YEON MATH · 행복수학

순열 nPr 실전 완전정복
— 묶고, 세우고, 옮기고, 고른다 · 연습 10제

nPr 방정식 · 이웃하면 묶기 · 자리 이동 · 선택 · 빈자리 모형 · 교대 · 여사건 · 0이 낀 자연수 · 사전식 배열

연플래닝 ACADEMY

먼저 · 순열 문제를 푸는 무기 일곱 가지

1
nPr 은 n 에서 한 개씩 내려가며 r 개를 곱한다 — nPr = n(n−1)(n−2)⋯ 로 딱 r 개만 내려온다. 5P3 = 5·4·3, 3P2 = 3·2. 끝까지 다 내려오면 그것이 팩토리얼이다. 방정식이 나오면 양쪽을 펼쳐 놓고 같은 덩어리를 지운다.
2
「이웃한다」가 나오면 무조건 묶는다 — 이것이 첫 번째 걸음이다. 묶기 전에는 아무것도 세지 않는다.
3
묶은 덩어리를 하나로 보고 줄 세운다 — 덩어리 1개 + 나머지 개수를 더해 (그 개수)!.
4
묶음 안에서 자리를 바꾼다 — 가장 많이 빠뜨리는 걸음이다. 이것을 잊으면 답이 묶음 안의 팩토리얼만큼 통째로 작아진다.
5
「이웃하지 않게」는 빈자리를 만든다 — 나머지를 먼저 줄 세우면 사이와 양 끝에 빈자리가 생긴다. 그중 몇 자리를 골라 순서대로 꽂으면 nPr. ⛔ 묶어서 전체에서 빼면 안 된다 — 그건 전부 붙은 경우만 빼는 것이라 둘·셋만 붙은 경우가 남는다.
6
「교대로」는 적은 쪽을 먼저 세운다 — 적은 쪽 m 명을 세우면 빈자리가 m+1 곳 생긴다. 수가 하나 차이면 그 자리에 딱 맞고, 수가 같으면 어느 쪽으로 시작할지 두 가지라 × 2 를 해야 한다.
7
「적어도」는 여사건 · 0 은 맨 앞에 못 온다 · 사전식은 앞자리부터 — 「적어도」가 나오면 전체 − 그렇지 않은 경우. 0 이 낀 자연수는 맨 앞자리를 따로 세고, 짝·홀수는 끝자리부터 나눈다. 사전식은 앞자리를 한 칸씩 좁혀 가며 센다.
전체 n 에서 한 개씩 내려온다nn−1n−2⋯?여기까지 딱 r 개만 — 끝까지 가면 팩토리얼 나머지를 먼저 줄 세우면∨●∨●∨●∨●∨사이와 양 끝에 ∨ 자리가 생긴다

이 개념, 학년마다 이렇게

🐣 초등 (직관)
"세 아이가 한 줄로 서는 방법은?" 맨 앞에 3가지, 다음은 남은 2가지, 마지막 1가지 → 3 × 2 × 1. 이 줄서기가 순열의 씨앗이다.
📐 중2~중3 (준비)
경우의 수의 곱의 법칙. "자리마다 몇 가지인가"를 곱하는 손놀림이 그대로 nPr 이 된다. 0 이 낀 자연수 문제도 여기서 처음 만난다.
🎓 고1~고2 (확장)
순열 → 조합 nCr → 같은 것이 있는 순열 → 이항정리 → 확률. 「전체 − 아닌 것」은 그대로 여사건의 확률이 된다.

🐣 저학년 직관 — "자리마다 몇 가지인가"를 곱한다

철수, 영희, 민수 세 사람이 한 줄로 섭니다. 몇 가지 방법이 있을까요?

맨 앞에 올 사람은 3가지, 그다음은 남은 2가지, 마지막은 1가지 → 3 × 2 × 1 = 6가지.
이것이 바로 3! (3 팩토리얼) 입니다.

이번엔 세 사람 중에서 반장 한 명, 부반장 한 명만 뽑는다면? 반장이 3가지, 부반장은 남은 2가지 → 3 × 2 = 6가지.
이것이 3P2 예요. 끝까지 다 내려오면 팩토리얼, 도중에 멈추면 nPr 입니다.

한 줄로 서기 6가지  ·  반장·부반장 뽑기 6가지

⚠️ 여기서 학생들이 가장 많이 넘어집니다

① 「이웃하지 않게」를 묶어서 빼는 것 — 넷을 통째로 묶어 전체에서 빼면 넷이 모두 붙은 경우만 빠집니다. 둘만 붙은 경우, 셋만 붙은 경우가 그대로 남아 답이 훨씬 커집니다. 반드시 빈자리를 만들어 꽂으세요.

② 묶어서 줄만 세우고 「자리 이동」을 빠뜨리는 것 — 세 번째 걸음을 잊으면 답이 묶음 안의 팩토리얼만큼 통째로 작아집니다. 묶었으면 반드시 안에서도 센다고 손에 붙이세요.

③ 0 이 든 자연수에서 맨 앞자리를 그냥 세는 것 — 0 은 맨 앞에 올 수 없습니다. 게다가 짝수·홀수·배수를 물으면 끝자리가 먼저 정해져야 하므로, 끝자리부터 경우를 나누고 그다음 맨 앞을 셉니다.

④ 「교대로」에서 많은 쪽을 먼저 세우는 것 — 적은 쪽을 먼저 세워야 빈자리 개수와 남은 인원이 맞아떨어집니다. 그리고 양쪽 수가 같으면 어느 쪽으로 시작할지 두 가지이므로 × 2 를 빠뜨리지 마세요.

연습 10제 · 상세 해설

연습 1nPr 의 뜻
5P3 + 4P2 의 값을 구하시오.

풀이 — 몇 개까지 내려오는지만 본다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 아래 첨자가 「몇 개 내려오는가」를 말한다 nPr에서 학생이 헷갈리는 것은 딱 하나 — 어디까지 곱하나입니다. 큰 수 n에서 시작해 하나씩 줄이며 r번 곱하고 멈춥니다. 1까지 내려가지 않습니다. 그러니 5P3은 5에서 세 개(5·4·3), 4P2는 4에서 두 개(4·3). 「끝까지 다 내려오면 팩토리얼, 도중에 멈추면 nPr」입니다. 멈추는 자리를 손으로 확인하려면 네모를 r칸 그려 놓고 채우십시오 — 5P3이면 ▢▢▢ 세 칸에 5·4·3.
    그리고 P끼리는 더하기·빼기로 묶이지 않습니다 — 5P3 + 4P2는 각각 값을 낸 뒤에 더할 뿐, 9P5 같은 것이 아닙니다.
  2. 5P3 = 5 × 4 × 3 = 60.
  3. 4P2 = 4 × 3 = 12.
  4. 따라서 60 + 12 = 72.
  5. 검산 — 5P3 을 5! ÷ 2! = 120 ÷ 2 = 60 으로 계산해도 같다 ✓
72
연습 2nPr 방정식
nP2 = 132 를 만족시키는 자연수 n 의 값을 구하시오.

풀이 — 두 개만 내려온다

  1. nP2 = n(n−1) 이므로 n(n−1) = 132.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 이차방정식을 풀 것 없이 연속한 두 수의 곱으로 본다 n² − n − 132 = 0을 세워 인수분해해도 되지만, 이 유형은 훨씬 빠른 길이 있습니다. nP2 = n(n−1)은 언제나 이웃한 두 수의 곱이므로, 132가 어느 두 이웃 수의 곱인지만 찾으면 됩니다. √132 ≈ 11.5이니 11과 12 언저리를 짚어 보면 12 × 11 = 132 — 바로 맞습니다. 이 짐작이 언제나 통하는 까닭 : n(n−1)은 n² 보다 조금 작으므로 n은 √(값)보다 조금 큽니다. 그러니 제곱근을 어림한 뒤 그 바로 위 정수부터 대 보면 한두 번에 끝납니다.
    큰 쪽이 n이라는 것도 잊지 마십시오 — 12와 11 중 답은 12입니다.
  3. 132 를 연속한 두 수의 곱으로 쪼갠다 → 132 = 12 × 11. 따라서 n = 12.
  4. 검산 — 12P2 = 12 × 11 = 132 ✓ (식을 풀어도 n² − n − 132 = (n−12)(n+11) = 0 이고 n 은 자연수이므로 12)
n = 12
연습 3nPr 방정식
7Pr = 210 을 만족시키는 자연수 r 의 값을 구하시오.

풀이 — 7 부터 내려가며 세어 본다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 미지수가 아래에 있으면 「세어 내려간다」 앞 문제는 n(위)이 미지수라 식을 세웠지만, 여기는 r(아래)이 미지수입니다. 아래가 미지수인 방정식은 식으로 못 풉니다. 7부터 하나씩 곱해 내려가며 210이 나오는 순간에 멈추는 것이 정석입니다. 그렇게 해도 되는 근거가 있습니다 — 7Pr 은 r 이 커질수록 반드시 커집니다 (곱하는 수가 1보다 크니까요). 그러니 210을 지나치는 일은 있어도 두 번 만나는 일은 없습니다 — 답이 하나뿐입니다.
    「위가 미지수면 식을 세우고, 아래가 미지수면 세어 내려간다」 — 두 유형을 가르는 잣대입니다.
  2. 7 = 7 → 아직 210 이 아니다.
  3. 7 × 6 = 42 → 아직 아니다.
  4. 7 × 6 × 5 = 210 → 맞다. 세 개가 내려왔으므로 r = 3.
  5. 검산 — 하나 더 내려가면 7P4 = 210 × 4 = 840 으로 지나쳐 버린다 ✓ (nPr 은 r 이 커질수록 계속 커지므로 답은 하나뿐이다)
r = 3
연습 4양쪽을 펼쳐 지운다
nP3 = 6 × nP2 를 만족시키는 자연수 n 의 값을 구하시오.

풀이 — 같은 덩어리를 지운다

  1. 왼쪽은 세 개가 내려온다 → n(n−1)(n−2). 오른쪽은 두 개 → 6 × n(n−1).
  2. ⭐ 여기가 고비 — 지워도 되는가를 먼저 따진다 양쪽에 똑같이 있는 n(n−1)을 지우면 n − 2 = 6으로 단숨에 끝납니다. 그런데 0으로 나누면 안 되므로, 지우기 전에 n(n−1) ≠ 0인지 확인해야 합니다. nP3이 뜻을 가지려면 n ≥ 3이어야 하니 n(n−1)은 0이 될 수 없습니다 — 안심하고 지웁니다. 이 확인을 건너뛰면 어떤 문제에서는 있지도 않은 해를 잃거나 없는 해를 얻습니다.
    nPr 방정식의 정석은 「펼쳐 놓고 · 조건을 확인하고 · 같은 덩어리를 지운다」입니다. 펼쳐 쓰지 않고 공식만 노려보면 지울 것이 보이지 않습니다.
  3. 지우면 n − 2 = 6 → n = 8.
  4. 검산 — 8P3 = 8·7·6 = 336, 6 × 8P2 = 6 × 56 = 336 ✓
※ n(n−1) 을 지울 수 있는 까닭은 n ≥ 3 이라 0 이 아니기 때문이다. nPr 방정식은 늘 이렇게 펼쳐 놓고 지운다.
n = 8
연습 5이웃하면 묶는다 · 자리 이동
부모 2명과 자녀 3명, 모두 5명을 한 줄로 세울 때 부모끼리 이웃하도록 세우는 방법의 수를 구하시오.

풀이 — 묶고, 세우고, 옮긴다

  1. ① 묶어라 — 부모 2명을 한 덩어리로 묶는다.
  2. ② 줄 세워라 — 덩어리 1개 + 자녀 3명 = 모두 4개 → 4! = 24.
  3. ⭐ 여기가 고비 — ③ 자리 이동을 잊으면 답이 정확히 절반이 된다 묶어서 줄을 세우는 순간, 묶음 안쪽 사정은 셈에서 잠시 눈감은 상태가 됩니다. 아버지가 왼쪽인지 어머니가 왼쪽인지가 아직 안 정해졌지요. 그래서 줄세우기가 끝난 뒤 반드시 안을 다시 셉니다 — 2! = 2. 이 걸음을 빠뜨리면 답이 묶음 안의 팩토리얼만큼 통째로 작아집니다. 둘을 묶었으면 2배, 셋을 묶었으면 6배가 빕니다.
    「묶어라 · 줄 세워라 · 자리 이동」 세 걸음은 한 몸이라고 손에 붙이십시오. 묶는 순간 연필로 「×2!」를 미리 적어 두는 것도 좋은 버릇입니다.
  4. 따라서 24 × 2 = 48.
  5. 검산 — 다섯 사람을 세우는 방법 전체는 5! = 120 가지. 부모가 나란히 설 자리는 4곳이고 각 자리마다 부모 순서 2가지, 나머지 세 자녀가 3! = 6 가지이므로 4 × 2 × 6 = 48 ✓
"묶어라 · 줄 세워라 · 자리 이동 · 선택 — 순서를 바꾸지 마라. 세 번째를 잊으면 답이 통째로 작아진다."— 장대경 선생님 제58강 순열 실전
48가지
연습 6이웃하지 않게 = 빈자리
남학생 3명과 여학생 4명, 모두 7명을 한 줄로 세울 때 남학생끼리는 어느 두 사람도 이웃하지 않도록 세우는 방법의 수를 구하시오.
∨여∨여∨여∨여∨∨ 자리에 남학생을 하나씩 꽂는다

풀이 — 여학생을 먼저 세워 빈자리를 만든다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 「이웃하지 않게」는 빼는 문제가 아니라 「자리를 만드는」 문제 「이웃하게」는 묶어서 셌으니 「이웃하지 않게」도 전체에서 빼면 될 것 같지만, 그러면 반드시 틀립니다. 남학생 셋을 묶어 빼면 셋이 모두 붙은 경우만 빠지고, 둘만 붙은 경우는 그대로 남기 때문입니다. 그래서 방향을 바꿉니다 — 여학생(조건이 없는 쪽)을 먼저 세워 자리를 만들고, 그 사이·양 끝에 생긴 빈자리 5곳에 남학생을 하나씩만 꽂습니다. 그러면 남학생끼리는 절대 붙을 수 없습니다. 빈자리가 5곳인 까닭 — 여학생 4명을 ▢▢▢▢로 세우면 _▢_▢_▢_▢_ 처럼 사이 3곳 + 양 끝 2곳 = 4 + 1 = 5곳입니다.
    그리고 남학생도 서로 다른 사람이니 고른 뒤 순서까지 정해야 합니다 → 5P3.
    「조건을 나중에 검사하지 말고, 조건이 저절로 지켜지는 자리를 만들어 놓고 센다」 — 이것이 빈자리 모형의 힘입니다.
  2. 여학생 4명을 먼저 줄 세운다 → 4! = 24.
  3. 빈자리 5곳 중 3곳을 골라 남학생을 순서대로 앉힌다 → 5P3 = 5 × 4 × 3 = 60.
  4. 따라서 24 × 60 = 1440.
  5. 검산 — 일곱 사람을 세우는 5040가지를 하나하나 살펴 남학생 둘이 나란한 것을 모두 빼면 1440 ✓
"이웃하지 않게는 빈자리 — 묶어서 전체에서 빼면 틀린다. 그건 전부 붙은 경우만 뺀 것이다."— 장대경 선생님 제58강 순열 실전
⛔ 남학생 3명을 통째로 묶어 전체에서 빼면 안 된다. 7! − 5!·3! = 5040 − 720 = 4320 이 되어 답과 전혀 다르다 — 그건 셋이 모두 붙은 경우만 뺀 것이라 둘만 붙은 경우가 그대로 남아 있기 때문이다.
1440가지
연습 7교대로 · 수가 같을 때
남학생 3명과 여학생 3명, 모두 6명을 한 줄로 세울 때 남학생과 여학생이 교대로 서도록 세우는 방법의 수를 구하시오.

풀이 — 수가 같으면 시작을 두 쪽 다 잡을 수 있다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 수가 같을 때만 붙는 「× 2」 교대로 세우려면 줄의 모양부터 정해야 합니다. 남 3 · 여 3처럼 수가 같으면 남여남여남여와 여남여남여남 두 모양이 다 가능합니다 — 그래서 × 2. 그런데 남 3 · 여 4처럼 하나 차이면 모양은 여남여남여남여 하나뿐이라 × 2가 붙지 않습니다. 왜 하나 차이면 하나뿐인가 — 많은 쪽이 반드시 양 끝을 차지해야 교대가 이어지기 때문입니다. 남학생으로 시작하면 남여남여남여…가 되어 남학생이 하나 더 필요해지지요.
    「교대로는 적은 쪽을 먼저 세워라」가 이 유형의 손놀림입니다 — 적은 쪽을 세우면 빈자리 개수와 남은 인원이 저절로 맞아떨어져 모양을 헤아릴 일이 없습니다.
    수가 같을 때만 「어느 쪽으로 시작할까」가 남아 × 2입니다.
  2. 모양은 남여남여남여 또는 여남여남여남 둘 → 2가지.
  3. 각 모양에서 남학생 세 자리에 남학생 셋 3! = 6, 여학생 세 자리에 여학생 셋 3! = 6.
  4. 따라서 2 × 6 × 6 = 72.
  5. 검산 — 여섯 사람을 세우는 720가지를 하나하나 살펴 이웃한 두 사람의 성별이 늘 다른 것을 세면 72 ✓
※ 수가 하나 차이일 때는 × 2 가 없다. 적은 쪽을 먼저 세우면 시작 모양이 하나로 정해지기 때문이다(예: 남 3, 여 4 → 여남여남여남여 하나뿐).
"교대로는 적은 쪽을 먼저 — 적은 쪽을 세우고, 그 사이와 양 끝에 생긴 빈자리에 나머지를 넣는다."— 장대경 선생님 제58강 순열 실전
72가지
연습 8적어도 = 여사건
P, R, O, D, U, C, E 의 7개 문자를 한 줄로 나열할 때, 적어도 한쪽 끝에 모음이 오는 경우의 수를 구하시오. (모음은 O, U, E 세 개이다.)

풀이 — 전체에서 「그렇지 않은 것」을 뺀다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 「적어도」의 반대말을 정확히 세우는 것 「적어도 한쪽 끝에 모음」을 곧이곧대로 세면 왼쪽만 모음 · 오른쪽만 모음 · 양쪽 다 모음 세 갈래로 갈리고 겹치는 부분까지 빼야 해서 손이 많이 갑니다. 그래서 반대로 갑니다. 반대말은 「양쪽 끝이 둘 다 자음」 하나뿐입니다 — 갈래가 없어 한 번에 셉니다. 여기서 실수가 나는 자리는 반대말을 「양쪽 끝이 둘 다 모음」으로 잘못 잡는 것입니다. 「적어도 하나」의 반대는 「하나도 없다」이지 「모두다」가 아닙니다.
    자음은 P·R·D·C 넷이므로 양 끝에 순서대로 놓는 방법이 4P2 = 12, 가운데 다섯 자리는 자유라 5! = 120.
    「적어도가 나오면 여사건 — 전체에서 그렇지 않은 경우를 뺀다」가 이 유형의 첫 손놀림입니다.
  2. 전체 나열 방법 → 7! = 5040.
  3. 반대 경우(양 끝 둘 다 자음): 4P2 = 12 × 5! = 120 → 1440.
  4. 따라서 5040 − 1440 = 3600.
  5. 검산 — 5040가지를 하나하나 살펴 첫 글자 또는 끝 글자가 모음인 것을 세면 3600 ✓
"적어도가 나오면 여사건 — 전체에서 그렇지 않은 경우를 뺀다."— 장대경 선생님 제58강 순열 실전
3600가지
연습 90 이 낀 자연수 · 끝자리부터
0, 1, 2, 3, 4, 5 의 여섯 개 숫자에서 서로 다른 세 개를 뽑아 만든 세 자리 자연수 중 홀수의 개수를 구하시오.

풀이 — 끝자리를 먼저 정한다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 제한이 두 곳이라 「어느 자리를 먼저 정하나」가 답을 가른다 이 문제에는 제한이 두 개 걸려 있습니다 — 끝자리는 홀수, 맨 앞자리는 0이 아님. 어느 쪽을 먼저 정하느냐에 따라 셈이 되거나 엉킵니다. 끝자리를 먼저 정해야 합니다. 끝자리를 1·3·5 중 하나로 못 박아 놓으면, 맨 앞에서 뺄 것이 0과 그 끝자리 하나로 언제나 똑같아 6 − 2 = 4가지로 고정됩니다. 그다음 가운데는 0이 다시 살아나 남은 4가지. 거꾸로 맨 앞을 먼저 정하면 무슨 일이 생기는지 보십시오 — 맨 앞에 홀수(1·3·5)를 썼는지 짝수(2·4)를 썼는지에 따라 끝자리에 남은 홀수가 2개일 수도 3개일 수도 있어 경우를 또 갈라야 합니다.
    「제한이 걸린 자리부터, 그중에서도 더 빡빡한 자리부터 정한다」가 규칙입니다. 여기서는 끝자리(3가지)가 맨 앞(5가지)보다 빡빡합니다.
  2. 끝자리(홀수) 3가지 → 맨 앞자리(0과 끝자리 숫자를 뺀) 4가지 → 가운데 4가지.
  3. 따라서 3 × 4 × 4 = 48.
  4. 검산 — 세 자리 자연수는 모두 5 × 5 × 4 = 100 개인데, 그것을 하나하나 늘어놓아 홀수를 세면 48 ✓
⛔ 끝자리를 나중에 정하면 반드시 틀린다. 맨 앞을 먼저 정해 버리면 "그 숫자가 0 이었는지"에 따라 끝자리 가짓수가 달라져 셈이 엉킨다. 제한이 걸린 자리부터 정하는 것이 규칙이다.
"0은 맨 앞에 못 온다 — 0이 끼면 반드시 끝자리부터 나눠서 센다."— 장대경 선생님 제58강 순열 실전
48개
연습 10사전식 배열
1, 2, 3, 4, 5 를 한 번씩 모두 사용하여 만든 다섯 자리 자연수를 작은 것부터 차례로 늘어놓을 때, 45번째 수를 구하시오.

풀이 — 앞자리를 한 칸씩 좁혀 간다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 몇 번째인지를 「빼면서」 따라간다 45번째를 찾으려고 45개를 쓰면 안 됩니다. 앞자리를 하나 못 박을 때마다 뒤 개수는 (남은 개수)!로 정해지므로, 그 뭉텅이를 통째로 건너뛰면서 순번을 깎아 나가는 것이 방법입니다. 1로 시작하는 24개를 지나면 45 − 24 = 21. 즉 2로 시작하는 것 중 21번째를 찾는 문제로 줄어듭니다. 이 「깎기」가 이 유형의 전부입니다 — 같은 물음이 한 자리씩 짧아진 채로 되풀이됩니다.
    2 다음 자리는 1·3·4·5 차례이고 각각 3! = 6개이니 21 − 6(21□) − 6(23□) − 6(24□) = 3 → 25로 시작하는 것 중 3번째.
    답이 나온 뒤에는 반드시 「몇 번째인가」를 되짚어 세어 보십시오 — 깎기는 한 칸만 어긋나도 답이 바뀝니다.
  2. 맨 앞이 1 인 수 → 4! = 24 개 (1~24번째).
  3. 맨 앞이 2 인 수 → 또 24 개 (25~48번째). 45번째는 여기, 2로 시작하는 것 중 21번째.
  4. 2 다음 자리로 좁힌다. 21□□□ 이 3! = 6 개 (25~30), 23□□□ 이 6개 (31~36), 24□□□ 이 6개 (37~42), 25□□□ 이 6개 (43~48).
  5. 45번째는 25 로 시작하는 것 중 세 번째. 남은 숫자는 1, 3, 4 이므로 작은 것부터 25134(43번째), 25143(44번째), 25314(45번째).
  6. 따라서 답은 25314.
  7. 검산 — 120개를 모두 작은 것부터 늘어놓으면 43~47번째가 25134 · 25143 · 25314 · 25341 · 25413 ✓
25314

도전 6제 · 한 걸음 더

도전 1답이 둘일 수도 있다
(n+2)P3 = 12 × nP2 를 만족시키는 자연수 n 의 값을 모두 구하시오.

풀이 — 지우고 나면 이차방정식이 남는다

  1. 왼쪽은 n+2 에서 세 개 → (n+2)(n+1)n. 오른쪽은 12 · n(n−1).
  2. 양쪽에 있는 n 을 지운다 (n ≥ 2 라 0 이 아니다) → (n+2)(n+1) = 12(n−1).
  3. 펼치면 n² + 3n + 2 = 12n − 12 → n² − 9n + 14 = 0.
  4. 인수분해하면 (n−2)(n−7) = 0 → n = 2 또는 n = 7.
  5. ⭐ 여기가 고비 — 해가 둘 나왔을 때 버릴 것이 있는지 되짚는 것 연습 4에서는 지우고 나니 일차식이 남아 답이 하나였는데, 여기서는 이차방정식이 남아 n = 2, 7 둘이 나옵니다. 이럴 때 기계적으로 둘 다 쓰면 안 됩니다. 반드시 「식이 뜻을 가지는 범위」에 넣어 봅니다. 여기서 필요한 것은 nP2가 성립할 n ≥ 2 (그리고 (n+2)P3은 n + 2 ≥ 3, 즉 n ≥ 1) — 둘 다 통과합니다. 만약 답이 n = 1이었다면 1P2가 성립하지 않아 버려야 합니다.
    「nPr 은 n ≥ r 일 때만 뜻이 있다」가 그 잣대입니다. 방정식을 푼 뒤 답을 원래 식에 도로 넣어 보는 것이 가장 확실합니다 — 그것이 아래 검산입니다.
  6. 검산 — n = 2 : 4P3 = 4·3·2 = 24, 12 × 2P2 = 12 × 2 = 24 ✓  /  n = 7 : 9P3 = 9·8·7 = 504, 12 × 7P2 = 12 × 42 = 504 ✓
※ 연습 4 처럼 한 번에 지워지지 않는 경우다. 지운 뒤 이차방정식이 남으면 두 해가 모두 뜻이 있는지를 반드시 되짚는다.
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 「자연수니까 큰 것만」이라 여기면 (n−2)(n−7) = 0에서 "작은 n = 2는 아마 안 되겠지" 하고 7만 답으로 쓰는 경우가 많습니다. 하지만 넣어 보면 4P3 = 24, 12 × 2P2 = 24로 버젓이 성립합니다. → 느낌으로 버리지 말고 원래 식에 넣어 보십시오. 버릴 근거는 「n < r이라 뜻이 없다」뿐입니다.
n = 2 또는 n = 7
도전 2뽑아서 세우기
M, O, N, D, A, Y 의 6개 문자 중에서 서로 다른 3개를 뽑아 한 줄로 나열할 때, 모음으로 시작하는 문자열의 개수를 구하시오. (모음은 O, A 두 개이다.)

풀이 — 못 박힌 자리를 먼저 정한다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 6개 중 3개만 뽑는데도 남은 글자가 5개인 것 「6개 중 3개를 뽑는다」에 사로잡히면 둘째·셋째 자리를 3P2나 2P2로 세는 실수를 합니다. 뽑지 않은 글자도 여전히 후보입니다. 맨 앞에 한 글자를 썼으니 남은 두 자리의 후보는 6 − 1 = 5글자 — 5P2 = 20. 「3개를 뽑는다」는 「자리가 3칸이다」라는 뜻일 뿐, 후보가 3개로 줄었다는 말이 아닙니다.
    자리를 네모로 그려 놓고 「이 칸에 올 수 있는 글자가 몇 개인가」만 물으십시오 — ▢▢▢ 에 2 · 5 · 4가 아니라 2 · 5 · 4… 실은 둘째 5, 셋째 4로 5P2가 그것입니다.
    「못 박힌 자리를 먼저, 자유로운 자리는 나중에」 — 순서만 지키면 엉키지 않습니다.
  2. 맨 앞자리는 모음이어야 한다 → O, A 중 하나 → 2가지.
  3. 남은 두 자리에는 남은 다섯 글자 중 두 개를 골라 순서대로 넣는다 → 5P2 = 5 × 4 = 20.
  4. 따라서 2 × 20 = 40.
  5. 검산 — 여섯 글자에서 세 글자를 뽑아 세우는 것은 모두 6P3 = 120 가지인데, 그것을 하나하나 늘어놓아 첫 글자가 O 또는 A 인 것을 세면 40 ✓ (첫 글자가 여섯 글자에 고르게 나뉘므로 120 × 26 = 40 으로도 맞다)
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 뽑고 나서 세면 "모음 2개 중 1개, 남은 자음 4개 중 2개를 세우니 2 × 4P2 = 24." 남은 모음 하나를 빠뜨렸습니다. 첫 글자가 O였다면 뒤에 A가 올 수 있고, 그 반대도 그렇습니다. → 「쓴 글자 하나만 빠진다」가 원칙입니다. 남은 후보는 자음 4 + 모음 1 = 5개. 답은 40.
40개
도전 30 이 낀 자연수 · 크기 비교
0, 1, 2, 3, 4, 5 의 여섯 개 숫자에서 서로 다른 네 개를 뽑아 만든 네 자리 자연수 중 3400보다 큰 수의 개수를 구하시오.

풀이 — 맨 앞자리부터 경우를 나눈다

  1. 맨 앞이 4 또는 5 인 경우 — 무조건 3400보다 크다. 맨 앞 2가지, 나머지 세 자리는 남은 다섯 숫자에서 5P3 = 60 → 2 × 60 = 120.
  2. 맨 앞이 3 인 경우 — 3400보다 크려면 둘째 자리가 4 이상이어야 한다 → 4 또는 5 → 2가지.
  3. ⭐ 여기가 고비 — 34□□ 를 통째로 넣어도 되는가(경계선 확인) 맨 앞이 3이고 둘째가 4인 34□□ 무리는 3400에 가장 가까워, 3400 이하인 것이 섞여 있지 않은지 반드시 봐야 합니다. 숫자는 서로 달라야 하므로 3·4를 쓰고 남은 것은 0·1·2·5. 그중 가장 작은 두 자리 배열은 02가 아니라… 0과 1로 만드는 3401입니다 — 그런데 1이 남아 있으니 3401도 만들 수 있고, 이것은 3400보다 큽니다. 가장 작은 수 3401 > 3400이므로 12가지 전부가 조건을 만족합니다. 만약 문제가 「3402보다 큰」이었다면 3401 하나를 빼야 했을 것입니다. 경계선 근처의 뭉텅이는 「그 안에서 가장 작은 수」를 실제로 만들어 보는 것이 유일하게 안전한 확인법입니다.
    나머지 뭉텅이(맨 앞 4·5, 그리고 35□□)는 경계에서 멀어 통째로 넣어도 됩니다.
  4. 둘째 자리가 4 일 때 남은 숫자는 0, 1, 2, 5 이고 뒤 두 자리는 4P2 = 12 가지 — 모두 3400보다 크다.
  5. 둘째 자리가 5 일 때도 4P2 = 12 가지. 합하면 12 + 12 = 24.
  6. 따라서 120 + 24 = 144.
  7. 검산 — 네 자리 자연수는 모두 5 × 5P3 = 300 개인데, 그것을 하나하나 늘어놓아 3400보다 큰 것을 세면 144 ✓ (맨 앞 4·5 가 120, 맨 앞 3 이 24)
※ 맨 앞이 1 또는 2 이면 아무리 커도 2999 아래라 셀 것이 없다. 맨 앞이 0 인 것은 네 자리 자연수가 아니다.
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 맨 앞이 3이면 다 된다고 여기면 "맨 앞이 3·4·5면 되겠지" → 3 × 5P3 = 3 × 60 = 180. 그러면 3012 · 3105 · 3210 같은 수까지 들어갑니다. 이들은 3400보다 작습니다. → 맨 앞이 경계와 같은 숫자일 때만 둘째 자리를 다시 따집니다. 3으로 시작하는 것 중에서는 34□□·35□□ 만 살아남아 24가지.
144개
도전 4묶고 + 자리까지 제한
남학생 4명과 여학생 3명, 모두 7명을 한 줄로 세울 때 여학생 3명이 모두 이웃하고, 그 여학생 덩어리가 줄의 양 끝에는 오지 않도록 세우는 방법의 수를 구하시오.

풀이 — 묶은 다음, 덩어리의 자리를 따로 센다

  1. ① 묶어라 — 여학생 3명을 한 덩어리로 묶는다. 그러면 덩어리 1개 + 남학생 4명 = 모두 5개를 세우는 문제가 된다.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 「양 끝」이 일곱 자리가 아니라 「다섯 단위」의 양 끝인 것 "줄의 양 끝에 오지 않게"라는 말에 일곱 자리를 떠올리면 셈이 엉킵니다. 묶고 나면 세우는 대상은 덩어리 1 + 남학생 4 = 다섯 단위이고, 「양 끝」도 그 다섯 자리의 1번째·5번째를 뜻합니다. 그러니 덩어리가 앉을 수 있는 곳은 2·3·4번째 세 자리. 실제로 확인해 보십시오 — 덩어리가 다섯 단위 중 2번째에 오면 줄에서는 남·여여여·남남남이 되어 양 끝이 남학생입니다 ✓
    「묶은 뒤에는 모든 것을 「단위」로 다시 센다」가 원칙입니다 — 자리 수도, 양 끝도, 이웃도 전부 단위 기준입니다.
    같은 값을 다른 길로도 얻습니다 : 제한 없는 5! × 3! = 720에 덩어리가 가운데 세 자리에 올 비율 3/5를 곱하면 432 ✓
  3. 덩어리의 자리 — 다섯 자리 중 양 끝(1번째·5번째)을 뺀 2·3·4번째 → 3가지.
  4. ② 줄 세워라 — 남은 네 자리에 남학생 4명 → 4! = 24.
  5. ③ 자리 이동 — 묶음 안에서 여학생 셋 → 3! = 6.
  6. 따라서 3 × 24 × 6 = 432.
  7. 검산 — 일곱 사람을 세우는 5040가지를 하나하나 살펴, 여학생 셋이 붙어 있으면서 그 덩어리가 양 끝에 닿지 않는 것을 세면 432 ✓ (제한이 없으면 5! × 3! = 720 인데 양 끝 두 자리를 빼서 720 × 35 = 432 로도 맞다)
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 일곱 자리에서 양 끝을 빼면 "일곱 자리 중 양 끝을 뺀 다섯 자리에 덩어리를 놓자" → 자리를 5가지로 세어 5 × 24 × 6 = 720. 그런데 덩어리는 세 칸을 차지합니다. 일곱 자리 중 6번째에 놓으면 여덟 번째 자리가 필요해 줄 밖으로 나갑니다. → 묶은 뒤에는 「단위」로 세십시오. 다섯 단위의 2·3·4번째, 곧 3가지. 답은 432.
432가지
도전 5사전식 — 거꾸로 묻기
a, b, c, d, e 를 한 번씩 모두 사용하여 만든 문자열을 사전식으로 배열할 때, cbade 는 몇 번째인지 구하시오.

풀이 — 앞에 몇 개가 지나갔는지를 센다

  1. a 로 시작하는 것 → 4! = 24 개 (1~24번째).
  2. b 로 시작하는 것 → 4! = 24 개 (25~48번째). 여기까지 48개.
  3. ⭐ 여기가 고비 — 「몇 번째냐」는 앞에 지나간 것을 더하고 +1 연습 10은 「45번째가 무엇이냐」였고 여기는 거꾸로 「cbade가 몇 번째냐」입니다. 손놀림은 똑같지만 방향만 반대입니다 — cbade보다 앞에 오는 것을 모두 세고 마지막에 1을 더합니다. a로 시작 24 + b로 시작 24 + ca로 시작 6 = 54개가 앞섭니다. 그다음이 cb 무리인데, 남은 글자 a·d·e 중 a가 가장 이르니 cbade가 그 무리의 첫째 → 55번째. 여기서 +1을 잊어 54라고 답하는 실수가 가장 많습니다. 「앞에 54개가 있다」는 말은 자기 자신이 55번째라는 뜻이지요.
    「앞선 개수 + 1 = 제 순번」 — 달리기에서 앞에 두 명이 있으면 내가 3등인 것과 같습니다.
  4. 이제 c 로 시작하는 무리다. 둘째 자리는 사전순으로 a, b, d, e 차례.
    ca□□□ 가 3! = 6 개 (49~54번째).
  5. 다음이 cb□□□ 이고, 남은 글자는 a, d, e. 사전순으로 cbade(55번째), cbaed(56번째), ⋯
  6. 따라서 cbade 는 55번째.
  7. 검산 — 120개를 모두 사전순으로 늘어놓으면 54번째가 caedb, 55번째가 cbade, 56번째가 cbaed ✓
※ 몇 번째인가를 묻든 몇 번째가 무엇인가를 묻든 손놀림은 똑같다 — 앞자리를 한 칸씩 좁혀 가며 지나간 개수를 더한다.
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 앞선 개수를 그대로 답하면 24 + 24 + 6 = 54 → "54번째". 54는 cbade 앞에 있는 글자열의 개수일 뿐입니다. 54번째는 caedb이지요. → 앞선 개수에 반드시 1을 더합니다. 답은 55번째.
55번째
도전 6사전식 · 세 번 좁히기
1, 2, 3, 4, 5, 6 을 한 번씩 모두 사용하여 만든 여섯 자리 자연수를 작은 것부터 차례로 늘어놓을 때, 400번째 수를 구하시오.

풀이 — 자리를 하나씩 못 박아 간다

  1. 첫째 자리 — 1, 2, 3 으로 시작하는 것이 각각 5! = 120 개 → 3 × 120 = 360 개 (1~360번째). 400번째는 4로 시작하는 무리(361~480번째) 안에, 그중 40번째다.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 자리를 좁힐 때마다 순번도 함께 줄여 나간다 400번째를 찾는 동안 「지금 몇 번째를 찾고 있는가」가 계속 바뀝니다. 이것을 놓치면 답이 어긋납니다. 400 → (1·2·3으로 시작하는 360개를 건너뛰어) 40 → (41□ 무리 24개를 건너뛰어) 16 → (421·423 각 6개를 건너뛰어) 4. 「4로 시작하는 것 중 40번째」 → 「42로 시작하는 것 중 16번째」 → 「425로 시작하는 것 중 4번째」로 물음 자체가 짧아지는 것이 이 방법의 핵심입니다. 한 자리를 못 박을 때마다 뒤에 남는 개수는 (남은 글자 수)!로 정해집니다 — 여기서는 5! = 120 → 4! = 24 → 3! = 6.
    매 단계마다 「지금 찾는 순번」을 종이 옆에 크게 적어 두십시오. 400 · 40 · 16 · 4 — 이 네 숫자가 길잡이입니다.
  3. 둘째 자리 — 4 다음은 1, 2, 3, 5, 6 차례. 각각 4! = 24 개.
    41□□□□ 이 361~384번째, 42□□□□ 이 385~408번째. 400번째는 42 로 시작하고, 그중 16번째다.
  4. 셋째 자리 — 42 다음은 1, 3, 5, 6 차례. 각각 3! = 6 개.
    421 이 385~390, 423 이 391~396, 425 가 397~402. 400번째는 425 로 시작하고, 그중 4번째다.
  5. 나머지 — 425 뒤에 남은 숫자는 1, 3, 6. 작은 것부터 425136(397), 425163(398), 425316(399), 425361(400).
  6. 따라서 답은 425361.
  7. 검산 — 720개를 모두 작은 것부터 늘어놓으면 399번째가 425316, 400번째가 425361, 401번째가 425613 ✓
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 순번을 안 줄이고 그대로 끌고 가면 "4로 시작하는 무리 안에서도 400번째" 하고 그대로 세면, 24개짜리 뭉텅이가 열여섯 번 넘게 필요해 줄이 모자랍니다. 4로 시작하는 것은 120개뿐(361~480번째)이니, 그 안에서는 40번째를 찾아야 하지요. → 한 자리를 못 박을 때마다 「건너뛴 개수」를 순번에서 뺍니다. 400 → 40 → 16 → 4.
425361

🌱 여기서 더 넓혀 쓰기

오늘의 무기 일곱 가지는 고등학교 내내 모습을 바꿔 다시 나옵니다.

조합 nCr
고1 · 경우의 수
순열에서 순서를 지우면 조합입니다. nCr = nPr ÷ r! — 「골라서 세운 것」을 「세우는 방법의 수」로 나눈 것이지요. 제8강 조합 실전 — 무기는 넷과 나란히 보면 좋아요.
같은 것이 있는 순열
고1 · 순열과 조합
BANANA 처럼 똑같은 글자가 섞이면 6! ÷ (3!·2!) 로 겹치는 만큼 나눕니다. 오늘의 예제들은 글자가 모두 달라 나눌 것이 없었지만, 하나라도 겹치면 반드시 나눠야 해요.
여사건의 확률
고1~고2 · 확률
「적어도」가 나오면 전체 − 아닌 것 — 이것이 확률에서는 P(A) = 1 − P(Ac) 가 됩니다. 오늘 배운 손놀림이 그대로 이어져요.
중복순열과 이항정리
고2 · 확률과 통계
「한 번 쓴 것을 또 써도 되면」 nΠr = nr 로 바뀌고, 조합의 계수가 모여 이항정리가 됩니다. 줄 세우기 하나에서 이 모든 것이 갈라져 나옵니다.
※ 이 자료의 연습문제는 장대경 선생님 방법으로 새로 만들고 값을 손과 전수 열거로 검산한 교육 자료입니다(원본 강의와 숫자·예제가 다를 수 있음).
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