이차방정식의 활용 완전정복 — 상황을 식으로 옮긴다 연습 10제

먼저 · 이차방정식의 활용, 네 가지 무기

문자로 놓기 — 구하려는 것을 한 문자 x로 놓는다. 연속하는 수는 x, x+1처럼 관계로 표현.

식 세우기 — 문제의 조건(넓이·곱·거리 등)을 그대로 등식으로 옮긴다.

근을 걸러내기 — 이차방정식을 풀어 두 근을 구한 뒤, 문제 상황에 맞는 근만 남긴다(음수 길이·음수 개수는 버림).

＋

발사체 운동 — 높이 h=−5t²+v₀t(중력 g=10 근사) 꼴이 자주 나온다. 두 근은 "그 높이를 지나는 두 시각"이다.

이 개념, 학년마다 이렇게

🐣 초등 (직관)

공을 던지면 "올라갔다 다시 내려온다" — 같은 높이를 두 번 지난다는 것을 몸으로 체험한다.

📐 중3 (핵심)

수의 성질, 도형의 넓이, 발사체 운동, 분배 문제를 이차방정식으로 세우고 푼다.

🎓 고등 (확장)

공통수학1의 이차방정식과 이차함수의 관계, 최적화(최대·최소) 문제로 이어진다.

🐣 저학년 직관 — "던진 공은 같은 높이를 두 번 지난다"

공을 위로 던지면 올라가면서 한 번, 내려오면서 한 번, 같은 높이를 두 번 지나가요. 이차방정식을 풀면 근이 두 개 나오는 이유가 바로 이거예요!

상황을 식으로 옮기고, 맞는 근만 남긴다 = 이차방정식의 활용

연습 10제 · 그림 해설

문제 1수의 성질 · 기본

연속하는 두 자연수의 곱이 132일 때, 두 수의 합을 구하라.

풀이 — 연속하는 수는 n, n+1

n(n+1)=132 → n²+n−132=0 → (n−11)(n+12)=0.
자연수이므로 n=11. 두 수는 11, 12.

합 = 23

문제 2수의 성질 · 진가

어떤 자연수를 제곱해야 할 것을 실수로 2배 하여 63만큼 작은 45를 얻었다. 원래 구하려던 값을 구하라.

풀이 — 조건을 그대로 식으로

자연수 x라 하면 2x = x²−63.
x²−2x−63=0 → (x−9)(x+7)=0. 자연수이므로 x=9.

원래 값(x²) = 81

문제 3도형 · 기본

가로가 세로보다 3cm 긴 직사각형의 넓이가 54cm²일 때, 세로의 길이를 구하라.

풀이 — 세로 x, 가로 x+3

x(x+3)=54 → x²+3x−54=0 → (x+9)(x−6)=0. 길이는 양수이므로 x=6.

6cm

문제 4도형 · 진가

정사각형의 가로의 길이를 4cm만큼 늘이고, 세로의 길이를 3cm만큼 줄여서 만든 직사각형의 넓이가 60cm²일 때, 처음 정사각형의 한 변의 길이를 구하라.

풀이 — 정사각형 한 변 a

가로 a+4, 세로 a−3. (a+4)(a−3)=60.
a²+a−12=60 → a²+a−72=0 → (a+9)(a−8)=0. 길이는 양수이므로 a=8.

8cm

문제 5발사체 운동 · 진가

지면에서 초속 30m로 똑바로 위로 쏘아 올린 물체의 t초 후 높이가 (−5t²+30t)m라 한다. 이 물체의 높이가 40m가 되는 것은 쏘아 올린 지 몇 초 후인지 모두 구하라.

풀이 — 높이 식에 40 대입

−5t²+30t=40 → t²−6t+8=0 → (t−2)(t−4)=0.
t=2(올라가는 중), t=4(내려오는 중) — 같은 높이를 두 번 지난다.

2초 후, 4초 후

문제 6분배 문제

사탕 88개를 남김없이 학생들에게 똑같이 나누어 주려고 한다. 한 사람이 받는 사탕의 개수가 학생 수보다 3만큼 많을 때, 학생 수를 구하라.

풀이 — 학생 수 x, 한 사람 몫 x+3

x(x+3)=88 → x²+3x−88=0 → (x+11)(x−8)=0. 자연수이므로 x=8.

8명

문제 7도형 · 종합

직각삼각형의 밑변이 높이보다 7cm 길고, 넓이가 30cm²일 때, 높이를 구하라.

풀이 — 높이 x, 밑변 x+7

(1/2)x(x+7)=30 → x²+7x−60=0 → (x+12)(x−5)=0. 양수이므로 x=5.

5cm

문제 8발사체 운동 · 기본

지면에서 초속 20m로 쏘아 올린 물체의 t초 후 높이가 (−5t²+20t)m일 때, 물체가 다시 지면에 떨어지는 것은 몇 초 후인지 구하라.

풀이 — 높이가 0이 되는 시각

−5t²+20t=0 → −5t(t−4)=0 → t=0 또는 t=4. t=0은 출발이므로 제외.

4초 후

문제 9수의 관계

어떤 수에서 3을 뺀 수와 그 수에 2를 더한 수의 곱이 50일 때, 이 조건을 만족하는 양수를 구하라.

풀이 — 어떤 수 x

(x−3)(x+2)=50 → x²−x−6=50 → x²−x−56=0 → (x−8)(x+7)=0. 양수이므로 x=8.

문제 10종합 · 통로 문제

가로 12m, 세로 8m인 직사각형 잔디밭에 폭이 일정한 십자형 통로를 만들었더니 남은 잔디밭의 넓이가 63m²였다. 통로의 폭을 구하라.

풀이 — 통로를 한쪽으로 밀어 붙여 생각(이동 공식)

폭 x인 십자형 통로는 가로·세로를 각각 한쪽으로 밀어도 넓이가 같다: 남은 잔디 =(12−x)(8−x).
(12−x)(8−x)=63 → 96−20x+x²=63 → x²−20x+33=0 → (x−2)(x−18)=0.
세로(8m)보다 작아야 하므로 x=2.

제일 밑에 · 이 방법을 다른 학년·개념에 쓰는 비법

"상황을 식으로, 근을 걸러낸다" 하나로 최적화·물리까지

이차방정식의 활용에서 익힌 "조건을 식으로 옮기고 맞는 근만 남긴다"는 눈이, 학년이 올라가면 이차함수의 최적화·물리학 운동으로 그대로 이어집니다.

① 공통수학1 · 이차함수와 이차방정식의 관계

공통수학1 · 이차함수

이차방정식의 해는 이차함수 그래프와 x축의 교점이에요. 오늘 배운 근이 바로 그 교점의 x좌표예요.

② 공통수학1 · 최댓값·최솟값(최적화)

공통수학1 · 이차함수의 최대최소

넓이나 이익을 최대로 만드는 문제는 이차함수의 꼭짓점을 찾는 것과 같아요. 오늘의 도형 문제가 그 출발점이에요.

③ 물리학 · 포물선 운동

물리학

공을 던지거나 발사체를 쏘아 올리는 운동은 모두 이차식(포물선)으로 나타나요. 오늘의 발사체 문제가 실제 물리학의 기본 모델이에요.

④ 경제학 · 손익분기점

경제·경영

가격을 올리면 판매량이 줄어드는 상황에서 이익 함수는 이차식이 되고, 손익분기점은 이차방정식의 해로 구해요.

⑤ 건축·공학 · 최적 설계

공학·건축

일정한 재료로 넓이를 최대로 만드는 울타리·구조물 설계는 이차방정식·이차함수의 대표적인 실전 응용이에요.

도전 · 이 비법만으로 위 학년 문제 풀기

"상황을 식으로, 근을 걸러낸다" 하나로 함수·최적화·물리까지. 학년별 3문제씩!

도전 · 공통수학이차함수와의 관계

이차함수 y=x²−5x+6의 그래프가 x축과 만나는 두 점의 x좌표를 구하라.

풀이 — y=0인 이차방정식

x²−5x+6=0 → (x−2)(x−3)=0.

x = 2, 3

도전 · 공통수학최적화

둘레가 20m인 직사각형 중 넓이가 최대가 되는 가로의 길이를 구하라.

풀이 — 가로 x, 세로 10−x, 넓이 S=x(10−x)

S=−x²+10x=−(x−5)²+25. 꼭짓점에서 최대이므로 x=5.

5m (이때 정사각형)

도전 · 물리포물선 운동

지면에서 초속 40m로 쏘아 올린 물체가 지면에 다시 떨어지는 시각을 구하라. (h=−5t²+40t)

풀이

−5t²+40t=0 → −5t(t−8)=0 → t=8(t=0 제외).

8초 후

도전 · 경제손익분기점

어떤 상품의 이익이 P=−x²+12x−20(x는 판매 개수, 단위 만원)일 때, 이익이 0이 되는 판매 개수를 모두 구하라.

풀이

−x²+12x−20=0 → x²−12x+20=0 → (x−2)(x−10)=0.

x = 2, 10

도전 · 건축울타리 최적 설계

벽 한 쪽을 이용해 철망 24m로 나머지 세 변을 둘러 직사각형 밭을 만들 때, 넓이가 최대가 되는 밭의 넓이를 구하라.

풀이 — 벽과 평행한 변 x, 나머지 두 변 각 (24−x)/2

S=x·(24−x)/2=(1/2)(24x−x²)=(1/2)(−(x−12)²+144).
꼭짓점 x=12일 때 최대, S=72.

72m²

도전 · 종합십자형 통로 응용

가로 10m, 세로 7m인 밭에 폭이 일정한 십자형 통로를 만들었더니 남은 밭의 넓이가 42m²였다. 통로의 폭을 구하라.

풀이 — (10−x)(7−x)=42

70−17x+x²=42 → x²−17x+28=0 → (x−1)(x−16)=0. 세로(7m)보다 작아야 하므로 x=1.

※ 이 자료는 장대경 선생님이 실제 태블릿으로 직접 녹화한 강의 원본(G드라이브 비공개 소장분)에서 방법(문자로 놓기·식 세우기·근 걸러내기·발사체 운동)을 가져와, 클로드가 직접 로컬 음성인식(STT)+화면 프레임 판독으로 확인 후 전수 재검산한 새 예제로 재구성한 교육 자료입니다.

← 장대경 선생님의 특강 칼럼으로