먼저 · 십자곱 2단계
1
두 수 찾기 — x²+bx+c 는 곱해서 c, 더해서 b 인 두 수를 찾는다. (예: 곱 12·합 7 → 3과 4)
2
십자로 곱해 확인 — 계수가 붙은 ax²+bx+c 는 세로로 두 인수를 놓고 대각선끼리 곱해 더한 값이 가운데 계수 b 와 같으면 정답.
연습 10제 · 상세 해설
문제 1기본
x² + 7x + 12 를 인수분해하라.
풀이 — 두 수 찾기
- 곱해서 12, 더해서 7 인 두 수 → 3과 4 (3×4=12, 3+4=7).
(x+3)(x+4)
문제 2기본
x² + 5x + 6 를 인수분해하라.
풀이
- 곱해서 6, 더해서 5 → 2와 3.
(x+2)(x+3)
문제 3부호 — 둘 다 음수
x² − 7x + 12 를 인수분해하라.
풀이
- 곱해서 +12(양수), 더해서 −7(음수) → 두 수 둘 다 음수: −3과 −4.
(x−3)(x−4)
문제 4부호 — 곱이 음수
x² + 2x − 15 를 인수분해하라.
풀이
- 곱해서 −15(음수) → 두 수의 부호가 다르다. 더해서 +2 → 큰 쪽이 양수: +5와 −3 (5×(−3)=−15, 5+(−3)=2).
(x+5)(x−3)
문제 5부호 — 곱이 음수
x² − x − 12 를 인수분해하라.
풀이
- 곱해서 −12, 더해서 −1 → 부호 다르고 큰 쪽이 음수: −4와 +3.
(x−4)(x+3)
문제 6계수 있음 — 십자곱 진가
2x² + 7x + 3 을 인수분해하라.
풀이 — 십자로 곱해 확인
- 세로로 2x, x / 오른쪽에 1, 3.
- 대각선 곱의 합 2x·3 + x·1 = 6x + x = 7x = 가운데 계수. 맞음!
- 가로로 읽어 (2x+1)(x+3).
(2x+1)(x+3)
문제 7계수 있음
3x² + 8x + 4 를 인수분해하라.
풀이
- 3x, x / 2, 2. 대각선 합 3x·2 + x·2 = 8x = 가운데. ✓
(3x+2)(x+2)
문제 8계수 + 음수
2x² − 5x − 3 을 인수분해하라.
풀이
- 상수 −3 = 곱이 음수라 부호 다름. 시도: 2x·(−3)+x·(+1)=−6x+x=−5x = 가운데. ✓
(2x+1)(x−3)
문제 9활용 — 이차방정식
x² + 7x + 12 = 0 의 해를 구하라.
풀이 — 인수분해가 곧 해
- 좌변을 십자곱: (x+3)(x+4) = 0.
- 두 괄호 중 하나가 0 → x = −3 또는 x = −4.
x = −3 또는 −4
🔑 근의 공식 없이 끝! 찾은 두 수 3·4의 부호를 뒤집은 값이 곧 해예요.
문제 10활용 — 도형
넓이가 x² + 5x + 6 인 직사각형의 가로·세로 길이를 각각 x 의 식으로 나타내라.
풀이 — 넓이 = 가로 × 세로 = 인수분해
- 넓이를 인수분해: 곱 6·합 5 → 2, 3 → (x+2)(x+3).
- 따라서 가로·세로 = (x+2) 와 (x+3).
가로 x+2, 세로 x+3 (또는 반대)
제일 밑에 · 이 방법을 다른 학년·개념에 쓰는 비법
“곱 c · 합 b 인 두 수” 하나로 위 학년까지
십자곱에서 찾은 두 수는 사실 그 이차식의 뿌리(근)와 직결된다. 이 눈이 고등까지 그대로 이어진다.
① 중3~고1 · 이차방정식의 해
이차방정식
x²+bx+c=0 → (x+m)(x+n)=0 → 해는 −m, −n. 문제 9처럼 인수분해가 곧 해. 근의 공식은 인수분해가 안 될 때만.
② 고1 · 근과 계수의 관계
이차방정식·이차함수
두 근을 α, β라 하면 α+β = −b, αβ = c(최고차 1일 때). 즉 십자곱에서 찾던 "합 b·곱 c"가 그대로 두 근의 합·곱. 굳이 근을 안 구하고도 대칭식을 계산할 수 있다(→ 제2강 식의 구조).
③ 고1 · 이차부등식
이차부등식
x²+7x+12 > 0 → (x+3)(x+4) > 0 → 두 근 −4, −3 바깥: x < −4 또는 x > −3. 인수분해가 끝나면 부등식은 수직선 그림으로 끝.
④ 고1 · 이차함수의 x절편
이차함수 그래프
y=x²+2x−15 의 x절편 = y=0 → (x+5)(x−3)=0 → x=−5, 3. 인수분해한 두 값이 곧 그래프가 x축과 만나는 점.
도전 · 이 비법만으로 위 학년 문제 풀기
인수분해의 “두 수”만 알면, 아직 안 배운 학년 문제도 풀린다.
도전 · 고1근과 계수
x² − 7x + 12 = 0 의 두 근을 α, β라 할 때, α + β 와 αβ 를 구하라. (근을 직접 구하지 말고)
풀이
- 근과 계수: α+β = −(−7) = 7, αβ = 12.
- 바로 십자곱에서 찾던 "합 7·곱 12"와 같다(실제 근 3, 4).
α+β = 7 · αβ = 12
도전 · 고1이차부등식
x² − x − 12 < 0 을 풀어라.
풀이
- 십자곱: (x−4)(x+3) < 0 → 두 근 −3, 4.
- < 0 이므로 두 근 사이: −3 < x < 4.
−3 < x < 4
도전 · 고등복이차식 치환
x⁴ − 5x² + 4 를 인수분해하라. (힌트: x² 를 한 덩어리로)
풀이 — 덩어리를 X로 보고 십자곱
- x² = X 로 보면 X² − 5X + 4. 곱 4·합 −5 → −1, −4 → (X−1)(X−4).
- 되돌리면 (x²−1)(x²−4) = (x−1)(x+1)(x−2)(x+2).
(x−1)(x+1)(x−2)(x+2)
💡 “두 수 찾기”는 덩어리(치환)에도 그대로 통해요.
※ 이 자료의 예제는 장대경 선생님 방법을 수학적으로 정확한 값으로 재구성·검산한 교육 자료입니다. 모든 계산은 직접 검산했습니다.