YEON MATH · 행복수학

삼각형의 합동 완전정복
— 대응 순서 색칠 + 함정 3형제 거르기

합동은 ‘대응 순서’ 싸움이다 · 장대경 선생님의 특강 (중1 2학기 · 작도와 합동)

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먼저 · 3단계로 끝내는 법

1
합동 기호를 순서대로 읽어라 — △ABC≡△DEF 면 A↔D, B↔E, C↔F. 쓴 순서가 곧 대응이다. 대응변·대응각은 이 순서로 짝지어 찾는다.
2
세 조건 중 무엇이 있나 세어라 — 변(S)·각(A)을 세어 SSS 세 변 · SAS 두 변+끼인각 · ASA 한 변+양 끝각 중 무엇인지 판별. 각이 ‘어디’에 있는지가 핵심.
3
함정 3형제를 거른다 — SSA(끼인각이 아닌 각) · AAA(모양만 같은 닮음) · AAS(중1 세 조건 아님)는 합동 확정 아님. 여기서 대부분 틀린다.
ABC DEF ≡
같은 색 꼭짓점끼리가 대응(A·D=빨강, B·E=파랑, C·F=초록). 같은 표시(빗금·호)끼리 길이·각이 같다는 뜻.

이 개념, 학년마다 이렇게 써요

🧒 저학년 · 초등
기호·공식은 몰라도 돼. 두 도형을 딱 포개서 삐져나옴 없이 겹치면 합동 — 눈과 손으로 아는 단계.
📐 이 강의 · 중1
대응 순서로 짝짓고, SSS·SAS·ASA로 판별하고, SSA·AAA·AAS 함정을 거른다.
🎓 고학년 · 중2~고등
이등변·평행사변형 증명, 직각삼각형 RHS, 닮음, 그리고 좌표·거리공식으로 계산 증명까지.

→ 뿌리는 하나예요: ‘완전히 포개지는가’. 아래에서 초등 직관부터, 중1 핵심, 위 학년 확장까지 한 번에 봅니다.

연습 10제 · 그림 해설

문제 1대응의 성질
사각형 ABCD ≡ 사각형 EFGH 이다. ∠E = 80°, ∠F = 120°, GF = 5 일 때, ∠A 와 BC 를 구하라.
ABCD E80°F120°GH 5

풀이 — 기호 순서대로 대응시키기

  1. ABCD≡EFGH 를 순서대로: A↔E, B↔F, C↔G, D↔H.
  2. ∠A 의 대응각은 ∠E. 합동이면 대응각이 같으니 ∠A = ∠E = 80°.
  3. BC 의 대응변은 FG (B↔F, C↔G). 합동이면 대응변이 같으니 BC = FG = 5. (GF = FG)
∠A = 80° · BC = 5
🔑 “어느 게 대응이지?”는 계산이 아니라 기호 순서를 읽는 것. 헷갈리면 선생님처럼 대응 도형을 옆에 같은 순서로 다시 그려 보세요.
문제 2대응 참·거짓
△ABC ≡ △DEF 이고 ∠A = 65°, ∠E = 40°, CB = 8 이다. 다음 중 옳은 것을 모두 골라라.
ㄱ. ∠B = 40°　　ㄴ. ∠D = 70°　　ㄷ. ∠F = 75°　　ㄹ. EF = 8　　ㅁ. DE = 8

풀이 — 대응부터, 그다음 각의 합

  1. 대응: A↔D, B↔E, C↔F.
  2. ㄱ: ∠B의 대응각 ∠E=40° → ∠B = 40°. ✔
  3. 삼각형 세 각의 합 180°: ∠C = 180° − 65° − 40° = 75°. ㄷ: ∠F=∠C=75° ✔
  4. ㄴ: ∠D=∠A=65° ≠ 70° ✘
  5. ㄹ: CB의 대응변은 FE → EF=CB=8 이므로 ㄹ은 참? CB=8, FE=8 → EF = 8 ✔
  6. ㅁ: DE의 대응변은 AB(주어지지 않음) → 알 수 없다 ✘
옳은 것 : ㄱ, ㄷ, ㄹ
⚠️ ㄹ 주의: CB의 대응변은 ‘순서대로’ FE예요. C↔F, B↔E니까 CB↔FE. EF=FE=8 로 참. 대응은 글자 순서를 뒤집지 말고 맞춰야 실수가 없어요.
문제 3SAS · 끼인각
보기의 삼각형: 두 변이 16 과 13, 두 밑각이 53° 와 77°. 이와 합동인 것을 고르라.
① 세 변 14, 13, 16　② 두 변 13, 16 사이각 53°　③ 두 변 13, 16 사이각 50°　④ 두 변 16, 13 사이각 77°
1613 53°77° 50°

풀이 — 두 변 사이의 ‘꼭지각’을 먼저 만든다

  1. 보기의 두 변 16·13 사이에 낀 각(꼭지각)은 밑각으로 구한다: 180° − 53° − 77° = 50°.
  2. 즉 보기 = 두 변 16·13 과 그 끼인각 50° → SAS 로 확정된 삼각형.
  3. ③ 은 두 변 13·16 과 사이각 50° → 완전히 같은 SAS. 합동!
  4. ②·④ 는 두 변은 같아도 끼인각이 53°·77° 라 딴 모양. ① 은 세 번째 변 14가 보기(밑변)와 같다는 보장이 없음.
③ (두 변 16·13, 끼인각 50°)
⚠️ 끼인각의 위치가 전부다. 변 두 개가 같아도 각이 ‘사이’에 있지 않으면 SAS가 아니에요 → 이게 SSA 함정(문제 8에서 다시).
문제 4기호·조건 쓰기 · ASA
두 삼각형이 합동이다. △ABC: ∠A = 75°, ∠C = 60°, AB = 8. △DEF: ∠D = 75°, ∠F = 45°, DF = 8. 합동을 기호로 나타내고 사용한 합동 조건을 말하라.
A75°BC60°8 D75°EF45°8

풀이 — 세 번째 각을 채우고 ‘같은 짝’을 순서대로

  1. △ABC: ∠B = 180° − 75° − 60° = 45°. 변 AB=8 은 ∠A(75°) 와 ∠B(45°) 사이.
  2. △DEF: ∠E = 180° − 75° − 45° = 60°. 변 DF=8 은 ∠D(75°) 와 ∠F(45°) 사이.
  3. 짝 맞추기: A↔D(75°), B↔F(45°), 남은 C↔E(60°). 한 변 8과 그 양 끝각(75°·45°) 이 같음 → ASA.
  4. 대응 순서대로 쓰면 △ABC ≡ △DFE (E와 F 순서 주의!).
△ABC ≡ △DFE (ASA 합동)
⚠️ ∠F=45°=∠B 이므로 C가 아니라 F가 B의 짝. 겉모양(ABC↔DEF)에 속지 말고 같은 각·같은 변끼리 순서를 정하세요.
문제 5조건 추가
△ABC 와 △DEF 에서 AB = DE, ∠A = ∠D 이다. 한 가지 조건을 더해 △ABC ≡ △DEF 가 되게 하려 한다. 알맞은 것을 모두 골라라.
ㄱ. AC = DF　ㄴ. BC = EF　ㄷ. ∠B = ∠E　ㄹ. ∠C = ∠F
ABC DEF

풀이 — 지금 가진 건 ‘한 변 + 그 변의 한 끝각’

  1. 주어진 것: 변 AB=DE, 각 ∠A=∠D (∠A는 변 AB의 한 끝각).
  2. ㄱ AC=DF: ∠A는 변 AB와 AC 사이의 끼인각 → 두 변+끼인각 SAS ✔
  3. ㄷ ∠B=∠E: 변 AB의 양 끝각(∠A·∠B) 이 갖춰짐 → 한 변+양 끝각 ASA ✔
  4. ㄴ BC=EF: AB·BC 두 변은 되지만 낀 각은 ∠B (안 주어짐). ∠A는 낀 각이 아님 → SSA ✘
  5. ㄹ ∠C=∠F: ∠A·∠C 두 각 + 낀 변이 아닌 AB → AAS. 논리적으론 합동이지만 중1의 세 합동조건(SSS·SAS·ASA) 에는 없음 → 이 단원 답으론 제외 ✘
ㄱ (SAS) · ㄷ (ASA)
⚠️ ㄹ의 함정: 두 각과 한 변이면 세 번째 각도 정해져 사실상 ASA와 같아 ‘합동은 맞다’. 하지만 중1에서 ‘합동 조건’으로 인정하는 건 SSS·SAS·ASA 셋뿐. 그래서 답에서 뺍니다.
문제 6뒤틀린 대응
△ABC ≡ △FED 이고 ∠A = 55°, ∠B = 80°, BC = a 이다. 다음 중 옳지 않은 것은?
① AC의 대응변은 DE이다　② DE의 길이는 a 이다　③ ∠A=∠F, ∠B=∠E 이다　④ ∠D=45° 이다　⑤ ∠F=55° 이다

풀이 — 순서가 뒤틀렸을수록 ‘기호 순서’만 믿는다

  1. △ABC≡△FED → A↔F, B↔E, C↔D. (세로로 줄 세워 짝짓기)
  2. ① AC의 대응변은? A↔F, C↔D → AC↔FD. 그런데 보기는 ‘DE’라 함 → 거짓! (DE의 대응변은 CB=a) ✘
  3. ② DE↔CB=BC=a ✔　계산용: ∠C = 180°−55°−80° = 45°.
  4. ③ ∠A=∠F ✔, ∠B=∠E ✔　④ ∠D=∠C=45° ✔　⑤ ∠F=∠A=55° ✔
옳지 않은 것 : ①
⚠️ △ABC≡△FED 처럼 알파벳이 A→F로 껑충 뛰면 눈대중이 무너져요. 1번째끼리·2번째끼리·3번째끼리 세로로 줄 세워 대응을 적으면 절대 안 틀립니다.
문제 7합동 짝 찾기
다음 네 삼각형 중 서로 합동인 짝을 찾아라.
ㄱ. 세 각 100°·50°·30°, 30°와 50° 사이 변 = 6　ㄴ. 두 변 4·6, 사이각 30°
ㄷ. 한 변 6, 양 끝각 30°·50°　ㄹ. 두 변 6·4, 사이각 30°

풀이 — 같은 ‘조건 종류’끼리 맞춰본다

  1. ㄱ: 변 6이 30°·50° 두 각 사이 → 한 변+양 끝각 ASA.
  2. ㄷ: 변 6과 양 끝각 30°·50° → 똑같은 ASA. 세 각·낀 변이 완전히 일치 → ㄱ ≡ ㄷ ✔
  3. ㄴ: 두 변 4·6 + 끼인각 30° SAS. ㄹ: 두 변 6·4 + 끼인각 30° 같은 SAS → ㄴ ≡ ㄹ ✔
ㄱ ≡ ㄷ (ASA) · ㄴ ≡ ㄹ (SAS)
문제 8함정 판별
다음 중 △ABC ≡ △DEF 라고 할 수 없는 것을 모두 골라라.
① AB=DE, BC=EF, CA=FD　② AB=DE, BC=EF, ∠B=∠E　③ AB=DE, BC=EF, ∠C=∠F　④ ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F　⑤ AB=DE, ∠A=∠D, ∠B=∠E

풀이 — 각이 ‘끼인각’인지, 변이 하나라도 있는지

  1. ① 세 변 → SSS ✔ 합동
  2. ② AB·BC 두 변 + 낀 각 ∠B → SAS ✔ 합동
  3. ③ AB·BC 두 변 + ∠C: ∠C는 두 변 사이 각이 아님 → SSA ✘ 할 수 없다
  4. ④ 세 각만 같음 → 모양만 같은 AAA(닮음), 크기는 자유 ✘ 할 수 없다
  5. ⑤ 한 변 AB + 양 끝각 ∠A·∠B → ASA ✔ 합동
할 수 없는 것 : ③ (SSA) · ④ (AAA)
⚠️ 함정 3형제 총정리 — SSA: 변·변·각인데 각이 사이에 없음. AAA: 각·각·각(닮음일 뿐). AAS: 논리적 합동이나 중1 세 조건 밖. 이 셋만 걸러내면 합동 문제는 거의 다 잡힙니다.
문제 9합동으로 증명
△ABC 는 정삼각형이고, 변 위의 점 D(AB 위), E(BC 위), F(CA 위)가 AD = BE = CF 를 만족한다. △DEF 는 어떤 삼각형인가?
D E F ABC

풀이 — 작은 삼각형 3개가 SAS로 합동

  1. 정삼각형이라 세 변이 같고 세 각이 60°. 또 AD=BE=CF 이므로 남는 조각도 DB=EC=FA (전체 변 − 같은 길이).
  2. △ADF, △BED, △CFE 를 보면: 두 변(AD=BE=CF, FA=DB=EC) 과 그 끼인각 60° 가 모두 같음 → SAS 로 셋이 서로 합동.
  3. 합동이면 대응변이 같으니 DF = ED = FE → 세 변이 같다.
△DEF 는 정삼각형
🔑 “복잡한 도형 = 작은 합동 삼각형의 모임.” 큰 그림을 합동인 조각으로 쪼개는 눈이 증명의 시작이에요.
문제 10실생활 활용
강을 건너지 않고 강폭 AB 를 재려 한다. B에서 직각으로 돌아 BC 를 잡고, 그 중점 M을 지나 반대편으로 CD ⊥ BC 인 D를 A·M이 일직선이 되게 잡았다. 이때 CD 를 재면 왜 강폭 AB 와 같은가?

풀이 — 두 삼각형이 ASA로 합동

  1. △ABM 과 △DCM 에서: BM = CM(M이 중점), ∠ABM = ∠DCM = 90°, ∠AMB = ∠DMC(맞꼭지각).
  2. 한 변(BM=CM)과 그 양 끝각이 같음 → ASA 합동.
  3. 합동이면 대응변 AB = DC. 그래서 건너편 CD 길이가 곧 강폭.
△ABM ≡ △DCM (ASA) 이므로 AB = CD
🔑 옛 측량가들이 강폭·산 높이를 잰 방법이 바로 이 ‘합동’. 못 재는 길이를 잴 수 있는 길이로 옮겨주는 것이 합동의 힘이에요.

제일 밑에 · 이 방법을 다른 학년·개념에 쓰는 비법

“대응 순서 + 조건 3개”는 학년이 올라가도 그대로다

합동에서 익힌 이 눈 — 순서대로 짝짓고, 무슨 조건인지 세고, 함정을 거른다 — 은 이름만 바뀌어 위 학년에서 계속 쓰입니다.

① 중2 · 삼각형의 성질 — 이등변·외심·내심 증명
중2 1학기 도형의 성질
이등변삼각형의 두 밑각이 같다는 것, 세 수선·이등분선이 한 점에서 만난다는 것 — 전부 보조선을 그어 합동 삼각형을 만드는 증명이에요. 문제 9처럼 “큰 그림을 합동 조각으로 쪼개기”가 핵심.
② 중2 · 사각형 — 평행사변형이 되는 조건
중2 2학기 사각형의 성질
평행사변형의 대각선이 서로를 이등분하는 것, 마주 보는 변·각이 같은 것도 대각선으로 나눈 두 삼각형이 합동(SAS·ASA) 임을 보이는 것. 합동이 사각형 성질의 뿌리입니다.
③ 중3 · 직각삼각형의 합동 — RHA·RHS
중3 · 직각삼각형
직각삼각형에선 빗변(H)+한 각(A) 또는 빗변(H)+한 변(S) 만으로 합동이 돼요(RHA·RHS). 그냥 SSA는 함정이지만, 직각이 끼면 특별히 성립 — 문제 5·8의 SSA 함정을 정확히 이해해야 왜 직각에선 되는지 보입니다.
④ 중3 · 닮음 — 합동은 ‘비율 1’인 닮음
중3 · 삼각형의 닮음
닮음 조건 SSS·SAS·AA는 합동 조건의 ‘비율 버전’. 함정이던 AAA가 닮음에선 AA로 정식 조건이 됩니다. 합동을 제대로 알면 닮음은 그 확장으로 자연스럽게 이어져요.
⑤ 고1 · 도형의 방정식 — 좌표로 ‘길이 같음’ 증명
고1 · 도형의 방정식
두 선분이 같은지, 삼각형이 합동인지를 좌표와 거리공식으로 계산해 증명합니다. 눈으로 짝짓던 대응을, 이제 √{(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²} 로 ‘계산해서’ 확인하는 것.

저학년(초등)도 — 눈과 손으로 아는 합동

기호도 공식도 필요 없어요. 합동은 ‘완전히 포개지는 것’. 오려서 겹쳐 보면 초등학생도 바로 알아요.

초등 · 놀이포개보기
색종이에 똑같은 삼각형 두 개를 그려 오린 뒤 포개면 어떻게 될까? 왜 ‘합동’일까?
딱 겹쳐요

풀이

  1. 두 삼각형을 포개면 변도 각도 꼭짓점도 하나도 안 남고 딱 겹쳐요.
  2. 이렇게 모양과 크기가 똑같아서 완전히 포개지는 두 도형을 합동이라고 불러요. (중학교 가면 이걸 기호 ≡로 써요.)
완전히 포개지니까 합동!
초등 · 놀이짝 찾기
아래 네 도형 중 보기와 완전히 같은(포개지는) 짝은 어느 것일까? 큰 것·삐뚠 것은 왜 안 될까?

풀이

  1. 모양이 같아도 크기가 크면 포개도 삐져나와요 → 합동 아님(그건 ‘닮음’, 중3에서 배워요).
  2. 크기까지 똑같아 딱 포개지는 짝만 합동. 눈으로 겹쳐 보는 게 곧 ‘대응’을 찾는 첫걸음이에요.
크기까지 똑같아 딱 포개지는 짝
초등 · 놀이돌리고 뒤집기
삼각형을 돌리거나 뒤집어 놓으면 다른 도형이 될까? 그래도 합동일까?

풀이

  1. 돌리거나(회전) 뒤집어도(대칭) 모양과 크기는 그대로예요. 옮겨서 포개면 여전히 딱 겹쳐요.
  2. 그래서 방향이 달라도 합동. 중학교에서 △ABC≡△FED처럼 순서가 뒤틀린 것도 바로 이 ‘돌리고 뒤집기’예요.
돌리고 뒤집어도 포개지면 합동

도전 · 이 비법으로 위 학년 문제 풀기

“순서대로 짝짓고, 조건을 세고, 함정을 거른다” 하나로 위 학년 문제도 풀린다. 학년별 도전!

도전 · 중2이등변삼각형
이등변삼각형 △ABC(AB=AC)에서 꼭지각 A의 이등분선이 밑변 BC와 만나는 점을 D라 하자. △ABD ≡ △ACD 인 이유와, 그로부터 ∠B = ∠C 임을 설명하라.

풀이 — SAS 합동 → 대응각

  1. △ABD 와 △ACD: AB=AC(주어짐), ∠BAD=∠CAD(이등분), AD 공통.
  2. 두 변과 끼인각이 같음 → SAS 합동.
  3. 합동이면 대응각이 같으니 ∠B = ∠C. (이등변삼각형 두 밑각이 같다는 성질의 증명!)
SAS 합동 → ∠B = ∠C
도전 · 중2평행사변형
평행사변형 ABCD에서 대각선 AC를 그으면 △ABC ≡ △CDA 임을 보이고, 그로부터 AB = CD 임을 설명하라.

풀이 — ASA 합동

  1. AC는 공통변. 평행선의 엇각으로 ∠BAC=∠DCA, ∠BCA=∠DAC.
  2. 한 변(AC)과 그 양 끝각이 같음 → ASA 합동.
  3. 대응변이 같으니 AB = CD (평행사변형의 마주 보는 변이 같다).
ASA 합동 → AB = CD
도전 · 중2함정 재확인
“두 변의 길이가 같고 한 각이 같으면 항상 합동이다.” 이 말은 참인가?

풀이

  1. 각이 두 변 사이(끼인각)면 SAS로 참. 하지만 사이가 아니면 SSA라 서로 다른 두 삼각형이 생겨 거짓.
거짓 (끼인각일 때만 참)
도전 · 중3직각삼각형 RHS
두 직각삼각형이 빗변의 길이가 같고 다른 한 변이 같으면 합동이다(RHS). 그냥 SSA는 함정이었는데, 왜 직각삼각형에선 성립할까?

풀이 — 피타고라스로 세 번째 변이 ‘하나로’ 정해진다

  1. 직각삼각형은 (빗변)² = (변1)² + (변2)². 빗변과 한 변이 정해지면 나머지 변도 자동으로 하나로 결정.
  2. 그러면 세 변이 모두 같아져 결국 SSS → 합동. SSA 함정이 직각 덕분에 풀린 것.
직각 때문에 세 번째 변이 하나로 정해져 SSS가 되므로 합동
도전 · 중3닮음과의 연결
두 삼각형이 세 각이 각각 같다(AAA). 합동인가, 닮음인가?

풀이 — 합동의 함정이 닮음의 조건

  1. AAA는 모양만 같고 크기는 다를 수 있음 → 합동은 아니다.
  2. 하지만 크기 비율만 다른 것이니 닮음(AA 조건). 합동에서 ‘가짜’였던 게 닮음에선 ‘진짜’ 조건이 됩니다.
합동 ✘ · 닮음 ✔ (AA)
도전 · 중3삼각비 준비
한 예각이 같은 두 직각삼각형은 ‘닮음’이다. 그래서 대변/빗변 같은 변의 비가 일정해지는데, 이 일정한 비를 무엇이라 부르나?

풀이

  1. 직각+한 예각 같음 → AA 닮음 → 대응변의 비가 각에 의해서만 정해짐. 이 비가 곧 삼각비(sin·cos·tan).
삼각비 (sin, cos, tan)
도전 · 고1좌표로 합동
세 점 A(0,0), B(4,0), C(0,3) 인 삼각형과 D(0,0), E(0,4), F(−3,0) 인 삼각형이 합동임을 세 변의 길이로 확인하라.
B(4,0)C(0,3)
A→B: 가로 4칸 = 4
A→C: 세로 3칸 = 3
B→C: √(4²+3²)=5

풀이 — 거리공식으로 세 변 비교 (SSS)

  1. △ABC: AB=4, AC=3, BC=√(4²+3²)=5.
  2. △DEF: DE=4, DF=3, EF=√(3²+4²)=5.
  3. 세 변이 각각 같음 → SSS 합동. (좌표만 다르고 크기·모양은 동일)
세 변 3·4·5로 같음 → SSS 합동
💡 눈으로 짝짓던 합동을, 고1에선 거리공식으로 계산해 증명합니다. 방법의 뿌리는 똑같아요.
도전 · 고1수직이등분선
선분 AB의 수직이등분선 위의 임의의 점 P는 왜 항상 PA = PB 인가? 합동으로 설명하라.

풀이 — SAS 합동

  1. 수직이등분선이 AB와 만나는 점 M은 중점 → AM=BM. 또 ∠PMA=∠PMB=90°, PM 공통.
  2. 두 변+끼인각 → SAS, △PMA ≡ △PMB → 대응변 PA=PB.
△PMA ≡ △PMB (SAS) → PA = PB
도전 · 고1원의 성질
원의 중심 O에서 두 현 AB, CD에 내린 수선의 길이가 같으면 AB = CD 이다. 합동으로 왜 그런지 설명하라.

풀이 — RHS 합동

  1. 수선의 발을 M, N이라 하면 △OMA·△ONC 는 직각삼각형. 빗변 OA=OC(반지름), 한 변 OM=ON(수선 길이 같음).
  2. 빗변+한 변 → RHS 합동 → AM=CN. 수선은 현을 이등분하므로 AB=2AM=2CN=CD.
중심에서 같은 거리의 두 현은 길이가 같다
※ 이 자료의 문제·수치·그림은 장대경 선생님 강의의 방법(대응 순서 맞추기·SSS/SAS/ASA·함정 거르기)을 살려 수학적으로 정확한 값으로 재구성·검산한 교육 자료입니다. 모든 대응·각·조건을 직접 검산했으며, 원본 영상의 수치와는 다를 수 있습니다.
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