역·대우와 필요충분조건 실전 완전정복 — 연습 10제

먼저 · 명제 문제를 푸는 무기 여섯 가지

역·이·대우 — 명제 p → q 에서 앞뒤를 바꾼 q → p 가 역, 둘 다 부정한 ~p → ~q 가 이, 바꾸고 부정까지 한 ~q → ~p 가 대우.

원명제와 대우는 한 몸 — 참·거짓이 언제나 같다. 역과 이도 서로 대우라 둘끼리는 같다. 그러나 원명제와 역 사이에는 아무 관계도 없다.

부정하면 "그리고" ↔ "또는" — ~(p 그리고 q) = ~p 또는 ~q. 대우를 만들 때 이걸 놓치면 통째로 틀린다. (집합의 드모르간 법칙과 같은 말)

삼단논법 — p → q 이고 q → r 이면 p → r. 전제가 그대로 안 이어지면 각각의 대우를 다 써 놓는다. 그러면 사슬이 저절로 이어진다.

⭐ 쏙 들어가면 충분, 안 들어가면 필요, 똑같으면 필요충분 — 진리집합이 P ⊂ Q 이면 p → q 이고, 작은 쪽 p 가 충분조건, 큰 쪽 q 가 필요조건.

막히면 대우를 찾아라 — 무슨 말인지 모르겠으면 대우로 바꾼다. 특히 미지수를 구하는 문제는 대우로 바꾸는 순간 그냥 대입 문제가 된다.

이 개념, 학년마다 이렇게

🐣 초등·중등 (직관)

"비가 오면 땅이 젖는다"는 맞아도 "땅이 젖었으면 비가 왔다"는 틀릴 수 있다 — 거꾸로가 늘 맞는 건 아니다.

📐 고1 (핵심)

역·이·대우, 원명제⇔대우, 드모르간 부정, 삼단논법, 필요·충분·필요충분조건, 진리집합의 포함관계.

🎓 그 다음 (확장)

귀류법과 대우증명, 절대부등식, 그리고 컴퓨터의 조건문(if)·논리회로까지 그대로 이어진다.

🐣 먼저 몸으로 — "거꾸로도 맞을까?"

"서울에 살면 대한민국에 산다." 이건 맞습니다. 그러면 거꾸로 "대한민국에 살면 서울에 산다"는 맞을까요? 부산에 사는 사람이 있으니 틀립니다. 이게 역이에요.

그런데 "대한민국에 살지 않으면 서울에 살지 않는다"는 어떨까요? 이건 반드시 맞습니다. 이게 대우예요. 동그라미로 보면 서울이 대한민국 안에 쏙 들어가 있으니, 바깥에 있으면 안쪽에도 없는 게 당연하지요.

역은 틀릴 수 있다 · 대우는 언제나 맞다

연습 10제 · 전부 손으로 검산한 해설

문제 1역·대우 · 기본

명제 「x = 3 이면 x² = 9 이다」 의 역과 대우를 각각 쓰고, 참·거짓을 판정하라.

풀이 — 역은 앞뒤를 바꾸고, 대우는 바꾸고 부정까지

원명제는 참이다: x = 3 ⇒ x² = 9. ✔
역 : x² = 9 이면 x = 3 이다 → 거짓
반례 x = −3 — (−3)² = 9 인데 x ≠ 3.
대우 : x² ≠ 9 이면 x ≠ 3 이다 → 참
원명제가 참이므로 대우도 따져 볼 것도 없이 참이다.

역 : x²=9 ⇒ x=3 (거짓) / 대우 : x²≠9 ⇒ x≠3 (참)

문제 2이(裏) · 기본

명제 「x > 2 이면 x > 1 이다」 에 대하여 이(裏)와 대우를 쓰고 각각의 참·거짓을 판정하라.

풀이 — 이는 "역의 대우"라서 역과 운명을 같이한다

이 : x ≤ 2 이면 x ≤ 1 이다 → 거짓
반례 x = 1.5 — 1.5 ≤ 2 인데 1.5 > 1.
대우 : x ≤ 1 이면 x ≤ 2 이다 → 참 (원명제가 참이므로)
확인 — 역 「x > 1 이면 x > 2」 도 같은 반례 x = 1.5 로 거짓이다. 이는 역의 대우이므로 역과 참·거짓이 같아야 한다. 둘 다 거짓 ✔ 앞뒤가 맞는다.

이 : x≤2 ⇒ x≤1 (거짓) / 대우 : x≤1 ⇒ x≤2 (참)

※ x > 2 의 부정은 x ≤ 2 다. 등호를 빠뜨리면 부정이 아니다.

문제 3드모르간 부정 · 기본

다음 조건의 부정을 각각 쓰라.

a = 1 이고 b = 2
x < 0 또는 x > 3

풀이 — "그리고"는 "또는"으로, "또는"은 "그리고"로

(1) a ≠ 1 또는 b ≠ 2
확인 — 둘 다 맞아야 참이던 것이므로, 하나라도 어긋나면 거짓이 된다.
(2) x ≥ 0 그리고 x ≤ 3, 곧 0 ≤ x ≤ 3
확인 — x = 2 는 원래 조건이 거짓이고 부정은 참 ✔ , x = 5 는 원래 조건이 참이고 부정은 거짓 ✔

(1) a≠1 또는 b≠2 / (2) 0 ≤ x ≤ 3

※ 집합으로 쓰면 (A∩B)ᶜ = Aᶜ∪Bᶜ, (A∪B)ᶜ = Aᶜ∩Bᶜ — 드모르간 법칙 그대로다.

문제 4대우로 판정 · 진가

자연수 n 에 대하여 명제 「n 이 짝수가 아니면 n² 도 짝수가 아니다」 의 참·거짓을 대우를 이용해 판정하라.

풀이 — 직접 따지기 어려우면 대우로 뒤집는다

대우는 「n² 이 짝수이면 n 도 짝수이다」.
대우를 확인하자. n 이 홀수라면 n = 2k + 1 로 놓을 수 있고,
n² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1 이므로 홀수다.
즉 n² 이 짝수인데 n 이 홀수인 경우는 없다. 따라서 대우는 참.
원명제와 대우는 한 몸이므로 원명제도 참이다.

참

※ 값으로도 확인 — n=3 ⇒ n²=9(홀수), n=5 ⇒ 25(홀수), n=7 ⇒ 49(홀수) ✔

문제 5필요·충분 판별 · 기본

다음에서 p 는 q 이기 위한 어떤 조건인가? (충분 / 필요 / 필요충분)

p : x = 2 , q : x² = 4
p : x² = 4 , q : |x| = 2
p : x > 1 , q : x > 3

풀이 — 진리집합을 적고 "들어가나?"만 본다

(1) P = {2}, Q = {2, −2} → P ⊊ Q. 작은 쪽이 p 이므로 충분조건. 충분
(x = −2 는 q 는 만족하지만 p 는 아니다 → 필요조건은 아니다)
(2) x² = 4 ⟺ x = ±2 ⟺ |x| = 2 → P = Q = {2, −2}. 필요충분조건. 필요충분
(3) P = {x > 1}, Q = {x > 3} → Q ⊊ P. p 가 큰 쪽이므로 필요조건. 필요
(x = 2 는 p 는 맞고 q 는 아니다 → 충분조건은 아니다)

(1) 충분조건 / (2) 필요충분조건 / (3) 필요조건

문제 6삼단논법 · 진가

세 명제 p → q , q → r , r → s 가 모두 참일 때, 다음 중 반드시 참인 것을 모두 고르라.
ㄱ. p → s ㄴ. s → p ㄷ. ~s → ~p ㄹ. ~p → ~s

풀이 — 사슬을 잇고, 그 사슬의 대우까지 챙긴다

ㄱ : p → q → r → s 로 이어지므로 p → s 는 참
ㄷ : ㄱ의 대우이므로 참
ㄴ : ㄱ의 역이다. 역은 보장되지 않으므로 알 수 없다
ㄹ : ㄱ의 이이고, 이는 역의 대우이므로 역과 운명을 같이한다 → 알 수 없다
확인용 반례 — p: 서울에 산다, q=r=s: 대한민국에 산다 라 하면 ㄱ·ㄷ은 참이지만, 부산 사람 때문에 ㄴ·ㄹ은 거짓이 된다.

ㄱ, ㄷ

문제 7대우로 미지수 · 진가

명제 「x² − 3x + a ≠ 0 이면 x ≠ 2 이다」 가 참이 되도록 하는 상수 a 의 값을 구하라.

풀이 — 대우로 바꾸면 그냥 대입 문제

대우 : x = 2 이면 x² − 3x + a = 0 이다.
x = 2 를 대입 : 4 − 6 + a = 0 → a = 2.
검산 — a = 2 이면 x² − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2) 이므로 x = 2 에서 값이 0 이다 ✔ 대우가 참이니 원명제도 참.

a = 2

문제 8범위 포함 · 충분조건 · 진가

두 조건 p : |x − 1| < 2 , q : a < x < 5 에 대하여, p 가 q 이기 위한 충분조건이 되도록 하는 실수 a 의 최댓값을 구하라.

풀이 — 충분조건이면 P가 Q 속에 쏙 들어가야 한다

|x − 1| < 2 ⟺ −2 < x − 1 < 2 ⟺ −1 < x < 3. 그러므로 P = (−1, 3).
충분조건이므로 p → q, 곧 P ⊂ Q = (a, 5) 이어야 한다.
오른쪽은 3 ≤ 5 로 이미 성립. 왼쪽은 a ≤ −1 이어야 한다.
따라서 a 의 최댓값은 −1.
검산 — a = −1 이면 Q = (−1, 5) ⊃ (−1, 3) = P ✔
a = −0.9 라면 x = −0.95 가 P 에는 있고 Q 에는 없어 깨진다 ✔

a 의 최댓값 = −1

※ 양 끝이 둘 다 뚫린 경계(<)라 a = −1 을 붙일 수 있다. 한쪽이 막힌 경계(≤)였다면 달라진다.

문제 9범위 포함 · 필요조건 · 진가

두 조건 p : |x| ≤ 4 , q : b ≤ x ≤ 3 에 대하여, p 가 q 이기 위한 필요조건이 되도록 하는 실수 b 의 최솟값을 구하라. (단 b ≤ 3)

풀이 — 필요조건이면 방향이 거꾸로다

p 가 q 이기 위한 필요조건 ⟺ q → p ⟺ Q ⊂ P. 화살표 방향을 반대로 잡지 않도록 조심한다.
P : |x| ≤ 4 ⟺ −4 ≤ x ≤ 4, Q = [b, 3].
[b, 3] ⊂ [−4, 4] 이려면 b ≥ −4 (오른쪽은 3 ≤ 4 로 이미 성립).
따라서 b 의 최솟값은 −4.
검산 — b = −4 이면 Q = [−4, 3] ⊂ [−4, 4] = P ✔
b = −5 라면 x = −5 가 Q 에는 있고 P 에는 없다 ✔

b 의 최솟값 = −4

문제 10집합식 ↔ 조건 · 진가

두 조건 p, q 의 진리집합 P, Q 에 대하여 P ∪ Q = Q 가 성립한다. 다음 중 반드시 옳은 것을 모두 고르라.
ㄱ. p 는 q 이기 위한 충분조건이다. ㄴ. q 는 p 이기 위한 충분조건이다.
ㄷ. P ∩ Qᶜ = ∅ ㄹ. Qᶜ ⊂ Pᶜ

풀이 — 집합식을 먼저 포함관계 한 줄로 바꾼다

P ∪ Q = Q 는 P ⊂ Q 와 같은 말이다. (합쳐도 커지지 않는다는 것은 P 가 이미 Q 안에 있다는 뜻)
ㄱ : P ⊂ Q ⟺ p → q 이므로 p 는 충분조건 → 참
ㄴ : q → p 는 보장되지 않는다 (역) → 거짓
반례 P = {1}, Q = {1, 2} 에서 x = 2.
ㄷ : P 안의 원소는 모두 Q 안이므로 Q 밖과는 겹치지 않는다 → 참
ㄹ : P ⊂ Q 의 양변에 여집합을 취하면 Qᶜ ⊂ Pᶜ → 참
이것은 p → q 의 대우 ~q → ~p 를 집합으로 쓴 것이다.

ㄱ, ㄷ, ㄹ

도전 6제 · 한 걸음 더

도전 · 중3대우로 증명하기

자연수 n 에 대하여 「n² 이 3의 배수이면 n 도 3의 배수이다」 가 참임을 대우를 이용해 설명하라.

풀이 — 대우로 바꾸면 경우가 딱 두 가지뿐이다

대우 : 「n 이 3의 배수가 아니면 n² 도 3의 배수가 아니다」.
n 이 3의 배수가 아니면 n = 3k + 1 또는 n = 3k + 2 이다.
n = 3k + 1 : n² = 9k² + 6k + 1 = 3(3k² + 2k) + 1 → 나머지 1
n = 3k + 2 : n² = 9k² + 12k + 4 = 3(3k² + 4k + 1) + 1 → 나머지 1
두 경우 모두 n² 은 3의 배수가 아니다. 따라서 대우가 참이고, 원명제도 참이다.
검산 — n=4 ⇒ 16(나머지 1), n=5 ⇒ 25(나머지 1), n=7 ⇒ 49(나머지 1) ✔

대우가 참이므로 원명제도 참

※ √3 이 무리수임을 보일 때 바로 이 명제를 쓴다. 대우 증명은 귀류법의 짝이다.

도전 · 고1필요충분조건 · 계수 결정

두 조건 p : x² − 5x + 6 = 0 , q : x² − ax + b = 0 에 대하여 p 가 q 이기 위한 필요충분조건이 되도록 하는 상수 a, b 에 대하여 a + b 의 값을 구하라.

풀이 — 필요충분이면 두 진리집합이 아예 같다

x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0 → P = {2, 3}.
필요충분조건이므로 P = Q, 곧 Q = {2, 3}.
두 근이 2, 3 인 이차방정식은 근과 계수의 관계에서 합 a = 2 + 3 = 5, 곱 b = 2 × 3 = 6.
검산 — x² − 5x + 6 이 되어 두 방정식이 완전히 같다 ✔
a + b = 5 + 6 = 11.

a + b = 11

도전 · 고1두 조건의 교집합 · 범위

세 조건 p : −1 ≤ x ≤ 4 , q : x ≥ a , r : x ≤ b 에 대하여, p 가 「q 그리고 r」 이기 위한 충분조건이 되도록 하는 a 의 최댓값과 b 의 최솟값을 구하고, 그 합을 구하라.

풀이 — "그리고"는 교집합, 곧 두 범위가 겹치는 구간

「q 그리고 r」 의 진리집합은 Q ∩ R = [a, b] 이다.
충분조건이므로 P ⊂ Q ∩ R, 곧 [−1, 4] ⊂ [a, b].
왼쪽 끝 : a ≤ −1 → a 의 최댓값 −1.
오른쪽 끝 : b ≥ 4 → b 의 최솟값 4.
양 끝이 둘 다 막힌 경계(≤)이므로 a = −1, b = 4 를 붙여도 된다.
검산 — [−1, 4] ⊂ [−1, 4] ✔ (자기 자신도 부분집합이다)
합 = (−1) + 4 = 3.

a 의 최댓값 −1, b 의 최솟값 4 → 합 3

도전 · 고1이차부등식 + 포함관계

명제 「x² − 2x − 8 > 0 이면 x > k 또는 x < −k 이다」 (단 k > 0) 가 참이 되도록 하는 자연수 k 의 최댓값을 구하라.

풀이 — 양쪽으로 갈라진 범위는 양쪽을 따로 본다

x² − 2x − 8 = (x − 4)(x + 2) > 0 → x < −2 또는 x > 4. 그러므로 P = (−∞, −2) ∪ (4, ∞).
Q = (−∞, −k) ∪ (k, ∞) 이고, 명제가 참이려면 P ⊂ Q 이어야 한다.
오른쪽 : (4, ∞) ⊂ (k, ∞) 이려면 k ≤ 4.
왼쪽 : (−∞, −2) ⊂ (−∞, −k) 이려면 −2 ≤ −k, 곧 k ≤ 2.
두 조건을 모두 만족해야 하므로 k ≤ 2. 자연수이므로 최댓값 2.
검산 — k = 2 이면 Q = (−∞,−2) ∪ (2,∞) 이고 P = (−∞,−2) ∪ (4,∞) ⊂ Q ✔
k = 3 이면 x = −2.5 ∈ P 인데 −2.5 ∉ (−∞,−3) 이라 깨진다 ✔

k 의 최댓값 = 2

※ 왼쪽 조건을 빠뜨리고 오른쪽만 보면 k = 4 라는 오답이 나온다. 갈라진 범위는 반드시 양쪽을 다 본다.

도전 · 고1절댓값 · 방향 함정

실수 x, y 에 대하여 다음을 판정하라.

「x² + y² = 0」 은 「|x| + |y| = 0」 이기 위한 어떤 조건인가?
「xy = 0」 은 「x = 0 이고 y = 0」 이기 위한 어떤 조건인가?

풀이 — 진리집합을 끝까지 풀어 쓴 다음에 견준다

(1) 실수의 제곱은 0 이상이므로 x² + y² = 0 ⟺ x = 0 이고 y = 0.
절댓값도 0 이상이므로 |x| + |y| = 0 ⟺ x = 0 이고 y = 0.
두 진리집합이 모두 {(0, 0)} 으로 완전히 같다 → 필요충분조건.
(2) xy = 0 ⟺ x = 0 또는 y = 0 이고, q 는 x = 0 그리고 y = 0 이다.
Q = {(0,0)} ⊊ P 이므로 q → p 는 참, p → q 는 거짓.
반례 (x, y) = (0, 1) — xy = 0 이지만 y ≠ 0 ✔
p 가 큰 쪽이므로 필요조건.

(1) 필요충분조건 / (2) 필요조건

※ "또는"과 "그리고"를 바꿔 읽으면 답이 통째로 뒤집힌다. 명제 문제에서 가장 흔한 실수다.

도전 · 경시논리 사슬 · 대우 총동원

어느 모임에서 다음 세 가지가 모두 참이라고 한다.

축구를 좋아하는 사람은 야구도 좋아한다.
농구를 좋아하지 않는 사람은 야구도 좋아하지 않는다.
배구를 좋아하는 사람은 농구를 좋아하지 않는다.

이때 반드시 참인 것을 말하라.

풀이 — 각각의 대우를 다 써 놓으면 사슬이 저절로 이어진다

기호로 정리하자. ① 축구 → 야구 ② ~농구 → ~야구 ③ 배구 → ~농구
②의 대우 : 야구 → 농구
③의 대우 : 농구 → ~배구
이어 붙이면 축구 → 야구 → 농구 → ~배구.
따라서 축구를 좋아하는 사람은 배구를 좋아하지 않는다. 그 대우인 배구를 좋아하는 사람은 축구를 좋아하지 않는다 도 참이다.
확인 — ①②③을 모두 만족하는 예 : 축구·야구·농구를 좋아하고 배구는 싫어하는 사람. 결론과 어긋나지 않는다 ✔

축구를 좋아하는 사람은 배구를 좋아하지 않는다

※ 전제가 그대로는 안 이어질 때, 대우를 써서 화살표 방향을 맞춰 주는 것이 핵심이다.

🧭 마지막에 한 번만 더 — 헷갈릴 때 보는 표

시험장에서 흔들리면 이 네 줄만 떠올리면 됩니다.

① 원명제 ⇔ 대우 — 참·거짓이 언제나 같다. 역은 따로 따진다.
② 부정하면 "그리고" ↔ "또는" 이 뒤바뀐다.
③ P ⊂ Q 이면 작은 p 가 충분, 큰 q 가 필요. 같으면 필요충분.
④ "p 가 q 이기 위한" 이면 p 를 왼쪽(작은 쪽 자리)에 놓고 들어가는지 본다.

※ 이 자료의 연습문제는 장대경 선생님 방법으로 새로 만들고 모든 판정·값을 직접 전수 검산한 교육 자료입니다(원본 강의와 숫자·예제가 다를 수 있음).

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