먼저 · 이차함수 그래프 평행이동, 네 가지 무기
1
y축 방향 이동 — y=ax²+q는 y=ax²을 y축 방향으로 q만큼 이동, 꼭짓점 (0,q).
2
x축 방향 이동 — y=a(x−p)²는 y=ax²을 x축 방향으로 p만큼 이동, 꼭짓점 (p,0).
3
동시 이동 — y=a(x−p)²+q는 x축으로 p, y축으로 q만큼 이동, 꼭짓점 (p,q).
＋
지나는 점으로 미지수 구하기 — 그래프가 특정 점을 지난다는 조건을 식에 대입해서 미지수를 구한다.
이 개념, 학년마다 이렇게
🐣 초등 (직관)
종이 위 그림을 오른쪽·위쪽으로 밀면 모양은 그대로, 위치만 바뀐다는 "미끄러지기"를 체험한다.
📐 중3 (핵심)
y축 이동, x축 이동, 동시 이동으로 이차함수의 식과 꼭짓점을 구한다.
🎓 고등 (확장)
공통수학1의 이차함수 최댓값·최솟값, 도형의 평행이동·대칭이동 전체 단원으로 이어진다.
🐣 저학년 직관 — "모양은 그대로, 자리만 옮긴다"
도장을 종이에 찍고 그대로 오른쪽으로 스윽 밀어서 다시 찍으면, 모양은 똑같지만 위치만 달라져요. 이차함수 그래프도 똑같아요 — 모양(폭·방향)은 그대로, 꼭짓점 위치만 옮겨가요.
연습 10제 · 그림 해설
문제 1y축 이동 · 기본
이차함수 y=2x²의 그래프를 y축의 방향으로 −3만큼 평행이동한 그래프의 식과 꼭짓점의 좌표를 구하라.
풀이 — y 대신 y−q를 대입(q=−3)
- y=2x²−3. 꼭짓점은 (0,−3).
y=2x²−3, 꼭짓점 (0,−3)
문제 2x축 이동 · 기본
이차함수 y=−3x²의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼 평행이동한 그래프의 식과 꼭짓점의 좌표를 구하라.
풀이 — x 대신 x−p를 대입(p=2)
- y=−3(x−2)². 꼭짓점은 (2,0).
y=−3(x−2)², 꼭짓점 (2,0)
문제 3동시 이동
이차함수 y=(1/2)x²의 그래프를 x축의 방향으로 4, y축의 방향으로 −2만큼 평행이동한 그래프의 식과 꼭짓점의 좌표를 구하라.
풀이 — x 대신 x−4, y 대신 y+2
- y=(1/2)(x−4)²−2. 꼭짓점은 (4,−2).
y=(1/2)(x−4)²−2, 꼭짓점 (4,−2)
문제 4축의 방정식
이차함수 y=(x−3)²+1의 꼭짓점의 좌표와 축의 방정식을 구하라.
풀이 — y=a(x−p)²+q 꼴에서 바로 읽기
- 꼭짓점 (3,1), 축의 방정식 x=3.
꼭짓점 (3,1), x=3
문제 5지나는 점 · 진가
이차함수 y=−2(x+1)²의 그래프가 점 (k,−8)을 지날 때, k의 값을 모두 구하라.
풀이 — 점의 좌표를 식에 대입
- −2(k+1)²=−8 → (k+1)²=4 → k+1=±2.
- k=1 또는 k=−3.
k = 1 또는 −3
문제 6그래프의 성질
이차함수 y=−4x²의 그래프를 평행이동해도 변하지 않는 것을 모두 고르라. ① 그래프의 모양 ② 그래프가 볼록한 방향 ③ 꼭짓점의 위치 ④ 축의 방정식
풀이 — a값이 그대로면 모양·방향은 불변
- 평행이동은 위치만 바꾸므로 모양(①)과 볼록한 방향(②)은 그대로. 꼭짓점 위치(③)와 축(④)은 바뀐다.
① , ②
문제 7역방향 추론
이차함수 y=3x²의 그래프를 평행이동했더니 y=3(x+2)²−5가 되었다. x축, y축 방향으로 각각 얼마만큼 이동했는지 구하라.
풀이 — y=3(x−(−2))²+(−5) 형태로 보기
- x축 방향 −2만큼, y축 방향 −5만큼 이동.
x축 −2, y축 −5
문제 8그래프 비교
이차함수 y=5(x−1)²+2의 그래프는 y=5x²의 그래프보다 폭이 어떠한지 설명하라.
풀이 — a값이 같으면 폭도 같다
- 이차항의 계수 a=5로 같으므로, 폭은 같다(모양은 그대로, 위치만 이동).
폭이 같다
문제 9증가·감소
이차함수 y=(x+2)²−1에서 x<−2일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 어떻게 변하는지 구하라.
풀이 — 축(x=−2) 왼쪽은 아래로 볼록의 감소 구간
- 꼭짓점 (−2,−1)이고 위로 볼록/아래로 볼록 중 a=1>0이라 아래로 볼록. 축의 왼쪽(x<−2)에서는 x가 증가하면 y는 감소한다.
감소한다
문제 10종합
이차함수 y=a(x−p)²+q의 그래프의 꼭짓점이 (2,−3)이고 점 (4,5)를 지날 때, a의 값을 구하라.
풀이 — 꼭짓점으로 p,q 확정 후 점 대입
- 꼭짓점이 (2,−3)이므로 y=a(x−2)²−3.
- (4,5)를 대입: 5=a(4−2)²−3 → 5=4a−3 → a=2.
a = 2
제일 밑에 · 이 방법을 다른 학년·개념에 쓰는 비법
"x 대신 x−p, y 대신 y−q" 하나로 최댓값·도형이동까지
평행이동에서 익힌 "모양은 그대로, 위치만 옮긴다"는 눈이, 학년이 올라가면 함수의 최댓값·최솟값과 도형의 이동으로 그대로 이어집니다.
① 공통수학1 · 이차함수의 최댓값·최솟값
공통수학1 · 이차함수
꼭짓점의 y좌표가 바로 최댓값 또는 최솟값이에요. 오늘 배운 꼭짓점 찾기가 최적화 문제의 첫걸음이에요.
② 공통수학2 · 도형의 평행이동
공통수학2 · 도형의 방정식
원·직선 등 모든 도형의 평행이동은 x 대신 x−p, y 대신 y−q를 대입하는 오늘의 원리와 완전히 같아요.
③ 물리학 · 파동의 이동
물리학
파동이 시간에 따라 이동하는 그래프는 평행이동으로 표현돼요. 오늘의 원리가 파동 함수 해석의 기초예요.
④ 컴퓨터그래픽스 · 오브젝트 이동(translate)
컴퓨터공학
게임·애니메이션에서 물체를 화면 위에서 이동시키는 translate 연산이 바로 이 평행이동 원리예요.
⑤ 건축·설계 · 반복 패턴 배치
건축·디자인
같은 모양의 구조물을 일정 간격으로 반복 배치하는 설계는 평행이동의 반복 적용이에요.
도전 · 이 비법만으로 위 학년 문제 풀기
"모양은 그대로, 위치만 옮긴다" 하나로 최댓값·도형이동까지. 학년별 3문제씩!
도전 · 공통수학최댓값·최솟값
이차함수 y=−2(x−1)²+5의 최댓값을 구하라.
풀이 — 꼭짓점의 y좌표
- 위로 볼록(a<0)이므로 꼭짓점에서 최댓값. 꼭짓점 (1,5).
최댓값 5
도전 · 공통수학도형의 평행이동
원 x²+y²=9를 x축 방향으로 2, y축 방향으로 −1만큼 평행이동한 도형의 방정식을 구하라.
풀이 — x 대신 x−2, y 대신 y+1
- (x−2)²+(y+1)²=9.
(x−2)²+(y+1)²=9
도전 · 종합최적화 응용
이차함수 y=(x−3)²−4의 그래프가 x축과 만나는 두 점 사이의 거리를 구하라.
풀이 — y=0으로 놓고 x값 구하기
- (x−3)²=4 → x−3=±2 → x=1 또는 x=5. 거리는 5−1=4.
4
도전 · 물리파동 이동
시각 t=0에서의 파동 모양이 y=x²이고, 2초 후 오른쪽으로 3만큼 이동했다면 2초 후의 파동 함수를 구하라.
도전 · 공학translate 연산
화면 좌표 (5,2)에 있는 물체를 x방향으로 −3, y방향으로 4만큼 translate하면 새 좌표는 무엇인가?
풀이
- (5−3, 2+4)=(2,6).
(2, 6)
도전 · 종합꼭짓점 역산
이차함수 y=a(x−p)²+q의 그래프의 꼭짓점이 (−1,4)이고 점 (1,−4)를 지날 때, a의 값을 구하라.
풀이
- y=a(x+1)²+4. (1,−4) 대입: −4=a(2)²+4 → −8=4a → a=−2.
a = −2
※ 이 자료는 장대경 선생님이 실제 태블릿으로 직접 녹화한 강의 원본(G드라이브 비공개 소장분)에서 방법(y축이동·x축이동·동시이동·지나는점)을 가져와, 클로드가 직접 화면 프레임 판독으로 확인 후 전수 재검산한 새 예제로 재구성한 교육 자료입니다.