좌극한과 우극한 실전 완전정복 — 양쪽에서 다가가 본다 연습 10제

먼저 · 좌극한과 우극한을 다루는 규칙 여섯 가지

극한값이 존재한다 = 좌극한과 우극한이 같다 — limx→a⁻f(x) = limx→a⁺f(x) = L 일 때에만 limx→af(x) = L 이라 쓴다. 하나라도 어긋나면 극한값은 없다.

절댓값이 보이면 부호로 가른다 — x > a이면 |x − a| = x − a, x < a이면 |x − a| = −(x − a). 두 줄로 나누어 쓰면 좌·우극한이 저절로 갈린다.

그래프에서는 셋을 따로 읽는다 — ① 왼쪽에서 다가간 값 ② 오른쪽에서 다가간 값 ③ 그 점에 찍힌 값 f(a). 뚫린 ○ 는 "그 값이 아니다", 꽉 찬 ● 가 f(a)다.

불연속의 이유는 셋뿐 — ⓐ 뛴다(좌 ≠ 우 ⇒ 극한 자체가 없다) ⓑ 뚫렸다(극한은 있는데 f(a)가 없다) ⓒ 떠 있다(둘 다 있는데 극한 ≠ f(a)).

연속 = 셋이 모두 같다 — limx→a⁻f(x) = limx→a⁺f(x) = f(a). 구간별로 정의된 함수에서 미지수를 구하라는 문제는 이 등식을 그대로 세우면 끝난다.

한쪽 극한만 있는 자리 — 정의역의 끝(예 : 근호 안이 0이 되는 곳)에서는 한쪽에서만 다가갈 수 있다. 분모가 0이 되는 자리도 절댓값이 붙어 있어도 탈락이다.

이 개념, 학년마다 이렇게

🐣 초등 (직관)

계단을 왼쪽에서 올라오는 사람과 오른쪽에서 내려오는 사람이 같은 자리에서 만나야 "그 자리의 높이"가 하나로 정해진다.

📐 고2 (핵심)

좌극한·우극한 기호, 극한값의 존재조건, 절댓값·구간별 함수·가우스 함수의 좌우극한, 연속의 정의와 불연속점 판정.

🎓 그 위 (확장)

사잇값 정리, 최대·최소 정리, 미분가능성(좌미분계수 = 우미분계수), 대학의 엡실론-델타 논법.

🐣 저학년 직관 — "양쪽에서 만나야 자리가 정해진다"

계단 한가운데에 서기로 약속했어요. 왼쪽에서 올라오는 친구는 그 자리에서 3층 높이에 서게 되고, 오른쪽에서 내려오는 친구는 같은 자리인데 5층 높이에 서게 된대요. 그러면 "그 자리의 높이"는 3층인가요, 5층인가요?

정할 수가 없지요. 둘이 만나지 못했으니까요. 그래서 이럴 때 수학에서는 "극한값이 없다"고 말해요. 반대로 양쪽에서 온 친구가 똑같이 4층 높이에서 만난다면, 그 자리의 높이는 4층으로 하나로 정해집니다. 그것이 극한값이에요.

여기서 한 가지 더. 그 자리에 실제로 놓인 발판의 높이는 또 따로예요. 양쪽에서 4층으로 모였는데 발판만 6층에 매달려 있을 수도 있거든요. 그래서 양쪽에서 온 값과 실제로 찍힌 값, 이 둘을 늘 따로 봐야 합니다.

왼쪽 3층 ≠ 오른쪽 5층 → 그 자리의 높이는 정할 수 없다

연습 10제

문제 1절댓값을 부호로 · 규칙 2

f(x) = |x − 1|x − 1 일 때, limx→1⁻f(x) 와 limx→1⁺f(x) 를 각각 구하고, limx→1f(x) 가 존재하는지 답하여라.

풀이 — 절댓값을 두 줄로 나눈다

x > 1 이면 x − 1 > 0 이므로 |x − 1| = x − 1 → f(x) = 1.
x < 1 이면 x − 1 < 0 이므로 |x − 1| = −(x − 1) → f(x) = −1.
따라서 좌극한 = −1, 우극한 = 1.
−1 ≠ 1 이므로 극한값은 존재하지 않는다.

좌극한 −1, 우극한 1, 극한값은 없다

문제 2분자가 인수분해되는 경우

f(x) = x² − 4|x − 2| 일 때, x → 2 에서의 좌극한과 우극한을 각각 구하여라.

풀이 — 분자를 쪼갠 다음, 분모의 절댓값을 부호로 가른다

x² − 4 = (x − 2)(x + 2).
x > 2 : |x − 2| = x − 2 → f(x) = x + 2 → 우극한 = 4.
x < 2 : |x − 2| = −(x − 2) → f(x) = −(x + 2) → 좌극한 = −4.
수치 확인 : x = 2.1 이면 약 4.1, x = 1.9 이면 약 −3.9 ✔
−4 ≠ 4 이므로 x → 2 의 극한값은 없다.

좌극한 −4, 우극한 4 (극한값 없음)

문제 3구간별 함수의 연속 · 규칙 5

함수 f(x) 가 2x + 1 (x < 1)
x² + a (x ≥ 1) 로 주어질 때, f(x) 가 x = 1 에서 연속이 되도록 하는 상수 a의 값을 구하여라.

풀이 — 좌극한 = 우극한 = f(1) 을 그대로 쓴다

좌극한 : x < 1 쪽 식은 2x + 1 → 2·1 + 1 = 3.
우극한 : x ≥ 1 쪽 식은 x² + a → 1 + a.
f(1) = 1 + a (등호가 아래 줄에 붙어 있으므로 함숫값도 아래 줄에서 나온다).
연속이려면 3 = 1 + a → a = 2.
검산 : a = 2 이면 좌극한 3, 우극한 1 + 2 = 3, f(1) = 3 — 셋이 모두 3 ✔

a = 2

문제 4그래프 읽기 · 규칙 3·4

아래 그래프에서 x = 2 일 때 ① 좌극한 ② 우극한 ③ f(2) 를 각각 읽고, ④ x = 2 에서 연속인지 판정하여라. 불연속이라면 세 가지 이유 중 어느 것인지도 밝혀라.

뚫린 ○ 와 꽉 찬 ● 가 서로 다른 높이에 있다는 데 주목하세요.

풀이 — 셋을 순서대로 적으면 바로 갈린다

왼쪽 가지는 (2, 1) 로 올라간다 → 좌극한 = 1.
오른쪽 가지도 (2, 1) 에서 출발해 내려간다 → 우극한 = 1.
좌극한 = 우극한 = 1 이므로 limx→2f(x) = 1 — 극한값은 존재한다.
그런데 꽉 찬 점은 (2, 3) 에 있으므로 f(2) = 3.
1 ≠ 3 이므로 불연속 — 세 유형 중 ⓒ 점이 떠 있다(극한 ≠ f(a))에 해당한다.

좌극한 1, 우극한 1, f(2) = 3 → 불연속(유형 ⓒ)

문제 5분모에 절댓값 · 규칙 2

f(x) = x² − x|x| 일 때, x → 0 에서의 좌극한과 우극한을 각각 구하여라.

풀이 — 분자에서 x 를 묶고, 분모의 |x| 를 부호로 가른다

x² − x = x(x − 1).
x > 0 : |x| = x → f(x) = x − 1 → 우극한 = −1.
x < 0 : |x| = −x → f(x) = −(x − 1) = 1 − x → 좌극한 = 1.
수치 확인 : x = 0.1 이면 −0.9, x = −0.1 이면 1.1 ✔
1 ≠ −1 이므로 극한값은 없다.

좌극한 1, 우극한 −1 (극한값 없음)

문제 6가우스 함수

[x] 를 x 를 넘지 않는 최대의 정수라 할 때, limx→2⁻[x], limx→2⁺[x], [2] 를 각각 구하고 x = 2 에서의 연속 여부를 판정하여라.

계단의 왼쪽 끝은 꽉 찬 점, 오른쪽 끝은 뚫린 점입니다.

풀이 — 정수 바로 앞과 바로 뒤에서 계단이 다르다

1 ≤ x < 2 에서는 [x] = 1 → 좌극한 = 1.
2 ≤ x < 3 에서는 [x] = 2 → 우극한 = 2.
[2] = 2 (2를 넘지 않는 최대 정수).
1 ≠ 2 이므로 극한값 자체가 없다 → 불연속, 유형 ⓐ 뛴다.
정수마다 똑같이 끊기므로 y = [x] 는 모든 정수에서 불연속이다.

좌극한 1, 우극한 2, [2] = 2 → 불연속(유형 ⓐ)

문제 7한쪽 극한만 있는 자리 · 규칙 6

f(x) = √(4 − x²) 의 정의역을 구하고, x = 2 에서 좌극한과 우극한이 각각 존재하는지 답하여라.

그래프가 x = 2 에서 뚝 끝납니다. 그 오른쪽에는 아무것도 없어요.

풀이 — 근호 안이 0 이상이어야 한다

4 − x² ≥ 0 → (2 − x)(2 + x) ≥ 0 → 정의역은 −2 ≤ x ≤ 2.
x = 2 는 정의역의 오른쪽 끝이다. 왼쪽에서만 다가갈 수 있다.
좌극한 = √(4 − 4) = 0 — 존재한다.
우극한 : x > 2 에서는 함수가 정의되어 있지 않으므로 우극한은 존재하지 않는다(물을 수조차 없다).
따라서 limx→2f(x) 라는 양쪽 극한도 생각하지 않는다. 이런 자리는 한쪽 극한만 본다.

정의역 −2 ≤ x ≤ 2 · 좌극한 0 은 존재, 우극한은 존재하지 않음

문제 8뚫린 자리 vs 무한으로 튀는 자리

f(x) = x − 3x² − 9 에 대하여, ① x → 3 과 ② x → −3 에서 좌·우극한이 어떻게 되는지 각각 조사하고, 두 자리의 불연속 성질이 어떻게 다른지 설명하여라.

풀이 — 같은 "분모 0"이라도 성질이 다르다

x² − 9 = (x − 3)(x + 3) 이므로 x ≠ 3 에서 f(x) = 1x + 3.
① x → 3 : 좌극한도 우극한도 16 로 같다 → 극한값은 존재한다. 그런데 f(3) 은 분모가 0 이라 정의되지 않는다.
⇒ 불연속 유형 ⓑ 뚫렸다(구멍).
② x → −3 : x + 3 이 0 으로 가는데 부호가 갈린다. x < −3 이면 x + 3 < 0 이므로 좌극한 = −∞, x > −3 이면 우극한 = +∞.
⇒ 한 값으로 수렴하지 않으므로 극한값이 없다. 유형 ⓐ(그중에서도 무한으로 발산).
정리 : x = 3 은 점 하나만 메우면 이어지는 구멍, x = −3 은 아무리 메워도 이을 수 없는 자리다.

x = 3 : 극한 1/6 존재하나 f(3) 없음(구멍) · x = −3 : 좌극한 −∞, 우극한 +∞ (극한 없음)

문제 9미지수 둘 · 규칙 5

함수 f(x) 가 x² + a (x < 1)
b (x = 1)
3x − 1 (x > 1) 로 주어질 때, f(x) 가 x = 1 에서 연속이 되도록 하는 상수 a, b의 값을 구하여라.

풀이 — 세 조각이 그대로 좌극한·f(1)·우극한이다

좌극한 : x² + a 에 1 을 넣어 1 + a.
우극한 : 3x − 1 에 1 을 넣어 2.
함숫값 : f(1) = b.
연속 조건 1 + a = 2 = b → a = 1, b = 2.
검산 : a = 1 이면 좌극한 1 + 1 = 2, 우극한 2, f(1) = 2 — 셋이 모두 2 ✔

a = 1, b = 2

문제 10불연속점 세기 · 규칙 4

아래는 −2 ≤ x ≤ 4 에서 정의된 함수 y = f(x) 의 그래프이다. 불연속인 점을 모두 찾고, 각각 세 가지 이유 중 어느 것인지 밝혀라.

뚫린 ○ 가 몇 개인지, 그 위·아래에 꽉 찬 ● 이 있는지를 보세요.

풀이 — 자리마다 좌극한·우극한·f(a) 를 적어 본다

x = −1 : 왼쪽 가지와 오른쪽 가지가 같은 자리로 다가간다. 그런데 그 자리에 꽉 찬 점이 없다.
⇒ 극한은 존재하지만 f(−1) 이 없다 → 유형 ⓑ 뚫렸다.
x = 1 : 왼쪽에서는 아래쪽 뚫린 점으로, 오른쪽에서는 훨씬 위에서 출발한다.
⇒ 좌극한 ≠ 우극한 → 극한 자체가 없다 → 유형 ⓐ 뛴다.
x = 3 : 왼쪽 가지와 오른쪽 가지가 같은 자리로 모이는데(뚫린 ○), 꽉 찬 점은 그보다 위에 따로 떠 있다.
⇒ 극한도 있고 f(3) 도 있지만 서로 다르다 → 유형 ⓒ 떠 있다.
그 밖의 자리에서는 선이 끊기지 않으므로 연속이다.

불연속점 3개 — x = −1 (ⓑ 뚫림), x = 1 (ⓐ 뜀), x = 3 (ⓒ 떠 있음)

도전 6제

도전 1조건이 둘 · 미지수도 둘

함수 f(x) 가 x² + ax (x < 2)
bx + 1 (x ≥ 2) 로 주어져 있다. f(x) 가 x = 2 에서 연속이고 f(2) = 5 일 때, 상수 a, b의 값을 구하여라.

풀이 — 주어진 함숫값부터 쓰고, 그다음 좌극한을 맞춘다

f(2) 는 아래 줄에서 나온다 : 2b + 1 = 5 → b = 2.
우극한도 아래 줄이므로 2b + 1 = 5 — 이미 만족한다.
좌극한 : x² + ax 에 2 를 넣어 4 + 2a.
연속이려면 4 + 2a = 5 → a = 12.
검산 : 좌극한 4 + 2 × 12 = 5, 우극한 2 × 2 + 1 = 5, f(2) = 5 — 셋이 모두 5 ✔

a = 1/2, b = 2

도전 2인수분해 × 절댓값

f(x) = x² − 3x + 2|x − 1| 일 때, x → 1 에서의 좌극한과 우극한을 각각 구하여라.

풀이 — 분자를 쪼갠 뒤 |x − 1| 을 부호로 가른다

x² − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2).
x > 1 : |x − 1| = x − 1 → f(x) = x − 2 → 우극한 = −1.
x < 1 : |x − 1| = −(x − 1) → f(x) = −(x − 2) = 2 − x → 좌극한 = 1.
수치 확인 : x = 1.1 이면 약 −0.9, x = 0.9 이면 약 1.1 ✔
⚠️ 분자가 (x − 1) 을 인수로 가져 0/0 꼴이지만, 약분한 뒤에도 분모의 절댓값 때문에 좌·우가 갈린다는 것이 이 문제의 핵심이다.

좌극한 1, 우극한 −1 (극한값 없음)

도전 3가우스 함수 응용

f(x) = x − [x] 라 할 때, limx→2⁻f(x) 와 limx→2⁺f(x) 를 각각 구하여라. (이 함수는 소수 부분 함수라 부른다.)

풀이 — [x] 가 바뀌는 순간을 좌·우로 갈라 본다

1 ≤ x < 2 에서는 [x] = 1 → f(x) = x − 1.
따라서 좌극한 = 2 − 1 = 1.
2 ≤ x < 3 에서는 [x] = 2 → f(x) = x − 2.
따라서 우극한 = 2 − 2 = 0.
수치 확인 : x = 1.99 이면 0.99, x = 2.01 이면 0.01 ✔
1 ≠ 0 이므로 x → 2 의 극한값은 없다. 이 함수는 모든 정수에서 불연속이고, 정수 사이에서는 0 에서 1 로 매끄럽게 올라가는 톱니 모양이다.

좌극한 1, 우극한 0 (극한값 없음)

도전 4각각은 없어도 곱하면 있다

f(x) = |x|x 라 하자. ① limx→0f(x) 가 존재하지 않음을 보이고, ② 그럼에도 limx→0{ f(x) · x } 는 존재함을 보이고 그 값을 구하여라.

풀이 — "극한이 없다"가 곱의 극한까지 없앤다는 뜻은 아니다

① x > 0 이면 f(x) = xx = 1, x < 0 이면 f(x) = −xx = −1.
좌극한 −1, 우극한 1 → 극한값 없음.
② x ≠ 0 에서 f(x) · x = |x|x · x = |x|.
|x| 의 좌극한도 0, 우극한도 0 이므로 limx→0|x| = 0 — 존재한다.
뜻 : f(x) 는 ±1 로 튀지만 크기가 1 로 묶여 있고, 거기에 0 으로 가는 x 를 곱하면 튀는 폭이 0 으로 눌린다.
⚠️ 거꾸로는 성립하지 않는다 — 곱의 극한이 있다고 해서 각 인수의 극한이 있는 것은 아니다.

① 존재하지 않음(좌 −1, 우 1) ② 존재하며 값은 0

도전 5둘 다 ∞ 라도 "수렴"은 아니다

① limx→1⁻1x − 1 와 limx→1⁺1x − 1, ② limx→1⁻1(x − 1)² 와 limx→1⁺1(x − 1)² 를 각각 구하고, 두 경우의 차이를 설명하여라.

y = 1/(x − 1) — 점근선 양쪽에서 반대 방향으로 갑니다.

풀이 — 분모의 부호가 갈리느냐, 안 갈리느냐

① x < 1 이면 x − 1 < 0 이고 크기가 0 으로 가므로 좌극한 = −∞.
x > 1 이면 x − 1 > 0 이므로 우극한 = +∞.
⇒ 좌·우가 반대 방향이라 극한은 없다.
② (x − 1)² 은 제곱이라 언제나 양수다. 그래서 양쪽 모두 +∞.
여기서 주의할 점 : ②는 좌·우가 같은 모습이라 limx→1 = +∞ 라고 쓰기는 한다. 하지만 +∞ 는 수가 아니므로 이것은 수렴이 아니라 발산이다.
정리 : ①은 좌·우가 달라서 극한이 없고, ②는 좌·우가 같지만 수로 정해지지 않아서 수렴하지 않는다. 이유가 서로 다르다.

① 좌 −∞, 우 +∞ (극한 없음) ② 좌·우 모두 +∞ (양의 무한대로 발산 — 수렴은 아님)

도전 6연속이면 쓸 수 있는 무기 · 사잇값 정리

방정식 x³ − 3x + 1 = 0 이 0 과 1 사이에서 적어도 하나의 실근을 가짐을 보여라.

풀이 — 두 끝의 부호가 갈리면 그 사이를 반드시 지나간다

f(x) = x³ − 3x + 1 이라 하자. 다항함수이므로 모든 실수에서 연속이다.
f(0) = 1 > 0, f(1) = 1 − 3 + 1 = −1 < 0.
연속인 함수가 한쪽 끝에서 양수, 다른 쪽 끝에서 음수라면 그 사이 어딘가에서 반드시 0 을 지난다(사잇값 정리).
끊긴 곳이 없으니 뛰어넘을 수가 없기 때문이다.
따라서 0 < c < 1 인 c 가 있어 f(c) = 0 — 실근이 존재한다.
확인 : 실제 근은 약 0.347 로 과연 0 과 1 사이에 있다 ✔
⚠️ 연속이 아니면 이 논리는 무너진다. 예를 들어 y = 1/(x − 0.5) 는 x = 0.5 에서 끊겨 있어, 부호가 갈려도 0 을 지나지 않는다.

f(0) = 1 > 0, f(1) = −1 < 0 이고 연속이므로 0과 1 사이에 실근이 존재

더 넓혀 쓰는 비법

이 방법이 어디까지 가는가

"양쪽에서 따로 다가가 본다" — 이 한 줄이 고등수학 뒤쪽을 계속 떠받친다.

① 미분가능성 — 좌미분계수 = 우미분계수

고2 · 수학Ⅱ

미분계수도 결국 극한이다. 그러니 왼쪽에서 잰 기울기와 오른쪽에서 잰 기울기가 같아야 미분가능하다. y = |x| 가 x = 0 에서 연속인데 미분은 안 되는 까닭이 바로 이것 — 왼쪽 기울기 −1, 오른쪽 기울기 1 로 어긋난다. 오늘 배운 "부호로 가르기"가 그대로 쓰인다.

② 사잇값 정리와 최대·최소 정리

고2 · 수학Ⅱ

닫힌 구간에서 연속이기만 하면 두 가지가 공짜로 따라온다 — 두 끝 사이의 모든 값을 반드시 한 번은 지난다(사잇값), 그리고 최댓값과 최솟값을 반드시 가진다. 근이 있음을 보이는 문제, 방정식의 실근 개수 문제가 전부 여기서 나온다.

③ 무한대에서의 극한과 점근선

고2~고3

"한 점의 양쪽"을 보던 눈을 수직선의 양 끝으로 넓히면 x → +∞ 와 x → −∞ 가 된다. 이 둘이 서로 다른 값으로 가면 수평점근선이 두 개가 생긴다. 도전 5번에서 본 것처럼, 한 점에서 ±∞ 로 갈리면 그 자리가 수직점근선이다.

④ 엡실론-델타 — 대학에서 다시 만난다

대학 미적분학

"다가간다"를 그림 없이 부등식만으로 못 박은 것이 엡실론-델타 논법이다. 그때 좌극한과 우극한은 a − δ < x < a 냐 a < x < a + δ 냐 로 갈린다. 오늘 부호로 두 줄을 나눈 그 습관이 그대로 이어진다.

※ 이 자료의 예제는 장대경 선생님 방법을 수학적으로 정확한 값으로 재구성·검산한 교육 자료입니다. 16문항의 모든 극한값·미정계수·정의역을 sympy와 손계산으로 전수 재검산했습니다(원본 강의와 숫자·예제가 다를 수 있음).

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