먼저 · 등비수열, 네 가지 무기
1
등비수열 판별 — 이웃한 항의 비(다음 항÷앞 항)가 항상 같은 값(공비 r)이면 등비수열이다.
2
일반항 — 첫째항 a, 공비 r인 등비수열의 n번째 항은 aₙ = a·rⁿ⁻¹.
3
등비수열의 합 — Sₙ = a(rⁿ−1)/(r−1) (r≠1일 때).
＋
S₂ₙ/Sₙ 비율 활용 — S₂ₙ = Sₙ(rⁿ+1) 관계를 이용하면 공비를 먼저 구할 수 있다.
이 개념, 학년마다 이렇게
🐣 초등 (직관)
"세균이 2배씩 늘어나는" 배가 현상으로 곱해서 커지는 감각을 체험한다.
📐 고2 (핵심)
등비수열 판별, 일반항, 합 공식, S₂ₙ/Sₙ 비율 활용.
🎓 고등 (확장)
등비급수(무한등비급수의 합), 복리 계산, 방사성 붕괴 모델.
🐣 저학년 직관 — "세균이 2배씩 늘어난다"
세균 1마리가 1시간마다 2배씩 늘어난다고 해봐요. 1시간 후엔 2마리, 2시간 후엔 4마리, 3시간 후엔 8마리… 계속 곱해서 늘어나요. 이게 바로 등비수열이에요.
계속 곱해서 커지는(작아지는) 수열 = 등비수열
연습 10제 · 그림 해설
문제 1등비수열 판별 · 기본
수열 2, 6, 18, 54, ...의 공비를 구하고, 다음 항을 구하라.
풀이 — 이웃한 항의 비 확인
- 6÷2=3, 18÷6=3, 54÷18=3. 공비 3. 다음 항: 54×3=162.
공비 3, 다음 항 162
문제 2일반항 · 기본
첫째항이 3, 공비가 2인 등비수열의 제5항을 구하라.
풀이 — aₙ=a·rⁿ⁻¹
- a₅=3×2⁴=3×16=48.
48
문제 3등비수열의 합 · 기본
첫째항이 2, 공비가 3인 등비수열의 첫째항부터 제4항까지의 합을 구하라.
풀이 — Sₙ=a(rⁿ−1)/(r−1)
- S₄=2(3⁴−1)/(3−1)=2×80/2=80.
80
문제 4S₂ₙ/Sₙ 비율 활용 · 진가
첫째항이 a, 공비가 r인 등비수열의 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sₙ이라 하자. S₃=78, S₆=2184일 때, 첫째항 a의 값을 구하라.
풀이 — S₆/S₃ = rⁿ+1 관계 이용
- S₆ = a(r⁶−1)/(r−1) = a(r³−1)(r³+1)/(r−1) = S₃×(r³+1).
- 2184/78 = r³+1 = 28 → r³=27 → r=3.
- S₃=a(27−1)/(3−1)=13a=78 → a=6.
a = 6
문제 5등비중항
x, 6, x+5가 이 순서로 등비수열을 이룰 때, 양수 x의 값을 구하라.
풀이 — 등비중항: (가운데)²=양옆의 곱
- 6²=x(x+5) → x²+5x−36=0 → (x+9)(x−4)=0 → x=4(양수).
x = 4
문제 6등비수열 판별 · 응용
다음 중 등비수열이 아닌 것을 고르라. ① 1,2,4,8 ② 3,6,9,12 ③ 81,27,9,3
풀이
- ①③은 공비가 각각 2, 1/3로 일정. ②는 차이는 3으로 일정하지만 비는 2,1.5,1.33...으로 다름(등차수열).
② (등차수열이지 등비수열이 아님)
문제 7일반항 역산
등비수열 1, 3, 9, ...에서 처음으로 1000을 넘는 항은 제몇 항인지 구하라.
풀이
- aₙ=3ⁿ⁻¹. 3⁶=729, 3⁷=2187. 제8항(n-1=7)에서 1000을 넘음.
제8항 (2187)
문제 8합 공식 응용
첫째항이 1, 공비가 -2인 등비수열의 첫째항부터 제5항까지의 합을 구하라.
풀이
- S₅=1×((-2)⁵−1)/(-2−1)=(-32-1)/(-3)=(-33)/(-3)=11.
11
문제 9공비 구하기
등비수열의 제2항이 6, 제5항이 48일 때, 공비를 구하라.
풀이 — a₅/a₂=r³
- a₅/a₂=48/6=8=r³ → r=2.
r = 2
문제 10실생활 · 복리
원금 100만원을 연 10% 복리로 예금할 때, 3년 후 원리합계를 구하라. (등비수열: 매년 1.1배)
풀이
- 100×1.1³=100×1.331=133.1(만원).
133.1만원
제일 밑에 · 이 방법을 다른 학년·개념에 쓰는 비법
"이웃한 항의 비가 같다" 하나로 복리·물리·생물학까지
등비수열에서 익힌 "계속 곱해서 커진다(작아진다)"는 눈이, 학년이 올라가면 복리·물리·생물학으로 그대로 이어집니다.
① 고3 · 무한등비급수
수학Ⅱ · 급수
공비가 |r|<1이면, 무한히 더해도 일정한 값에 수렴해요(S=a/(1-r)). 오늘 배운 합 공식의 극한값이에요.
② 경제 · 복리 이자와 연금
경제·금융
복리 예금·적금·대출 상환액 계산은 전부 등비수열이에요. Q10의 복리 계산이 실제 금융 상품 계산과 똑같아요.
③ 물리학 · 방사성 붕괴
물리학·화학
방사성 물질은 반감기마다 절반씩 줄어들어요 — 공비 1/2인 등비수열이에요. 탄소연대측정법의 핵심 원리예요.
④ 생물학 · 세균 증식
생물학
세균은 일정 시간마다 분열해서 2배씩 늘어나요. 오늘 배운 저학년 직관(세균 2배)이 실제 생물학 모델이에요.
⑤ 컴퓨터과학 · 이진수와 메모리
컴퓨터공학
컴퓨터 메모리 용량(1, 2, 4, 8, 16...GB)은 공비 2인 등비수열이에요. 이진법 체계 전체가 등비수열의 원리로 되어 있어요.
도전 · 이 비법만으로 위 학년 문제 풀기
"계속 곱해서 커진다" 하나로 급수·복리·물리까지. 학년별 3문제씩!
도전 · 고3무한등비급수
첫째항이 4, 공비가 1/2인 무한등비급수의 합을 구하라.
풀이 — S=a/(1-r)
- S=4/(1-1/2)=4/(1/2)=8.
8
도전 · 경제복리 계산
원금 50만원을 연 20% 복리로 2년간 예금하면 원리합계는 얼마인가?
풀이
- 50×1.2²=50×1.44=72(만원).
72만원
도전 · 물리반감기
방사성 물질 800g의 반감기가 5년일 때, 15년 후 남은 양을 구하라.
풀이 — 15년=반감기 3번
- 800×(1/2)³=800/8=100(g).
100g
도전 · 생물세균 증식
세균 1마리가 20분마다 2배로 늘어날 때, 2시간(120분) 후 세균 수를 구하라.
풀이 — 120분÷20분=6번 분열
- 1×2⁶=64마리.
64마리
도전 · 공학메모리 용량
컴퓨터 메모리가 1, 2, 4, 8, ...GB로 늘어날 때, 제10번째 값을 구하라.
도전 · 고등등비수열의 합 응용
등비수열의 첫째항부터 제3항까지의 합이 7, 첫째항부터 제6항까지의 합이 63일 때, 공비 r을 구하라. (단, r>0)
풀이
- S₆/S₃=r³+1=63/7=9 → r³=8 → r=2.
r = 2
※ 이 자료의 예제(문제 4)는 장대경 선생님이 실제 태블릿으로 직접 녹화한 강의 원본(G드라이브)에서 가져와 클로드가 직접 전수 재검산했습니다. 나머지 문항은 같은 방법을 수학적으로 정확한 값으로 재구성한 교육 자료입니다.