도형의 이동 완전정복
— 의하여가 나오면 반대로 가라 · 연습 10제

풀이 — 점은 더한다

1. 점을 옮길 때는 옮김량을 그대로 더합니다.
2. \((2+5,\;-3+(-4)) = (7,\,-7)\)
3. 답 : \((7,\,-7)\)

풀이 — 식은 뺀다

1. ⭐ 여기가 고비 — 점과 반대다 점은 더했지만 식은 뺍니다. \(x\) 자리에 \(x-1\), \(y\) 자리에 \(y-4\) 를 넣습니다. 「요렇게 이동하라는 거는 플러스를 하면 안 되고 마이너스를 해야 된다」 — 선생님 말씀 그대로입니다.
2. \(y-4 = 3(x-1)-2\)
3. \(y = 3x-3-2+4 = 3x-1\)
4. 답 : \(y = 3x-1\)

풀이 — 「의하여」를 보면 거꾸로 간다

1. 먼저 옮김량 : \((1-(-3),\; -4-2) = (4,\,-6)\)
2. ⭐ 여기가 고비 — 「의하여」 뒤의 점은 결과다 \((5,-2)\) 는 이미 옮겨진 뒤의 점입니다. 그러니 원래 점을 찾으려면 옮김량을 빼야 합니다. \[(5-4,\;\; -2-(-6)) = (1,\,4)\] 여기서 더해 버리면 \((9,-8)\) 이 나옵니다. 문제에서 「에 의하여」 네 글자를 놓친 것뿐인데 답이 완전히 달라집니다.
3. 되짚기 : \((1,4)\) 에 \((4,-6)\) 을 더하면 \((5,-2)\) ✓
4. 답 : \((1,\,4)\)

풀이 — 옮긴 식을 정리해 계수끼리 견준다

1. \(x \to x-4,\; y \to y-n\) 을 넣습니다. \[3(x-4)-2(y-n)+1=0\]
2. 정리하면 \(3x-2y+2n-11=0\)
3. ⭐ 여기가 고비 — \(x,\,y\) 의 계수는 안 변한다 평행이동은 기울기를 바꾸지 않으므로 \(3,\,-2\) 는 그대로입니다. 상수항만 견주면 됩니다. \[2n-11=-5 \;\Rightarrow\; n=3\]
4. 답 : \(n=3\)

풀이 — 부호 장사

1. \(x\)축 — \(y\) 의 부호만 바뀐다 : \((2,\,5)\)
2. \(y\)축 — \(x\) 의 부호만 바뀐다 : \((-2,\,-5)\)
3. 원점 — 둘 다 바뀐다 : \((-2,\,5)\)
4. \(y=x\) — 자리를 바꾼다 : \((-5,\,2)\)
5. 답 : \((2,5),\;(-2,-5),\;(-2,5),\;(-5,2)\)

풀이 — 대칭시킨 식은 바로 예쁘게

1. \(x\)축 대칭이므로 \(y \to -y\) : \((x-3)^2+(-y+2)^2=k\)
2. ⭐ 여기가 고비 — 여기서 멈추지 마라 제곱 안의 부호는 통째로 뒤집어도 값이 같습니다. 바로 고쳐 놓습니다. \[(x-3)^2+(y-2)^2=k\] 「\((-y+2)^2\) 를 \((y-2)^2\) 으로 요렇게 바꿔 버려라」 — 이걸 안 하면 중심을 \((3,\,2)\) 가 아니라 엉뚱하게 읽습니다.
3. 점 \((6,2)\) 를 넣으면 \((6-3)^2+(2-2)^2=9\)
4. 답 : \(k=9\)

풀이 — 중심은 볼 것도 없다

1. ⭐ 여기가 고비 — 낱말을 바꿔 읽는다 「평행이동해서 겹친다」는 크기가 같다, 곧 반지름이 같다는 뜻입니다. 평행이동은 중심만 옮기고 크기는 건드리지 않으니까요. 「겹친다 그랬다. 그런 얘기는 원이 똑같은 모양이다 … 반지름의 길이가 똑같다라는 뜻이라」
2. 기준 원 : \(x^2+y^2+6x-2y+5=0 \Rightarrow (x+3)^2+(y-1)^2=9+1-5=5\)
3. 〉 \(r^2=5\) ✓   《 \(r^2=9\) ✗   》 \(x^2+y^2+6x+4y+8=0 \Rightarrow (x+3)^2+(y+2)^2=9+4-8=5\) ✓
4. 답 : 〉, 》

풀이 — 이등분 = 중심을 지난다

1. ⭐ 여기가 고비 — 넓이 이야기를 점 이야기로 바꾼다 「원의 넓이를 이등분한다」는 그 직선이 원의 중심을 지난다는 뜻입니다. 「이등분한다라는 말은 원의 중심을 지나가야 된다 … 중심을 지나가면은 그 넓이는 반으로 갈라진다」
2. 옮긴 직선 : \(y-3a = 2(x-a)+1 \Rightarrow y = 2x+a+1\)
3. 중심 \((1,\,-2)\) 를 넣으면 \(-2 = 2+a+1\)
4. 답 : \(a=-5\)
5. 덧붙임 — 옮기는 방향이 직선과 나란하면(여기서는 \(3a/a=3\) 이 기울기 \(2\) 와 같을 때) 직선이 제 위로 미끄러져 식이 하나도 안 변합니다. 그런 문제는 답이 없습니다.

풀이 — 접한다 = 점과 직선 사이 거리

1. 원의 중심은 \((0,\,a)\), 반지름은 \(1\) 입니다.
2. ⭐ 여기가 고비 — 「접한다」를 보면 거리 공식으로 간다 \[\frac{|4\cdot 0 + 3a + 2|}{\sqrt{4^2+3^2}} = 1 \;\Rightarrow\; \frac{|3a+2|}{5}=1\] 「접하였다는 말이 무슨 말이고 … 점과 직선 사이 거리가 얼마? \(1\) 만 되면 되겠다」
3. \(|3a+2|=5\) 이므로 \(3a+2=5\) 또는 \(3a+2=-5\), 곧 \(a=1\) 또는 \(a=-\dfrac{7}{3}\)
4. 답 : \(a=1\) (양수)

풀이 〉 — 대칭이면 쓸 것이 둘이다

1. ⭐ 여기가 고비 — 중점과 수직, 둘을 동시에 대칭이면 〉중점이 \(l\) 위에 있고 〉\(PQ \perp l\) 입니다. 「대칭 이동을 하게 되면은 반드시 수직이 된다 … 기울기끼리 곱하면은 \(-1\)이다」
2. 중점 : \(\left(\dfrac{1+3}{2},\;\dfrac{5+3}{2}\right)=(2,\,4)\)
3. \(PQ\) 의 기울기 \(=\dfrac{3-5}{3-1}=-1\) 이므로 \(l\) 의 기울기는 \(1\)
4. \(y=x+b\) 에 \((2,4)\) 를 넣으면 \(b=2\) ⇒ \(l:\;y=x+2\)
5. 되짚기 : \(P(1,5)\) 를 \(y=x+2\) 에 대칭시키면 \((5-2,\;1+2)=(3,3)=Q\) ✓
6. \(x\)절편 \(-2\), \(y\)절편 \(2\) ⇒ 넓이 \(=\dfrac12\times 2\times 2=2\)
7. 답 〉 : \(l:\;y=x+2\), 넓이 \(2\)

풀이 《 — 한 점을 대칭시켜 곧게 잇는다

1. ⭐ 여기가 고비 — 최소는 언제나 「곧은 선」 꺾인 길이 가장 짧아지는 것은 곧게 펴졌을 때입니다. 그래서 한 점을 직선 너머로 대칭시켜 버립니다. 「최소가 된다는 얘기는 직선이다라는 사실 … 아무 점 하나를 이동을 시켜 버려」
2. \(A(1,2)\) 를 \(y=x\) 에 대칭 ⇒ \(A'(2,\,1)\)
3. \(\overline{AP}+\overline{BP} = \overline{A'P}+\overline{BP} \ge \overline{A'B}\)
4. \(\overline{A'B}=\sqrt{(5-2)^2+(9-1)^2}=\sqrt{9+64}=\sqrt{73}\)
5. 답 《 : \(\sqrt{73}\)