 분모에 \((x-2)\) 를 만들어 넣는다

  1. 넣어 보면 분자도 0, 분모도 0. 0/0 꼴이다.
  2. ⭐ 여기가 고비 — \(\sqrt{x}-\sqrt{2}\) 를 \((x-2)\) 로 바꿔 준다 정의식이 쓰이려면 분모가 \((x-2)\) 여야 합니다. 그래서 없는 \((x-2)\) 를 곱하고 나누어 만듭니다. $$\frac{f(x)-f(2)}{\sqrt{x}-\sqrt{2}}=\frac{f(x)-f(2)}{x-2}\cdot\frac{x-2}{\sqrt{x}-\sqrt{2}}$$ 뒤쪽은 \(x-2=(\sqrt{x}-\sqrt{2})(\sqrt{x}+\sqrt{2})\) 이므로 약분되어 \(\sqrt{x}+\sqrt{2}\) 만 남습니다. 유리화 대신 「곱하고 나누기」 로 보면 훨씬 빠릅니다.
  3. 앞은 \(f'(2)\), 뒤는 \(x=2\) 를 넣어 \(\sqrt2+\sqrt2=2\sqrt2\).
  4. 그래서 값은 \(3\times 2\sqrt2=6\sqrt2\).
"분자를 미분 하라 그랬다."— 장대경 선생님 (전사 5:44)
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 분모를 그대로 정의식에 넣으면 "분모가 \(\sqrt{x}-\sqrt2\) 니까 그냥 \(f'(2)=3\)" 정의식의 분모는 반드시 \(x-2\) 여야 합니다. 바꿔 준 값 \(2\sqrt2\) 를 곱해 \(6\sqrt2\).

답 : \(6\sqrt{2}\)

문제 9B미정계수 정하기
\(\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x^{3}+ax+b}{x-1}=5\) 가 성립할 때, 상수 \(a,\;b\) 의 값을 구하여라.

풀이 — 분모가 0으로 가는데 값이 나왔다면, 분자도 0이다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 「극한값이 있다」는 말이 곧 조건이다 \(x\to1\) 이면 분모 \((x-1)\to 0\). 그런데 극한값이 5 라는 유한한 값으로 나왔습니다. 분자가 0이 아니었다면 값이 한없이 커져 5가 될 수 없습니다. 그러므로 분자도 반드시 0이어야 합니다. $$1+a+b=0 \quad\cdots\;①$$ 이것이 「미정계수 문제」의 첫 단추입니다. 분모 → 0 이고 극한값이 유한하면 분자 → 0. 거꾸로 생각하지 마십시오 — 분자가 0이라고 늘 극한값이 있는 것은 아닙니다.
  2. 이제 \(g(x)=x^{3}+ax+b\) 라 두면 \(g(1)=0\) 이므로, 남은 극한은 곧 정의식이다 : \(\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{g(x)-g(1)}{x-1}=g'(1)\).
  3. \(g'(x)=3x^{2}+a\) 이므로 \(g'(1)=3+a\). 이것이 5이므로 \(a=2\).
  4. ①에 넣으면 \(1+2+b=0\), 곧 \(b=-3\).
  5. 되돌려 확인 : \(\dfrac{x^{3}+2x-3}{x-1}=\dfrac{(x-1)(x^{2}+x+3)}{x-1}=x^{2}+x+3\to 1+1+3=5\) ✓
"새로운 하나의 공식으로 문제를 풀었다."— 장대경 선생님 (전사 12:46)

답 : \(a=2,\;b=-3\)

문제 10A조건 바꾸기 + 안쪽이 \(x^2\)
미분가능한 함수 \(f(x)\) 가 \(f(1)=2\) 이고 \(\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1-h)}{h}=8\) 을 만족한다. 이때 \(\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x^{2}f(1)-f(x^{2})}{x-1}\) 의 값을 구하여라.

풀이 — ① 주어진 조건을 \(f'(1)\) 로 바꾸고 ② 안쪽 \(x^{2}\) 를 짝지어 준다

  1. 먼저 조건. \(f(1+h)-f(1-h)\) 는 가운데가 비었으니 \(f(1)\) 을 빼고 더한다 → \((1+1)f'(1)=2f'(1)=8\), 곧 \(f'(1)=4\).
  2. 구하는 식도 넣어 보면 분자 \(=1\cdot f(1)-f(1)=0\), 분모 \(=0\). 0/0 꼴이다.
  3. 분자를 두 덩이로 가른다 : \(x^{2}f(1)-f(x^{2})=f(1)(x^{2}-1)-\bigl(f(x^{2})-f(1)\bigr)\).
  4. ⭐ 여기가 고비 — 뒤 덩이의 분모는 \((x-1)\) 이 아니라 \((x^{2}-1)\) 이어야 한다 \(f(x^{2})-f(1)\) 은 \(x^{2}\) 가 1로 가는 이야기입니다. 그러니 짝이 되는 분모는 \(x^{2}-1\). 없으니 만들어 넣습니다. $$\frac{f(x^{2})-f(1)}{x-1}=\frac{f(x^{2})-f(1)}{x^{2}-1}\cdot\frac{x^{2}-1}{x-1}$$ 앞은 \(x\to1\) 일 때 \(x^{2}\to1\) 이므로 \(f'(1)\) 로 갑니다. 뒤는 \(\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1\to 2\). 그래서 뒤 덩이는 \(2f'(1)\) 입니다. 여기서 \(f'(1)\) 하나만 적고 2를 빠뜨리는 것이 이 문제의 함정입니다.
  5. 앞 덩이는 \(f(1)\cdot\dfrac{x^{2}-1}{x-1}\to 2f(1)\).
  6. 그래서 값은 \(2f(1)-2f'(1)=2\times 2-2\times 4=4-8=-4\).
"와, 이거 까딱하면 실수 할 수 있었다. … 반드시 숙지를 하도록 하자."— 장대경 선생님 (전사 18:02~18:12)
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — \(x^{2}\) 을 그냥 \(x\) 처럼 다루면 "뒤 덩이는 \(f'(1)=4\), 앞 덩이는 \(f(1)=2\) → \(2-4=-2\)" 앞뒤 둘 다 \(\dfrac{x^{2}-1}{x-1}=x+1\to2\) 가 곱해집니다. \(2(f(1)-f'(1))=-4\).

답 : \(-4\)

한 걸음 더 · 이 손기술이 어디로 이어지나

정의식 하나로 여기까지 간다

오늘 익힌 「가르기 · 만들어 넣기」는 앞으로 계속 같은 얼굴로 나타납니다.

① 고2 · 도함수와 접선
수학Ⅱ · 미분
\(x=a\) 에서의 접선의 기울기가 곧 \(f'(a)\). 오늘 구한 값이 그대로 접선의 기울기가 됩니다.
② 고2 · 곱의 미분법과 몫의 미분법
수학Ⅱ · 미분
"앞 미분 뒤 그대로 + 앞 그대로 뒤 미분" — 문제 7에서 쓴 그 구호가 공식으로 정리되어 나옵니다.
③ 고2 · 합성함수의 미분 (미적분)
미적분 · 여러 가지 미분법
\(\{f(x)\}^{n}\) 이나 \(f(x^{2})\) 처럼 안에 무언가 들어 있는 꼴. 문제 10에서 \(x^{2}-1\) 을 만들어 넣은 것이 바로 연쇄법칙의 뿌리입니다.
④ 고2 · 미정계수 정하기
수학Ⅱ · 함수의 극한
"분모 → 0 인데 극한값이 있으면 분자 → 0" (문제 9). 연속·미분가능 조건으로 \(a,b\) 를 정하는 모든 문항의 첫 단추입니다.
⑤ 실생활 · 순간속도와 순간변화율
물리 · 과학
위치 \(s(t)\) 의 \(t=a\) 에서의 미분계수가 그 순간의 속도. 문제 1의 \(2f'(3)\) 은 시간을 두 배 빠르게 재면 값도 두 배라는 이야기와 같습니다.
⑥ 경시 · 대칭차분과 수치미분
수치해석 · 경시수학
문제 10의 조건에 나온 \(f(a+h)-f(a-h)\) 를 \(2h\) 로 나눈 \(\dfrac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}\) 는 대칭차분이라 불리며, 컴퓨터가 미분을 어림잡을 때 실제로 쓰는 식입니다. 한쪽만 보는 것보다 훨씬 정확해요.
◀ 특강 영상으로 돌아가기 · 미분계수의 정의 실전

※ 열 문제 모두 정의식으로 맞춰 넣어 얻은 값과 컴퓨터 대수로 직접 구한 극한값을 대조했고, 조건을 만족하는 서로 다른 함수 셋에 각각 넣어 셋 다 같은 값이 나오는 것까지 확인했습니다. 청록 상자(구호)는 특강 전사에 실제로 남아 있는 선생님 말씀만 옮긴 것입니다.