YEON MATH · 행복수학

정적분의 활용 실전 완전정복
— "위에서 아래를 빼면 넓이" · 연습 10제

x축과의 넓이 · 두 곡선 사이의 넓이 · |a|/6 (β−α)³ 공식 · 삼차함수 · 접선 · 넓이가 같으면 정적분 0 · 속도와 움직인 거리 · 장대경 선생님의 특강

연플래닝 ACADEMY

먼저 · 정적분의 활용을 푸는 규칙 일곱 가지

1
범위(교점)부터 찾는다 — 두 식을 같다고 놓고 풀면 나오는 교점이 곧 적분 구간이다. 적분은 범위와 계산, 이 둘이 전부다.
2
x축 위는 +, x축 아래는 − — 넓이는 음수가 될 수 없으므로 부호가 바뀌는 자리에서 끊고, 아래쪽은 마이너스를 붙여 적분한 뒤 더한다.
3
두 그래프 사이는 「위 − 아래」 — ∫βα {위 − 아래} dx. 위·아래가 바뀌면 그 자리에서 끊는다.
4
공식 — 위 − 아래가 ax² + bx + c 꼴이고 두 근이 α, β이면 S = |a|6(β − α)3. 차가 이차식이고 두 점에서만 만날 때만 쓴다.
5
삼차가 되면 공식은 못 쓴다 — 교점이 셋이면 넓이가 두 덩어리로 나뉜다. 구간마다 누가 위인지를 확인하고 따로 적분해 더한다.
6
"두 넓이가 같다" = 정적분이 0 — 한쪽은 +, 다른 쪽은 −로 나오므로 (위 − 아래)를 전체 구간에서 적분해 0으로 놓으면 미지수가 잡힌다.
7
속도를 적분하면 위치, 절댓값을 씌우면 거리 — 위치의 변화량 ∫ v dt, 움직인 거리 ∫ |v| dt. 속도 그래프가 직선이면 삼각형·사다리꼴 넓이로 풀어도 된다.

이 개념, 학년마다 이렇게

🐣 초등 (직관)
모눈종이 위에서 칸을 세어 넓이 구하기. 큰 도형에서 작은 도형을 빼면 남는 부분의 넓이가 나온다 — "위에서 아래를 뺀다"의 뿌리.
📐 고2 (핵심)
곡선과 x축, 두 곡선 사이의 넓이, 접선이 만드는 넓이, 넓이가 같을 조건, 속도·위치·움직인 거리.
🎓 그 위 (확장)
회전체의 부피, 곡선의 길이, 구분구적법과 급수, 매개변수·극좌표에서의 넓이.

🐣 저학년 직관 — "큰 것에서 작은 것을 빼면 남는다"

가로 6칸, 세로 4칸인 직사각형 안에 밑변 6칸, 높이 4칸인 삼각형이 들어 있어요. 직사각형은 24칸, 삼각형은 6 × 4 ÷ 2 = 12칸. 그러면 삼각형 바깥에 남은 부분은 24 − 12 = 12칸이지요.

고등학교에서 배우는 "두 그래프 사이의 넓이"도 똑같아요. 위에 있는 것에서 아래에 있는 것을 빼면 사이에 낀 부분이 남습니다. 다른 점은 딱 하나 — 경계가 곧은 선이 아니라 구부러진 곡선이라서, 칸을 아주 잘게 쪼개 더하는 적분을 쓴다는 것뿐이에요.

직사각형 24칸 − 삼각형 12칸 = 남은 부분 12칸

연습 10제

문제 1x축과의 넓이 · 규칙 2
곡선 y = x2 − 4x + 3과 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라.
1 3 O
그래프가 x축 아래에 있는 구간이 어디인지 먼저 확인하세요.

풀이 — x축 아래이므로 부호를 뒤집는다

  1. x2 − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3) → x축과 만나는 점은 x = 1, 3.
  2. 1 < x < 3에서 그래프는 x축 아래이므로 넓이는 −∫31(x2 − 4x + 3)dx.
  3. F(x) = 13x3 − 2x2 + 3x, F(3) = 9 − 18 + 9 = 0, F(1) = 13 − 2 + 3 = 43.
  4. ∫31 = 0 − 43 = −43 → 넓이는 43.
4/3
문제 2부호가 바뀌면 끊는다
곡선 y = x2 − 4x와 x축, 그리고 직선 x = 5로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라. (단, x ≥ 0)

풀이 — x = 4 에서 부호가 바뀐다

  1. x2 − 4x = x(x − 4) → 0 < x < 4는 x축 아래, 4 < x < 5는 x축 위. x = 4에서 끊는다.
  2. 아래 구간 : ∫40(4x − x2)dx = 32 − 643 = 323.
  3. 위 구간 : F(x) = 13x3 − 2x2, F(5) = 1253 − 50 = −253, F(4) = 643 − 32 = −323 → ∫54 = 73.
  4. 넓이 = 323 + 73 = 393 = 13.
13
문제 3두 그래프 사이 · 규칙 3·4
곡선 y = x2과 직선 y = x + 2로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라. 공식으로도 확인하여라.
−1 2 O
이 구간에서는 직선이 위, 포물선이 아래입니다.

풀이 — 교점부터, 그다음 「위 − 아래」

  1. 교점 : x2 = x + 2 → x2 − x − 2 = (x + 1)(x − 2) = 0 → x = −1, 2.
  2. 이 구간에서는 직선이 위이므로 ∫2−1{(x + 2) − x2}dx.
  3. F(x) = 12x2 + 2x − 13x3, F(2) = 2 + 4 − 83 = 103, F(−1) = 12 − 2 + 13 = −76.
  4. 103 + 76 = 276 = 92.
  5. 공식 확인 : 아래 − 위를 정리하면 x2 − x − 2이므로 a = 1, β − α = 3 → 16 × 33 = 276 = 92 ✔
9/2
문제 4공식 연습 · 규칙 4
곡선 y = x2 − 2x와 직선 y = x로 둘러싸인 부분의 넓이를 공식으로 구하여라.

풀이 — 차를 만들고 두 근을 읽는다

  1. 차 : (x2 − 2x) − x = x2 − 3x = x(x − 3) → α = 0, β = 3, a = 1.
  2. 공식 : |1|6(3 − 0)3 = 276 = 92.
  3. 검산(직접 적분) : ∫30(3x − x2)dx = 272 − 9 = 92 ✔
9/2
문제 5포물선 두 개 · a ≠ 1
두 곡선 y = x2과 y = −x2 + 4x로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라.

풀이 — 이때 a는 1이 아니다

  1. 교점 : x2 = −x2 + 4x → 2x2 − 4x = 2x(x − 2) = 0 → x = 0, 2.
  2. 차의 이차항 계수가 a = 2임에 주의. 공식 : 26(2 − 0)3 = 166 = 83.
  3. 검산 : ∫20(−2x2 + 4x)dx = −163 + 8 = 83 ✔
8/3
문제 6삼차 · 규칙 5
곡선 y = x3 − x와 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라.
−1 1 O
교점이 −1, 0, 1 세 개 → 넓이가 두 덩어리로 나뉩니다.

풀이 — 구간마다 누가 위인지 확인한다

  1. x3 − x = x(x + 1)(x − 1) → 교점 x = −1, 0, 1.
  2. −1 < x < 0에서는 곡선이 x축 위, 0 < x < 1에서는 x축 아래.
  3. F(x) = 14x4 − 12x2, F(0) = 0, F(−1) = F(1) = −14.
  4. 앞 구간 = 0 − (−14) = 14, 뒤 구간의 절댓값 = 14.
  5. 넓이 = 14 + 14 = 12. (원점에 대칭이므로 한쪽만 구해 2배 해도 된다.)
1/2
문제 7접선 · 미분과 함께
곡선 y = x2 위의 점 (2, 4)에서의 접선과 곡선, 그리고 y축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라.

풀이 — 접선의 기울기는 미분, 그다음 「곡선 − 접선」

  1. y′ = 2x → x = 2에서 기울기 4. 접선 : y − 4 = 4(x − 2) → y = 4x − 4.
  2. 곡선 − 접선 = x2 − 4x + 4 = (x − 2)2 ≥ 0 → 곡선이 늘 위(접점에서만 만난다).
  3. y축부터 접점까지이므로 ∫20(x − 2)2dx = [(x − 2)33]20 = 0 − (−83).
  4. 넓이 = 83.
  5. ⚠️ 이 문제는 공식을 쓸 수 없다 — 곡선과 접선은 한 점에서만 만나므로 두 근 α, β가 없다.
8/3
문제 8넓이가 같다 = 정적분 0 · 규칙 6
곡선 y = x2과 직선 y = a가 0 ≤ x ≤ 2에서 만드는 두 부분의 넓이가 서로 같을 때, 양수 a의 값을 구하여라.

풀이 — "같다"는 말을 정적분 0으로 바꾼다

  1. 두 부분의 넓이가 같다 → 한쪽은 +, 다른 쪽은 −이므로 ∫20(x2 − a)dx = 0.
  2. [13x3 − ax]20 = 83 − 2a = 0.
  3. 2a = 83 → a = 43.
  4. 확인 : 교점은 x2 = 43 → x = 2√3 ≈ 1.155로 0과 2 사이에 있다 ✔
a = 4/3
문제 9속도와 거리 · 규칙 7
수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 속도가 v(t) = 3t2 − 6t이다. 0 ≤ t ≤ 3일 때 위치의 변화량과 움직인 거리를 각각 구하여라.

풀이 — 위치는 부호 그대로, 거리는 절댓값

  1. 위치의 변화량 = ∫30(3t2 − 6t)dt = [t3 − 3t2]30 = 27 − 27 = 0. 제자리로 돌아왔다.
  2. v(t) = 3t(t − 2) → 0 < t < 2는 음수, 2 < t < 3은 양수.
  3. ∫20(6t − 3t2)dt = 12 − 8 = 4.
  4. ∫32(3t2 − 6t)dt = (27 − 27) − (8 − 12) = 4.
  5. 움직인 거리 = 4 + 4 = 8. 위치는 0인데 거리는 8 — 이 둘은 다르다.
위치의 변화량 0, 움직인 거리 8
문제 10직선이면 삼각형 넓이로
직선 위를 움직이는 물체의 시각 t초에서의 속도가 v(t) = 10 − 2t(m/초)이다. 0 ≤ t ≤ 10일 때 위치의 변화량과 움직인 거리를 구하여라. (적분하지 말고 넓이로 구해 보아라.)
5 10 O 10 + −
삼각형 두 개가 보이면 적분할 필요가 없습니다.

풀이 — 밑변 × 높이 ÷ 2 로 끝난다

  1. v(t) = 0이 되는 때는 t = 5. 0 < t < 5는 양수(앞으로), 5 < t < 10은 음수(뒤로).
  2. 앞 삼각형 : 밑변 5, 높이 10 → 5 × 10 ÷ 2 = 25.
  3. 뒤 삼각형 : 밑변 5, 높이 10(v(10) = −10) → 25.
  4. 위치의 변화량 = 25 − 25 = 0(m) — 출발점으로 돌아왔다.
  5. 움직인 거리 = 25 + 25 = 50(m).
  6. 적분으로 검산 : ∫100(10 − 2t)dt = [10t − t2]100 = 100 − 100 = 0 ✔
위치의 변화량 0 m, 움직인 거리 50 m

도전 6제

도전 1근이 무리수여도 공식은 돈다
두 곡선 y = x2 − 2x + 3과 y = −x2 + 6x − 1로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라.

풀이 — 근을 다 구하지 말고 (β − α)만 구한다

  1. 차 : (x2 − 2x + 3) − (−x2 + 6x − 1) = 2x2 − 8x + 4 = 2(x2 − 4x + 2) → a = 2.
  2. x2 − 4x + 2 = 0 → x = 2 ± √2. 따라서 β − α = 2√2.
  3. 공식 : 26(2√2)3 = 13 × 16√2 = 16√23.
  4. ※ (2√2)3 = 8 × 2√2 = 16√2. 근이 무리수여도 β − α는 근과 계수의 관계로 √(16 − 8) = 2√2로 바로 나온다.
16√2 / 3
도전 2삼차 × 직선 · 대칭 이용
곡선 y = x3 − 3x와 직선 y = x로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라.

풀이 — 교점이 셋이면 두 덩어리, 그리고 대칭

  1. 차 : (x3 − 3x) − x = x3 − 4x = x(x + 2)(x − 2) → 교점 x = −2, 0, 2.
  2. −2 < x < 0에서는 차가 양수(곡선이 위), 0 < x < 2에서는 음수(직선이 위).
  3. F(x) = 14x4 − 2x2, F(0) = 0, F(−2) = F(2) = 4 − 8 = −4.
  4. 앞 구간 = 0 − (−4) = 4, 뒤 구간의 절댓값 = |−4 − 0| = 4.
  5. 넓이 = 4 + 4 = 8. (차가 기함수라 두 덩어리가 합동이므로 한쪽만 구해 2배 해도 된다.)
8
도전 3거꾸로 · 넓이가 주어졌다
곡선 y = x2과 직선 y = mx로 둘러싸인 부분의 넓이가 92일 때, 양수 m의 값을 구하여라.

풀이 — 공식을 방정식으로 뒤집어 쓴다

  1. 교점 : x2 = mx → x(x − m) = 0 → α = 0, β = m (m > 0).
  2. 차는 x2 − mx이므로 a = 1 → 넓이 = 16m3.
  3. m36 = 92 → m3 = 27 → m = 3.
  4. 검산 : ∫30(3x − x2)dx = 272 − 9 = 92 ✔
m = 3
도전 4넓이가 같다 · 위끝을 구한다
곡선 y = x2 − 4x와 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이가, 이 곡선과 x축 및 직선 x = a(a > 4)로 둘러싸인 부분의 넓이와 서로 같을 때 a의 값을 구하여라.

풀이 — 아래쪽 넓이 = 위쪽 넓이 ⇒ 합치면 정적분 0

  1. x2 − 4x = x(x − 4) → 0 < x < 4는 x축 아래(음의 넓이), 4 < x < a는 위(양의 넓이).
  2. 두 넓이가 같으면 부호가 서로 지워지므로 ∫a0(x2 − 4x)dx = 0.
  3. a33 − 2a2 = 0 → a2(a3 − 2) = 0 → a = 0 또는 a = 6.
  4. a > 4이므로 a = 6.
  5. 검산 : 아래 ∫40(4x − x2)dx = 323, 위 ∫64(x2 − 4x)dx = 323 ✔
a = 6
도전 5속도의 부호가 두 번 갈린다
수직선 위를 움직이는 점 P의 속도가 v(t) = t2 − 4t + 3이다. 0 ≤ t ≤ 3에서 위치의 변화량과 움직인 거리를 구하여라.

풀이 — 부호가 바뀌는 t = 1 에서 끊는다

  1. v(t) = (t − 1)(t − 3) → 0 ≤ t < 1은 양수, 1 < t ≤ 3은 음수.
  2. F(t) = 13t3 − 2t2 + 3t, F(0) = 0, F(1) = 43, F(3) = 9 − 18 + 9 = 0.
  3. 위치의 변화량 = F(3) − F(0) = 0.
  4. 움직인 거리 = |F(1) − F(0)| + |F(3) − F(1)| = 43 + 43 = 83.
  5. 뜻 : 앞으로 43만큼 갔다가 그만큼 되돌아와 제자리가 되었다.
위치의 변화량 0, 움직인 거리 8/3
도전 6실생활 · 쏘아 올린 물체
지면에서 초속 40 m로 똑바로 위로 쏘아 올린 물체의 t초 후의 속도가 v(t) = 40 − 10t(m/초)이다. ① 최고 높이와 ② 다시 지면에 떨어질 때까지 움직인 거리를 구하여라.

풀이 — 꼭대기는 속도가 0, 지면은 위치가 0

  1. 꼭대기 : v(t) = 0 → 40 − 10t = 0 → t = 4(초).
  2. 최고 높이 = ∫40(40 − 10t)dt = [40t − 5t2]40 = 160 − 80 = 80(m).
    (삼각형으로 : 밑변 4 × 높이 40 ÷ 2 = 80)
  3. 지면 복귀 : 위치가 다시 0 → ∫T0(40 − 10t)dt = 40T − 5T2 = 0 → 5T(8 − T) = 0 → T = 8(초).
  4. 움직인 거리 = ∫80|40 − 10t|dt = 80 + 80 = 160(m). 올라간 80 m, 내려온 80 m.
  5. ⚠️ 위치의 변화량은 0(제자리)이지만 움직인 거리는 160 m다. 이 둘을 절대로 섞지 말 것.
최고 높이 80 m, 움직인 거리 160 m

더 넓혀 쓰는 비법

이 방법이 어디까지 가는가

"위에서 아래를 빼고, 범위 안에서 더한다" — 이 한 줄이 계속 자란다.

① 회전체의 부피
고3 · 미적분
넓이가 {위 − 아래}를 더한 것이었듯, 부피는 단면의 넓이를 더한 것이다. x축 둘레로 돌리면 단면이 원이 되어 π{f(x)}²을 적분한다. 두 곡선 사이를 돌리면 큰 원 − 작은 원, 곧 여기서 배운 "위 − 아래"가 그대로 쓰인다.
② 구분구적법 — 왜 적분이 넓이인가
고2~고3
구간을 n등분해 직사각형으로 덮고 n을 무한히 크게 하면 그 합의 극한이 정적분이 된다. 초등학교에서 모눈 칸을 세던 것과 뿌리가 같다 — 칸을 무한히 잘게 쪼갠 것뿐이다.
③ 가속도 → 속도 → 위치
물리와 이어짐
미분하면 위치 → 속도 → 가속도로 내려가고, 적분하면 거꾸로 올라간다. 등가속도 운동에서 v = v₀ + at를 적분하면 s = v₀t + ½at²이 그대로 나온다 — 물리 공식을 외울 필요가 없어진다.
④ 넓이의 최댓값·최솟값
경시·심화
넓이를 미지수 a로 나타내면 a에 대한 함수가 된다. 그것을 미분해서 0이 되는 곳을 찾으면 넓이가 최소가 되는 자리를 잡을 수 있다. "적분해서 함수를 만들고, 다시 미분한다" — 미적분이 한 바퀴 도는 자리다.
※ 이 자료의 예제는 장대경 선생님 방법을 수학적으로 정확한 값으로 재구성·검산한 교육 자료입니다. 16문항의 모든 적분값·교점·넓이를 sympy와 손계산으로 전수 재검산했습니다(원본 강의와 숫자·예제가 다를 수 있음).
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