YEON MATH · 행복수학

삼각비로 변의 길이 구하기 완전정복
— 곱하면 나오고, 안 되면 나눈다 · 연습 10제

빗변 × sin·cos · 인접변 × tan · 수선 긋기 · 낯선 각 가르기 · 삼각형의 높이 h tan · 장대경 선생님의 특강

연플래닝 ACADEMY

먼저 · 변의 길이를 구하는 무기 여섯 가지

1
이름부터 — 기준각 A와 마주보는 변 = 대변, 붙어 있는 변 = 인접변, 직각과 마주보는 가장 긴 변 = 빗변.
2
빗변을 알면 곱하기 — 대변 = 빗변 × sin A, 인접변 = 빗변 × cos A.
3
인접변을 알면 곱하기 tan — 대변 = 인접변 × tan A.
4
곱해서 안 되면 나눈다 — 빗변 = 인접변 ÷ cos A, 인접변 = 대변 ÷ tan A.
5
직각이 없으면 만든다 — 꼭짓점에서 수선을 내려 직각삼각형 두 개로 가른다. AH = c sin B, BH = c cos B, CH = a − c cos B.
6
높이를 물으면 — 높이를 h로 놓고 BH = h tan(90°−B), CH = h tan(90°−C). 수선의 발이 밑변 안이면 더하고 밖이면 뺀다.
A B C A 빗변 대변 인접변
⚠️ 각이 삼각형 안에 찍혀 있는지부터 봐라. 55°가 어느 꼭짓점의 각인지 정하지 않고 계산부터 하면 사인과 코사인이 뒤바뀐다. 그리고 대변이냐 인접변이냐만 정확히 보면 sin인지 cos인지는 저절로 정해진다. 실생활 문제에서는 눈높이를 더하는 것을 절대 빠뜨리지 말자.

삼각비의 표 (이 자료에서 쓰는 값)

각sincostan
30°0.500.870.58
36°0.590.810.73
40°0.640.770.84
45°0.710.711.00
50°0.770.641.19
55°0.820.571.43
60°0.870.501.73
63°0.890.451.96
65°0.910.422.14
특수각 30°·45°·60°는 표를 안 봐도 된다. 비로 외우자 —
30°–60°–90° → 1 : √3 : 2
45°–45°–90° → 1 : 1 : √2
나머지 각은 표를 읽고 곱하기 한 번이면 끝.

이 개념, 학년마다 이렇게

🐣 초등 (직관)
"같은 기울기의 미끄럼틀은 크기가 달라도 가로세로 비가 같다" — 그림자와 막대로 나무 키를 재 본다.
📐 중3 (핵심)
빗변 × sin·cos, 인접변 × tan, 되돌릴 땐 나누기, 수선 긋기, 삼각형의 높이, 삼각비의 표.
🎓 고등 (확장)
사인법칙 a/sinA = 2R, 코사인법칙, 넓이 ½ab sin C, 삼각함수의 활용.

🐣 저학년 직관 — "막대 하나로 나무 키를 재는 법"

맑은 날, 1m짜리 막대를 땅에 세웠더니 그림자가 2m 나왔어요. 같은 시각에 나무의 그림자를 재니 10m였대요. 나무 키는 몇 m일까요?

해는 아주 멀리 있어서 같은 시각이면 기울기가 똑같아요. 그러니 「키 : 그림자」의 비도 똑같아요. 막대는 1 : 2, 나무는 □ : 10이니까 □는 5m예요.

이 "기울기가 같으면 가로세로의 비도 같다"가 자라서 중3의 삼각비가 돼요. 그림자 대신 각도를 재면, 표에서 비를 바로 찾아 곱하기만 하면 되지요.

답: 나무 키 5m — 「키 ÷ 그림자」가 같다

연습 10제 · 그림 해설

문제 1빗변 → 두 변 · 기본
빗변의 길이가 10이고 한 예각의 크기가 30°인 직각삼각형에서, 30°와 마주보는 변 x와 30°에 붙어 있는 변 y의 길이를 각각 구하라.

풀이 — 빗변을 알면 곱하기 sin, 곱하기 cos

30° 10 x y
  1. 30°와 마주보는 변이므로 x = 10 × sin 30° = 10 × ½ = 5.
  2. 30°에 붙어 있는 변이므로 y = 10 × cos 30° = 10 × (√3⁄2) = 5√3.
  3. 검산: 특수각의 비 1 : √3 : 2에 5를 곱하면 5 : 5√3 : 10 ✓
x = 5, y = 5√3
문제 2삼각비의 표 · 기본
빗변의 길이가 12이고 한 예각이 40°인 직각삼각형에서, 40°와 마주보는 변과 붙어 있는 변의 길이를 삼각비의 표를 써서 구하라.

풀이 — 표에서 값을 읽고 곱하기 한 번

  1. 표에서 sin 40° = 0.64, cos 40° = 0.77.
  2. 마주보는 변 = 12 × 0.64 = 7.68.
  3. 붙어 있는 변 = 12 × 0.77 = 9.24.
7.68 과 9.24
문제 3인접변 × tan · 기본
한 예각이 40°이고 그 각에 붙어 있는 변이 15인 직각삼각형에서, 40°와 마주보는 변의 길이를 구하라.

풀이 — 빗변을 모르면 탄젠트

  1. tan 40° = 인접변분의 대변 이므로 대변 = 15 × tan 40°.
  2. 표에서 tan 40° = 0.84이므로 15 × 0.84 = 12.6.
  3. ⚠️ 여기서 sin 40°를 쓰면 틀린다. 15는 빗변이 아니라 인접변이다.
12.6
문제 4거꾸로 · ÷ cos · 진가
한 예각이 55°이고 그 각에 붙어 있는 변이 5.7인 직각삼각형에서, 빗변의 길이를 구하라.

풀이 — 곱해서 안 되면 나눈다

  1. cos 55° = 빗변분의 5.7 → 양변에 빗변을 곱하면 빗변 × cos 55° = 5.7.
  2. 그러므로 빗변 = 5.7 ÷ cos 55° = 5.7 ÷ 0.57 = 10.
  3. 검산: 10 × 0.57 = 5.7 ✓
10
문제 5거꾸로 · ÷ tan · 진가
한 예각이 50°이고 그 각과 마주보는 변이 11.9인 직각삼각형에서, 그 각에 붙어 있는 변의 길이를 구하라.

풀이 — 탄젠트로 나눈다

  1. tan 50° = 인접변분의 11.9 → 인접변 × tan 50° = 11.9.
  2. 인접변 = 11.9 ÷ tan 50° = 11.9 ÷ 1.19 = 10.
  3. 검산: 10 × 1.19 = 11.9 ✓
10
문제 6수선 긋기 + 피타고라스 · 진가
△ABC에서 ∠B = 60°, AB = 4, BC = 7일 때 AC의 길이를 구하라.

풀이 — 직각이 없으면 수선을 그어 만든다

60° A B C H 4 7
  1. A에서 BC에 수선을 내려 발을 H라 하자.
  2. AH = 4 sin 60° = 4 × (√3⁄2) = 2√3, BH = 4 cos 60° = 4 × ½ = 2.
  3. CH = 7 − 2 = 5.
  4. 직각삼각형 ACH에서 AC² = 5² + (2√3)² = 25 + 12 = 37.
  5. 검산(코사인법칙): 4² + 7² − 2·4·7·cos60° = 16 + 49 − 28 = 37 ✓
AC = √37
문제 7두 각을 알 때 · 진가
△ABC에서 ∠B = 45°, ∠C = 30°, AB = 6√2일 때 AC의 길이를 구하라.

풀이 — 높이를 다리 삼아 두 번 건넌다

  1. A에서 BC에 수선 AH를 내린다. 왼쪽은 45°짜리, 오른쪽은 30°짜리 직각삼각형이 된다.
  2. AH = 6√2 × sin 45° = 6√2 × (√2⁄2) = 6.
  3. 오른쪽 삼각형에서 sin 30° = AC분의 AH 이므로 AC = 6 ÷ sin 30° = 6 ÷ ½ = 12.
  4. 검산(사인법칙): AC ÷ sin B = AB ÷ sin C → AC = 6√2 × sin45° ÷ sin30° = 6 ÷ ½ = 12 ✓
AC = 12
문제 8삼각형의 높이 · 더하기형
△ABC에서 BC = 12, ∠B = 45°, ∠C = 60°일 때, A에서 BC에 내린 높이 h를 구하라.

풀이 — 위쪽 각으로 바꿔 h tan 두 조각을 더한다

45° 60° 45° 30° h 12 A B C H
  1. 밑각이 45°면 위쪽 각은 90° − 45° = 45°, 밑각이 60°면 위쪽 각은 30°.
  2. BH = h tan 45° = h, CH = h tan 30° = (√3⁄3) h.
  3. H가 밑변 안에 있으므로 BH + CH = 12 → h(1 + √3⁄3) = 12.
  4. h = 36 ÷ (3 + √3) = 36(3 − √3) ÷ 6 = 18 − 6√3.
  5. 검산: 18 − 6√3 ≈ 7.61, 7.61 × 1.577 ≈ 12.0 ✓
h = 18 − 6√3
문제 9삼각형의 높이 · 빼기형
△ABC에서 BC = 6, ∠B = 30°, ∠ACB = 135°일 때, A에서 직선 BC에 내린 높이 h를 구하라.

풀이 — H가 밖으로 나가면 뺀다

30° 60° 45° A B C H 6 h
  1. ∠ACB = 135°는 둔각이므로 수선의 발 H는 C의 바깥에 떨어진다.
  2. 밑각 B가 30°이므로 위쪽 각은 60°. △ACH에서 ∠ACH = 180° − 135° = 45°이므로 위쪽 각도 45°.
  3. BH = h tan 60° = √3 h, CH = h tan 45° = h.
  4. BH − CH = BC → h(√3 − 1) = 6 → h = 6 ÷ (√3 − 1) = 3(√3 + 1) = 3√3 + 3.
  5. 검산: 3√3 + 3 ≈ 8.196, 8.196 × 0.732 ≈ 6.0 ✓
h = 3√3 + 3
문제 10실생활 · 눈높이를 더하라
건물에서 20m 떨어진 곳에서 눈높이 1.5m로 건물 꼭대기를 올려본각이 40°였다. 이 건물의 높이를 구하라. (소수 첫째 자리까지)

풀이 — 눈높이 위쪽만 삼각비, 눈높이는 마지막에 더한다

40° 1.5 20 16.8 1.5
  1. 눈높이에서 꼭대기까지의 높이를 x라 하면 tan 40° = 20분의 x.
  2. x = 20 × tan 40° = 20 × 0.84 = 16.8 (m).
  3. 건물 높이 = 16.8 + 1.5 = 18.3 (m).
  4. ⚠️ 16.8m라고 답하면 틀린다. 눈높이 1.5m를 반드시 더해야 한다.
18.3 m

도전 · 이 비법만으로 위 학년 문제 풀기

도전 · 중3삼각비로 넓이 구하기
△ABC에서 ∠B = 60°, AB = 8, BC = 10일 때, △ABC의 넓이를 구하라.

풀이 — 높이만 구하면 넓이는 끝난다

  1. A에서 BC에 수선을 내리면 AH = 8 sin 60° = 8 × (√3⁄2) = 4√3.
  2. 넓이 = ½ × BC × AH = ½ × 10 × 4√3 = 20√3.
  3. 이것이 고등학교에서 배우는 S = ½ ab sin C 공식의 정체다. 특별한 새 공식이 아니라 수선 하나다.
20√3
도전 · 중3두 각 + 넓이 한꺼번에
△ABC에서 ∠B = 30°, ∠C = 45°, AB = 8일 때, AC의 길이와 △ABC의 넓이를 구하라.

풀이 — 높이 하나로 변도 넓이도

  1. AH = 8 sin 30° = 4, BH = 8 cos 30° = 4√3.
  2. 오른쪽은 45°짜리 직각삼각형이므로 CH = AH ÷ tan 45° = 4, AC = AH ÷ sin 45° = 4 ÷ (√2⁄2) = 4√2.
  3. BC = BH + CH = 4√3 + 4.
  4. 넓이 = ½ × (4√3 + 4) × 4 = 8√3 + 8.
  5. 검산: ½ × AB × BC × sin B = ½ × 8 × (4√3+4) × ½ = 8√3 + 8 ✓
AC = 4√2, 넓이 = 8√3 + 8
도전 · 고1표를 거꾸로 읽기
삼각비의 표에서 tan x° = 2.14인 x를 찾고, 그 각에 붙어 있는 변이 5인 직각삼각형에서 마주보는 변의 길이를 구하라.

풀이 — 표는 양방향으로 읽는다

  1. 표의 tan 칸에서 2.14를 찾으면 x = 65.
  2. 마주보는 변 = 5 × tan 65° = 5 × 2.14 = 10.7.
  3. 참고: tan 65°가 1보다 크다는 것은 높이가 밑변보다 길다는 뜻이다. 45°가 그 경계(tan 45° = 1)다.
x = 65, 길이 = 10.7
도전 · 고1두 지점에서 관측하기
나무의 밑동과 일직선 위에 있는 두 지점 P, Q에서 나무 꼭대기를 올려본각이 각각 30°, 60°였다. Q가 나무에 더 가깝고 PQ = 10일 때, 나무의 높이를 구하라. (눈높이는 무시)

풀이 — 두 밑변을 h로 나타내고 빼면 PQ

30° 60° P Q F 10 h
  1. 나무 밑동을 F, 높이를 h라 하자.
  2. PF = h ÷ tan 30° = √3 h, QF = h ÷ tan 60° = (√3⁄3) h.
  3. PF − QF = PQ → √3 h − (√3⁄3) h = 10 → (2√3⁄3) h = 10.
  4. h = 30 ÷ (2√3) = 15 ÷ √3 = 5√3.
  5. 검산: h = 5√3 ≈ 8.66이면 PF = 15, QF = 5, 차가 정확히 10 ✓
5√3 (≈ 8.66)
도전 · 고1평행사변형의 넓이
평행사변형 ABCD에서 AB = 6, BC = 8, ∠B = 60°일 때, 이 평행사변형의 넓이를 구하라.

풀이 — 밑변 × 높이, 높이는 삼각비로

  1. BC를 밑변으로 보면 높이는 A에서 BC에 내린 수선의 길이다.
  2. 높이 = AB × sin B = 6 × sin 60° = 6 × (√3⁄2) = 3√3.
  3. 넓이 = 8 × 3√3 = 24√3.
  4. 일반화하면 평행사변형의 넓이 = ab sin θ — 삼각형 넓이 ½ab sin θ의 두 배다.
24√3
도전 · 경시공식 유도 · 삼각형의 높이
△ABC에서 BC = a이고 두 밑각 B, C가 모두 예각일 때, A에서 BC에 내린 높이가 h = a ÷ ( tan(90°−B) + tan(90°−C) ) 임을 보이고, 이것이 h = a ÷ ( 1⁄tanB + 1⁄tanC ) 와 같은 식임을 설명하라.

풀이 — 밑변을 두 조각으로 쪼개고, 여각의 탄젠트를 뒤집는다

  1. 수선의 발을 H라 하면 두 밑각이 예각이므로 H는 BC 안에 있고 BH + CH = a.
  2. △ABH에서 ∠BAH = 90° − B이고 tan(∠BAH) = h분의 BH이므로 BH = h tan(90° − B). 같은 방법으로 CH = h tan(90° − C).
  3. 더하면 h ( tan(90°−B) + tan(90°−C) ) = a, 곧 h = a ÷ ( tan(90°−B) + tan(90°−C) ). ∎
  4. 한편 △ABH에서 tan B = BH분의 h 이므로 BH = h ÷ tan B. 앞의 식과 견주면 tan(90° − B) = 1 ÷ tan B 임을 알 수 있다. 그래서 두 식은 같은 식이다.
  5. 검산: a = 10, B = 60°, C = 45°이면 h = 10 ÷ (1⁄√3 + 1) = 10√3 ÷ (√3 + 1) = 5(3 − √3) = 15 − 5√3 — 특강 예제⑨의 답과 정확히 같다 ✓
  6. ⚠️ 한 밑각이 둔각이면 H가 밖으로 나가므로 더하기가 빼기로 바뀐다(연습 9번).
h = a ÷ ( tan(90°−B) + tan(90°−C) ) = a ÷ ( 1⁄tanB + 1⁄tanC )

🔭 이 비법, 여기까지 뻗는다

"구할 변 = 아는 변 × 삼각비" 한 줄이 자라는 곳

사인법칙 · 코사인법칙
고2 · 수학Ⅰ 삼각함수의 활용
문제 7번에서 높이를 다리 삼아 두 번 건넌 것이 바로 사인법칙의 증명이다. AH = c sin B이고 동시에 AH = b sin C이니 c sin B = b sin C, 곧 b ÷ sin B = c ÷ sin C. 문제 6번의 검산에 쓴 것이 코사인법칙이다. (특강 제34강에서 이어서 배운다.)
삼각형의 넓이 ½ ab sin C
고1~고2
도전 1·2번에서 본 대로 높이 = 옆변 × sin(낀각)이므로 넓이 = ½ × 밑변 × 옆변 × sin(낀각). 두 변과 낀각만 알면 넓이가 나온다.
측량과 항해 · 삼각측량
실생활 · 지리 · 천문
도전 4번처럼 두 지점에서 각을 재어 닿을 수 없는 곳의 높이·거리를 구하는 방법을 삼각측량이라고 한다. 산의 높이, 강의 폭, 별까지의 거리까지 모두 이 원리로 잰다.
벡터의 성분 · 힘의 분해
고등 물리 · 공학
비스듬히 당기는 힘 F를 가로와 세로로 나누면 정확히 F cos θ와 F sin θ다. 오늘 배운 "빗변 × cos, 빗변 × sin"이 그대로 쓰인다.
※ 이 자료의 연습문제는 장대경 선생님 방법으로 새로 만들고 값을 직접 전수 검산한 교육 자료입니다(원본 강의와 숫자·예제가 다를 수 있음).
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