먼저 · 이차함수, 네 가지 무기
1
이차함수 판별 — 식을 전개했을 때 x² 항이 남아있는지 확인한다(x³이면 삼차, x면 일차).
2
표준형(꼭짓점) — 완전제곱식으로 바꾸면 y=a(x−p)²+q 꼴에서 꼭짓점 (p,q)를 바로 읽는다.
3
접선(접할) 조건 — 이차함수와 직선을 연립한 식의 판별식 D=0이면 접한다.
＋
최댓값·최솟값 — 표준형으로 바꾼 꼭짓점의 y좌표가 최댓값(아래로 볼록이면 최솟값).
이 개념, 학년마다 이렇게
🐣 초등 (직관)
"한 변의 길이를 두 번 곱하면 넓이가 되는" 정사각형 그림으로 제곱의 감각을 체험한다.
📐 중3~고1 (핵심)
이차함수 판별, 표준형(꼭짓점), 접선 조건, 최댓값·최솟값.
🎓 고등 (확장)
이차함수의 최대최소 활용(도형·실생활), 이차부등식, 포물선의 방정식(이심률).
🐣 저학년 직관 — "한 변을 두 번 곱하면 넓이"
정사각형의 한 변이 x일 때, 넓이는 x×x = x²이에요. 변의 길이가 1,2,3,4로 늘어나면 넓이는 1,4,9,16으로 점점 더 빠르게 늘어나요. 이게 바로 이차함수 그래프가 휘어지는 이유예요.
x²이 들어간 식 = 이차함수 (곡선으로 휘어짐)
연습 10제 · 그림 해설
문제 1이차함수 판별 · 기본
다음 중 이차함수인 것을 고르라. ① y=3x+1 ② y=x²-2x ③ y=1/x
풀이 — x² 항이 있는지 확인
- ①은 일차함수, ③은 반비례. x²항이 있는 ②만 이차함수.
② y = x² − 2x
문제 2이차함수 판별 · 실생활 · 진가
다음 보기 중 y가 x에 대한 이차함수인 것만을 고르라.
ㄱ. 한 변이 x cm인 정사각형의 둘레 y cm
ㄴ. 한 모서리가 x cm인 정육면체의 부피 y cm³
ㄷ. 가로 x+1, 세로 x+3인 직사각형의 넓이 y cm²
ㄹ. 반지름 x cm인 원의 넓이 y cm²
풀이 — 각 식을 실제로 세워서 차수 확인
- ㄱ. y=4x(1차) · ㄴ. y=x³(3차) · ㄷ. y=(x+1)(x+3)=x²+4x+3(2차) · ㄹ. y=πx²(2차).
ㄷ, ㄹ
문제 3표준형(꼭짓점) · 기본
이차함수 y=x²-6x+5의 꼭짓점의 좌표를 구하라.
풀이 — 완전제곱식으로 변형
- y=(x-3)²-9+5=(x-3)²-4. 꼭짓점 (3,-4).
(3, -4)
문제 4접선(접할) 조건 · 진가
이차함수 y=-x²+2의 그래프와 직선 y=2x+b가 접할 때, 상수 b의 값을 구하라.
풀이 — 연립 후 판별식 D=0
- 연립: -x²+2=2x+b → x²+2x+(b-2)=0.
- 접하므로 D/4=1-(b-2)=3-b=0 → b=3.
b = 3
문제 5최댓값·최솟값
이차함수 y=-2x²+4x+1의 최댓값을 구하라.
풀이 — 표준형의 꼭짓점 y좌표
- y=-2(x²-2x)+1=-2(x-1)²+2+1=-2(x-1)²+3. 위로 볼록이므로 최댓값 3(x=1).
최댓값 3
문제 6교점 개수 판정
이차함수 y=x²-2x+1과 직선 y=x+k가 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 k의 범위를 구하라.
풀이 — 연립 후 D>0
- x²-2x+1=x+k → x²-3x+(1-k)=0. D=9-4(1-k)=4k+5>0 → k>-5/4.
k > −5/4
문제 7평행이동
y=x²을 x축으로 2, y축으로 −3만큼 평행이동한 식을 구하라.
풀이
- x는 (x-2)로, 결과에 -3을 더함: y=(x-2)²-3.
y = (x−2)² − 3
문제 8이차식 인수분해 · 진가
다항식 49x²-16=(ax+b)(ax+c)이 성립할 때, 상수 a,b,c에 대하여 a+b+c의 값을 구하라. (단, b>c)
풀이 — 합차공식
- 49x²-16=(7x-4)(7x+4). a=7, b=4, c=-4. 합: 7+4-4=7.
7
문제 9근의 개수
이차방정식 x²-4x+m=0이 서로 다른 두 실근을 가지도록 하는 m의 범위를 구하라.
풀이
- D/4=4-m>0 → m<4.
m < 4
문제 10실생활 · 최대 넓이
둘레가 20m인 직사각형 텃밭의 넓이가 최대가 되도록 만들 때, 가로의 길이를 구하라.
풀이
- 가로 x, 세로(10-x). 넓이 S=x(10-x)=-x²+10x=-(x-5)²+25. 최댓값은 x=5일 때.
가로 5m (정사각형일 때 최대)
제일 밑에 · 이 방법을 다른 학년·개념에 쓰는 비법
"완전제곱식으로 바꾼다" 하나로 함수·도형·물리까지
이차함수에서 익힌 "표준형으로 바꾸면 꼭짓점이 보인다"는 눈이, 학년이 올라가면 함수·도형·물리로 그대로 이어집니다.
① 고1 · 이차부등식
고1 · 방정식과 부등식
이차부등식도 그래프가 x축 위/아래에 있는 구간을 찾는 문제예요. 오늘 배운 판별식·꼭짓점 감각이 그대로 이어집니다.
② 고2 · 도함수의 극값(제21강)
수학Ⅱ · 도함수
이차함수의 꼭짓점 찾기가 바로 극값 찾기의 원조예요. 삼차함수는 미분해서 이차식을 만들어 같은 방법을 씁니다.
③ 고등 · 포물선의 방정식
기하 · 이차곡선
이차함수 그래프가 사실은 포물선이에요. 초점과 준선을 이용한 포물선의 정의로 확장됩니다.
④ 물리학 · 포물선 운동
물리학·역학
공을 던졌을 때의 궤적이 이차함수(포물선)예요. 최고 높이(최댓값)를 구하는 계산이 오늘 배운 표준형 변환과 완전히 같아요.
⑤ 경제·공학 · 최적화 문제
경제학·공학
이윤·재료·비용을 이차식으로 나타내고 최댓값·최솟값을 찾는 문제는 실생활 최적화의 기본형이에요. 오늘 배운 텃밭 문제(Q10)가 바로 그 예시예요.
도전 · 이 비법만으로 위 학년 문제 풀기
"완전제곱식으로 바꾼다" 하나로 부등식·미분·물리까지. 학년별 3문제씩!
도전 · 고1이차부등식
이차부등식 x²-5x+6<0의 해를 구하라.
풀이
- (x-2)(x-3)<0 → 2<x<3.
2 < x < 3
도전 · 고1이차함수와 부등식
모든 실수 x에 대해 x²-2x+k>0이 항상 성립하도록 하는 k의 범위를 구하라.
풀이
- 항상 양수이려면 D<0: 4-4k<0 → k>1.
k > 1
도전 · 고1최대최소 응용
이차함수 y=x²-4x+7 (0≤x≤3)의 최솟값을 구하라.
풀이
- y=(x-2)²+3. 꼭짓점 x=2가 구간 안에 있으므로 최솟값 3.
최솟값 3 (x=2)
도전 · 고2극값과 이차식
함수 f(x)=x³-3x의 도함수 f'(x)=3x²-3의 근을 구하고, 이것이 무엇을 의미하는지 설명하라.
풀이
- 3x²-3=0 → x=±1. 이 값들이 극값이 나타나는 x좌표(제21강 참고).
x = ±1 (극값의 위치)
도전 · 물리포물선 운동
공을 던졌을 때 높이가 h(t)=-5t²+20t(m)일 때, 최고 높이와 그때의 시각을 구하라.
풀이
- h(t)=-5(t²-4t)=-5(t-2)²+20. 최고 높이 20m, t=2초.
최고 높이 20m (t=2초)
도전 · 경제최적화
가격을 x원 내릴 때마다 판매량이 늘어 매출이 R(x)=-x²+100x+3000(만원)일 때, 매출이 최대가 되는 x값을 구하라.
풀이
- R(x)=-(x-50)²+2500+3000. 최댓값은 x=50일 때.
x = 50
※ 이 자료의 예제 3문항(문제 2·4·8)은 장대경 선생님이 실제 태블릿으로 직접 녹화한 강의 원본(G드라이브)에서 가져와 클로드가 직접 전수 재검산했습니다. 나머지 문항은 같은 방법을 수학적으로 정확한 값으로 재구성한 교육 자료입니다.