YEON MATH · 행복수학

피타고라스 정리 실전 완전정복
— 넓이로 보면 다 보인다 · 연습 10제

넓이로 보기 · 예각·직각·둔각 판정 · 외워 둘 네 쌍 · 마주 보는 짝 공식 · 반원과 초승달 · 장대경 선생님의 특강

연플래닝 ACADEMY

먼저 · 피타고라스 정리, 이 여섯 가지면 끝난다

1
정리 자체 — 직각삼각형에서 짧은 두 변의 제곱합 = 가장 긴 변(빗변)의 제곱. a² + b² = c²
2
넓이로 본다 — 세 변마다 정사각형을 그리면 작은 두 정사각형의 넓이 합 = 큰 정사각형의 넓이. 넓이 → 한 변은 제곱근.
3
예각·직각·둔각 판정 — 짧은 두 변의 제곱합이 가장 긴 변의 제곱보다 크면 예각, 같으면 직각, 작으면 둔각.
4
외워 둘 네 쌍 — 3:4:5 · 5:12:13 · 8:15:17 · 7:24:25 (그리고 그 배수 전부).
5
마주 보는 짝 — 직사각형 ABCD 안의 점 P에 대해 AP² + CP² = BP² + DP².
6
넓이 정리 — 세 변을 지름으로 하는 반원은 S₁ + S₂ = S₃. 히포크라테스의 초승달 두 개의 넓이 = 삼각형의 넓이.
9 16 25

이 개념, 학년마다 이렇게

🐣 초등 (직관)
밧줄에 매듭 12개를 같은 간격으로 묶어 3·4·5로 팽팽히 당기면 직각이 생긴다 — 손으로 만들어 본다.
📐 중2 (핵심)
a²+b²=c², 넓이로 보기, 예각·직각·둔각 판정, 마주 보는 짝 공식, 반원·초승달 넓이.
🎓 고등 (확장)
좌표평면·공간의 두 점 사이 거리, 원과 점 사이 최단·최장 거리, 삼각함수의 기본 항등식.

🐣 저학년 직관 — "밧줄 매듭 12개로 직각 만들기"

긴 줄에 매듭을 같은 간격으로 12개 묶어 고리를 만들어요. 세 사람이 3칸 · 4칸 · 5칸이 되게 잡고 팽팽히 당기면, 3칸과 4칸이 만나는 자리가 정확히 직각이 돼요. 3+4+5=12라서 딱 맞아떨어지죠. 옛날 이집트 사람들이 밭의 모서리를 직각으로 만들 때 실제로 쓰던 방법이에요.

왜 직각일까요? 3×3=9, 4×4=16, 더하면 25. 그리고 5×5=25. 딱 같으니까 직각이에요.

3칸 + 4칸 + 5칸 = 매듭 12개 → 직각!

연습 10제 · 그림 해설

문제 1답이 두 개 · 함정
직각삼각형의 세 변의 길이가 6, 8, x일 때, x가 될 수 있는 값을 모두 구하라.

풀이 — x가 빗변인지 아닌지 말해 주지 않았다

  1. x가 가장 길 때(빗변): x² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 → x = 10.
  2. 8이 가장 길 때(빗변): 8² = 6² + x² → x² = 64 − 36 = 28 → x = 2√7.
  3. 검산: (2√7)² = 4×7 = 28, 28 + 36 = 64 = 8² ✓
x = 10 또는 x = 2√7
문제 2넓이로 보기
직각삼각형의 세 변 위에 정사각형을 그렸더니 넓이가 각각 169와 25였다. 나머지 정사각형의 넓이와 그 한 변의 길이를 구하라.
? 25 169
넓이가 가장 큰 정사각형이 빗변 위에 있는 것이다.

풀이 — 큰 넓이에서 작은 넓이를 뺀다

  1. 169가 가장 크므로 그것이 빗변 위 정사각형이다. 빗변 = √169 = 13, 다른 한 변 = √25 = 5.
  2. 나머지 정사각형의 넓이 = 169 − 25 = 144.
  3. 한 변의 길이 = √144 = 12. (5, 12, 13은 외워 둘 네 쌍 중 하나 ✓)
넓이 144, 한 변 12
문제 3예각·직각·둔각 판정 · 진가
다음 네 삼각형이 예각·직각·둔각 중 무엇인지 각각 판정하라: (5,12,13), (6,7,10), (9,12,14), (4,7,9)

풀이 — 짧은 두 변의 제곱합과 가장 긴 변의 제곱을 비교

  1. (5,12,13): 25 + 144 = 169, 13² = 169 → 같다 → 직각삼각형.
  2. (6,7,10): 36 + 49 = 85, 10² = 100 → 작다 → 둔각삼각형.
  3. (9,12,14): 81 + 144 = 225, 14² = 196 → 크다 → 예각삼각형.
  4. (4,7,9): 16 + 49 = 65, 9² = 81 → 작다 → 둔각삼각형.
직각 · 둔각 · 예각 · 둔각
문제 4격자·좌표 · 진가
모눈종이 위의 세 점 A(0,0), B(2,3), C(5,1)을 이어 삼각형을 만들었다. 이 삼각형이 직각삼각형인지 판정하고, 넓이를 구하라.
A B C
세 변의 길이를 제곱한 값으로만 비교하면 근호를 쓸 일이 없다.

풀이 — 길이가 아니라 "길이의 제곱"으로 비교한다

  1. AB² = 2² + 3² = 13, BC² = 3² + 2² = 13, AC² = 5² + 1² = 26.
  2. 가장 긴 변은 AC. AB² + BC² = 13 + 13 = 26 = AC² → 직각삼각형이고 직각은 ∠B.
  3. 직각을 낀 두 변이 √13로 같으므로 넓이 = √13 × √13 ÷ 2 = 13 ÷ 2 = 6.5.
∠B = 90°인 직각삼각형, 넓이 6.5
문제 5마주 보는 짝 공식
직사각형 ABCD의 내부에 점 P가 있고 AP = 5, BP = 7, CP = 8이다. DP의 길이를 구하라.
AB CD P
A와 C가 마주 보는 짝, B와 D가 마주 보는 짝이다.

풀이 — AP² + CP² = BP² + DP²

  1. 5² + 8² = 7² + DP².
  2. 25 + 64 = 89, 49 + DP² = 89 → DP² = 40.
  3. DP = √40 = 2√10. (검산: 49 + 40 = 89 ✓)
DP = 2√10
문제 6세 변 위 반원 · S₁+S₂=S₃
직각을 낀 두 변의 길이가 6, 8인 직각삼각형의 세 변을 각각 지름으로 하는 반원을 그렸다. 세 반원의 넓이 S₁, S₂, S₃를 각각 구하고 S₁ + S₂ = S₃임을 확인하라.
S₁ S₂ S₃
반원의 넓이 = ½ × π × (반지름)². 반지름은 지름의 절반이다.

풀이 — 빗변부터 구한다

  1. 빗변 = √(6² + 8²) = √100 = 10. (3:4:5의 2배 ✓)
  2. S₁ = ½ π (6÷2)² = ½ π × 9 = 4.5π.
  3. S₂ = ½ π (8÷2)² = ½ π × 16 = 8π.
  4. S₃ = ½ π (10÷2)² = ½ π × 25 = 12.5π.
  5. 확인: 4.5π + 8π = 12.5π = S₃ ✓
S₁ = 4.5π, S₂ = 8π, S₃ = 12.5π (S₁+S₂=S₃)
문제 7히포크라테스의 초승달 · 진가
직각을 낀 두 변이 5, 12인 직각삼각형에서, 두 변 위에 그린 초승달 두 개(색칠한 부분)의 넓이의 합을 구하라.
5 12 13
초승달 두 개를 더하면 삼각형의 넓이와 정확히 같다 — 파이(π)가 모두 사라진다.

풀이 — 초승달 두 개의 합 = 삼각형의 넓이

  1. 빗변 = √(5² + 12²) = √169 = 13.
  2. 왜 같은지: (두 다리 위 반원의 합) = ½π(2.5)² + ½π(6)² = 3.125π + 18π = 21.125π이고, (빗변 위 반원) = ½π(6.5)² = 21.125π로 서로 같다.
  3. 초승달 합 = (두 다리 위 반원의 합) − (빗변 위 반원 − 삼각형) = 21.125π − 21.125π + 삼각형 = 삼각형의 넓이. π가 완전히 사라진다.
  4. 삼각형의 넓이 = 5 × 12 ÷ 2 = 30.
30
문제 8이등변삼각형 · 높이
밑변의 길이가 16이고 두 등변의 길이가 각각 10인 이등변삼각형의 높이와 넓이를 구하라.
10 10 16 h
꼭짓점에서 밑변에 수선을 내리면 밑변이 정확히 반으로 나뉜다.

풀이 — 수선을 내려 직각삼각형을 만든다

  1. 수선의 발이 밑변을 이등분하므로 반쪽 밑변은 16 ÷ 2 = 8.
  2. 직각삼각형에서 h² = 10² − 8² = 100 − 64 = 36 → h = 6. (6, 8, 10 = 3:4:5의 2배 ✓)
  3. 넓이 = 16 × 6 ÷ 2 = 48.
높이 6, 넓이 48
문제 9직육면체의 대각선 · 진가
가로 4, 세로 3, 높이 12인 직육면체의 대각선의 길이를 구하라.
4 12 3
바닥면의 대각선을 먼저 구하고, 그 다음 한 번 더 피타고라스를 쓴다.

풀이 — 피타고라스를 두 번 쓴다

  1. 바닥면 대각선의 제곱 = 4² + 3² = 16 + 9 = 25 (길이 5).
  2. 대각선의 제곱 = 25 + 12² = 25 + 144 = 169 → 대각선 = 13.
  3. 한 줄로 쓰면 √(4² + 3² + 12²) = √169 = 13.
13
문제 10사다리 문제 · 활용 · 진가
길이 13m인 사다리를 벽에 기대었더니 벽 아래 끝에서 5m 떨어진 곳에 사다리 밑이 놓였다. ① 사다리가 벽에 닿은 높이는? ② 사다리 밑을 벽 쪽으로 1m 더 밀어 넣으면 닿는 높이는 얼마나 올라가는가?

풀이 — 사다리 길이(빗변)는 변하지 않는다

  1. ① h² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144 → h = 12(m). (5, 12, 13 ✓)
  2. ② 밑이 4m 떨어진 자리로 옮겨지면 h'² = 169 − 16 = 153 → h' = √153 = 3√17.
  3. √153 ≈ 12.369… 이므로 올라간 높이는 3√17 − 12 ≈ 0.37(m).
  4. 검산: (3√17)² = 9 × 17 = 153, 153 + 16 = 169 = 13² ✓
① 12m  ·  ② 3√17 − 12 ≈ 0.37m 올라간다

제일 밑에 · 이 방법을 다른 학년·개념에 쓰는 비법

"제곱해서 더한다" 하나로 좌표·공간·삼각함수까지

오늘 익힌 a² + b² = c²는 중2에서 끝나지 않습니다. 학년이 올라갈수록 거리를 재는 모든 자리에 그대로 다시 나타납니다.

① 중3 · 정삼각형의 높이와 특수각
중3 · 삼각비
한 변이 2인 정삼각형의 높이는 √(2²−1²) = √3. 여기서 30°·60°의 삼각비가 통째로 나옵니다. 정사각형을 반으로 자르면 45°가 나오고요.
② 중3 · 원의 현과 중심에서의 거리
중3 · 원의 성질
중심에서 현에 내린 수선은 현을 이등분합니다. 그래서 (반지름)² = (중심거리)² + (현의 절반)² — 이것도 피타고라스입니다.
③ 고1 · 좌표평면 두 점 사이의 거리
고1 · 도형의 방정식
√{(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²} — 이 공식은 가로로 간 거리와 세로로 간 거리로 만든 직각삼각형의 빗변일 뿐입니다.
④ 고1 · 원과 점 사이의 최단·최장 거리
고1 · 원의 방정식
원 밖의 점에서 원 위의 점까지의 거리는 (중심까지 거리) ± (반지름) 사이를 오갑니다. 중심까지 거리를 구하는 것이 바로 피타고라스예요.
⑤ 고2 · 삼각함수의 기본 항등식
고2 수1 · 삼각함수
반지름 1인 원 위의 점을 (cos θ, sin θ)라 하면 sin²θ + cos²θ = 1. 이것은 피타고라스 정리 그 자체입니다.
⑥ 경시 · 피타고라스 세 쌍을 무한히 만드는 공식
정수론 · 경시수학
서로소인 자연수 m > n에 대해 (m²−n², 2mn, m²+n²)은 언제나 직각삼각형의 세 변이 됩니다. m=2,n=1이면 (3,4,5), m=3,n=2면 (5,12,13), m=4,n=1이면 (15,8,17)이에요.

도전 · 이 비법만으로 위 학년 문제 풀기

"제곱해서 더한다" 하나로 중3·고1·고2·경시까지. 학년별 2문제씩!

도전 · 중3정삼각형의 높이
한 변의 길이가 8인 정삼각형의 높이와 넓이를 구하라.

풀이 — 정삼각형을 반으로 자르면 직각삼각형

  1. 높이를 내리면 밑변이 반으로 나뉘어 4가 된다.
  2. h² = 8² − 4² = 64 − 16 = 48 → h = √48 = 4√3.
  3. 넓이 = 8 × 4√3 ÷ 2 = 16√3.
높이 4√3, 넓이 16√3
도전 · 중3원의 현
반지름이 13인 원의 중심에서 현 AB까지의 거리가 5일 때, 현 AB의 길이를 구하라.

풀이 — 중심에서 현에 내린 수선은 현을 이등분한다

  1. 현의 절반을 x라 하면 x² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144 → x = 12.
  2. 현 전체 AB = 12 × 2 = 24.
AB = 24
도전 · 고1두 점 사이의 거리
두 점 A(−2, 3), B(4, −5) 사이의 거리와 선분 AB의 중점을 구하라.

풀이 — 가로로 간 거리와 세로로 간 거리로 만든 직각삼각형

  1. 가로 차이 4 − (−2) = 6, 세로 차이 −5 − 3 = −8.
  2. AB = √(6² + (−8)²) = √(36 + 64) = √100 = 10. (3:4:5의 2배 ✓)
  3. 중점 = ((−2+4)/2, (3+(−5))/2) = (1, −1).
거리 10, 중점 (1, −1)
도전 · 고1원 위의 점까지의 거리 · 최대·최소
원 x² + y² = 25 위를 움직이는 점 P와 점 Q(8, 0)에 대해, 선분 PQ의 길이의 최댓값과 최솟값을 구하라.

풀이 — 중심까지의 거리에서 반지름을 더하고 뺀다

  1. 원의 중심은 O(0,0), 반지름은 √25 = 5.
  2. 중심에서 Q까지의 거리 OQ = √(8² + 0²) = 8. Q는 원 바깥에 있다(8 > 5).
  3. 최댓값 = 8 + 5 = 13 (P가 Q 반대편 끝), 최솟값 = 8 − 5 = 3 (P가 Q 쪽 끝).
최댓값 13, 최솟값 3
도전 · 고2공간에서의 거리
공간의 두 점 A(1, 2, 2), B(4, 6, 14) 사이의 거리를 구하라.

풀이 — 피타고라스를 두 번 쓴 결과가 공간 거리 공식이다

  1. 각 방향의 차이: 3, 4, 12.
  2. AB = √(3² + 4² + 12²) = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13.
  3. (먼저 3과 4로 √25 = 5를 만들고, 그 5와 12로 √169 = 13을 만든 것과 같다.)
13
도전 · 경시피타고라스 세 쌍 만들기
m > n > 0인 자연수에 대해 (m² − n², 2mn, m² + n²)이 항상 직각삼각형의 세 변임을 보이고, m = 5, n = 2일 때의 세 쌍을 구하라.

풀이 — 양변을 직접 전개해서 같음을 보인다

  1. 왼쪽: (m²−n²)² + (2mn)² = m⁴ − 2m²n² + n⁴ + 4m²n² = m⁴ + 2m²n² + n⁴.
  2. 오른쪽: (m²+n²)² = m⁴ + 2m²n² + n⁴. → 두 값이 같다. 따라서 항상 직각삼각형이다.
  3. m=5, n=2: m²−n² = 25−4 = 21, 2mn = 2×5×2 = 20, m²+n² = 25+4 = 29.
  4. 검산: 21² + 20² = 441 + 400 = 841 = 29² ✓
(21, 20, 29)
※ 이 자료의 예제는 장대경 선생님 방법을 수학적으로 정확한 값으로 재구성·검산한 교육 자료입니다. 모든 계산은 직접 검산했습니다(원본 강의와 숫자·예제가 다를 수 있음).
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