먼저 · 여러 가지 부등식, 네 가지 무기
1
연립일차부등식 — 두 부등식을 각각 따로 풀고, 수직선에서 겹치는 구간(공통범위)만 남긴다.
2
절댓값부등식 — |x|≥a이면 x≤−a 또는 x≥a, |x|≤a이면 −a≤x≤a로 풀어낸다.
3
이차부등식 — 인수분해해서 부호가 바뀌는 지점(근)을 기준으로 구간을 나눈다.
＋
항상 성립 조건 — 모든 실수에서 항상 양수이려면 판별식 D<0(위로 볼록이면 항상 음수).
이 개념, 학년마다 이렇게
🐣 초등 (직관)
"두 조건을 동시에 만족하는 곳"을 두 색깔 띠가 겹치는 그림으로 체험한다.
📐 고1 (핵심)
연립일차부등식, 절댓값부등식, 이차부등식, 항상성립조건.
🎓 고등 (확장)
연립이차부등식, 부등식의 영역(도형), 최적화 문제(선형계획법).
🐣 저학년 직관 — "두 조건을 동시에 만족하는 곳"
"5보다 큰 수"이면서 동시에 "10보다 작은 수"를 찾으라고 하면, 6, 7, 8, 9만 해당돼요. 두 조건을 동시에 만족하는 곳만 남기는 거예요.
연습 10제 · 그림 해설
문제 1연립일차부등식 · 기본
연립부등식 x+2>1, x-3<2의 해를 구하라.
풀이 — 각각 풀고 공통범위
- x>-1과 x<5의 공통범위: -1<x<5.
-1 < x < 5
문제 2연립일차부등식 · 진가
연립부등식 2x-1<3, 3x+5≥-4의 해를 구하라.
풀이 — 각각 풀고 수직선에서 겹치는 곳
- 첫 번째: 2x<4 → x<2.
- 두 번째: 3x≥-9 → x≥-3.
- 공통범위: -3≤x<2.
-3 ≤ x < 2
문제 3절댓값부등식 · 기본
부등식 |x|<3의 해를 구하라.
풀이 — |x|≤a는 -a≤x≤a
- -3<x<3.
-3 < x < 3
문제 4절댓값부등식 · 진가
부등식 |x+3|≥4의 해를 구하라.
풀이 — |x|≥a는 x≤-a 또는 x≥a
- x+3≥4 → x≥1 또는 x+3≤-4 → x≤-7.
x ≤ -7 또는 x ≥ 1
문제 5이차부등식 · 기본
이차부등식 x²-5x+6<0의 해를 구하라.
풀이 — 인수분해 후 근 사이
- (x-2)(x-3)<0 → 2<x<3.
2 < x < 3
문제 6이차부등식 · 응용
이차부등식 x²-x-6≥0의 해를 구하라.
풀이 — 인수분해 후 근 바깥쪽
- (x-3)(x+2)≥0 → x≤-2 또는 x≥3.
x ≤ -2 또는 x ≥ 3
문제 7항상 성립 조건
모든 실수 x에 대해 x²+2x+k>0이 항상 성립하도록 하는 k의 범위를 구하라.
풀이 — 판별식 D<0
- D/4=1-k<0 → k>1.
k > 1
문제 8절댓값부등식 응용
부등식 |2x-1|≤5의 해를 구하라.
풀이
- -5≤2x-1≤5 → -4≤2x≤6 → -2≤x≤3.
-2 ≤ x ≤ 3
문제 9해가 없을 조건
이차부등식 x²-4x+m<0의 해가 존재하지 않도록 하는 m의 범위를 구하라.
풀이 — 항상 0 이상이려면 D≤0
- D/4=4-m≤0 → m≥4.
m ≥ 4
문제 10실생활 · 온도 범위
어떤 화학 반응이 일어나려면 온도 x(℃)가 |x-50|≤10을 만족해야 한다. 반응이 일어나는 온도 범위를 구하라.
풀이
- -10≤x-50≤10 → 40≤x≤60.
40℃ ≤ x ≤ 60℃
제일 밑에 · 이 방법을 다른 학년·개념에 쓰는 비법
"각각 풀고 겹치는 곳만" 하나로 도형·최적화·통계까지
여러 가지 부등식에서 익힌 "조건을 각각 풀고 공통범위를 찾는다"는 눈이, 학년이 올라가면 도형·최적화·통계로 그대로 이어집니다.
① 고2 · 부등식의 영역
기하 · 도형의 방정식
여러 부등식을 좌표평면에 그리면 겹치는 영역이 나와요. 오늘 배운 "공통범위" 개념이 1차원(수직선)에서 2차원(평면)으로 확장된 거예요.
② 고3 · 선형계획법(최적화)
경영수학·공학
여러 제약 조건(부등식)을 동시에 만족하면서 이익을 최대화하는 문제가 선형계획법이에요. 공장 생산 계획, 예산 배분 등에 실제로 쓰여요.
③ 통계 · 신뢰구간
확률과 통계
통계의 신뢰구간(예: 평균±오차범위)은 사실 절댓값부등식이에요. |표본평균-모평균|≤오차 형태로 표현돼요.
④ 공학 · 허용오차 범위
품질관리·제조업
부품의 치수가 허용오차 안에 있는지 검사할 때도 절댓값부등식을 써요. Q10의 온도 범위 문제가 실제 공정관리와 같은 원리예요.
⑤ 프로그래밍 · 조건 필터링
컴퓨터공학
데이터베이스에서 여러 조건을 동시에 만족하는 데이터를 찾는 것(AND 조건)이 바로 연립부등식의 공통범위 찾기와 같은 논리예요.
도전 · 이 비법만으로 위 학년 문제 풀기
"각각 풀고 겹치는 곳만" 하나로 도형·최적화·통계까지. 학년별 3문제씩!
도전 · 고2부등식의 영역
부등식 y>x가 나타내는 영역은 직선 y=x의 어느 쪽인가?
풀이
- 점 (0,1)을 대입: 1>0 참 → 직선 위쪽 영역.
직선 y=x의 위쪽
도전 · 고2연립이차부등식
연립부등식 x²-4≤0, x>0의 해를 구하라.
풀이
- -2≤x≤2와 x>0의 공통범위: 0<x≤2.
0 < x ≤ 2
도전 · 경영선형계획법
제약조건 x+y≤10, x≥0, y≥0에서 x=3일 때 y의 최댓값을 구하라.
풀이
- 3+y≤10 → y≤7. 최댓값 7.
y = 7
도전 · 통계신뢰구간
어떤 측정값이 |x-100|≤5를 만족할 때, x의 범위를 구하라.
풀이
- 95≤x≤105.
95 ≤ x ≤ 105
도전 · 공학허용오차
부품의 길이가 |x-20|≤0.5(mm)를 만족해야 합격일 때, 합격 범위를 구하라.
풀이
- 19.5≤x≤20.5(mm).
19.5mm ≤ x ≤ 20.5mm
도전 · 프로그래밍조건 필터링
"나이가 10살 이상 20살 미만"이면서 "점수가 80점 이상"인 조건을 부등식 두 개로 나타내라.
풀이
- 나이 a, 점수 s라 하면: 10≤a<20 그리고 s≥80.
10≤a<20 AND s≥80
※ 이 자료의 예제(문제 2·4)는 장대경 선생님이 실제 태블릿으로 직접 녹화한 강의 원본(G드라이브)에서 가져와 클로드가 직접 전수 재검산했습니다. 나머지 문항은 같은 방법을 수학적으로 정확한 값으로 재구성한 교육 자료입니다.