원리합계 실전 완전정복 — 초냐 말이냐, 그 한 낱말 연습 10제

먼저 · 원리합계, 이 여섯 가지면 끝난다

복리는 등비수열 — 해마다 (1 + r)을 곱한다. 원금 a를 n년 두면 \( a(1+r)^{n} \). (단리는 해마다 더하는 등차수열)

기말불(期末拂) — 해마다 말에 a씩 넣을 때 n년 말의 적립금. \( S=\dfrac{a\{(1+r)^{n}-1\}}{r} \)

기수불(期首拂) — 해마다 초에 a씩 넣을 때. \( S=\dfrac{a(1+r)\{(1+r)^{n}-1\}}{r} \) — 기말불에 (1+r)을 한 번 더 곱한 것.

읽는 법 — 선생님 말씀 그대로: “a는 원금, r은 이자, n은 몇 년.”

소수점은 없앤다 — 100000 ÷ 0.08은 위아래 자릿수를 함께 두 자리 옮겨 10000000 ÷ 8 = 1250000.

지수를 세어라 — 기말불은 n−1 ~ 0, 기수불은 n ~ 1. 항의 개수는 둘 다 n개인데 지수만 하나씩 다르다.

넣는 때	1년 차에 넣은 돈	2년 차	…	마지막 해	지수 범위
기말불 · 해마다 말	\(a(1+r)^{n-1}\)	\(a(1+r)^{n-2}\)	…	\(a\) (이자 0번)	\(n-1 \sim 0\)
기수불 · 해마다 초	\(a(1+r)^{n}\)	\(a(1+r)^{n-1}\)	…	\(a(1+r)\) (이자 1번)	\(n \sim 1\)

이 개념, 학년마다 이렇게

🐣 초등 (직관)

저금통에 넣은 돈에 해마다 이자가 붙는다. 이자에도 다시 이자가 붙는 것이 복리 — 곱셈이 쌓인다.

📐 고2 수학Ⅰ (핵심)

복리 \(a(1+r)^n\), 기말불·기수불 적립 공식, 지수와 항의 개수, 소수점 처리.

🎓 그 위 (확장)

로그로 “몇 년이면 두 배인가”, 무한등비급수로 영구 연금의 현재가치 \(A/r\).

🐣 저학년 직관 — "이자에도 이자가 붙는다"

저금통에 10,000원을 넣었어요. 해마다 10%씩 이자가 붙는대요. 3년 뒤에 얼마가 될까요?

단리라면 — 해마다 원금 10,000원의 10%인 1,000원씩. 3년이면 3,000원. 합쳐서 13,000원.

복리라면 — 1년 뒤 11,000원, 2년 뒤에는 11,000원의 10%인 1,100원이 붙어 12,100원, 3년 뒤에는 12,100원의 10%인 1,210원이 붙어 13,310원.

딱 310원 차이예요. 작아 보이지요? 그런데 이게 20년 쌓이면 원금의 네 배가 넘어요. 그래서 복리를 무섭다고 하는 거예요.

단리 13,000원 · 복리 13,310원 (= 10,000 × 1.1³)

이 자료에서 쓰는 거듭제곱 어림값(문항마다 다시 적어 둡니다) — \(1.05^{4}=1.2155\) (실제 1.21550625 · 소수 넷째 자리 반올림) · \(1.05^{10}=1.63\) (실제 1.6288946… · 소수 둘째 자리 반올림) · \(1.06^{6}=1.42\) (실제 1.4185191…) · \(1.08^{5}=1.47\) (실제 1.4693281) · \(1.08^{6}=1.59\) (실제 1.5868743…) · \(1.08^{10}=2.16\) (실제 2.1589250…) · \(1.08^{15}=3.17\) (실제 3.1721691…) · \(1.08^{20}=4.66\) (실제 4.6609571…) — 따로 말이 없으면 소수 둘째 자리에서 반올림한 값이고, 답도 그 어림값으로 끝까지 간 값입니다.

연습 10제 · 고비 표시 해설

문제 1C · 복리의 뜻

500,000원을 연이율 5%의 복리로 4년 동안 예금했다. 4년 뒤의 원리합계를 구하라. (단, \(1.05^{4}=1.2155\) 로 계산한다 — 실제 1.21550625를 소수 넷째 자리에서 반올림한 값)

풀이 — 한 번 맡긴 돈은 곱하기 한 번으로 끝난다

⭐ 여기가 고비 — 이자를 「더하는」 것이 아니라 「곱하는」 것 복리를 처음 만나면 거의 모두 해마다 이자를 더해 버립니다. 5%씩 4년이니 20%, 곧 600,000원이라고요. 그건 단리입니다. 복리는 붙은 이자에도 다시 이자가 붙습니다. 한 해가 지나면 원금이 \(1.05\)배가 됩니다. 그다음 해에도 그때의 잔액이 다시 \(1.05\)배가 되지요. 그러니 4년이면 \(1.05\)를 네 번 곱하는 것 — \(500000 \times 1.05^{4}\)입니다. 해마다 같은 수를 곱해 나가므로 이것은 공비 \(1.05\)인 등비수열입니다. 원리합계가 등비수열 시간에 나오는 까닭이 바로 이것입니다.
\(500000 \times 1.2155 = 607750\).
검산(한 해씩): 525000 → 551250 → 578812.5 → 578812.5 × 1.05 = 607753.125. 주어진 어림값 1.2155로 가면 607,750원. ✓

🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 단리로 계산하면 \(500000 \times (1 + 0.05 \times 4) = 600000\)원. 7,750원이 모자랍니다. 이 차이가 바로 이자에 붙은 이자입니다. → 문제에 「복리」라는 두 글자가 있는지 먼저 본다. 있으면 곱셈, 없으면 덧셈.

607,750원

문제 2C · 기말불 기본

연이율 5%의 복리로 해마다 말에 200,000원씩 10년 동안 적립할 때, 10년 말의 적립금을 구하라. (단, \(1.05^{10}=1.63\) — 실제 1.6288946…을 소수 둘째 자리에서 반올림)

풀이 — 마지막에 넣은 돈에는 이자가 붙지 않는다

⭐ 여기가 고비 — 「말」에 넣었으니 마지막 돈은 이자가 0번 공식을 그냥 외우면 지수가 어디부터 어디까지인지가 늘 헷갈립니다. 마지막 돈 하나만 따져 보면 단번에 정해집니다. 10년 말에 넣은 200,000원은 넣자마자 끝나는 날입니다. 이자가 붙을 틈이 한 번도 없습니다 → 그대로 \(200000\).
9년 말에 넣은 돈은 한 해만 굴러 \(200000 \times 1.05\).
… 거슬러 올라가 1년 말에 넣은 돈은 아홉 해를 굴러 \(200000 \times 1.05^{9}\).
그러니 더할 것은 \(200000 + 200000(1.05) + \cdots + 200000(1.05)^{9}\) — 첫째항 200000, 공비 1.05, 항이 10개인 등비수열의 합입니다. 지수는 9부터 0까지, 항은 10개. 여기까지 세어 놓으면 공식은 그저 받아 적는 일입니다.
\( S=\dfrac{200000(1.05^{10}-1)}{0.05}=\dfrac{200000 \times 0.63}{0.05} \).
소수점을 없앤다: \(200000 \div 0.05 = 20000000 \div 5 = 4000000\).
\(4000000 \times 0.63 = 2520000\). 넣은 돈은 \(200000 \times 10 = 2000000\)원이니 이자가 52만원 붙었다.

"원리 (합계)다, 시험에 꼭 나온다."— 장대경 선생님 특강 [HqyKtVYYtDU 7:01~7:11] · 그 회차에서 「시험에 꼭 나온다」를 딱 한 번 쓰신 자리

2,520,000원

문제 3B · 기수불 · 진가

문제 2와 모든 조건이 같은데 돈을 해마다 초에 넣는다면, 10년 말의 적립금은 얼마인가? 그리고 그 값이 문제 2의 답과 왜 그만큼 차이 나는지 설명하라.

풀이 — 공식을 다시 세우지 말고 (1+r)만 곱한다

⭐ 여기가 고비 — 「한 해 앞당겨졌다」는 것 하나로 끝난다 기수불 공식을 따로 외워 두지 않았다면 여기서 막힙니다. 그런데 외울 필요가 없습니다. 넣는 돈도 같고, 넣는 횟수도 10번으로 같습니다. 달라진 것은 모든 돈이 꼭 한 해씩 일찍 들어갔다는 것뿐입니다.
· 기말불에서 지수는 \(9 \sim 0\) → 기수불에서는 \(10 \sim 1\).
· 모든 항에 똑같이 \(1.05\)가 하나씩 더 붙었습니다. 공통인수니까 통째로 밖으로 나옵니다.
그래서 기수불 = 기말불 × (1 + r). 두 공식이 아니라 한 공식에 곱셈 하나입니다.
\(2520000 \times 1.05 = 2646000\).
차액 \(2646000-2520000=126000\)원. 이것은 \(2520000\)의 정확히 5% — 한 해분 이자다.
검산(공식으로 곧장): \(\dfrac{200000 \times 1.05 \times 0.63}{0.05} = 4000000 \times 1.05 \times 0.63 = 2646000\) ✓

2,646,000원 (기말불보다 126,000원 = 한 해분 이자 5%만큼 많다)

문제 4B · 소수점 없애기

연이율 8%의 복리로 해마다 초에 300,000원씩 15년 동안 적립할 때, 15년 말의 적립금을 구하라. (단, \(1.08^{15}=3.17\) — 실제 3.1721691…을 소수 둘째 자리에서 반올림)

풀이 — 0.08로 나누는 자리를 먼저 정리한다

기수불이므로 \( S=\dfrac{300000 \times 1.08 \times (3.17-1)}{0.08} = \dfrac{300000 \times 1.08 \times 2.17}{0.08}\).
⭐ 여기가 고비 — 0.08로 나누는 일을 「맨 먼저」 한다 이 식을 왼쪽부터 차례로 계산하면 \(300000 \times 1.08 = 324000\), \(\times 2.17 = 703080\), 그 다음에 703080을 0.08로 나누는 지저분한 셈이 남습니다. 손으로는 거의 반드시 틀립니다. 곱셈과 나눗셈은 차례를 마음대로 바꿔도 됩니다. 그러니 소수점이 든 나눗셈부터 해치웁니다.
\(300000 \div 0.08\) — 분모의 소수점을 두 자리 옮겨 \(8\)로 만들고, 그만큼 분자에도 0을 두 개 붙여 \(30000000\).
\(30000000 \div 8 = \mathbf{3750000}\) — 딱 떨어집니다.
남은 것은 정수끼리의 곱셈뿐입니다. \(3750000 \times 1.08 = 4050000\), \(4050000 \times 2.17 = 8788500\).
\(3750000 \times 1.08 = 4050000\).
\(4050000 \times 2.17 = 8788500\). (넣은 돈 \(300000 \times 15 = 4500000\)원의 약 1.95배)

"자, 소수점은 없애 버리라 그래서 이거 없애 버리고 이 소수점을 없애 버리면 돼. 그다음 요거를 (0을) 2개 보내고 이것을 (0) 2개를 줄이면 돼."— 장대경 선생님 특강 [HqyKtVYYtDU 9:38~9:50] (자동 자막을 다듬어 옮김)

8,788,500원

문제 5B · 거꾸로 쓰기

연이율 5%의 복리로 해마다 말에 같은 금액씩 10년 동안 적립해서 12,600,000원을 만들려고 한다. 해마다 얼마씩 넣어야 하는가? (단, \(1.05^{10}=1.63\))

풀이 — 구하는 것이 a로 바뀌었을 뿐, 식은 그대로다

⭐ 여기가 고비 — 「a를 구하는 새 공식」은 없다 적립금을 구하는 문제만 풀어 본 학생은 여기서 새 공식을 찾으려고 합니다. 그런 건 없습니다. 같은 식에서 모르는 자리가 S에서 a로 옮겨 갔을 뿐입니다. 기말불 공식 \( S=\dfrac{a\{(1+r)^{n}-1\}}{r} \)에서 a를 뺀 나머지는 전부 아는 수입니다. 그러니 그 덩어리를 하나의 수로 먼저 계산해 버립니다 — \(\dfrac{1.63-1}{0.05}=\dfrac{0.63}{0.05}\). 여기서도 소수점을 없앱니다: \(\dfrac{63}{5}=\mathbf{12.6}\).
식은 \(a \times 12.6 = 12600000\) 이라는 한 줄짜리 일차방정식이 됩니다. 12.6이라는 수의 뜻은 「1원씩 10년 넣으면 12.6원이 된다」입니다.
\(a = 12600000 \div 12.6 = 1000000\).
검산: \(\dfrac{1000000 \times 0.63}{0.05} = 20000000 \times 0.63 = 12600000\) ✓

해마다 1,000,000원씩

문제 6B · 차액의 뜻

연이율 \(r\)의 복리로 해마다 \(a\)원씩 \(n\)년 적립할 때, 초에 넣는 경우와 말에 넣는 경우의 적립금 차이를 \(a,\,r,\,n\)으로 나타내고, 그 차이가 무엇을 뜻하는지 설명하라.

풀이 — 차이는 「기말불의 r배」다

기수불 \(S_1=\dfrac{a(1+r)\{(1+r)^{n}-1\}}{r}\), 기말불 \(S_2=\dfrac{a\{(1+r)^{n}-1\}}{r}\).
⭐ 여기가 고비 — 빼기 전에 공통인수로 묶는다 두 식을 그대로 빼서 통분하려 들면 지저분해집니다. 공통인 덩어리를 먼저 묶습니다. \(S_1-S_2=\dfrac{a\{(1+r)^{n}-1\}}{r}\Big[(1+r)-1\Big]=\dfrac{a\{(1+r)^{n}-1\}}{r}\times r\)
\(r\)이 약분되어 사라집니다 → \(S_1-S_2=\mathbf{a\{(1+r)^{n}-1\}}\).
그리고 같은 것을 다르게 읽으면 \(S_1-S_2 = S_2 \times r\) — 기말불 값의 r배입니다.
뜻: 해마다 한 해씩 먼저 넣었으므로 「모아 둔 돈 전체에 대한 한 해분 이자」를 통째로 더 받은 것입니다.
숫자로 확인 — 문제 2·3에서 \(a=200000,\ r=0.05,\ n=10\): \(200000 \times 0.63 = 126000\)원. ✓ 그리고 \(2520000 \times 0.05 = 126000\) ✓ (두 길이 같다)

\(S_1-S_2=a\{(1+r)^{n}-1\}=S_2 \times r\) — 모아 둔 돈 전체의 한 해분 이자

문제 7B · 기간 환산 함정

6개월마다 6%의 복리로 이자가 붙는 상품이 있다. 이 상품에 6개월마다 말에 500,000원씩 3년 동안 적립할 때, 3년 말의 적립금을 구하라. (단, \(1.06^{6}=1.42\) — 실제 1.4185191…을 소수 둘째 자리에서 반올림)

풀이 — 「해」가 아니라 「회」로 세면 같은 공식이다

⭐ 여기가 고비 — n에 3을 넣으면 안 된다 문제에 “3년”이라고 쓰여 있으니 \(n=3\)을 넣고 싶어집니다. 여기서 절반이 틀립니다. 공식의 \(n\)은 「몇 년」이 아니라 「이자가 몇 번 붙는가」, 곧 넣은 횟수입니다. 이 상품은 6개월이 한 주기입니다. 그러니 자를 통째로 6개월짜리로 바꿔 답니다 —
· 이율 \(r\) = 한 주기당 0.06 (연 12%로 고쳐 쓰지 않습니다. 고치는 순간 주기와 어긋납니다.)
· 기간 \(n\) = 3년 ÷ 6개월 = 6회.
이렇게 바꿔 놓으면 문제 2와 완전히 같은 기말불 문제입니다. 단위만 「해」에서 「회」로 갈아 끼운 것입니다.
\( S=\dfrac{500000(1.06^{6}-1)}{0.06}=\dfrac{500000 \times 0.42}{0.06}\).
소수점을 없앤다: \(\dfrac{0.42}{0.06}=\dfrac{42}{6}=7\). 그러므로 \(S=500000 \times 7 = 3500000\).

🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 「3년」을 그대로 넣으면 \(\dfrac{500000(1.06^{3}-1)}{0.06}\) — 넣은 횟수가 3번이라는 뜻이 됩니다. 그런데 실제로는 6번 넣었습니다. 넣은 돈만 300만원인데 답이 그보다 적게 나올 수도 있습니다. → “몇 번 넣었나”를 손가락으로 세어 본다. 그 수가 \(n\)이다.

3,500,000원

문제 8B · 지수 하나의 함정 · 진가

연이율 8%의 복리로 해마다 초에 100,000원씩 20년 동안 적립한다. ① 더해야 할 항을 첫 항과 끝 항으로 나타내고 항의 개수를 말하라. ② 20년 말의 적립금을 구하라. (단, \(1.08^{20}=4.66\))

풀이 — 첫 항과 끝 항을 손으로 써 보면 지수가 정해진다

⭐ 여기가 고비 — 「20년이니까 지수는 19까지」가 아니다 이 단원에서 틀리는 자리는 사실상 여기 하나입니다. 그리고 틀린 답이 그럴듯해 보여서 더 무섭습니다. 공식을 꺼내기 전에 양 끝 두 항만 직접 써 봅니다. · 1년 초에 넣은 10만원 — 1년부터 20년까지 스무 해를 굴렀다 → \(100000 \times 1.08^{20}\). 이것이 첫 항.
· 20년 초에 넣은 10만원 — 그래도 그해 한 해는 굴렀다 → \(100000 \times 1.08^{1}\). 이것이 끝 항.
지수는 \(20\)부터 \(1\)까지, 그러니 항은 20개(넣은 횟수와 같다).
기말불이었다면 지수가 \(19\)부터 \(0\)까지 — 개수는 똑같이 20개인데 모든 지수가 1씩 작습니다. 개수를 세어 봐야 둘을 가릴 수 없습니다. 가르는 것은 「초냐 말이냐」 그 한 낱말뿐입니다.
① 첫 항 \(100000 \times 1.08^{20}\), 끝 항 \(100000 \times 1.08\), 항의 개수 20개.
② \( S=\dfrac{100000 \times 1.08 \times (4.66-1)}{0.08}\). 소수점을 없애면 \(100000 \div 0.08 = 10000000 \div 8 = 1250000\).
\(1250000 \times 1.08 \times 3.66 = 1350000 \times 3.66 = 4941000\).

🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 기말불 공식을 쓰면 \(1250000 \times 3.66 = 4575000\)원. 넣은 돈 200만원보다 훨씬 크니 얼핏 그럴듯합니다. 하지만 정답보다 366,000원이 모자랍니다. 정확히 \(4575000 \times 0.08\), 곧 한 해분 이자만큼입니다. → 답을 쓰기 전에 「끝 항에 이자가 붙었는가」를 한 번 묻는다. 초에 넣었으면 반드시 한 번은 붙는다.

"a는 뭐냐? 원금. r은 뭐냐? 이자. n은 뭐냐? 몇 년이고."— 장대경 선생님 특강 [0xhFWeDZpAE 18:05~18:21] · 기수불·기말불 공식을 세우신 직후

① 첫 항 \(100000 \times 1.08^{20}\), 끝 항 \(100000 \times 1.08\), 20개 · ② 4,941,000원

문제 9B · 적립 뒤 거치 · 진가

연이율 8%의 복리로 해마다 초에 200,000원씩 10년 동안 적립하고, 그 뒤로는 더 넣지 않고 그대로 5년을 더 두었다. 15년 말의 금액을 구하라. (단, \(1.08^{10}=2.16\), \(1.08^{5}=1.47\))

풀이 — 적립이 끝나면 「한 덩어리 예금」이 된다

⭐ 여기가 고비 — 15년짜리 적립 공식에 밀어 넣으면 안 된다 “15년 말”이라는 말에 끌려 \(n=15\)로 적립 공식을 쓰면 11년째부터도 계속 넣은 것이 되어 버립니다. 문제는 분명히 10번만 넣었다고 했습니다. 시간을 두 토막으로 자릅니다.
① 1년 초 ~ 10년 말 : 해마다 초에 넣는 기수불 10년. 여기서 나온 금액을 하나의 덩어리로 봅니다.
② 11년 ~ 15년 : 새로 넣는 돈이 없습니다. 그 덩어리가 그냥 5년짜리 복리 예금이 됩니다 → \(\times 1.08^{5}\).
적립이 끝나는 순간 문제가 문제 1(한 번 맡긴 돈)로 바뀌는 것 — 이것만 보이면 두 걸음입니다.
① \(200000 \div 0.08 = 20000000 \div 8 = 2500000\). \(2500000 \times 1.08 \times (2.16-1) = 2700000 \times 1.16 = 3132000\)원.
② \(3132000 \times 1.47 = 4604040\)원.
⚠️ 어림값에 대하여 — 여기서는 반올림한 값을 두 번 이어 곱했다. \(2.16 \times 1.47 = 3.1752\)인데 \(1.08^{15}\)의 어림값은 3.17이고 실제값은 3.1721691…이다. 답이 주어진 어림값을 따라간 값임을 밝혀 둔다.

4,604,040원

문제 10A · 중도 인출 · 최상위

연이율 8%의 복리로 해마다 초에 200,000원씩 10년 동안 적립하기로 했다. 그런데 5년째 초에, 그해 몫 200,000원을 넣은 직후 사정이 생겨 1,000,000원을 찾아 썼다. 남은 해에는 계획대로 계속 넣었다. 10년 말의 금액을 구하라. (단, \(1.08^{10}=2.16\), \(1.08^{6}=1.59\))

풀이 — 찾아 쓴 돈을 「같은 시점」으로 옮겨서 뺀다

먼저 찾아 쓰지 않았다면 얼마였을지 구한다 — 기수불 10년: \(2500000 \times 1.08 \times 1.16 = 3132000\)원. (문제 9의 ①과 같다)
⭐ 여기가 고비 — 100만원을 그냥 빼면 안 된다 \(3132000 - 1000000\)이라고 쓰고 싶어집니다. 그러나 두 금액은 서로 다른 날짜의 돈입니다. 3,132,000원은 10년 말의 값이고, 1,000,000원은 5년 초의 값입니다. 돈은 시점이 다르면 그대로 더하거나 뺄 수 없습니다. 찾아 쓴 100만원이 그대로 남아 있었다면 10년 말까지 이자가 몇 번 붙었을지를 셉니다. 5년째 초부터 10년째 말까지는 5·6·7·8·9·10년 — 여섯 해입니다 → \(1000000 \times 1.08^{6}\).
그러니 10년 말 시점으로 옮긴 인출액은 \(1000000 \times 1.59 = 1590000\)원.
이제 둘 다 「10년 말의 돈」이 되었으니 비로소 뺄 수 있습니다.
해가 몇 번인지 세는 법 — \(10 - 5 + 1 = 6\). 5년째도 아직 통째로 남아 있으니 +1을 잊지 않습니다.
\(3132000 - 1590000 = 1542000\)원.
인출이 가능한가 확인 — 5년째 초에 넣은 직후의 잔액은 약 1,173,000원으로 100만원보다 많다. 문제가 성립한다 ✓
검산(해마다 실제로 굴려서): 20만을 넣고 1.08을 곱하기를 되풀이하되 5년째에만 100만을 빼면 — 정확한 이율로 1,542,223원. 공식으로 얻은 값과 같은 얼개다(어림값 2.16·1.59를 쓴 답이 1,542,000원) ✓

🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 「다섯 해」로 세면 5년 초에서 10년 초까지라고 보고 \(1000000 \times 1.08^{5}=1470000\), 답을 \(3132000-1470000=1662000\)원. 120,000원이 남습니다. 10년째 한 해를 통째로 빠뜨린 탓입니다. → 셈을 「초부터 말까지」로 끝을 맞춰 센다. 5년 초 → 10년 말은 \(10-5+1=6\)해.

1,542,000원

제일 밑에 · 이 방법을 다른 개념에 쓰는 비법

"해마다 (1+r)을 곱한다" 하나로 로그·급수·실생활까지

오늘 익힌 기수불·기말불은 등비수열을 돈에 쓴 자리일 뿐입니다. 같은 뼈대가 위 학년에서 그대로 다시 나타납니다.

① 등비수열의 합 — 이 공식의 뿌리

고2 수1 · 제23강 등비수열

기말불 공식은 첫째항 a, 공비 1+r, 항이 n개인 등비수열의 합 그 자체입니다. 합 공식이 어디서 오는지는 제23강에서 다룹니다 — 이 자료는 그것을 돈에 쓰는 자리만 맡았습니다.

② 로그 — "몇 년이면 두 배가 되나"

고2 수1 · 지수와 로그

\(a(1+r)^{n}=2a\) 에서 a가 약분되어 사라집니다. 남는 것은 \((1+r)^{n}=2\) — 원금이 얼마든 두 배가 되는 햇수는 같습니다. 여기서 n을 꺼내려면 로그가 필요합니다.

③ 무한등비급수 — 영구히 받는 연금

고3 · 급수

해마다 말에 A원씩 영원히 받는 권리의 현재가치는 \(\dfrac{A}{1+r}+\dfrac{A}{(1+r)^{2}}+\cdots = \dfrac{A}{r}\). 공비가 \(\dfrac{1}{1+r}\lt 1\)이라 무한히 더해도 한 값에 머뭅니다.

④ 실생활 — 대출 갚기도 같은 저울

경제·금융

빌린 돈을 나눠 갚는 것은 적립과 방향만 반대입니다. "빌린 돈을 만기 시점으로 옮긴 값 = 갚은 돈들을 만기 시점으로 옮겨 더한 값" — 시점을 맞춰 양쪽을 저울에 올리는 것이 전부입니다(문제 10의 고비와 같은 생각).

도전 · 이 비법만으로 더 어려운 문제 풀기

"해마다 곱한다" 하나로 반올림·로그·무한급수까지.

도전 ①반올림의 함정

\(1.08^{10}=2.16\)만 알고 있는 학생이 \(1.08^{20}=2.16^{2}=4.6656\)이라고 계산했다. 이 값과, \(1.08^{20}\)의 어림값으로 주어지는 4.66 중 어느 쪽이 실제값에 가까운가? 그리고 왜 그런가?

풀이 — 어림한 값을 다시 곱하면 오차도 함께 곱해진다

실제값 \(1.08^{20}=4.6609571\cdots\). 견주면 \(|4.66-4.6610|=0.0010\), \(|4.6656-4.6610|=0.0046\).
⭐ 여기가 고비 — 오차가 「더해지는」 게 아니라 「곱해진다」 두 값 다 반올림에서 나왔는데 왜 한쪽이 네 배 넘게 어긋날까요? \(1.08^{10}=2.1589250\cdots\)를 2.16으로 올려 쓴 순간 이미 0.0011만큼 커진 값이 되었습니다. 그런데 그것을 제곱하면 커진 부분도 함께 제곱에 가담합니다 — 대략 \((x+e)^2 = x^2 + 2xe + e^2\), 곧 오차가 \(2x\)배(여기서는 약 4.3배)로 불어납니다.
반면 4.66은 실제값 4.6609571을 곧바로 한 번 반올림한 것이라 오차가 0.001을 넘지 않습니다.
규칙: 어림값은 되도록 「마지막에 한 번만」 쓴다. 중간에서 어림해 놓고 그것을 거듭 곱하면 답이 밀립니다.
그래서 문제 9처럼 어림값을 두 번 이어 곱하는 자리에서는 답이 어림값을 따라간 값임을 밝혀 두는 것이 옳다.

4.66 쪽이 가깝다 — 어림한 값을 제곱하면 오차까지 약 2배 배율로 커지기 때문

도전 ②로그 · 몇 년이면 두 배

연이율 8%의 복리로 예금할 때, 원리합계가 처음으로 원금의 2배 이상이 되는 것은 몇 년 뒤인가? (단, \(\log 2 = 0.3010\), \(\log 1.08 = 0.0334\))

풀이 — 원금은 약분되어 사라진다

\(a \times 1.08^{n} \ge 2a\) 에서 양변을 \(a\,(>0)\)로 나누면 \(1.08^{n} \ge 2\). 원금이 얼마든 상관없다.
⭐ 여기가 고비 — 9.01이 나왔다고 답이 9년이 아니다 양변에 상용로그를 취하면 \(n\log 1.08 \ge \log 2\), 곧 \(n \ge \dfrac{0.3010}{0.0334}=9.01\cdots\). 여기서 “약 9년”이라고 쓰면 틀립니다. 문제가 물은 것은 “처음으로 2배 이상이 되는 해”이고, \(n\)은 자연수입니다. \(n \ge 9.01\cdots\)을 만족하는 가장 작은 자연수는 10입니다.
실제로 넣어 보면 — \(1.08^{9}=1.9990\cdots\)로 2에 아슬아슬하게 못 미치고, \(1.08^{10}=2.1589\cdots\)로 넘습니다. 9.01이라는 소수점 아래 0.01이 바로 이 「아슬아슬함」입니다. 부등식을 푼 뒤에는 구하는 것이 자연수인지를 반드시 한 번 더 봅니다.
검산: \(1.08^{9}=1.99900\cdots < 2 \le 2.15892\cdots=1.08^{10}\) ✓

10년 뒤

도전 ③무한등비급수 · 영구 연금

연이율 5%의 복리가 계속된다고 할 때, 해마다 말에 1,000,000원씩 영원히 받을 수 있는 권리가 있다. 이 권리의 현재 가치(지금 얼마를 예금해 두면 그렇게 되는가)를 구하라.

풀이 — 미래의 돈을 「지금의 돈」으로 되돌린다

⭐ 여기가 고비 — 지금까지와 「곱하는 방향」이 반대다 지금까지는 지금의 돈에 \((1+r)\)을 곱해 미래로 보냈습니다. 이번에는 거꾸로, 미래의 돈을 지금으로 되돌립니다. 1년 말에 받을 100만원은 지금 얼마일까요? 지금 \(x\)원을 넣어 1년 뒤 100만원이 되면 되니 \(x \times 1.05 = 1000000\), 곧 \(x=\dfrac{1000000}{1.05}\). 미래로 갈 땐 곱하고, 현재로 올 땐 나눕니다.
그러니 전부 더하면 \(\dfrac{1000000}{1.05}+\dfrac{1000000}{1.05^{2}}+\dfrac{1000000}{1.05^{3}}+\cdots\) — 첫째항 \(\dfrac{1000000}{1.05}\), 공비 \(\dfrac{1}{1.05}\)인 무한등비급수입니다.
공비가 1보다 작으므로 영원히 더해도 한 값에 머뭅니다 — \(S=\dfrac{1000000/1.05}{1-1/1.05}\). 분모·분자에 1.05를 곱해 정리하면 \(S=\dfrac{1000000}{0.05}\).
\(S=\dfrac{1000000}{0.05}=20000000\)원. 소수점을 없애면 \(\dfrac{100000000}{5}=20000000\).
뜻으로 확인: 2,000만원을 5% 복리로 넣어 두면 이자만 해마다 100만원이다. 원금에 손대지 않으니 영원히 받을 수 있다 ✓
검산(직접 더해서): 4,000항까지 실제로 더하면 20,000,000.0000원 — 공식 \(A/r\)와 일치 ✓

20,000,000원

※ 이 자료의 열 문항은 장대경 선생님의 방법(기수불·기말불 공식, 소수점 없애기, 지수 세기)만 가져와 새로 지은 문항이며, 모든 답은 해마다 실제로 이자를 붙여 더하는 방식으로 다시 검산했습니다. 원본 강의의 복리 실전 문제는 전사에서 이율과 원금이 흔들려 값이 닫히지 않으므로 그 수는 하나도 쓰지 않았습니다. 거듭제곱 어림값은 문항마다 반올림 자리를 밝혀 두었습니다.

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