YEON MATH · 행복수학

절대부등식 실전 완전정복
— 형태를 알아보는 눈 · 연습 10제

a와 b는 내가 정한다 · 곱해서 문자가 지워지게 · 상수는 부등식 밖으로 · 부등식은 한 번만 · 코시는 양쪽을 준다 · 장대경 선생님의 특강

연플래닝 ACADEMY

먼저 · 실전은 이 다섯 가지면 끝난다

1
a와 b는 내가 정한다 — \(a + b \ge 2\sqrt{ab}\) 의 a 자리·b 자리에는 한 글자든, 분수 한 덩어리든, 괄호 하나든 통째로 넣을 수 있다. 단 하나의 조건은 \(a \times b\) 를 했을 때 문자가 싹 지워지는 것. 안 지워지면 잘못 묶은 것이다.
2
짝은 만들고, 상수는 밖으로 — \((\text{덩어리 A}) + (\text{덩어리 B}) + (\text{상수 C})\) 꼴로 먼저 바꾼다. 부등식은 A, B 에만 쓰고 C 는 부등식 밖에 세워 두었다가 마지막에 더한다.
3
부등식은 한 번만 쓴다 — 곱해져 있는 두 덩어리에 따로따로 부등식을 쓰고 그 결과를 다시 곱하면 답이 안 나온다. 두 부등식의 등호가 같은 자리에서 서지 않기 때문이다. 먼저 통째로 곱해 펼친 뒤, 남은 두 덩어리에만 한 번 쓴다.
4
코시-슈바르츠는 양쪽을 준다 — \((a^2+b^2)(x^2+y^2) \ge (ax+by)^2\) 의 오른쪽은 전체의 제곱이다. 제곱이 \(k^2\) 이하라는 말은 \(-k \le ax+by \le k\) 라는 뜻. 최댓값을 물으면 \(+k\), 최솟값을 물으면 \(-k\).
5
등호 조건을 못 쓰면 답이 아니다 — 최댓값·최솟값이라고 말하려면 그 값에 실제로 닿을 수 있어야 한다. 등호가 서는 \(x, y\) 를 반드시 구해서 원래 식에 되돌려 넣어 확인한다.
1단계a, b 를 잡는다
2단계곱해서 문자가 지워지나 본다
3단계부등식을 한 번 쓴다
4단계상수를 되돌린다
5단계등호 조건을 확인한다

이 개념, 학년마다 이렇게

🐣 초등 (직관)
끈 20 cm 로 직사각형을 만들 때 가장 넓은 것은 정사각형. 둘레가 정해지면 넓이는 정사각형에서 가장 커진다 — 이것이 바로 산술평균·기하평균이다.
📐 중2~중3 (준비)
제곱은 음수가 될 수 없다 \((A-B)^2 \ge 0\), 제곱근의 성질, 이차함수의 꼭짓점으로 최댓값·최솟값 구하기.
🎓 고1 (핵심)
절대부등식, 산술평균·기하평균, 코시-슈바르츠 부등식, 등호 성립 조건. 고2 미분·고3 최적화 문제로 그대로 이어진다.

🐣 저학년 직관 — "끈 20 cm 로 가장 넓은 마당 만들기"

끈 20 cm 를 이어 붙여 직사각형 마당을 만들어요. 가로 1 cm, 세로 9 cm 면 넓이는 9. 가로 2 cm, 세로 8 cm 면 16. 가로 3 cm, 세로 7 cm 면 21. 가로 4 cm, 세로 6 cm 면 24. 그리고 가로 5 cm, 세로 5 cm 면 25.

더 가 볼까요? 가로 6 cm, 세로 4 cm 면 다시 24로 줄어요. 딱 정사각형일 때 가장 넓다는 것이 눈에 보이죠. 이 "딱 같아질 때가 가장 좋다"가 바로 어른 수학에서 말하는 등호 성립 조건이에요.

둘레 20 → 넓이 최댓값 25 (가로 = 세로 = 5)

연습 10제 · 단계별 해설

난이도 배분 — C 2제 · B 7제 · A 1제. 열 문제 모두 두 길로 확인했습니다. 하나는 산술평균·기하평균(또는 코시-슈바르츠), 다른 하나는 미분으로 임계점을 구하는 길. 두 길의 값이 일치하고, 등호가 서는 값을 원래 식에 되돌려 넣어 다시 확인했습니다.

문제 1C기본 · 곱이 상수
\(x > 0\) 일 때, \(x + \dfrac{9}{x}\) 의 최솟값과 그때의 \(x\) 의 값을 구하여라.

풀이 — a, b 를 잡고 곱해 본다

  1. \(x > 0\) 이므로 \(\dfrac{9}{x} > 0\). 두 수 모두 양수이니 산술평균·기하평균을 쓸 수 있다.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 곱했을 때 \(x\) 가 지워지는지부터 본다 \(a = x,\; b = \dfrac{9}{x}\) 로 잡으면 \(ab = x \cdot \dfrac{9}{x} = 9\). \(x\) 가 싹 지워지고 문자 없는 수 9 만 남습니다. 이것이 되어야 오른쪽 \(2\sqrt{ab}\) 가 상수가 되고, 그 상수가 곧 최솟값이 됩니다. 만약 \(x\) 가 남았다면 그건 잘못 묶은 것이라 다시 잡아야 합니다.
  3. \(x + \dfrac{9}{x} \ge 2\sqrt{9} = 6\).
  4. 등호는 \(x = \dfrac{9}{x}\), 곧 \(x^2 = 9\), \(x > 0\) 이므로 \(x = 3\).
  5. 되돌려 넣어 확인 — \(3 + \dfrac{9}{3} = 3 + 3 = 6\) ✓
"이걸 a라 하자, 이것은 b라 하자." — 장대경 선생님 특강 전사 3:50~3:53

최솟값 6 · \(x = 3\)

문제 2C기본 · 곱 고정 → 합의 최솟값
\(x > 0,\; y > 0\) 이고 \(xy = 16\) 일 때, \(x + y\) 의 최솟값과 그때의 \(x,\, y\) 를 구하여라.

풀이 — 곱이 정해져 있으면 합의 최솟값이 나온다

  1. \(x + y \ge 2\sqrt{xy}\) (\(x, y > 0\)).
  2. ⭐ 여기가 고비 — 조건이 「곱」이면 구할 수 있는 것은 「합의 최솟값」이다 \(xy = 16\) 을 그대로 넣으면 \(x + y \ge 2\sqrt{16} = \mathbf{8}\). 거꾸로 조건이 합으로 주어졌다면 구할 수 있는 것은 곱의 최댓값입니다(문제 7 참고). 조건이 곱인지 합인지를 먼저 보면 무엇을 물을 수 있는 문제인지가 바로 보입니다.
  3. 등호는 \(x = y\) 일 때. \(xy = 16\) 이므로 \(x^2 = 16\), \(x = 4\), 따라서 \(y = 4\).
  4. 되돌려 넣어 확인 — \(4 \times 4 = 16\) ✓, \(4 + 4 = 8\) ✓

최솟값 8 · \(x = y = 4\)

문제 3B짝 만들기 · 상수 분리
\(x > 3\) 일 때, \(2x + \dfrac{9}{x - 3}\) 의 최솟값과 그때의 \(x\) 의 값을 구하여라.

풀이 — 분모와 짝이 맞도록 앞을 쪼갠다

  1. 그냥 \(2x\) 와 \(\dfrac{9}{x-3}\) 을 곱하면 \(\dfrac{18x}{x-3}\) — \(x\) 가 안 지워진다. 그대로는 못 쓴다.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 분모가 \(x-3\) 이니 앞도 \(x-3\) 으로 만들어 준다 \(2x = 2(x - 3) + 6\) 으로 쪼개 쓴다. 그러면 $$2x + \frac{9}{x-3} = \underbrace{2(x-3)}_{a} + \underbrace{\frac{9}{x-3}}_{b} + \underbrace{6}_{\text{상수}}$$ 이제 \(ab = 2(x-3)\cdot\dfrac{9}{x-3} = 18\) 로 \(x\) 가 싹 지워집니다. 떼어 낸 상수 \(+6\) 은 부등식 안으로 끌고 들어가지 말고 밖에 세워 두었다가 마지막에 더합니다.
  3. \(2(x-3) + \dfrac{9}{x-3} \ge 2\sqrt{18} = 6\sqrt{2}\).
  4. 떼어 둔 \(6\) 을 되돌리면 \(2x + \dfrac{9}{x-3} \ge 6\sqrt{2} + 6\).
  5. 등호는 \(2(x-3) = \dfrac{9}{x-3}\), 곧 \((x-3)^2 = \dfrac{9}{2}\), \(x - 3 = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}\), 따라서 \(x = 3 + \dfrac{3\sqrt{2}}{2}\).
  6. 되돌려 넣어 확인 — \(2(x-3) = 3\sqrt{2}\), \(\dfrac{9}{x-3} = \dfrac{9}{3\sqrt{2}/2} = 3\sqrt{2}\), 합이 \(6\sqrt{2}\), 거기에 \(6\) 을 더해 \(6 + 6\sqrt{2} \approx 14.485\) ✓
"요 식으로 바꾸어 줘야 된다 … 이 몽땅을 a, 요 몽땅을 b라 한다." — 장대경 선생님 특강 전사 7:03~7:38
⚠️ 자주 하는 실수 — 상수를 부등식 안으로 끌고 들어간다 ✗ \(2x + \dfrac{9}{x-3} \ge 2\sqrt{2x \cdot \dfrac{9}{x-3}}\) 처럼 통째로 묶는다 → 오른쪽에 \(x\) 가 남아 상수가 아니다. ✓ 곱했을 때 문자가 지워지는 두 덩어리만 부등식에 넣고, 상수는 밖에 세워 둔다.

최솟값 \(6 + 6\sqrt{2}\) · \(x = 3 + \dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)

문제 4B조건식을 통째로 곱한다
\(x > 0,\; y > 0\) 이고 \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{4}{y} = 1\) 일 때, \(x + y\) 의 최솟값과 그때의 \(x,\, y\) 를 구하여라.

풀이 — 조건이 1이면 통째로 곱해도 값이 안 변한다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 조건식이 「= 1」 이라는 것이 열쇠다 \(x + y\) 에 1을 곱해도 값은 그대로입니다. 그런데 그 1이 마침 \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{4}{y}\) 이지요. 그래서 $$x + y = (x+y)\left(\frac{1}{x} + \frac{4}{y}\right)$$ 이렇게 하면 조건과 구하는 식이 한 덩어리로 합쳐집니다. 조건이 \(= 1\) 이 아니라 \(= 3\) 이었다면 양변을 3으로 나눠 먼저 1로 만들고 곱합니다.
  2. 펼치면 \(1 + \dfrac{4x}{y} + \dfrac{y}{x} + 4 = 5 + \dfrac{4x}{y} + \dfrac{y}{x}\).
  3. 남은 두 덩어리의 곱 \(\dfrac{4x}{y}\cdot\dfrac{y}{x} = 4\) — 문자가 싹 지워진다.
  4. \(\dfrac{4x}{y} + \dfrac{y}{x} \ge 2\sqrt{4} = 4\) 이므로 \(x + y \ge 5 + 4 = 9\).
  5. 등호는 \(\dfrac{4x}{y} = \dfrac{y}{x}\), 곧 \(y^2 = 4x^2\), \(y = 2x\). 조건에 넣으면 \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{4}{2x} = \dfrac{3}{x} = 1\), 따라서 \(x = 3,\; y = 6\).
  6. 되돌려 넣어 확인 — \(\dfrac{1}{3} + \dfrac{4}{6} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3} = 1\) ✓, \(3 + 6 = 9\) ✓

최솟값 9 · \(x = 3,\; y = 6\)

문제 5B코시-슈바르츠 · 최댓값
실수 \(x,\, y\) 가 \(x^2 + y^2 = 25\) 를 만족할 때, \(3x + 4y\) 의 최댓값과 그때의 \(x,\, y\) 를 구하여라.

풀이 — 제곱의 합이 조건이면 코시-슈바르츠

  1. \((3^2 + 4^2)(x^2 + y^2) \ge (3x + 4y)^2\).
  2. ⭐ 여기가 고비 — 왼쪽 두 수를 곱해서 「제곱수」로 만든다 \((9 + 16) \times 25 = 25 \times 25 = 625 = \mathbf{25^2}\). 그래서 \((3x+4y)^2 \le 25^2\), 곧 \(-25 \le 3x + 4y \le 25\) 입니다. 여기까지 오면 답은 물음이 최댓값이냐 최솟값이냐로만 갈립니다. 이 문제는 최댓값이니 양수 쪽.
  3. 최댓값은 \(25\).
  4. 등호는 \(\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4}\) 일 때. \(y = \dfrac{4}{3}x\) 를 조건에 넣으면 \(x^2 + \dfrac{16}{9}x^2 = \dfrac{25}{9}x^2 = 25\), \(x^2 = 9\). 최댓값(양수 쪽)이므로 \(x = 3,\; y = 4\).
  5. 되돌려 넣어 확인 — \(3^2 + 4^2 = 25\) ✓, \(3\cdot 3 + 4\cdot 4 = 9 + 16 = 25\) ✓

최댓값 25 · \(x = 3,\; y = 4\)

문제 6B코시-슈바르츠 · 최솟값(부호)
실수 \(x,\, y\) 가 \(x^2 + y^2 = 8\) 을 만족할 때, \(x + y\) 의 최솟값과 그때의 \(x,\, y\) 를 구하여라.

풀이 — 코시는 양쪽을 준다. 물음이 최솟값이면 음수 쪽

  1. \((1^2 + 1^2)(x^2 + y^2) \ge (x + y)^2\) 이므로 \(2 \times 8 = 16 \ge (x+y)^2\).
  2. ⭐ 여기가 고비 — \((x+y)^2 \le 16\) 은 \(x+y \le 4\) 가 아니다 제곱이 16 이하라는 말은 \(-4 \le x + y \le 4\) 라는 뜻입니다. 아래쪽 끝이 함께 열립니다. 문제가 최솟값을 물었으니 답은 음수 쪽 \(-4\) 입니다. 여기서 \(4\) 라고 적으면 계산은 하나도 안 틀렸는데 부호 하나로 통째로 틀립니다.
  3. 등호는 \(\dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{1}\), 곧 \(x = y\) 일 때. 조건에 넣으면 \(2x^2 = 8\), \(x^2 = 4\), \(x = \pm 2\).
  4. 최솟값(음수 쪽)이므로 \(x = -2,\; y = -2\).
  5. 되돌려 넣어 확인 — \((-2)^2 + (-2)^2 = 8\) ✓, \((-2) + (-2) = -4\) ✓
"완전 제곱으로 돼 있으면 … 마이너스 이십에서 이십 사이에 있다." — 장대경 선생님 특강 전사 19:30~19:49
⚠️ 실전에서 가장 흔한 실점 ✗ \((x+y)^2 \le 16 \Rightarrow x + y \le 4\) 라 적고 최솟값을 묻는데 \(4\) 라고 답한다. ✓ 제곱이 \(k^2\) 이하 ⇒ \(-k \le (\text{식}) \le k\). 최댓값은 \(+k\), 최솟값은 \(-k\).

최솟값 \(-4\) · \(x = y = -2\)

문제 7B활용 · 합 고정 → 곱의 최댓값
둘레의 길이가 \(20\,\text{m}\) 인 직사각형 모양의 밭이 있다. 이 밭의 넓이의 최댓값과 그때의 가로·세로의 길이를 구하여라.

풀이 — 조건이 「합」이면 구할 수 있는 것은 「곱의 최댓값」

  1. 가로를 \(x\), 세로를 \(y\) 라 하면 \(x > 0,\; y > 0\) 이고 둘레는 \(2x + 2y = 20\), 곧 \(x + y = 10\). 넓이는 \(xy\).
  2. ⭐ 여기가 고비 — 부등식을 「넓이 쪽으로」 뒤집어 읽는다 \(x + y \ge 2\sqrt{xy}\) 에 \(x + y = 10\) 을 넣으면 \(10 \ge 2\sqrt{xy}\), 곧 \(\sqrt{xy} \le 5\). 양변이 모두 양수이므로 제곱하면 \(xy \le 25\). \(x+y\) 는 왼쪽에 있으므로 조건을 넣으면 부등식은 \(\sqrt{xy}\) 의 위쪽 한계를 말해 줍니다. 그래서 나오는 것은 곱의 최댓값입니다. 문제 2와 정확히 반대 방향입니다.
  3. 등호는 \(x = y\) 일 때. \(x + y = 10\) 이므로 \(x = y = 5\).
  4. 되돌려 넣어 확인 — 둘레 \(2(5+5) = 20\) ✓, 넓이 \(5 \times 5 = 25\) ✓
  5. 참고 — 가로 4, 세로 6 이면 넓이 24. 가로 3, 세로 7 이면 21. 정사각형에서 가장 넓다.

넓이의 최댓값 \(25\,\text{m}^2\) · 가로 = 세로 = \(5\,\text{m}\)

문제 8B다 펼친 뒤 한 번만
\(a > 0,\; b > 0\) 일 때, \((a + b)\left(\dfrac{4}{a} + \dfrac{9}{b}\right)\) 의 최솟값과 그때의 \(a : b\) 를 구하여라.

풀이 — 각각을 다 전개하고, 남은 둘에만 한 번 쓴다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 두 괄호에 따로따로 부등식을 쓰면 안 된다 \(a + b \ge 2\sqrt{ab}\) 와 \(\dfrac{4}{a} + \dfrac{9}{b} \ge 2\sqrt{\dfrac{36}{ab}}\) 를 각각 쓰고 곱하면 \(4\sqrt{36} = 24\) 가 나오는데, 이 값에는 실제로 닿을 수 없습니다. 앞의 등호는 \(a = b\), 뒤의 등호는 \(\dfrac{4}{a} = \dfrac{9}{b}\) 곧 \(9a = 4b\) 를 요구합니다. 두 등호가 같은 자리에서 서지 않으니 24 는 그냥 지나가는 수일 뿐입니다. 그래서 먼저 통째로 곱해 펼치고, 부등식은 한 번만 씁니다.
  2. 펼치면 \(4 + \dfrac{9a}{b} + \dfrac{4b}{a} + 9 = 13 + \dfrac{9a}{b} + \dfrac{4b}{a}\).
  3. 남은 두 덩어리의 곱 \(\dfrac{9a}{b}\cdot\dfrac{4b}{a} = 36\) — 문자가 싹 지워진다.
  4. \(\dfrac{9a}{b} + \dfrac{4b}{a} \ge 2\sqrt{36} = 12\) 이므로 전체는 \(13 + 12 = 25\) 이상.
  5. 등호는 \(\dfrac{9a}{b} = \dfrac{4b}{a}\), 곧 \(9a^2 = 4b^2\), \(3a = 2b\), 따라서 \(a : b = 2 : 3\).
  6. 되돌려 넣어 확인 — \(a = 2,\; b = 3\) 이면 \((2+3)\left(\dfrac{4}{2} + \dfrac{9}{3}\right) = 5 \times 5 = 25\) ✓
"각각을 다 전개를 해야 된다." — 장대경 선생님 특강 전사 5:50~5:53

최솟값 25 · \(a : b = 2 : 3\)

문제 9B계수가 붙은 합 고정
\(x > 0,\; y > 0\) 이고 \(x + 2y = 6\) 일 때, \(xy\) 의 최댓값과 그때의 \(x,\, y\) 를 구하여라.

풀이 — 계수가 붙으면 그 덩어리째 a, b 로 잡는다

  1. ⭐ 여기가 고비 — \(a = x,\; b = 2y\) 로 「덩어리째」 잡는다 조건에 있는 것은 \(x + 2y\) 이지 \(x + y\) 가 아닙니다. 그러니 \(b\) 자리에 \(2y\) 를 통째로 넣습니다. $$x + 2y \ge 2\sqrt{x \cdot 2y} = 2\sqrt{2xy}$$ 이때 루트 속이 \(xy\) 가 아니라 \(2xy\) 라는 것이 핵심입니다. 마지막에 이 2를 나눠 주는 것을 잊으면 답이 두 배로 커집니다.
  2. 조건을 넣으면 \(6 \ge 2\sqrt{2xy}\), 곧 \(\sqrt{2xy} \le 3\).
  3. 양변을 제곱하면 \(2xy \le 9\), 따라서 \(xy \le \dfrac{9}{2}\).
  4. 등호는 \(x = 2y\) 일 때. 조건에 넣으면 \(2y + 2y = 6\), \(y = \dfrac{3}{2}\), \(x = 3\).
  5. 되돌려 넣어 확인 — \(3 + 2\cdot\dfrac{3}{2} = 6\) ✓, \(3 \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{9}{2}\) ✓
⚠️ 자주 하는 실수 — 등호 조건을 \(x = y\) 라고 쓴다 ✗ \(x = y\) 로 두면 \(3y = 6\), \(y = 2,\; x = 2\), \(xy = 4\) — \(\dfrac{9}{2}\) 보다 작다. ✓ 등호는 \(a = b\), 곧 내가 잡은 덩어리끼리 같아야 한다. 여기서는 \(x = 2y\).

최댓값 \(\dfrac{9}{2}\) · \(x = 3,\; y = \dfrac{3}{2}\)

문제 10A최상위 · 등호가 동시에 서야 한다
\(x > 0,\; y > 0\) 이고 \(x + y = 1\) 일 때, \(\left(1 + \dfrac{1}{x}\right)\left(1 + \dfrac{1}{y}\right)\) 의 최솟값과 그때의 \(x,\, y\) 를 구하여라. 또, 두 괄호에 각각 따로 산술평균·기하평균을 쓰면 왜 답이 나오지 않는지 설명하여라.

풀이 — 먼저 통째로 펼쳐 하나의 덩어리로 만든다

  1. 펼치면 \(1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{xy}\).
  2. ⭐ 여기가 고비 — \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}\) 를 \(\dfrac{x+y}{xy}\) 로 묶으면 조건이 살아난다 \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{x + y}{xy} = \dfrac{1}{xy}\) (조건 \(x + y = 1\)). 그러므로 $$\left(1 + \frac{1}{x}\right)\left(1 + \frac{1}{y}\right) = 1 + \frac{1}{xy} + \frac{1}{xy} = 1 + \frac{2}{xy}$$ 식 전체가 \(xy\) 하나만의 식으로 줄었습니다. 이제 \(xy\) 가 얼마까지 커질 수 있는지만 알면 끝납니다. 변수를 하나로 줄이는 것이 A급 문제의 첫 손놀림입니다.
  3. \(x + y \ge 2\sqrt{xy}\) 에 \(x + y = 1\) 을 넣으면 \(\sqrt{xy} \le \dfrac{1}{2}\), 곧 \(xy \le \dfrac{1}{4}\).
  4. \(\dfrac{2}{xy}\) 는 \(xy\) 가 가장 클 때 가장 작다. \(xy = \dfrac{1}{4}\) 이면 \(\dfrac{2}{1/4} = 8\).
  5. 따라서 최솟값은 \(1 + 8 = 9\). 등호는 \(x = y\) 이고 \(x + y = 1\) 이므로 \(x = y = \dfrac{1}{2}\).
  6. 되돌려 넣어 확인 — \((1 + 2)(1 + 2) = 3 \times 3 = 9\) ✓
⚠️ 뒷물음 — 따로 쓰면 왜 안 되는가 ✗ \(1 + \dfrac{1}{x} \ge \dfrac{2}{\sqrt{x}}\), \(1 + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{2}{\sqrt{y}}\) 를 곱하면 \(\dfrac{4}{\sqrt{xy}} \ge \dfrac{4}{1/2} = 8\) — 8 이 나온다. 그런데 첫 부등식의 등호는 \(1 = \dfrac{1}{x}\), 곧 \(x = 1\) 을 요구한다. \(x + y = 1,\; y > 0\) 이면 \(x < 1\) 이므로 그 등호는 결코 서지 않는다. ✓ 그래서 8 은 그냥 「지나가는 수」일 뿐, 실제 최솟값은 9 다. 부등식은 등호가 한자리에서 서도록 한 번만 쓴다.
"요건 이 형태로 하니깐 답이 안 나온다. 자, 안 나오니까 어떡하냐 — 이렇게 하자." — 장대경 선생님 특강 전사 14:15~14:24

최솟값 9 · \(x = y = \dfrac{1}{2}\) (따로 쓰면 8 이 나오지만 등호가 서지 않아 답이 아니다)

더 멀리 · 이 부등식이 자라는 곳

절대부등식, 여기까지 이어진다

오늘 배운 다섯 가지가 그대로 쓰이는 자리들

① 미분으로 다시 풀기
고2 · 미적분
오늘 문제들은 모두 미분해서 임계점을 찾는 길로도 똑같은 답이 나옵니다. 이 해설의 모든 답을 그 두 길로 맞대어 확인했습니다. 부등식은 미분 없이 한 줄로 끝내는 지름길인 셈이지요.
② 세 수의 산술·기하평균
경시 · 심화
\(a + b + c \ge 3\sqrt[3]{abc}\) (\(a,b,c > 0\)), 등호는 \(a = b = c\). 세 덩어리로 쪼개 짝을 만드는 문제가 여기서 나옵니다. 손놀림은 오늘과 똑같습니다.
③ 코시-슈바르츠의 확장
고3 · 대학
\((a_1^2 + \cdots + a_n^2)(x_1^2 + \cdots + x_n^2) \ge (a_1x_1 + \cdots + a_nx_n)^2\). 벡터의 내적과 각도, 통계의 상관계수가 \(-1\) 과 \(1\) 사이인 까닭이 바로 이 부등식입니다.
④ 실생활 최적화
활용
같은 재료로 가장 큰 상자 만들기, 같은 울타리로 가장 넓은 밭 만들기, 가장 적은 비용으로 나르기 — 전부 "합이 정해질 때 곱의 최댓값" 꼴입니다.
◀ 특강 영상으로 돌아가기 · 절대부등식 실전 ◀ 본편 · 절대부등식

※ 열 문제 모두 두 길로 검산했습니다 — 산술평균·기하평균(또는 코시-슈바르츠)으로 한 번, 미분으로 임계점을 구해 한 번. 두 길의 값이 일치했고, 등호가 서는 값을 원래 식에 되돌려 넣어 다시 확인했습니다. 청록 상자(구호)는 특강 전사에 실제로 남아 있는 선생님 말씀만 옮긴 것입니다.