YEON MATH · 행복수학

정적분 실전 완전정복
— "범위만 조심하면 다 풀린다" · 연습 10제

위끝·아래끝 · 부호 바꾸기 · 구간 붙이고 떼기 · 절댓값 끊기 · 우함수와 기함수 · 정적분으로 정의된 함수 · 장대경 선생님의 특강

연플래닝 ACADEMY

먼저 · 정적분 문제를 푸는 규칙 일곱 가지

1
위끝을 넣고 아래끝을 넣어 뺀다 — ∫ba f(x)dx = F(b) − F(a). 계산은 부정적분과 똑같다.
2
위끝 = 아래끝이면 0 — ∫aa f(x)dx = 0. 함수가 무엇이든 상관없다. 미지수를 잡는 열쇠가 된다.
3
자리를 바꾸면 부호가 바뀐다 — 아래끝이 더 커도 겁먹지 말고 자리를 바꾸고 마이너스를 붙인다.
4
같은 함수면 구간을 붙이고 뗀다 — ∫ba + ∫cb = ∫ca. 빼면 잘라낼 수도 있다.
5
절댓값은 반드시 끊는다 — 절댓값 안이 0이 되는 곳이 경계. 음수 구간은 부호를 뒤집어 적분하고 더한다.
6
대칭 구간이면 홀수를 지운다 — −a → a에서 홀수 차수(기함수)는 0, 짝수 차수·상수(우함수)는 ∫a0의 2배.
7
위끝에 x가 있으면 대입하거나 미분한다 — ∫xa f(t)dt 꼴은 ① x = a 대입 → 0, ② 미분 → f(x). 그리고 숫자 구간의 정적분은 그냥 상수(k)다.

이 개념, 학년마다 이렇게

🐣 초등 (직관)
모눈종이 위 도형의 칸을 세어 넓이를 구하기. 칸을 잘게 쪼갤수록 정확해진다 — 그것이 적분의 출발점.
📐 고2 (핵심)
정적분의 정의와 성질, 절댓값·구간 나누기, 우함수·기함수, 정적분으로 정의된 함수, 넓이 구하기.
🎓 그 위 (확장)
치환적분·부분적분, 구분구적법과 급수, 회전체의 부피, 속도를 적분해 위치 구하기.

🐣 저학년 직관 — "칸을 세면 넓이가 나온다"

모눈종이에 밑변 4칸, 높이 3칸인 직사각형을 그리면 칸이 12개, 넓이는 12이에요. 그런데 비스듬한 선이 들어가면 칸이 반쪽씩 남죠? 그럴 땐 칸을 더 잘게 쪼개서 세면 훨씬 정확해져요.

적분은 바로 이 "잘게 쪼개서 다 더하기"예요. 그리고 "어디부터 어디까지" 셀지를 정해 주는 것이 위끝과 아래끝이랍니다. 세는 구간이 없으면(위끝 = 아래끝) 넓이도 0이겠죠.

밑변 4 × 높이 3 = 12칸 · 세는 구간이 없으면 0

연습 10제

문제 1기본 계산 · 규칙 1
다음 정적분의 값을 구하여라.
∫2−1 (3x2 − 2x + 1) dx

풀이 — 부정적분을 구하고 위끝, 아래끝을 넣어 뺀다

  1. 부정적분 F(x) = x3 − x2 + x.
  2. F(2) = 8 − 4 + 2 = 6.
  3. F(−1) = −1 − 1 − 1 = −3.
  4. F(2) − F(−1) = 6 − (−3) = 9.
9
문제 2값이 음수일 수도 있다
다음 정적분의 값을 구하고, 그 값이 음수인 까닭을 그래프로 설명하여라.
∫30 (x2 − 4x) dx

풀이 — 정적분은 "부호가 있는 넓이"다

  1. F(x) = 13x3 − 2x2.
  2. F(3) = 9 − 18 = −9, F(0) = 0.
  3. 따라서 값은 −9 − 0 = −9.
  4. x2 − 4x = x(x − 4)이므로 0 < x < 3에서 그래프가 x축 아래에 있다. 넓이를 물었다면 절댓값을 씌워 9가 되지만, 정적분 자체는 부호를 그대로 가지므로 −9다.
−9 (넓이로 물었다면 9)
문제 3자리 바꾸기 · 규칙 3
다음 정적분의 값을 구하여라. 아래끝이 위끝보다 크다는 점에 주의하여라.
∫02 (2x + 3) dx

풀이 — 자리를 바꾸고 마이너스를 붙인다

  1. 자리를 바꾸면 ∫02 = − ∫20.
  2. F(x) = x2 + 3x, F(2) = 4 + 6 = 10, F(0) = 0.
  3. 정방향 값은 10이므로 구하는 값은 −10.
−10
문제 4약분 · 인수분해
다음 정적분의 값을 구하여라.
∫20 x3 + 8x + 2 dx

풀이 — 분수는 인수분해해서 약분부터

  1. 세제곱의 합 공식: x3 + 8 = (x + 2)(x2 − 2x + 4).
  2. 분모 x + 2가 약분되어 ∫20 (x2 − 2x + 4) dx.
  3. F(x) = 13x3 − x2 + 4x, F(2) = 83 − 4 + 8 = 203, F(0) = 0.
20/3
문제 5우함수·기함수 · 규칙 6
다음 정적분의 값을 구하여라. 대칭 구간임을 이용하여라.
∫2−2 (x5 − 3x3 + 2x2 − x + 4) dx

풀이 — 홀수는 지우고, 짝수는 두 배

  1. 홀수 차수 x5, −3x3, −x는 기함수 → 대칭 구간에서 모두 0.
  2. 남는 것은 우함수인 2x2 + 4 → 2∫20(2x2 + 4)dx.
  3. ∫20(2x2 + 4)dx = 163 + 8 = 403.
  4. 두 배 하면 803.
80/3
문제 6절댓값 · 일차식
다음 정적분의 값을 구하여라.
∫30 |x − 2| dx
O 2 3 x 뒤집기 그대로

풀이 — 절댓값 안이 0이 되는 x = 2 에서 끊는다

  1. 0 ≤ x < 2에서 x − 2 < 0 → 뒤집어서 ∫20(2 − x)dx = [2x − 12x2]20 = 4 − 2 = 2.
  2. 2 ≤ x ≤ 3에서 x − 2 ≥ 0 → 그대로 ∫32(x − 2)dx = 12.
  3. 두 값을 더하면 2 + 12 = 52.
  4. 검산: 밑변 2·높이 2인 직각삼각형(넓이 2)과 밑변 1·높이 1인 직각삼각형(넓이 12)의 합 ✔
5/2
문제 7절댓값 · 이차식
다음 정적분의 값을 구하여라.
∫30 |x2 − 4| dx
O 2 3 x 뒤집기 그대로

풀이 — 인수분해로 경계를 찾고 끊는다

  1. x2 − 4 = (x + 2)(x − 2) → 구간 0 ≤ x ≤ 3 안의 경계는 x = 2.
  2. 0 ≤ x < 2: 음수 → ∫20(4 − x2)dx = 8 − 83 = 163.
  3. 2 ≤ x ≤ 3: 양수 → ∫32(x2 − 4)dx = (9 − 12) − (83 − 8) = 73.
  4. 더하면 163 + 73 = 233.
23/3
문제 8구간 이어붙이기 · 규칙 4
다음 값을 구하여라.
∫31 2x dx + ∫53 2x dx

풀이 — 가운데 끝점이 같으면 하나로 붙는다

  1. 피적분함수가 같고 가운데 끝점이 3으로 같으므로 ∫51 2x dx로 붙는다.
  2. F(x) = x2 → F(5) − F(1) = 25 − 1 = 24.
  3. 검산: 따로 구해도 (9 − 1) + (25 − 9) = 8 + 16 = 24 ✔
24
문제 9정적분은 상수 · 규칙 7
함수 f(x)가 다음을 만족할 때 f(1)의 값을 구하여라.
f(x) = 3x2 + ∫10 t f(t) dt

풀이 — 숫자 구간의 정적분은 상수이므로 통째로 k라 놓는다

  1. ∫10 t f(t)dt = k라 하면 f(x) = 3x2 + k.
  2. 이것을 정의식에 되넣는다: k = ∫10 t(3t2 + k)dt = ∫10(3t3 + kt)dt.
  3. = [34t4 + k2t2]10 = 34 + k2.
  4. k = 34 + k2 → k2 = 34 → k = 32.
  5. f(x) = 3x2 + 32 → f(1) = 3 + 32 = 92.
9/2
문제 10위끝에 x · 규칙 2 + 7
다음이 모든 실수 x에 대하여 성립할 때, 상수 a의 값과 f(2)를 구하여라.
∫x2 f(t) dt = x2 + ax − 6

풀이 — ① x = 2 를 넣어 0, ② 미분해서 f(x)

  1. 양변에 x = 2를 넣으면 왼쪽은 위끝 = 아래끝이므로 0.
  2. 오른쪽은 4 + 2a − 6 = 2a − 2.
  3. 2a − 2 = 0 → a = 1.
  4. 양변을 x로 미분하면 f(x) = 2x + 1.
  5. f(2) = 5.
a = 1, f(2) = 5

제일 밑에 · 이 방법을 다른 개념·과목에 쓰는 비법

"어디부터 어디까지 다 더한다" 하나로 넓이·부피·물리까지

오늘 익힌 "범위를 정해 놓고 잘게 쪼개 다 더한다"는, 뒤로 갈수록 넓이·부피·거리·확률로 그대로 이어집니다.

① 두 곡선 사이의 넓이 — "위 − 아래"를 적분한다
고2 · 적분법
두 그래프가 만나는 교점의 x좌표가 위끝·아래끝이 되고, (위쪽 함수 − 아래쪽 함수)를 그 구간에서 적분하면 넓이입니다. 오늘의 절댓값 끊기가 바로 이것의 연습이에요.
② 속도를 적분하면 위치, 속력을 적분하면 거리
고2 · 적분의 활용 / 물리
속도 v(t)를 a → b로 적분하면 위치의 변화량이고, |v(t)|를 적분하면 실제로 움직인 거리입니다. 되돌아온 만큼 상쇄되느냐 아니냐 — 오늘의 절댓값 이야기와 똑같습니다.
③ 구분구적법 — 적분은 원래 "잘게 쪼개 더한 것의 극한"
고2 · 정적분의 정의
구간을 n등분해 직사각형 넓이를 더하고 n을 무한대로 보내면 정적분이 됩니다. 초등학교에서 모눈 칸을 세던 것이 여기까지 이어져요.
④ 회전체의 부피 — 원의 넓이를 적분한다
고2~ · 적분의 활용
곡선을 x축 둘레로 돌리면 단면이 반지름 f(x)인 원이므로, π{f(x)}²를 구간에서 적분하면 부피입니다. "단면을 다 더한다"는 같은 발상이에요.
⑤ 우함수·기함수는 계산 시간을 절반으로 줄인다
모든 학년 · 대칭성
대칭 구간에서 홀수 차수는 0이라는 사실 하나로 긴 다항식이 순식간에 짧아집니다. 시험장에서 −a → a를 보면 반사적으로 홀수부터 지우세요.

도전 6제 · 규칙을 두 개 이상 겹쳐 쓰기

한 문제에 규칙이 둘 이상 들어 있습니다. 어떤 규칙을 쓰는지 먼저 말해 보고 푸세요.

도전 1절댓값 + 인수분해
다음 정적분의 값을 구하여라.
∫20 |x2 − x| dx

풀이 — 경계가 구간의 끝(0)과 안쪽(1) 두 곳

  1. x2 − x = x(x − 1) → 영점은 x = 0, 1. 구간 안쪽의 경계는 x = 1.
  2. 0 < x < 1: 음수 → ∫10(x − x2)dx = 12 − 13 = 16.
  3. 1 < x ≤ 2: 양수 → ∫21(x2 − x)dx = (83 − 2) − (13 − 12) = 23 + 16 = 56.
  4. 더하면 16 + 56 = 1.
1
도전 2전개 + 대칭 구간
다음 정적분의 값을 구하여라. 먼저 전개한 뒤 대칭성을 이용하여라.
∫1−1 (x + 1)2 dx

풀이 — 괄호가 있으면 대칭성이 안 보인다. 먼저 풀어라

  1. (x + 1)2 = x2 + 2x + 1.
  2. 홀수 차수 2x는 대칭 구간에서 0.
  3. 남은 x2 + 1은 우함수 → 2∫10(x2 + 1)dx = 2(13 + 1) = 83.
  4. 검산: 직접 하면 [13(x+1)3]1−1 = 83 − 0 = 83 ✔
8/3
도전 3두 번 미분
다음이 모든 실수 x에 대하여 성립할 때 f(3)의 값을 구하여라.
∫x1 (x − t) f(t) dt = x3 − 3x2 + 3x − 1

풀이 — 적분 안의 x를 밖으로 빼고 두 번 미분한다

  1. 적분변수는 t이므로 x는 상수 취급 → x∫x1f(t)dt − ∫x1 t f(t)dt.
  2. 한 번 미분(곱의 미분): ∫x1f(t)dt + x f(x) − x f(x) = ∫x1f(t)dt. 오른쪽은 3x2 − 6x + 3.
  3. 한 번 더 미분하면 f(x) = 6x − 6.
  4. f(3) = 18 − 6 = 12.
  5. 검산: x = 1일 때 양변이 모두 0이고, 미분한 식도 3 − 6 + 3 = 0으로 맞다 ✔
f(3) = 12
도전 4상수 k · 답이 음수
함수 f(x)가 다음을 만족할 때 f(2)의 값을 구하여라.
f(x) = x2 + ∫20 f(t) dt

풀이 — k가 음수로 나와도 당황하지 않는다

  1. ∫20 f(t)dt = k라 하면 f(x) = x2 + k.
  2. 되넣으면 k = ∫20(t2 + k)dt = 83 + 2k.
  3. −k = 83 → k = −83.
  4. f(x) = x2 − 83 → f(2) = 4 − 83 = 43.
  5. 검산: ∫20(t2 − 83)dt = 83 − 163 = −83 = k ✔
f(2) = 4/3
도전 5극한 = 미분계수의 정의
f(x) = x3 + 1일 때 다음 극한값을 구하여라.
limx→2 1x − 2 ∫x2 f(t) dt

풀이 — 이 꼴은 계산하지 말고 정의로 읽는다

  1. F(x) = ∫x2f(t)dt라 하면 F(2) = 0이고 F′(x) = f(x).
  2. 그러면 주어진 식은 limx→2 F(x) − F(2)x − 2 = F′(2), 곧 미분계수의 정의.
  3. F′(2) = f(2) = 23 + 1 = 9.
9
도전 6거꾸로 · 위끝을 구한다
다음을 만족하는 양수 a의 값을 구하여라.
∫a0 (3x2 − 4x) dx = 0

풀이 — 값이 0 = "x축 위와 아래가 똑같이 상쇄되는 지점"

  1. F(x) = x3 − 2x2, F(0) = 0.
  2. 따라서 조건은 a3 − 2a2 = 0.
  3. a2(a − 2) = 0 → a = 0 또는 a = 2.
  4. a는 양수이므로 a = 2. (a = 0은 위끝 = 아래끝이라 당연히 0이 되는 자명한 해다.)
  5. 뜻: 0 < x < 43에서 x축 아래로 내려간 넓이와 그 뒤 위로 올라간 넓이가 x = 2에서 정확히 상쇄된다.
a = 2
※ 이 자료의 예제는 장대경 선생님 방법을 수학적으로 정확한 값으로 재구성·검산한 교육 자료입니다. 16문항의 모든 적분값을 sympy와 손계산으로 전수 재검산했습니다(원본 강의와 숫자·예제가 다를 수 있음).
← 장대경 선생님의 특강 칼럼으로 ▶ 정적분 특강 영상 보기