YEON MATH · 행복수학

삼각형의 작도 실전 완전정복
— 자와 컴퍼스로 정확히 · 연습 10제

대변·대각·삼각형 성립조건·SSS·SAS·ASA·정삼각형 작도 · 장대경 선생님의 특강

연플래닝 ACADEMY

먼저 · 삼각형의 작도, 정확히 그리는 규칙 여섯 가지

1
대변·대각 — 각과 마주 보는 변을 대변, 변과 마주 보는 각을 대각이라 한다.
2
삼각형의 성립 조건 — 가장 긴 변의 길이는 나머지 두 변을 더한 것보다 짧아야 한다.
3
삼각형을 하나로 정하는 세 조건 — 세 변(SSS) · 두 변과 낀 각(SAS) · 한 변과 양 끝 각(ASA).
4
SSS 작도 순서 — 가장 긴 변을 먼저 긋고, 양 끝에서 컴퍼스로 나머지 두 변 길이만큼 호를 그려 교점을 찾는다.
5
정삼각형 작도 — 두 점을 중심으로 같은 반지름의 원을 그려 만나는 점을 잡으면 세 변이 모두 같아진다.
6
도구 — 눈금 없는 자(직선만)와 컴퍼스(길이 옮기기·원호 그리기)만 사용한다.
B C A

이 개념, 학년마다 이렇게

🐣 초등 (직관)
"막대 세 개를 이어 삼각형이 되는지 손으로 만들어 확인"을 그림으로 체험한다.
📐 중1 (핵심)
대변·대각, 삼각형의 성립 조건, SSS·SAS·ASA 작도, 정삼각형 작도.
🎓 고등 (확장)
좌표평면 위 두 점 사이 거리와 삼각형 성립조건, 벡터·복소수의 삼각부등식.

🐣 저학년 직관 — "막대 세 개, 삼각형이 될까?"

나무젓가락을 2cm, 4cm, 7cm 길이로 잘라서 이어 보면 어떨까요? 짧은 두 개(2+4=6)를 더해도 7보다 작아서 아무리 각도를 바꿔도 삼각형이 안 만들어져요. 그런데 2cm, 4cm, 5cm면 2+4=6이 5보다 커서 삼각형이 만들어져요. 손으로 직접 만들어 보면 이 규칙이 눈에 보여요.

2,4,7 → 안 됨(2+4=6<7) · 2,4,5 → 됨(2+4=6>5)

연습 10제 · 그림 해설

문제 1성립 조건 · 기본
세 변의 길이가 4cm, 9cm, x일 때, 삼각형이 되기 위한 x의 범위를 구하라.

풀이 — 가장 긴 변 < 나머지 두 변의 합

  1. x가 가장 길면: x < 4+9=13.
  2. 9가 가장 길면: x+4 > 9 → x > 5.
5 < x < 13
문제 2성립 조건 · 이등변
세 변의 길이가 6cm, 6cm, x일 때, 삼각형이 되기 위한 x의 범위를 구하라.

풀이 — 두 변이 같을 때는 그 차가 0

  1. x가 가장 길면: x < 6+6=12.
  2. 6이 가장 길면: x+6 > 6 → x > 0.
0 < x < 12
문제 3성립 조건 · 판별 · 진가
다음 네 조합 중 삼각형을 만들 수 있는 것을 모두 골라라: (3,4,5), (3,4,8), (5,5,10), (6,7,8) [단위 cm].

풀이 — 짧은 두 변의 합이 가장 긴 변보다 커야 한다(등호는 안 됨)

  1. (3,4,5): 3+4=7 > 5 → 된다.
  2. (3,4,8): 3+4=7 < 8 → 안 된다.
  3. (5,5,10): 5+5=10, 합과 같아 일직선이 됨 → 안 된다.
  4. (6,7,8): 6+7=13 > 8 → 된다.
(3,4,5), (6,7,8) — 2개
문제 4내각의 합
삼각형의 세 내각 중 두 각이 55°, 65°일 때, 나머지 한 각의 크기를 구하라.

풀이 — 삼각형 내각의 합은 180°

  1. 180−55−65=60°.
60°
문제 5대변·대각
삼각형 ABC에서 ∠B=70°, ∠C=50°일 때, ∠A의 크기와 ∠A의 대변을 구하라.

풀이

BCA
  1. ∠A=180−70−50=60°.
  2. ∠A와 마주 보는 변은 BC(대변).
∠A=60°, 대변은 BC
문제 6SSS·SAS·ASA 판별 · 진가
다음 중 삼각형이 하나로 결정되는 것을 모두 골라라: ① AB, BC, CA (세 변) ② AB, ∠A, ∠B ③ ∠A, ∠B, ∠C (세 각) ④ AB, BC, ∠A

풀이

  1. ① 세 변 → SSS → 결정된다.
  2. ② AB의 양 끝 각(∠A, ∠B) → ASA → 결정된다.
  3. ③ 세 각만으로는 크기가 다른 삼각형이 무수히 많다(모양은 같지만 크기가 다름) → 결정 안 된다.
  4. ④ AB, BC 사이의 낀 각은 ∠B인데 주어진 각은 ∠A(낀 각이 아님) → 결정 안 된다.
①, ②
문제 7작도 도구
작도에서 선분의 길이를 다른 위치로 옮길 때 사용하는 도구는 무엇이며, 눈금 있는 자를 쓰면 안 되는 이유는?

풀이

  1. 길이를 옮기는 도구는 컴퍼스다. 작도는 눈금 없는 자(직선만 긋는 용도)와 컴퍼스만 사용하는 것이 규칙이기 때문에, 눈금으로 길이를 재는 자는 쓸 수 없다.
컴퍼스
문제 8정삼각형 작도
한 변의 길이가 8cm인 정삼각형을 작도하려 한다. 두 원의 반지름은 몇 cm로 그려야 하며, 완성된 정삼각형의 한 내각의 크기는?

풀이 — A, B를 중심으로 AB 길이를 반지름으로

  1. 반지름은 AB=8cm와 같게 그린다.
  2. 정삼각형은 세 변이 같으므로 세 각도 같고, 180÷3=60°.
반지름 8cm, 한 내각 60°
문제 9성립 조건 · 식으로 · 진가
세 변의 길이가 x, x+2, x+5 (x>0)로 주어질 때, 삼각형이 되기 위한 x의 범위를 구하라.

풀이 — x>0이면 x+5가 항상 가장 긴 변이다

  1. 가장 긴 변 x+5보다 나머지 두 변의 합이 커야 한다: x+(x+2) > x+5.
  2. 2x+2 > x+5 → x > 3.
  3. 다른 두 부등식(x+(x+5)>x+2, (x+2)+(x+5)>x)은 x>0에서 항상 성립하므로 별도 조건이 필요 없다.
x > 3
문제 10SSS 작도 순서 · 진가
세 변이 5cm, 7cm, 9cm인 삼각형을 작도하는 순서를 설명하고, 어떤 변을 먼저 그어야 하는지 말하라.

풀이 — 가장 긴 변부터

  1. 먼저 삼각형의 성립조건을 확인한다: 5+7=12 > 9 → 작도 가능.
  2. 가장 긴 변 9cm를 먼저 곧게 긋는다.
  3. 한쪽 끝에서 반지름 5cm, 다른 쪽 끝에서 반지름 7cm인 컴퍼스 호를 그려 만나는 점을 찾아 세 꼭짓점을 잇는다.
9cm를 먼저 긋고, 5cm·7cm 호의 교점을 찾는다

제일 밑에 · 이 방법을 다른 학년·개념에 쓰는 비법

"가장 긴 변 < 나머지 두 변의 합" 하나로 좌표·벡터·복소수까지

오늘 익힌 "삼각형이 되려면 지켜야 하는 부등식"이, 학년이 올라가면 좌표평면·벡터·복소수의 절댓값 부등식으로 그대로 이어집니다.

① 중2 · 피타고라스 정리와 직각삼각형
중2 · 피타고라스 정리
직각삼각형 여부를 확인할 때도 먼저 삼각형 성립조건부터 만족해야 a²+b²=c² 판정이 의미 있어요.
② 중2 · 최단 경로(삼각부등식의 응용)
중2 · 도형의 성질
두 지점 사이 곧은 길이 굽은 길보다 항상 짧은 것도, 굽은 경로가 만드는 삼각형에서 AX+XB > AB가 성립하기 때문이에요.
③ 고1 · 좌표평면과 두 점 사이의 거리
고1 · 도형의 방정식
좌표평면 위 세 점이 삼각형을 이루는지도 결국 세 변의 길이가 성립조건을 만족하는지 확인하는 것과 같아요.
④ 고2 · 벡터·복소수의 삼각부등식
고2 수1 · 벡터, 복소수
두 벡터(또는 복소수) a, b에 대해 ||a|−|b|| ≤ |a+b| ≤ |a|+|b|가 성립해요. 오늘 배운 부등식의 절댓값 버전이에요.
⑤ 대학·경시 · 노름공간의 삼각부등식
해석학·경시수학
거리·크기를 재는 모든 수학적 대상(노름, 거리함수)은 삼각부등식 d(a,c) ≤ d(a,b)+d(b,c)를 만족해야 "거리"라고 부를 자격이 생겨요.

도전 · 이 비법만으로 위 학년 문제 풀기

"가장 긴 변 < 나머지 두 변의 합" 하나로 좌표·벡터·복소수까지. 학년별 2문제씩!

도전 · 중2이등변삼각형 · 둘레
이등변삼각형의 두 변이 각각 5cm이고 둘레가 18cm일 때, 밑변 x를 구하고 삼각형이 성립하는지 확인하라.

풀이

  1. 둘레 조건: 5+5+x=18 → x=8.
  2. 성립조건: 두 변이 5,5이므로 0<x<10. 8은 이 범위 안에 있으므로 성립한다.
x=8 (성립함)
도전 · 중2최단 경로
두 지점 A, B 사이에 곧은 길을 내는 것이 A→X→B로 돌아가는 굽은 길보다 항상 짧은 이유를 삼각부등식으로 설명하라(단, X는 직선 AB 위에 있지 않다).

풀이

  1. 세 점 A, X, B가 삼각형을 이루므로 삼각형의 성립조건에 의해 AX+XB > AB가 항상 성립한다.
삼각형 성립조건 AX+XB > AB 때문
도전 · 고1좌표평면 · 삼각형 성립조건
세 점 A, B, C에서 AB=12, AC=5, BC=x일 때, 세 점이 삼각형을 이루기 위한 x의 범위를 구하라.

풀이

  1. x가 가장 길면: x<12+5=17.
  2. 12가 가장 길면: x+5>12 → x>7.
7 < x < 17
도전 · 고1벡터의 삼각부등식
두 벡터 a, b에 대해 |a|=7, |b|=10일 때, |a+b|의 범위를 구하라.

풀이 — 삼각부등식 ||a|−|b|| ≤ |a+b| ≤ |a|+|b|

  1. |10−7|=3, 10+7=17.
3 ≤ |a+b| ≤ 17
도전 · 고2복소수의 삼각부등식
두 복소수 z₁, z₂에 대해 |z₁|=3, |z₂|=5일 때, |z₁+z₂|의 최댓값과 최솟값을 구하라.

풀이 — 복소수는 방향이 일직선일 때 등호가 성립할 수 있다

  1. 최댓값: 같은 방향일 때 3+5=8.
  2. 최솟값: 반대 방향일 때 |5−3|=2.
최댓값 8, 최솟값 2
도전 · 경시노름의 삼각부등식
임의의 실수 a, b에 대해 |a+b| ≤ |a|+|b|가 항상 성립함을 등호 성립 조건과 함께 설명하라.

풀이

  1. a, b가 같은 부호(또는 둘 중 하나가 0)이면 |a+b|=|a|+|b|로 등호가 성립하고, 부호가 다르면 상쇄되어 |a+b| < |a|+|b|가 된다.
등호는 a, b가 같은 부호(또는 0)일 때 성립
※ 이 자료의 예제는 장대경 선생님 방법을 수학적으로 정확한 값으로 재구성·검산한 교육 자료입니다. 모든 계산은 직접 검산했습니다(원본 강의와 숫자·예제가 다를 수 있음).
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