YEON MATH · 행복수학

수열의 합 실전 완전정복
— 지우면서 계산한다 · 연습 10제

부분분수 소거·전환점·등비중항 · 장대경 선생님의 특강

연플래닝 ACADEMY

먼저 · 수열의 합, 네 가지 무기

1
등차수열 합의 최댓값 — 일반항이 양수에서 음수로 바뀌는 지점을 찾는다. 그 직전 항까지가 최댓값.
2
부분분수 소거 — 분수를 두 조각의 차로 쪼개면, 이웃한 항끼리 지워지며 계산이 끝난다.
3
등비중항 — 세 수가 등비수열이면 가운데 항의 제곱 = 양 끝 곱.
＋
거듭제곱 합 공식 — Σk, Σk², Σk³ 공식을 외워두고, 결과는 공통인수로 묶어 깔끔하게 정리.
1/1 − 1/3 + 1/3 − 1/5 + 1/5 − 1/7 + ⋯
→ 가운데는 다 지워지고 처음과 끝만 남는다

이 개념, 학년마다 이렇게

🐣 초등 (직관)
숫자가 서로 지워지는 패턴을 눈으로 확인. 앞뒤가 딱 맞아떨어져 사라진다.
📐 고1/고2 (핵심)
등차 최댓값·부분분수 소거·등비중항·거듭제곱 합.
🎓 고3 (확장)
무한급수(n→∞)와 정적분·구분구적법으로 이어진다.

🐣 저학년 직관 — "더하고 빼면 가운데가 사라진다"

다음 식을 계산해 봐요: 1 − 2 + 2 − 3 + 3 − 4 + ⋯ + 9 − 10. 얼핏 복잡해 보이지만, −2와 +2, −3과 +3…처럼 이웃한 숫자가 서로 짝을 지어 사라져요. 맨 처음(1)과 맨 끝(−10)만 남아요.

남는 건 1 − 10 = −9. 가운데 −2+2, −3+3, … 전부 0이 되어 사라졌어요.

답 = −9

연습 10제 · 그림 해설

문제 1기본 등차수열 합
첫째항 3, 공차 4인 등차수열의 첫째항부터 제10항까지의 합을 구하라.

풀이 — 등차수열 합 공식

  1. Sₙ = n/2 × [2a + (n−1)d] = 10/2 × [6 + 9×4] = 5 × 42.
S₁₀ = 210
문제 2등차합 최댓값 · 진가
첫째항이 25이고 공차가 −3인 등차수열 aₙ에 대하여, 첫째항부터 제n항까지의 합 Sₙ이 최대가 되는 자연수 n을 구하라.

풀이 — 양수에서 음수로 바뀌는 전환점을 찾는다

  1. 일반항 aₙ = 25 + (n−1)(−3) = 28 − 3n.
  2. 양수인 마지막 항 찾기: 28 − 3n > 0 → n < 9.33.
  3. a₉ = 28−27=1(양수), a₁₀=28−30=−2(음수) → 9항까지만 더해야 최대.
n = 9
🔑 더하는 값이 양수인 동안은 계속 커지고, 음수가 되는 순간부터는 줄어들어요. 그 경계를 찾는 게 핵심.
문제 3부분분수 소거 · 진가
수열 aₙ의 일반항이 aₙ = 1/[(2n−1)(2n+1)] 일 때, 첫째항부터 제n항까지의 합 Sₙ을 구하라.

풀이 — 하나를 둘로 쪼개서 지운다

1/1 − 1/3 + 1/3 − 1/5 + ⋯ + 1/(2n−1) − 1/(2n+1)
  1. aₖ = ½ × [1/(2k−1) − 1/(2k+1)] 로 쪼갠다.
  2. 이웃 항끼리 지워지고 처음과 끝만 남는다: Sₙ = ½ × [1 − 1/(2n+1)] = n/(2n+1).
Sₙ = n/(2n+1)
문제 4부분분수 2차 소거 · 진가
수열 aₙ의 일반항이 aₙ = 1/[n(n+2)] 일 때, 첫째항부터 제n항까지의 합 Sₙ을 구하라.

풀이 — 두 칸씩 건너뛰며 소거(양 끝 각 2개씩 남는다)

  1. aₖ = ½ × [1/k − 1/(k+2)] 로 쪼갠다. 이번엔 2칸 건너 지워져서, 처음 2개·끝 2개가 남는다.
  2. Sₙ = ½ × [1 + ½ − 1/(n+1) − 1/(n+2)].
  3. 통분해서 정리하면 Sₙ = n(3n+5) / [4(n+1)(n+2)].
Sₙ = n(3n+5) / [4(n+1)(n+2)]
🔑 분모의 차이가 2면 처음·끝에 2개씩 남아요. 차이가 1이면 1개씩(문제 3처럼).
문제 5등비중항 · 진가
공차가 0이 아닌 등차수열 aₙ의 세 항 a₂, a₄, a₇이 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, a₅/a₃의 값을 구하라.

풀이 — 가운데 항의 제곱 = 양 끝 곱

  1. a₂=a+d, a₄=a+3d, a₇=a+6d. 등비중항: (a+3d)² = (a+d)(a+6d).
  2. 전개·정리하면 3d² = ad → a = 3d.
  3. a₅/a₃ = (a+4d)/(a+2d) = (3d+4d)/(3d+2d) = 7d/5d.
a₅/a₃ = 7/5
문제 62n항 합 대입
수열 aₙ에 대하여 Σₖ₌₁ⁿ (a₂ₖ₋₁+a₂ₖ) = 2n²−n 이 성립할 때, Σₖ₌₁¹⁰ aₖ의 값을 구하라.

풀이 — 두 항씩 짝지은 합 = 2n항까지의 합

  1. 왼쪽 식은 첫째항부터 제2n항까지의 합과 같다: Σₖ₌₁²ⁿ aₖ = 2n²−n.
  2. 10항까지 원하니 2n=10 → n=5. 대입하면 2(5)²−5 = 45.
45
문제 7등비수열 · 선형결합
첫째항이 1이고 공비가 2인 등비수열 aₙ에 대하여, Σₖ₌₁⁸ (6aₖ − aₖ₊₁)의 값을 구하라.

풀이 — 새 등비수열로 바꿔서 공식 적용

  1. aₙ=2ⁿ⁻¹. 6aₖ − aₖ₊₁ = 6·2ᵏ⁻¹ − 2ᵏ = 4·2ᵏ⁻¹ (첫째항4, 공비2인 새 등비수열).
  2. 합 = 4(2⁸−1)/(2−1) = 4×255.
1020
문제 8거듭제곱 합 공식
다음을 구하라. (1) Σₖ₌₁²⁰ k (2) Σₖ₌₁¹⁵ k² (3) Σₖ₌₁¹⁰ k³

풀이 — 공식 대입

  1. Σk = n(n+1)/2 = 20×21/2 = 210.
  2. Σk² = n(n+1)(2n+1)/6 = 15×16×31/6 = 1240.
  3. Σk³ = [n(n+1)/2]² = 55² = 3025.
(1) 210  (2) 1240  (3) 3025
문제 9인수분해 정리 · 진가
자연수 n에 대하여 Σₖ₌₁ⁿ (k³ − 3k)를 n에 대한 식으로 나타내라.

풀이 — 공통인수로 묶어 깔끔하게

  1. Σk³ − 3Σk = [n(n+1)/2]² − 3×n(n+1)/2.
  2. 공통인수 n(n+1)/2로 묶으면 n(n+1)/2 × [n(n+1)/2 − 3].
  3. 대괄호 안 = (n²+n−6)/2 = (n+3)(n−2)/2.
  4. 전체 = n(n+1)(n+3)(n−2)/4.
n(n+1)(n+3)(n−2)/4
문제 10실생활 · 저축
매달 저축액이 첫 달 8만원에서 시작해 매달 3만원씩 늘어난다(등차). 12개월 동안 총 저축액은 얼마인가?

풀이 — 등차수열 합 공식 실전 적용

  1. a=8, d=3, n=12. S₁₂ = 12/2 × [16+11×3] = 6×49.
294만원

제일 밑에 · 이 방법을 다른 학년·개념에 쓰는 비법

"규칙으로 계산한다" 하나로 무한급수·적분까지

수열의 합에서 익힌 "전환점·시그마·등비중항을 본다"는 눈이, 학년이 올라가면 무한대와 적분으로 그대로 이어집니다.

① 고2 · 이차식 시그마 전개의 확장
고2 · 수1 시그마의 성질
이 특강의 Σk²−4Σk−3n 전개는 시그마 3단계(전개→쪼개→대입)의 기본형이에요. 삼차식·사차식이 나와도 같은 방식으로 항마다 따로 시그마를 씌우면 됩니다.
② 고3 · 무한급수 — 극한으로 보내기
고3 · 수열의 극한
등비수열의 합 공식에서 |공비|<1이고 n→∞이면, 등비수열의 합이 일정한 값으로 수렴해요. 그게 바로 무한급수의 값입니다.
③ 고3 · 구분구적법 — 거듭제곱 합이 적분이 된다
고3 · 정적분과 급수
Σk² 공식을 n이 커지도록 나눠 (1/n)Σ(k/n)² 형태로 만들면, n→∞일 때 ∫₀¹x²dx = 1/3 이 됩니다. 거듭제곱 합 공식이 정적분의 뿌리예요.
④ 등차수열 최댓값 = 이차함수 최댓값
수학Ⅰ~고3 연계
Sₙ은 n에 대한 이차식이라, 최댓값은 이차함수 꼭짓점과 같은 원리(전환점=대칭축 근처)로도 확인할 수 있어요.
⑤ 실생활 · 대출 상환·감가상각
금융수학
등차·등비수열의 합은 대출 원리금 상환표, 감가상각 계산의 뿌리예요. 매달 일정액씩 줄어드는 잔액도 등차수열 합으로 계산됩니다.

도전 · 이 비법만으로 위 학년 문제 풀기

"지우면서 계산한다" 하나로 무한급수·구분구적법·실생활까지. 학년별 3문제씩!

도전 · 고3무한급수 — 소거의 극한
Σₙ₌₁^∞ 1/[n(n+1)]의 값을 구하라.

풀이 — 부분합을 구하고 극한을 취한다

  1. 1/[n(n+1)] = 1/n − 1/(n+1). 소거하면 Sₙ = 1 − 1/(n+1).
  2. n→∞이면 1/(n+1)→0 → Sₙ→1.
1
도전 · 고3무한등비급수
Σₙ₌₁^∞ (1/2)ⁿ의 값을 구하라.

풀이 — 무한등비급수 공식 a/(1−r)

  1. 첫째항 1/2, 공비 1/2 → (1/2)/(1−1/2) = (1/2)/(1/2) = 1.
1
도전 · 고3구분구적법
lim n→∞ (1/n)Σₖ₌₁ⁿ (k/n)²의 값을 구하라. (힌트: 정적분으로 바꿔본다)

풀이 — Σk² 공식을 극한으로

  1. (1/n)Σ(k/n)² = (1/n³)Σk² = (1/n³)·n(n+1)(2n+1)/6.
  2. n→∞이면 → 2n³/(6n³) = 1/3. 이는 ∫₀¹x²dx와 같다.
1/3
도전 · 실생활대출 상환
100만원을 10개월 동안 매달 10만원씩 균등 원금 상환한다. 매달 이자는 남은 원금의 1%(단리로 단순화)일 때, 첫 달과 마지막 달 이자의 차이는?

풀이 — 등차수열로 줄어드는 이자

  1. 첫 달 이자 = 100×0.01=1만원. 마지막 달(10번째, 남은 원금10만원) 이자 = 10×0.01=0.1만원.
  2. 차이 = 1 − 0.1.
0.9만원(9000원)
도전 · 실생활감가상각
어떤 장비가 매년 가치의 절반씩 감가된다(등비). 처음 가치 800만원이면 3년 후 가치는?

풀이 — 등비수열의 일반항

  1. 800 × (1/2)³ = 800/8.
100만원
도전 · 실생활저축 목표 역산
매달 5만원씩 늘려가며 저축해서(첫 달 10만원) 6개월 합계가 135만원이 되려면, 공차(매달 느는 금액)는 원래대로 맞는지 검산하라.

풀이 — 등차수열 합 공식 역검산

  1. S₆ = 6/2×[20+5×5] = 3×45 = 135. 계산이 맞다.
맞다 (135만원 정확히 일치)
※ 이 자료의 예제는 장대경 선생님 방법을 수학적으로 정확한 값으로 재구성·검산한 교육 자료입니다. 모든 계산은 직접 검산했습니다(원본 강의와 숫자·예제가 다를 수 있음).
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