정비례와 반비례 실전 완전정복 — 비례상수 연습 10제

먼저 · 정비례와 반비례, 네 가지 무기

정비례 판별 — y=ax 꼴이면 정비례. y÷x가 항상 같은 값(비례상수 a)이 된다.

반비례 판별 — y=a/x 꼴이면 반비례. x×y가 항상 같은 값(비례상수 a)이 된다.

그래프 모양 — 정비례는 원점을 지나는 직선, 반비례는 원점에 대해 대칭인 두 곡선(쌍곡선).

＋

실생활 적용 — 속력 일정이면 거리와 시간은 정비례, 거리 일정이면 속력과 시간은 반비례.

이 개념, 학년마다 이렇게

🐣 초등 (직관)

"물건을 살수록 값이 똑같이 늘어나는지, 나눌수록 각자 몫이 줄어드는지"를 체험한다.

📐 중1 (핵심)

정비례·반비례 판별, 비례상수 구하기, 그래프 모양, 실생활 적용.

🎓 고등 (확장)

일차함수(정비례의 확장), 유리함수(반비례의 확장), 물리의 반비례 법칙.

🐣 저학년 직관 — "같이 늘면 정비례, 나눠 가지면 반비례"

사탕 1개에 500원이면, 2개는 1000원, 3개는 1500원 — 개수가 늘수록 값도 똑같이 늘어요. 이게 정비례예요.
반대로 피자 한 판을 사람 수로 나눠 먹으면, 사람이 늘수록 한 명당 조각 수는 줄어들어요. 이게 반비례예요.

정비례 = 같이 늘어남, 반비례 = 나눠 가지면 줄어듦

연습 10제 · 그림 해설

문제 1정비례 · 기본

y가 x에 정비례하고 x=2일 때 y=6이다. 비례상수를 구하라.

풀이 — y÷x = 비례상수

k=y/x=6/2=3.

k = 3 (y=3x)

문제 2정비례 · 진가

y가 x에 정비례하고 x=4일 때 y=-8이다. x=-3일 때 y의 값을 구하라.

풀이 — 비례상수를 먼저 구하고 대입

k=y/x=-8/4=-2. 식은 y=-2x.
x=-3 대입: y=-2×(-3)=6.

y = 6

문제 3반비례 · 기본

y가 x에 반비례하고 x=2일 때 y=5이다. 비례상수를 구하라.

풀이 — x×y = 비례상수

k=xy=2×5=10.

k = 10 (y=10/x)

문제 4반비례 · 진가

y가 x에 반비례하고 x=3일 때 y=4이다. x=6일 때 y의 값을 구하라.

풀이 — 비례상수를 먼저 구하고 대입

k=xy=3×4=12. 식은 y=12/x.
x=6 대입: y=12/6=2.

y = 2

문제 5정비례·반비례 판별

다음 중 정비례 관계인 것을 고르라. ① y=5x ② y=5/x ③ y=x+5

풀이

정비례는 y=ax 꼴만 해당. ②는 반비례, ③은 일차함수(정비례 아님).

① y=5x

문제 6그래프 모양

정비례 그래프와 반비례 그래프의 모양을 각각 설명하라.

풀이

정비례: 원점을 지나는 직선. 반비례: 원점에 대해 대칭인 두 개의 곡선(쌍곡선).

정비례=직선, 반비례=쌍곡선

문제 7정비례 응용

1분에 3L씩 물이 채워지는 통에서, x분 후 물의 양 y(L)를 식으로 나타내고, 5분 후 물의 양을 구하라.

풀이

y=3x. x=5 대입: y=15.

y=3x, 15L

문제 8반비례 응용 · 속력

거리 120km를 시속 x km로 갈 때 걸리는 시간 y(시간)를 식으로 나타내고, 시속 40km일 때 걸리는 시간을 구하라.

풀이 — 거리 일정이면 속력과 시간은 반비례

y=120/x. x=40 대입: y=3.

y=120/x, 3시간

문제 9좌표로 판별

점 (2,8), (4,16), (6,24)가 한 정비례 그래프 위에 있다고 할 때, 비례상수를 구하라.

풀이

모든 점에서 y/x=4로 일정.

k = 4

문제 10실생활 · 톱니바퀴

톱니 수 20개인 톱니바퀴가 분당 12바퀴 돌 때, 맞물린 톱니 수 x개인 톱니바퀴는 분당 y바퀴 돈다(반비례). x=15일 때 y를 구하라.

풀이

k=20×12=240. y=240/15=16.

16바퀴

제일 밑에 · 이 방법을 다른 학년·개념에 쓰는 비법

"곱해서 일정한지 본다" 하나로 함수·물리까지

정비례·반비례에서 익힌 "비례상수가 일정한지 확인한다"는 눈이, 학년이 올라가면 일차함수·유리함수·물리로 그대로 이어집니다.

① 중2 · 일차함수

중2 · 일차함수

정비례 y=ax는 일차함수 y=ax+b의 b=0인 특수한 경우예요. 제3강의 "기울기" 개념이 여기서 이어져요.

② 고1 · 유리함수

고1 · 유리함수

반비례 y=a/x는 유리함수 y=k/(x-p)+q의 p=q=0인 특수한 경우예요(제16강과 직결).

③ 물리학 · 보일의 법칙

물리·화학

기체의 압력과 부피는 반비례(보일의 법칙, PV=일정). 전류와 저항도 전압이 일정하면 반비례해요(옴의 법칙).

④ 경제 · 환율과 단가

경제·실생활

같은 물건을 살 때 개수와 총금액은 정비례, 1인당 부담금은 사람 수와 반비례해요. 일상 속 계산에 바로 쓰여요.

⑤ 통계 · 표본과 오차

확률과 통계

통계에서 표본 크기가 커질수록 오차는 표본 크기의 제곱근에 반비례해서 줄어들어요. 반비례 개념이 정밀도 계산의 기초가 돼요.

도전 · 이 비법만으로 위 학년 문제 풀기

"비례상수가 일정한지 본다" 하나로 일차함수·유리함수·물리까지. 학년별 3문제씩!

도전 · 중2일차함수 연결

일차함수 y=3x+2는 정비례인가? 이유를 설명하라.

풀이

x=0일 때 y=2≠0이므로 원점을 지나지 않는다 → 정비례가 아니다.

정비례가 아니다 (y절편이 0이 아님)

도전 · 중2기울기와 비례상수

정비례 그래프가 점 (3,9)를 지날 때, 이 그래프의 기울기(비례상수)를 구하라.

풀이

k=9/3=3. 정비례의 비례상수가 곧 일차함수의 기울기.

도전 · 중2반비례 그래프 특징

반비례 그래프 y=6/x는 x축, y축과 만나는가?

풀이

x=0은 정의되지 않고, y=0이 되는 x도 없다 → 축과 만나지 않는다(점근선 x=0, y=0).

만나지 않는다

도전 · 고1유리함수 연결

유리함수 y=5/(x-2)+3이 반비례가 되려면 어떤 조건이 필요한가?

풀이

점근선이 원점(0,0)을 지나야 하므로 이동값 p=2, q=3이 모두 0이어야 한다.

p=0, q=0 (평행이동이 없어야 함)

도전 · 물리보일의 법칙

기체의 부피가 압력 2기압에서 10L이다(보일의 법칙, 반비례). 압력이 5기압이 되면 부피는 몇 L인가?

풀이

k=2×10=20. V=20/5=4.

도전 · 물리옴의 법칙

전압이 12V로 일정할 때, 저항 4Ω에서 전류는 3A이다(반비례). 저항이 6Ω이 되면 전류는 몇 A인가?

풀이

k=4×3=12(=전압). I=12/6=2.

※ 2026-07-18 확인: 원본 영상(18강)은 원문 전사 대조 결과 정비례만 다루고 있어 영상 자체는 정비례로 재구성했습니다. 이 연습문제 문서의 정비례 문항(1,2,5,6,7,9)은 그 방법을 그대로 따르고, 반비례 문항(3,4,8,10)은 같은 단원의 표준 교육과정 내용(장대경 선생님 본인 강의로 아직 확인되지 않음)으로 별도 구성했습니다. 모든 계산은 직접 검산했습니다.

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