한 직선은 180° — 옮겨 온 각의 이웃 각은 180°에서 빼면 나온다. 맞꼭지각은 서로 같다.
4
꺾이면 보조선 — 꺾인 점에서 l, m과 평행한 선을 그으면 꺾인 각이 두 조각으로 나뉜다.
5
모르는 각은 문자로 — 옮겨 모은 각들이 한 직선을 이루면 합이 180°인 방정식이 선다.
6
거꾸로도 성립 — 동위각이나 엇각이 같으면 평행, 다르면 평행이 아니다.
같은 자리 ∠a = ∠a 동위각 · 엇갈린 안쪽 ∠b = ∠b 엇각
이 개념, 학년마다 이렇게
🐣 초등 (직관)
기찻길 두 줄 위로 지나는 비스듬한 길 — "같은 자리끼리", "엇갈린 안쪽끼리"를 눈으로 짝짓는다.
📐 중1 (핵심)
동위각·엇각의 뜻, 평행선의 성질, 보조선으로 꺾인 각 구하기, 평행 판정(거꾸로).
🎓 고등 (확장)
평행 ⇔ 기울기가 같다, 평행한 두 직선 사이의 거리, 평행선과 닮음비, 벡터의 평행.
🐣 저학년 직관 — "기찻길 위의 비스듬한 길"
기찻길 두 줄 위로 길 하나가 비스듬히 지나가요. 두 건널목에서 같은 자리에 생긴 각끼리는 크기가 같아요(동위각). 길을 사이에 두고 엇갈린 안쪽에 있는 각끼리도 크기가 같고요(엇각). 한쪽 각이 70°면, 같은 자리 각도 70°, 엇갈린 안쪽 각도 70°, 그리고 그 옆에 붙은 각은 180° − 70° = 110°예요.
70° → 동위각 70° · 엇각 70° · 옆각 110°
연습 10제 · 그림 해설
문제 1동위각·엇각 · 기본
아래 그림에서 l ∥ m이고 한 각이 118°이다. 엇각 자리의 각 a, 동위각 자리의 각 b의 크기를 구하고, 118°와 한 직선을 이루는 각(옆각)의 크기도 구하라.
풀이 — 평행하면 그대로 옮긴다
a는 118°의 엇각(엇갈린 안쪽) → a = 118°.
b는 118°의 동위각(같은 자리) → b = 118°.
옆각은 한 직선을 이루므로 180° − 118° = 62°.
a = 118°, b = 118°, 옆각 = 62°
문제 2동위각 + 직선 180°
두 직선 l ∥ m에 한 직선이 만난다. l 쪽의 한 각이 73°일 때, m 쪽에서 그 각의 동위각과 한 직선을 이루는 각 x의 크기를 구하라.
풀이 — 먼저 옮기고, 그다음 180°에서 뺀다
동위각이므로 m 쪽의 그 각도 73°.
x는 그 각과 한 직선을 이루므로 x = 180° − 73° = 107°.
x = 107°
문제 3동위각 · 방정식
두 직선 l ∥ m에 한 직선이 만나 생긴 동위각의 크기가 각각 (2x + 10)°, (3x − 20)°이다. x의 값과 이 각의 크기를 구하라.
풀이 — 평행이면 동위각은 "같다"
2x + 10 = 3x − 20.
10 + 20 = 3x − 2x → x = 30.
각의 크기: 2(30) + 10 = 70° (검산: 3(30) − 20 = 70° ✔).
x = 30, 각의 크기는 70°
문제 4엇각 + 맞꼭지각
l ∥ m이고 l 쪽의 한 각이 108°이다. m 쪽에서 그 각의 엇각의 맞꼭지각을 x, x와 한 직선을 이루는 각을 y라 할 때 x, y를 구하라.
풀이 — 한 단계씩 옮긴다
엇각이므로 그 각은 108°.
맞꼭지각은 서로 같으므로 x = 108°.
y = 180° − 108° = 72°.
x = 108°, y = 72°
문제 5한 직선에 모으기 · 방정식
평행선과 맞꼭지각을 이용해 각을 옮겼더니, 한 직선 위에 (2x)°, 60°, (x + 30)°가 차례로 모였다. x의 값을 구하라.
풀이 — 한 직선 위의 각의 합은 180°
2x + 60 + (x + 30) = 180.
3x + 90 = 180 → 3x = 90 → x = 30.
검산: 60° + 60° + 60° = 180° ✔
x = 30
문제 6보조선 · 기본
아래 그림에서 l ∥ m이다. 꺾인 각 x의 크기를 구하라.
풀이 — 꺾인 점에 보조선(붉은 점선)을 긋는다
보조선은 l, m과 평행하므로 위의 42°가 엇각으로 내려온다.
마찬가지로 아래의 38°도 엇각으로 올라온다.
x는 두 조각의 합: x = 42° + 38° = 80°.
x = 80°
문제 7보조선 · 거꾸로(빼기)
l ∥ m이고, 두 직선 사이에서 한 번 꺾인 선의 꺾인 각 전체가 105°이다. l 쪽 각이 47°일 때, m 쪽 각 x의 크기를 구하라.
풀이 — 전체에서 옮겨 온 조각을 뺀다
보조선을 그으면 위 조각은 47°의 엇각이므로 47°.
아래 조각 = 105° − 47° = 58°.
그 조각과 x는 엇각이므로 x = 58°.
x = 58°
문제 8보조선 + 방정식 · 진가
아래 그림에서 l ∥ m이고 꺾인 각 전체가 100°이다. x의 값을 구하라.
풀이 — 보조선으로 나눈 두 조각을 더하면 전체
위 조각은 l 쪽 각의 엇각이므로 2x, 아래 조각은 m 쪽 각의 엇각이므로 3x.
2x + 3x = 100 → 5x = 100 → x = 20.
검산: 2(20)° + 3(20)° = 40° + 60° = 100° ✔
x = 20 (두 조각은 40°와 60°)
문제 9접기 · 이등변삼각형 · 진가
직사각형 모양의 종이 띠를 접었더니 그림처럼 삼각형이 생겼다. 접힌 부분 옆의 각이 124°일 때, 삼각형의 꼭지각 x의 크기를 구하라.
풀이 — 접으면 두 변의 길이가 같아진다
124°의 옆각이므로 밑각은 180° − 124° = 56°.
접은 것이므로 두 변의 길이가 같다 → 이등변삼각형이고 두 밑각이 같다: 56°, 56°.
x = 180° − (56° + 56°) = 180° − 112° = 68°.
x = 68°
문제 10평행 판정 · 거꾸로 · 진가
한 직선 t가 세 직선 l, m, n과 각각 만난다. t와 이루는 동위각 자리의 각이 l에서 112°, m에서 105°, n에서 112°였다. 서로 평행한 직선을 모두 찾고 그 이유를 말하라.