먼저 · 무리함수, 네 가지 무기
1
정의역·치역 판별 — 뿌리(근호) 안은 0 이상이어야 해서 정의역이 정해지고, ±부호와 이동값으로 치역이 정해진다.
2
평행이동과 사분면 — y=√(ax+b)+c는 기본형 y=√(ax)를 평행이동한 것. 시작점과 방향으로 사분면을 판별한다.
3
무리방정식 검산 필수 — 양변을 제곱하면 가짜 해(무연근)가 생길 수 있어, 반드시 원래 식에 대입해 검산한다.
＋
제한구간 최대·최소 — 무리함수는 단조증가 또는 단조감소이므로, 구간의 양 끝값만 확인하면 최댓값·최솟값이 나온다.
이 개념, 학년마다 이렇게
🐣 초등 (직관)
"안이 마이너스면 답이 안 나온다"는 것을 넓이·제곱 상황으로 체험한다.
📐 고1 (핵심)
정의역·치역, 평행이동, 무리방정식과 검산, 제한구간 최대최소.
🎓 고등 (확장)
무리함수의 역함수, 무리부등식, 극한·연속(수학Ⅱ)에서의 활용.
🐣 저학년 직관 — "안이 마이너스면 답이 없다"
정사각형의 넓이가 9라면 한 변의 길이는 √9=3이에요. 그런데 넓이가 −4인 정사각형은 있을 수 있을까요? 없어요! 넓이는 절대 음수가 될 수 없으니까요.
그래서 근호(√) 안에 있는 수는 항상 0 이상이어야 해요. 이게 바로 무리함수 정의역의 비밀이에요.
√(안의 수) 는 안의 수 ≥ 0 일 때만 존재
연습 10제 · 그림 해설
문제 1정의역·치역 · 기본
무리함수 y=√(x-2)의 정의역과 치역을 구하라.
풀이 — 근호 안은 0 이상
- 정의역: x-2≥0 → x≥2. 치역: 근호값은 항상 0 이상이므로 y≥0.
정의역 x≥2, 치역 y≥0
문제 2정의역·치역 · 진가
무리함수 y=√(2x-4)+3의 정의역과 치역을 구하라.
풀이 — 근호 안 부호 + 이동값
- 정의역: 2x-4≥0 → x≥2.
- 치역: √(2x-4)≥0이므로 y=√(2x-4)+3 ≥ 3.
정의역 x≥2, 치역 y≥3
문제 3평행이동과 사분면 · 진가
무리함수 y=-√(x+1)+2의 그래프가 지나지 않는 사분면을 구하라.
풀이 — 시작점과 진행 방향을 추적
- 정의역 x≥-1, 시작점 (-1,2) — 2사분면 경계.
- x가 커질수록 y는 계속 감소(단조감소). x=0일 때 y=1(1사분면), x=3일 때 y=0(x축), x>3일 때 y<0(4사분면).
- x가 -1에서 0 사이일 때도 y>0 이므로 3사분면(x<0,y<0)은 절대 지나지 않는다.
제3사분면
문제 4무리방정식 · 검산 필수 · 진가
방정식 √(x+3) = x-3을 풀어라.
풀이 — 제곱한 뒤 반드시 검산
- 양변 제곱: x+3 = (x-3)² = x²-6x+9 → x²-7x+6=0 → (x-1)(x-6)=0.
- x=1 또는 x=6이 나오지만, 우변 x-3은 좌변(근호값)처럼 0 이상이어야 해서 x≥3 조건이 필요.
- x=1: 조건 x≥3 위반 → 무연근(가짜 해). x=6: 대입하면 √9=3=6-3 ✓.
x = 6 (x=1은 검산 시 무연근으로 제외)
문제 5제한구간 최대·최소 · 진가
함수 y=√(6-x)+1 (-3≤x≤2)의 최댓값과 최솟값을 구하라.
풀이 — 단조감소이므로 양 끝값만 확인
- x가 커질수록 6-x는 작아지므로 y는 단조감소.
- x=-3(구간 왼쪽 끝, x최소)에서 y=√9+1=4 — 최댓값.
- x=2(구간 오른쪽 끝, x최대)에서 y=√4+1=3 — 최솟값.
최댓값 4 (x=-3), 최솟값 3 (x=2)
문제 6평행이동
y=√x의 그래프를 x축으로 3만큼, y축으로 -2만큼 평행이동한 함수식을 구하라.
풀이 — x는 빼고, y는 더한다
- x축 방향 이동은 x 대신 (x-3), y축 방향 이동은 결과에 -2를 더함.
y = √(x-3) − 2
문제 7무리식 계산
√8 + √18 - √2를 간단히 하라.
풀이 — 같은 근호로 통일
- √8=2√2, √18=3√2. 2√2+3√2-√2=4√2.
4√2
문제 8정의역 판별
함수 y=√(5-2x)가 정의되는 x의 값의 범위를 구하라.
풀이
- 5-2x≥0 → x≤5/2.
x ≤ 5/2
문제 9평행이동과 사분면
무리함수 y=√(x-2)+1의 그래프가 지나는 사분면을 모두 구하라.
풀이
- 시작점 (2,1) — 1사분면. x가 커지면 y도 커지므로(단조증가), 계속 1사분면에만 머문다.
제1사분면
문제 10실생활 · 낙하 시간
물체가 높이 h(m)에서 떨어질 때 걸리는 시간은 t=√(h/5)(초)로 근사한다. 높이 20m에서 떨어질 때 걸리는 시간을 구하라.
제일 밑에 · 이 방법을 다른 학년·개념에 쓰는 비법
"뿌리 안은 0 이상" 하나로 부등식·극한·공학까지
무리함수에서 익힌 "근호 안은 항상 0 이상"이라는 눈이, 학년이 올라가면 부등식·극한·공학 계산으로 그대로 이어집니다.
① 고1 · 무리부등식
고1 · 방정식과 부등식
무리부등식도 정의역 조건 + 제곱 후 검산이 똑같이 적용돼요. √(x-1)<x-3 같은 문제는 양변이 모두 양수인 범위에서만 제곱해야 해요.
② 고2 · 함수의 극한과 연속
수학Ⅱ · 극한
무리함수의 극한 계산 lim (√(x+1)-1)/x은 분자를 유리화해서 풀어요. 정의역 경계는 연속성 판단에도 그대로 쓰입니다.
③ 고3 · 무리함수의 역함수
고급 수학
무리함수 y=√x의 역함수는 y=x²(x≥0). 정의역·치역이 서로 바뀌는 것을 오늘 배운 치역 판별법으로 확인할 수 있어요.
④ 물리·공학 · 낙하·진동 공식
물리학·공학
낙하 시간, 진자 주기 등 물리 공식에는 근호(√)가 자주 등장해요. "안이 음수면 안 된다"는 원리가 실제 현상의 물리적 제약(음수 시간·질량 없음)과 일치해요.
⑤ 통계 · 표준편차
확률과 통계
표준편차는 √분산으로 정의돼요. 분산은 제곱합이라 항상 0 이상 — 오늘 배운 "근호 안은 0 이상"이 통계에서도 성립하는 이유예요.
도전 · 이 비법만으로 위 학년 문제 풀기
"뿌리 안은 0 이상" 하나로 부등식·극한·역함수까지. 학년별 3문제씩!
도전 · 고1무리부등식
부등식 √(x-1) < 2의 해를 구하라.
풀이 — 정의역 먼저, 그다음 제곱
- 정의역 x≥1. 양변 0 이상이므로 제곱 가능: x-1<4 → x<5.
1 ≤ x < 5
도전 · 고1무리방정식 응용
방정식 √(2x+1) = x-1의 해를 구하라.
풀이
- 조건 x≥1 필요. 제곱: 2x+1=x²-2x+1 → x²-4x=0 → x=0 또는 4.
- x=0은 x≥1 위반 → 제외. x=4 검산: √9=3=4-1 ✓.
x = 4
도전 · 고1역함수 기초
y=√(x-1) (x≥1)의 역함수를 구하라.
풀이 — x,y 바꾸고 다시 정리
- x=√(y-1) → x²=y-1 → y=x²+1 (단, x≥0).
y = x²+1 (x≥0)
도전 · 고2극한 · 유리화
lim(x→0) (√(x+4)-2)/x의 값을 구하라.
풀이 — 분자 유리화
- 분자·분모에 √(x+4)+2를 곱하면 (x+4-4)/(x(√(x+4)+2)) = 1/(√(x+4)+2).
- x→0 대입: 1/(2+2)=1/4.
1/4
도전 · 고2연속성 판별
함수 f(x)=√(x-3)는 x=3에서 연속인가? (단, 정의역 경계도 연속으로 취급)
풀이
- 정의역 x≥3의 경계값 x=3에서 f(3)=0으로 정의되고, x→3+ 극한도 0으로 일치 → 연속.
연속이다 (우극한=함숫값=0)
도전 · 고등공학 연결
진자의 주기 공식은 T=2π√(L/g)이다. 길이 L이 4배가 되면 주기 T는 몇 배가 되는가?
풀이
- √(4L/g)=2√(L/g)이므로 주기는 2배.
2배
※ 이 자료의 예제는 장대경 선생님 방법을 수학적으로 정확한 값으로 재구성·검산한 교육 자료입니다. 모든 계산은 직접 검산했습니다(원본 강의와 숫자·예제가 다를 수 있음).