이름을 그대로 읽는다 —
R 직각(Right angle) · H 빗변(Hypotenuse) ·
A 각(Angle) · S 변(Side).
2
조건은 두 개뿐 —
RHA : 빗변이 같고 예각 하나가 같다.
RHS : 빗변이 같고 다른 한 변이 같다.
3
갈림길은 하나 —
빗변 말고 더 준 것이 각이면 RHA, 변이면 RHS. 앞 두 글자 RH 는 언제나 똑같다.
4
대응 순서 —
△ABC ≡ △DEF 라고 썼으면 A↔D, B↔E, C↔F.
"가는 길도 똑같아야 돼. 순서가 바뀌면 안 된다."
5
각의 이등분선 = 안에 원이 들어앉아 있다 —
이등분선 위의 점에서 두 변까지 거리는 반지름이라 같다(RHA).
거꾸로 두 거리가 같으면 그 점은 이등분선 위에 있다(RHS).
P 에서 두 변까지의 거리 PQ, PR 은
원의 반지름이라 언제나 같다. 두 주황 점은 반으로 갈린 같은 각.
※ 경계 하나 — 직각삼각형이라도 SSS · SAS · ASA 는 그대로 쓸 수 있다.
RHA · RHS 는 직각을 이미 하나 쥐고 있어서 덤으로 생긴 지름길일 뿐이다.
(SSS · SAS · ASA 와 SSA · AAA 함정은 「삼각형의 합동」 편에서 다룬다.)
이 개념, 학년마다 이렇게
🐣 초등 (직관)
직사각형 종이를 대각선으로 한 번 접으면 똑같은 직각삼각형 두 장이 겹쳐진다 — 손으로 포개 본다.
📐 중2 (핵심)
RHA · RHS 합동, 대응 순서, 각의 이등분선 성질과 그 역, 이등변삼각형에 내린 두 수선.
🎓 고등 (확장)
내심과 내접원의 반지름, 삼각형의 넓이 S = ½ r (a+b+c), 각의 이등분선 정리.
🐣 저학년 직관 — "직사각형 종이를 한 번 접어 보자"
직사각형 색종이의 마주 보는 두 꼭짓점을 맞춰 대각선을 따라 딱 한 번 접어요. 그러면 직각삼각형 두 장이 정확히 포개져요. 두 장은 쌍둥이, 즉 합동이에요.
여기서 보이는 게 오늘의 전부예요. 두 삼각형은 접힌 선(대각선)을 함께 쓰고 — 이게 바로 빗변이에요 — 직각도 둘 다 가지고 있어요. 그래서 한 가지만 더 같으면 쌍둥이가 돼요.
직각 + 빗변 + 딱 하나 더 = 쌍둥이!
연습 10제 · 그림 해설
문제 1C조건 고르기 · 기본
두 직각삼각형 △ABC(∠C = 90°)와
△DEF(∠F = 90°)에서 AB = DE 이다.
다음 중 두 삼각형이 합동이 되게 하는 조건을 모두 고르고, 그때의 합동 조건의 이름을 쓰라.
㉠ ∠A = ∠D
㉡ ∠B = ∠E
㉢ BC = EF
㉣ ∠C = ∠F
풀이 — 이미 가진 것(직각·빗변)에 무엇을 더 얹었는지만 본다
이미 가진 것 : ∠C = ∠F = 90°(R) 와 AB = DE(H). 여기에 하나를 더 얹는 문제다.
㉠ 예각 하나가 같다 → RHA 합동 ✓
㉡ 역시 예각 하나가 같다 → RHA 합동 ✓
㉢ 빗변이 아닌 한 변이 같다 → RHS 합동 ✓
⭐ 여기가 고비 — ㉣ 은 「새 정보」가 하나도 아니다∠C = ∠F 는 이미 문제에 주어져 있습니다. 둘 다 90° 라고 처음부터 썼으니까요.
그러니 ㉣ 을 고른 것은 아무것도 더 얹지 않은 것과 같습니다. 남은 것은 빗변 하나뿐 —
빗변만 같은 직각삼각형은 얼마든지 다르게 그릴 수 있습니다.
확인해 봅시다. 빗변이 10 인 직각삼각형은
(6, 8, 10) 도 되고 (5, 5√3, 10) 도 됩니다.
둘 다 직각이 있고 빗변이 10 인데 전혀 다른 삼각형이지요.
「이미 아는 것」을 다시 준 것은 조건이 아니다 — 이것이 이 유형의 첫 관문입니다.
검산 : ㉠ 을 쓰면 ∠B = 90° − ∠A = 90° − ∠D = ∠E 라 ㉡ 도 저절로 따라온다.
㉠ 과 ㉡ 이 같은 조건인 셈이니 둘 다 RHA 로 옳다 ✓
"직각이 있고 각을 가르쳐 줬어. 그러면 RHA 합동이라고. 두 번째는 각이 없어. 변을 가르쳐 줬어. 그럼 RHS 합동이다. 우리가 요렇게 알고 있자."— 장대경 선생님, 직각삼각형의 합동 (0:44~1:03)
㉠ RHA · ㉡ RHA · ㉢ RHS (㉣ 은 조건이 되지 못한다)
문제 2C각의 이등분선 · 기본
∠AOB 의 이등분선 위의 점 P 에서
OA, OB 에 내린 수선의 발을 각각 Q,
R 라 하자. PQ = 7 cm 이고
∠OPQ = 58° 일 때, PR 의 길이와
∠AOB 의 크기를 구하라.
두 초록 선이 P 에서 두 변까지의 거리다. 직각삼각형 하나만 보면 ∠AOB 의 절반이 나온다.
풀이 — 거리는 반지름이라 같고, 각은 절반부터 구한다
PQ = PR (이등분선 위의 점에서 두 변까지 거리는 같다) → PR = 7 cm.
⭐ 여기가 고비 — 구한 각이 「전체」가 아니라 「절반」이다△OPQ 에서 ∠OQP = 90°, ∠OPQ = 58° 이므로
∠QOP = 180° − 90° − 58° = 32° 입니다.
많은 학생이 여기서 멈추고 32° 를 답으로 적습니다.
그런데 OP 는 이등분선이라, ∠QOP 는
∠AOB 를 반으로 가른 한 쪽일 뿐입니다.
그림에서 주황 점이 두 개인 까닭이 그것입니다. 반쪽이 두 개 있으니
∠AOB = 32° × 2 = 64°.
「이등분」이라는 말이 나오면 마지막에 ×2 를 할 자리가 있는지 반드시 되돌아본다.
검산 : △OPQ 와 △OPR 는 RHA 합동이므로
∠ROP = 32°. 두 조각을 붙이면 32° + 32° = 64° ✓
또 ∠OPQ + ∠OPR = 58° + 58° = 116° 이고
116° + 64° + 90° + 90° = 360° — 사각형 OQPR 의 네 각 합과 맞는다 ✓
PR = 7 cm, ∠AOB = 64°
문제 3B이등분선 + 각 추적
∠C = 90° 인 △ABC 에서
∠A 의 이등분선이 BC 와 만나는 점을 D,
D 에서 AB 에 내린 수선의 발을 E 라 하자.
∠B = 36° 일 때 ∠ADC 와 ∠BDE 를 구하라.
주황 점선이 이등분선, 초록이 내린 수선. 초록 눈금 두 개는 합동에서 나오는 같은 길이다.
풀이 — 삼각형을 하나씩 골라 180°를 채운다
∠C = 90°, ∠B = 36° → ∠A = 180° − 90° − 36° = 54°.
이등분선이므로 ∠DAC = ∠DAE = 54° ÷ 2 = 27°.
△ADC 에서 ∠ADC = 180° − 90° − 27° = 63°.
⭐ 여기가 고비 — ∠BDE 는 「180°에서 두 조각을 빼는 각」이다∠BDE 를 ∠ADC 와 헷갈리기 쉬운 자리입니다.
B, D, C 가 한 직선 위에 있으니 점 D 에서
위쪽으로 벌어진 각들이 일직선(180°)을 채웁니다.
그 조각은 ∠ADC, ∠ADE, ∠BDE 셋입니다.
그런데 △ADE ≡ △ADC (빗변 AD 공통,
∠AED = ∠ACD = 90°, ∠DAE = ∠DAC → RHA) 이므로
∠ADE = ∠ADC = 63° 입니다. 그래서 ∠BDE = 180° − 63° − 63° = 54°.
합동을 「길이 옮기기」에만 쓰지 말고 「각 옮기기」에도 쓴다 — 그게 이 문제의 열쇠입니다.
검산 (다른 길) : △BDE 에서 ∠DEB = 90°,
∠B = 36° → ∠BDE = 180° − 90° − 36° = 54° ✓ 두 길이 같은 값.
좌표 검산 : BC = 155 로 두고 AC = 155 tan36° = 112.61 로 그린 뒤
실제로 재니 ∠ADC = 63.0000°, ∠BDE = 54.0000° ✓
"각을 가르쳐 줬으니까 무슨 합동이 돼야 되나. 그렇지, RHA 합동이다."— 장대경 선생님, 직각삼각형의 합동 (5:37~5:46)
∠ADC = 63°, ∠BDE = 54°
문제 4B이등분선의 역 · RHS
∠AOB 의 내부의 점 P 에서
OA, OB 에 내린 수선의 발을 각각 Q,
R 라 하자. PQ = PR = 6,
OP = 10 일 때 OQ 의 길이를 구하고,
OP 가 ∠AOB 를 이등분함을 설명하라.
풀이 — 이번엔 각을 준 게 아니라 변을 줬다
∠OQP = 90° 이므로 △OQP 는 직각삼각형이고
OP 가 빗변이다.
$OQ^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$ → OQ = 8.
(6 : 8 : 10 = 3 : 4 : 5 의 두 배 ✓)
⭐ 여기가 고비 — 여기서는 RHA 를 쓸 수가 없다
앞 문제들과 모양이 똑같아서 습관대로 RHA 를 꺼내기 쉬운 자리입니다.
그런데 이 문제는 각을 하나도 주지 않았습니다. 준 것은 PQ = PR —
변입니다. 그러니 갈림길에서 오른쪽, RHS 로 가야 합니다.
차려 보면 이렇습니다 —
R∠PQO = ∠PRO = 90° ·
HOP 는 두 삼각형이 함께 쓰는 공통 빗변 ·
SPQ = PR. 그래서 △POQ ≡ △POR (RHS) 이고,
대응각이므로 ∠QOP = ∠ROP — 즉 OP 가 이등분선입니다. 「거리가 같다 → 이등분선 위」 쪽은 언제나 RHS 로 보입니다.
「이등분선 위 → 거리가 같다」 쪽이 RHA 이고요. 방향이 다르면 이름도 다릅니다.
검산 : △POQ ≡ △POR 이므로 OR = OQ = 8 이고,
$8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 = 10^2$ 로 △OPR 도 맞아떨어진다 ✓
"각을 가르쳐 준 게 아니기 때문에."— 장대경 선생님, 직각삼각형의 합동 (10:11)
OQ = 8, 그리고 △POQ ≡ △POR (RHS) 이므로 ∠QOP = ∠ROP
문제 5B이등변삼각형 + 두 수선
AB = AC 인 △ABC 에서
B 에서 AC 에 내린 수선의 발을 D,
C 에서 AB 에 내린 수선의 발을 E 라 하자.
∠A = 44° 일 때, ∠DBC 의 크기를 구하고
BD = CE 임을 보여라.
초록 눈금은 AB = AC. 두 초록 선이 내린 수선이고, 구할 각이 x = ∠DBC 다.
⭐ 여기가 고비 — 어느 직각삼각형에서 재느냐∠DBC 는 B 에 있는 각이라 △ABD 에서 재고 싶어집니다.
그런데 △ABD 에서 바로 나오는 것은 ∠ABD 이지
∠DBC 가 아닙니다. 한 칸 더 빼야 하지요.
훨씬 짧은 길은 △BDC 를 보는 것입니다 —
그 안에 ∠DBC 가 통째로 들어 있으니까요.
△BDC 에서 ∠BDC = 90°,
∠DCB = ∠ACB = 68° 이므로
x = ∠DBC = 90° − 68° = 22°. 구하려는 각이 통째로 들어 있는 삼각형을 고르면 뺄셈이 한 번으로 끝납니다.
검산 (긴 길) : △ABD 에서 ∠ABD = 90° − 44° = 46°,
∠DBC = ∠ABC − ∠ABD = 68° − 46° = 22° ✓ 두 길이 같은 값.
BD = CE 인 까닭 : △DBC 와 △ECB 에서
BC 는 공통 빗변, ∠BDC = ∠CEB = 90°,
∠DCB = ∠EBC = 68° → RHA 합동. 대응변이므로 BD = CE.
좌표 검산 : AB = AC = 185 로 그린 뒤 재니
∠A = 44.0000°, ∠B = ∠C = 68.0000°,
∠DBC = ∠ECB = 22.0000°, BD = CE = 128.51 ✓
∠DBC = 22°, 그리고 △DBC ≡ △ECB (RHA) 이므로 BD = CE
문제 6B이등분선을 넓이에 쓴다
∠C = 90° 이고 AC = 12 cm,
BC = 5 cm, AB = 13 cm 인 △ABC 에서
∠A 의 이등분선이 BC 와 만나는 점을 D 라 하자.
△ABD 의 넓이를 구하라.
주황 점 두 개가 반으로 갈린 같은 각. 초록 선 DE 가 △ABD 의 높이다.
풀이 — 높이를 새로 재지 말고 이등분선으로 옮겨 온다
D 에서 AB 에 내린 수선의 발을 E 라 하면
△ADE ≡ △ADC (빗변 AD 공통 · 둘 다 직각 · 이등분한 각) → RHA.
그러므로 DE = DC. 이것이 AB 를 밑변으로 볼 때의 높이다.
⭐ 여기가 고비 — DC 는 「반으로 나눈 값」이 아니다BC = 5 이니 D 가 가운데라고 여겨
DC = 2.5 로 잡는 답이 가장 많습니다. 이등분한 것은 「각」이지 「변」이 아닙니다.
변이 갈리는 비율은 각의 이등분선 정리가 정합니다 —
BD : DC = AB : AC = 13 : 12.
$BD + DC = 5$ 이므로
$DC = 5 \times \dfrac{12}{25} = 2.4$, $BD = 5 \times \dfrac{13}{25} = 2.6$ 입니다.
비를 외우지 않아도 됩니다. ∠DAC = θ 라 두면
∠BAC = 2θ 이고 tan 2θ = 5/12 에서
tan θ = 1/5, DC = 12 × 1/5 = 2.4 로도 같은 값이 나옵니다.
「이등분」이라는 낱말을 보면 무엇이 이등분됐는지부터 확인합니다 — 각인가, 변인가.
그래서 DE = DC = 2.4, 밑변은 AB = 13.
$\triangle ABD = \tfrac{1}{2} \times 13 \times 2.4 = 15.6$.
검산 (다른 길) : 밑변을 BD 로 잡으면 높이가 AC 다.
$\tfrac{1}{2} \times 2.6 \times 12 = 15.6$ ✓ 두 길이 같은 값.
한 번 더 : △ABC 전체는 $\tfrac{1}{2}\times 5\times 12 = 30$ 이고
△ABD : △ADC = BD : DC = 2.6 : 2.4 이므로
$30 \times \dfrac{2.6}{5} = 15.6$ ✓
15.6 cm²
문제 7B직각을 옮겨 만드는 RHA · 진가
∠A = 90° 이고 AB = AC 인
△ABC 가 있다. 점 A 를 지나는 직선
ℓ 에 대하여 B, C 에서
ℓ 에 내린 수선의 발을 각각 D, E 라 하자.
BD = 8, CE = 5 일 때
DE 의 길이를 구하라. (단 ℓ 은 BC 와 만나지 않는다.)
직선 ℓ 은 A 를 지난다. D 와 E 는 A 를 사이에 두고 양쪽에 있다.
풀이 — 두 직각삼각형이 빗변을 나눠 갖고 있다
△ABD 에서 ∠ADB = 90° 이므로 빗변은 AB.
△CAE 에서 ∠CEA = 90° 이므로 빗변은 CA.
문제에서 AB = AC 라 했으니 두 빗변이 같다 ✓
⭐ 여기가 고비 — 같은 각이 어디에 숨어 있는지 찾아낸다
빗변이 같고 직각이 있으니 RHA 를 쓰려면 예각 하나가 더 필요합니다. 그런데 문제는 각을 하나도 주지 않았습니다.
그래서 같은 각을 직접 만들어 내야 합니다. 점 A 를 보세요.
D, A, E 가 한 직선 위에 있으므로 A 에 모인 세 각이 180° 를 채웁니다 —
∠BAD + ∠BAC + ∠CAE = 180°, 그런데 ∠BAC = 90° 이니
∠BAD + ∠CAE = 90°.
한편 △ABD 안에서도
∠BAD + ∠ABD = 90° 입니다(직각삼각형의 두 예각).
두 식을 견주면 ∠ABD = ∠CAE — 찾던 같은 각이 나왔습니다.
따라서 △ABD ≡ △CAE (RHA) 이고, 대응 순서
A↔C, B↔A, D↔E 를 그대로 읽으면
AD = CE = 5, BD = AE = 8 입니다. 「같은 각이 안 보이면 90°를 두 번 쪼개 본다」 — 이 한 줄이 이 유형 전부입니다.
D 와 E 가 A 의 양쪽에 있으므로
DE = AD + AE = 5 + 8 = 13.
검산 (좌표) : ℓ 을 x축으로,
A(0,0), B(−5,−8), C(8,−5) 로 두면
D(−5,0), E(8,0) 이고 BD = 8,
CE = 5 ✓
$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = (-5)(8)+(-8)(-5) = -40+40 = 0$ 이라
∠A = 90° ✓, $AB = AC = \sqrt{89}$ ✓,
DE = 8 − (−5) = 13 ✓
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 대응 순서를 뒤집으면"△ABD ≡ △ACE 니까 AD = AE, 그럼 DE = 8 + 8 = 16."△ABD 에서 AB 는 빗변이지만
△ACE 라고 쓰면 AC 가 빗변인 △CAE 의 자리를 A 로 시작하게 바꿔 버린 것이라
대응이 어긋납니다. 짝은 A↔C, B↔A, D↔E 입니다.
→ 짝지은 차례를 도형에서 다시 읽고 쓴다. "가는 길도 똑같아야 돼."
"가는 길도 똑같아야 돼. 순서가 바뀌면 안 된다."— 장대경 선생님, 직각삼각형의 합동 (1:47~1:55)
DE = 13
문제 8B세 이등분선이 만나는 점 · 넓이
△ABC 의 내부의 점 I 에서 세 변
AB, BC, CA 에 내린 수선의 발까지의 거리가
모두 4 로 같다. AB = 13,
BC = 14, CA = 15 일 때,
I 가 세 각의 이등분선 위에 있음을 밝히고 △ABC 의 넓이를 구하라.
세 초록 선의 길이가 모두 4 다. 그러면 I 를 중심으로 하는 원이 세 변에 딱 닿는다.
풀이 — 이등분선의 역을 세 번 쓰고, 삼각형을 세 조각으로 가른다
∠B 를 보자. I 는 BA 와
BC 까지 거리가 같다 → 문제 4 에서 본 대로 RHS 합동으로
I 는 ∠B 의 이등분선 위에 있다. ∠A, ∠C 도 똑같다.
그래서 I 는 세 각의 이등분선이 모두 지나는 점이고,
I 를 중심으로 반지름 4 인 원이 세 변에 닿는다.
⭐ 여기가 고비 — 밑변과 높이를 찾지 말고 셋으로 가른다13, 14, 15 만 보고 높이를 구하려 들면 계산이 길어집니다.
I 와 세 꼭짓점을 이어 삼각형을 세 조각으로 가르면 훨씬 빠릅니다 —
세 조각 △IAB, △IBC, △ICA 는
밑변이 각각 13, 14, 15 이고 높이가 모두 4 로 똑같습니다.
그 높이가 바로 "거리가 같다"고 준 4 입니다.
$S = \tfrac{1}{2}(13)(4) + \tfrac{1}{2}(14)(4) + \tfrac{1}{2}(15)(4)
= \tfrac{1}{2}\times 4 \times (13+14+15) = 2 \times 42 = 84$
일반형으로 쓰면 $S = \tfrac{1}{2} r (a+b+c)$ — 고등학교에서 그대로 다시 만나는 식입니다.
「세 변까지 거리가 같다」는 말은 「높이가 셋 다 같다」는 말입니다.
검산 (다른 길 · 헤론) : $s = \dfrac{13+14+15}{2} = 21$,
$S = \sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6} = \sqrt{7056} = 84$ ✓ 두 길이 같은 값.
한 번 더 (좌표) : B(0,0), C(14,0) 으로 두면
A(5,12) 이고 $S = \tfrac{1}{2}\times 14 \times 12 = 84$ ✓
이때 I(6,4) 로 세 변까지 거리가 모두 4 임도 맞는다 ✓
"각을 2등분 한다는 얘기는요, 안에 어떻게 원이 있다라고 우리가 알고 있으면 돼."— 장대경 선생님, 직각삼각형의 합동 (6:32)
넓이 84 (I 는 세 각의 이등분선 위 = 내접원의 중심)
문제 9B되는 것 · 안 되는 것 · 함정
다음 중 두 직각삼각형이 반드시 합동인 것을 모두 고르고, 되는 것에는 그 합동 조건의 이름을 쓰라.
㉠ 빗변의 길이가 같고, 한 예각의 크기가 같다
㉡ 두 예각의 크기가 각각 같다
㉢ 빗변의 길이가 같고, 빗변이 아닌 한 변의 길이가 같다
㉣ 빗변이 아닌 두 변의 길이가 각각 같다
㉤ 넓이가 같다
풀이 — 하나씩 「세 변이 정해지나」로 되물어 본다
㉠ 빗변 + 예각 → 그대로 RHA 합동 ✓
㉡ 두 예각만 같다 → 크기가 하나도 정해지지 않는다. (3,4,5) 와
(6,8,10) 은 각이 다 같지만 합동이 아니다. 닮음일 뿐 ✗
㉢ 빗변 + 다른 한 변 → RHS 합동 ✓
⭐ 여기가 고비 — ㉣ 은 합동이 맞지만 RHA 도 RHS 도 아니다
㉣ 을 보고 "빗변을 안 줬으니 안 되겠네" 하고 지우는 답이 가장 많습니다.
그런데 빗변이 아닌 두 변 = 직각을 낀 두 변 입니다. 그러니 이건
두 변과 그 끼인각(90°)이 같다 — SAS 합동이지요. 합동이 맞습니다.한 번 더 확인해 봅시다. 직각을 낀 두 변이 a, b 로 정해지면
빗변은 $\sqrt{a^2+b^2}$ 으로 자동으로 정해집니다. 세 변이 다 같아지니 SSS 로도 같은 결론입니다. 「직각삼각형의 합동 조건」이라고 하면 RHA·RHS 만 떠올리기 쉽지만,
SSS·SAS·ASA 도 그대로 쓸 수 있습니다. RHA·RHS 는 덤으로 생긴 지름길이지
다른 조건을 밀어낸 게 아닙니다.
㉤ 넓이만 같다 → 넓이 6 인 직각삼각형은 두 변이
(3,4) 여도 되고 (2,6) 여도 된다. ✗
검산 : ㉤ 의 두 예 — $\tfrac12\times3\times4 = 6$, $\tfrac12\times2\times6 = 6$ 이고
빗변은 각각 5 와 $\sqrt{40}$ 로 다르다 ✓
㉠ RHA · ㉢ RHS · ㉣ SAS (㉡ ㉤ 은 합동이 아니다)
도전 · 문제 10A이등분선 + 넓이 + 길이
∠AOB = 60° 이고 그 이등분선 위의 점 P 에서
OA, OB 에 내린 수선의 발을 각각 Q,
R 라 하자. OP = 12 cm 일 때,
사각형 OQPR 의 넓이와 QR 의 길이를 구하라.
∠AOB = 60° 를 OP 가 반으로 갈라 30° 씩이다. 주황 선이 구할 QR. 그림은 실제 비율 그대로 그렸다 — 각도기로 재어도 맞는다.
풀이 — 반쪽 하나만 풀고 두 배 한다, 그리고 △OQR 의 정체를 본다
OP 가 이등분선이므로 ∠QOP = ∠ROP = 30°.
△OQP 는 30°·60°·90° 직각삼각형이고 빗변이
OP = 12 다. 세 변의 비는 1 : √3 : 2 이므로
PQ = 6, $OQ = 6\sqrt{3}$.
△OQP ≡ △ORP (빗변 OP 공통 · 둘 다 직각 ·
∠QOP = ∠ROP → RHA) 이므로 PR = 6, $OR = 6\sqrt{3}$.
⭐ 여기가 고비 — QR 은 「빼서」 구하는 게 아니라 삼각형을 하나 더 봐야 한다QR 을 PQ + PR = 12 로 적거나
OQ 에서 무언가를 빼려는 답이 많습니다. 그런데
Q, P, R 는 한 직선 위에 있지 않습니다. 새 삼각형을 봐야 합니다.
여기서 △OQR 을 보세요 — 방금
$OQ = OR = 6\sqrt{3}$ 을 얻었고, 끼인각은 ∠QOR = 60° 입니다.
두 변이 같고 끼인각이 60° 인 삼각형은 정삼각형입니다.
까닭 : 이등변이므로 두 밑각이 같고, 세 각의 합이 180° 이니
밑각은 각각 $\dfrac{180° - 60°}{2} = 60°$ — 세 각이 모두 60° 입니다.
그러므로 $QR = OQ = 6\sqrt{3}$. 「두 변이 같고 끼인각 60°」는 정삼각형의 숨은 얼굴입니다. 이걸 알면 계산이 통째로 사라집니다.
검산 (다른 길) : 사각형 OQPR 에서
∠QPR = 360° − 90° − 90° − 60° = 120° 이고
PQ = PR = 6 이다. P 에서 QR 에 수선을 내리면
30°·60°·90° 가 둘 생기므로
$QR = 2 \times 6 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ ✓ 두 길이 같은 값.
넓이 검산 : $6\sqrt{3} \approx 10.392$ 이므로 $36\sqrt{3} \approx 62.35$.
사각형을 대각선 QR 로 갈라 다시 재도
$\tfrac12 \cdot QR \cdot (\text{O까지 거리}) + \tfrac12 \cdot QR \cdot (\text{P까지 거리})
= \tfrac12 (6\sqrt3)(9) + \tfrac12 (6\sqrt3)(3) = 27\sqrt3 + 9\sqrt3 = 36\sqrt3$ ✓
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — "이등분했으니 30°, 그럼 절반끼리 더하면 되겠지""PQ = PR = 6 이니까 QR = 6 + 6 = 12."
그건 Q, P, R 가 일직선 위에 있을 때만 맞는 말입니다.
여기서는 ∠QPR = 120° 라 꺾여 있으니 QR 은
12 보다 짧습니다 ($6\sqrt3 \approx 10.39 < 12$).
→ 길이를 더하기 전에 「세 점이 한 직선 위인가」를 먼저 확인한다.
사각형 OQPR = 36√3 cm², QR = 6√3 cm
🎯 오늘의 비법 — 다섯 줄로 줄이면
장대경 선생님이 이 강의에서 되풀이해 짚으신 말들이다.
① 직각이 있으니까 하나 덜 준다
"직각이 있고 각을 가르쳐 줬어 → RHA / 각이 없어, 변을 가르쳐 줬어 → RHS"
앞 두 글자 RH 는 언제나 똑같다. 갈리는 것은 마지막 한 글자뿐 — A 냐 S 냐.
② 누워 있는 것을 똑같이 만들어 놓고 짝을 짓는다
"가는 길도 똑같아야 돼. 순서가 바뀌면 안 된다"
돌아가 있거나 뒤집힌 그림은 먼저 같은 자세로 세워 놓고 대응을 읽는다.
③ 각을 이등분한다는 얘기는 안에 원이 있다는 얘기다
"원이 있기 때문에 이 길이, 이 길이가 바로 반지름이 된다"
이등분선 위의 점 → 두 변까지 거리가 같다(RHA). 거꾸로 거리가 같다 → 이등분선 위(RHS).
④ 공통변을 먼저 찾는다
"OP가 서로 공통으로 들어있다 이 말이야"
두 삼각형이 함께 쓰는 변이 대개 빗변(H)이다. 그걸 찾으면 남은 건 A 냐 S 냐뿐.
⑤ 같은 각이 안 보이면 90°를 두 번 쪼갠다
문제 7 의 열쇠
한 직선 위에서 ∠1 + 90° + ∠2 = 180°, 직각삼각형 안에서 ∠1 + ∠3 = 90°
→ ∠2 = ∠3. 각을 만들어 내는 가장 흔한 길이다.
※ 이 자료의 연습문제는 장대경 선생님의 방법(RHA·RHS 갈림길 · 대응 순서 · 각의 이등분선)을
새 문항으로 다시 지어 전부 직접 검산한 교육 자료입니다. 열 문제 모두 두 길로 값을 맞추어 확인했고,
도형은 좌표를 계산해 그렸습니다(원본 강의와 숫자·예제가 다릅니다).
인용문(청록 상자)만 원본 강의에서 그대로 옮긴 말씀입니다.