YEON MATH · 행복수학

경우의 수와 확률 완전정복
— 장대경 선생님 3대 직관법 연습 10제

세지 말고 흐름을 읽어라 · 장대경 선생님의 특강

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먼저 · 세 가지 직관으로 끝내는 법

1
관문 곱셈법 (대진표) — 전체 경우를 세지 말고, 그 팀이 결승까지 이겨야 하는 경기(관문) 개수 N만 세라. 실력이 같으면 결승 진출 확률 = (1/2)N. 두 팀이 결승에서 만날 확률 = 각자 진출 확률의 곱.
2
주머니 먼저 고르기 (가중치 필터) — 주머니가 여러 개면 공을 절대 합치지 마라(합치면 오류!). 먼저 주머니 고를 확률(1/주머니수)을 각 주머니 안 확률 앞에 곱하고, 경우들을 더한다.
3
순서 대칭 (비복원) — 비복원에서 서로 다른 것을 순서만 바꿔 뽑는 경우들은 곱셈 교환법칙으로 각 확률이 완전히 같다. 한 순서만 구하고 경우 수(2! 등)만 곱하면 끝.
＋
막히면 여사건 — "적어도 하나"가 나오면 반대(하나도 없을 확률)를 구해 1 − P(반대). 세기 쉬운 쪽부터 공략하라.
① 관문 곱셈법 — 이겨야 할 경기 수만 세기 4강 4강 결승 우승 🏆 4강 통과 = 1경기 → 1/2 우승 = 2경기 → (1/2)² = 1/4

연습 10제 · 세 직관으로 풀기

문제 1① 관문 곱셈법
8개 팀이 겨루는 토너먼트(8강→4강→결승). 모든 팀 실력이 같아 각 경기 이길 확률이 1/2일 때, 우리 팀이 우승할 확률은?

풀이 — 이겨야 할 관문 수만 세기

우승까지 관문 3개 8강 4강 결승 우승 🏆 1/2 × 1/2 × 1/2
  1. 우승하려면 8강·4강·결승 = 3경기를 연달아 이겨야 한다. 관문 N = 3.
  2. 매 경기 이길 확률이 1/2이므로 (1/2)³ = 1/8.
1/8
🔑 전체 대진표를 그리지 않아도, "이겨야 할 경기 수"만 세면 끝나요.
문제 2① 관문 — 결승에서 만나기
서로 다른 조에 있는 A반과 B반. A반은 결승까지 2경기, B반은 부전승이 있어 결승까지 1경기만 이기면 된다. 각 경기 이길 확률이 1/2일 때, 둘이 결승에서 만날 확률은?

풀이 — 각자 진출 확률의 곱

  1. A반 결승 진출 = 2경기 승리 → (1/2)² = 1/4.
  2. B반 결승 진출 = 1경기 승리 → 1/2.
  3. 둘이 결승에서 만나려면 둘 다 올라와야 하므로 확률을 곱한다: 1/4 × 1/2 = 1/8.
1/8
🔑 "만난다" = 각자 도착 확률을 곱. 관문 수가 다르면 (1/2) 지수만 달라져요.
문제 3② 주머니 먼저 고르기
주머니 A에는 흰공 1개·검은공 4개, 주머니 B에는 흰공 1개·검은공 2개가 들어 있다. 두 주머니 중 하나를 똑같은 확률로 고른 뒤 공 하나를 꺼낸다. 흰공이 나올 확률은?

풀이 — 절대 공을 합치지 말 것! 주머니를 먼저 고른다

시작 1/21/2 주머니 A 주머니 B 흰 1/5 흰 1/3
  1. 합치면 안 된다! 주머니 고를 확률 1/2을 각 주머니 흰공 확률 앞에 곱한다.
  2. A로 흰공: 1/2 × 1/5 = 1/10.
  3. B로 흰공: 1/2 × 1/3 = 1/6.
  4. 두 경우를 더한다: 1/10 + 1/6 = 3/30 + 5/30 = 8/30 = 4/15.
4/15
⚠️ 공 2개(흰2·검6)로 잘못 합치면 2/8=1/4가 나와 틀립니다. 주머니 크기가 다르니 반드시 가중치를 먼저!
문제 4② 주머니 — 검은공
주머니 A에 흰공 2개·검은공 3개, 주머니 B에 흰공 3개·검은공 1개. 주머니를 똑같은 확률로 하나 골라 공을 하나 꺼낼 때 검은공이 나올 확률은?

풀이 — 같은 방식(주머니 먼저 × 안쪽 확률)

  1. A로 검은공: 1/2 × 3/5 = 3/10.
  2. B로 검은공: 1/2 × 1/4 = 1/8.
  3. 더하기: 3/10 + 1/8 = 12/40 + 5/40 = 17/40.
17/40
문제 5③ 순서 대칭 (비복원)
검은공 6개·흰공 4개가 든 주머니(총 10개)에서 연달아 2개를 꺼낸다(꺼낸 공은 넣지 않음). 두 공의 색이 서로 다를 확률은?

풀이 — 순서만 바뀐 두 경우는 확률이 같다

뽑기 검 6/10흰 4/10 흰 4/9 검 6/9 24/90 24/90
  1. 검→흰: 6/10 × 4/9 = 24/90.
  2. 흰→검: 4/10 × 6/9 = 24/90. 순서만 바뀌어 값이 똑같다(대칭!).
  3. 더하기: 24/90 + 24/90 = 48/90 = 8/15.
8/15
🔑 한 순서만 계산하고 2배 해도 됩니다: 24/90 × 2 = 48/90 = 8/15.
문제 6③ 비복원 · ＋여사건
문제 5와 같은 주머니(검 6·흰 4, 총 10)에서 2개를 연달아 꺼낼 때 두 공의 색이 같을 확률은? (문제 5의 답으로 검산도 해보자.)

풀이 — 같은색 = 둘 다 검 + 둘 다 흰

  1. 둘 다 검: 6/10 × 5/9 = 30/90.
  2. 둘 다 흰: 4/10 × 3/9 = 12/90.
  3. 더하기: 30/90 + 12/90 = 42/90 = 7/15.
  4. 여사건 검산: 색이 다를 확률(문제 5) = 8/15. 1 − 8/15 = 7/15 ✓ 딱 맞는다!
7/15
문제 7③ 순서 대칭 — 제비뽑기
당첨 제비 2개·꽝 3개, 모두 5개. 두 사람이 차례로 하나씩 뽑는다(다시 넣지 않음). 정확히 한 명만 당첨될 확률은?

풀이 — 순서 두 경우, 값이 같다

  1. 첫째 당첨·둘째 꽝: 2/5 × 3/4 = 6/20.
  2. 첫째 꽝·둘째 당첨: 3/5 × 2/4 = 6/20. 순서만 다르고 값 동일.
  3. 더하기: 6/20 + 6/20 = 12/20 = 3/5.
3/5
🔑 "한 명만 당첨" = 한 순서 구하고 ×2. 이것도 순서 대칭이에요.
문제 8곱셈정리 (복원·독립)
주사위 한 개를 두 번 던진다. 두 번 모두 짝수가 나올 확률은?

풀이 — 서로 영향이 없으면 곱한다

  1. 한 번 던져 짝수(2,4,6)일 확률 = 3/6 = 1/2.
  2. 두 번의 결과는 서로 영향 없음(독립) → 확률을 곱한다: 1/2 × 1/2 = 1/4.
1/4
🔑 복원/독립은 관문 곱셈법과 똑같은 뿌리 — "동시에 일어나면 곱".
문제 9덧셈정리 (배반)
주사위 한 개를 한 번 던진다. 나온 눈이 2 또는 5일 확률은?

풀이 — 동시에 못 일어나면(배반) 더한다

눈123456
해당●●
  1. 2가 나올 확률 1/6, 5가 나올 확률 1/6.
  2. 한 번 던져 2와 5가 동시에 나올 수는 없다(배반) → 그냥 더한다: 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.
1/3
문제 10＋여사건 — 적어도 하나
동전 3개를 동시에 던진다. 적어도 한 개는 앞면이 나올 확률은?

풀이 — "적어도"는 반대를 세는 게 빠르다

  1. "적어도 하나 앞면"의 반대 = 세 개 모두 뒷면.
  2. 모두 뒷면 확률 = (1/2)³ = 1/8.
  3. 여사건: 1 − 1/8 = 7/8.
7/8
🔑 "적어도 하나"가 보이면 무조건 1 − (하나도 없을 확률). 경우를 8개 다 세는 것보다 훨씬 빨라요.

제일 밑에 · 이 세 직관을 다른 학년·개념에 쓰는 비법

“곱하고·더하고·반대를 세라” 하나로 위 학년까지

중2에서 익힌 이 세 눈이, 학년이 올라가면 이름만 바뀌어 그대로 쓰입니다. 핵심은 언제나 “동시에 = 곱, 이것 또는 저것 = 더하기, 적어도 = 반대”.

① 관문 곱셈법 → 고1 독립시행
고1 · 독립시행의 확률
"매 경기 이길 확률 1/2, N번 연속" 은 곧 독립시행. 자유투 성공률 p로 n번 던져 모두 성공 = pn. 관문 곱셈법의 (1/2)ᴺ이 p로 일반화된 것뿐이에요.
② 주머니 먼저 고르기 → 고1 여사건·조건부확률
고1~고2 · 조건부확률
"주머니를 고른 다음 그 안에서 뽑는다" 는 조건부확률의 씨앗입니다. P(A그리고흰) = P(A) × P(흰|A). 각 경우를 더해 전체를 구하는 이 방식이 곧 전확률 공식이에요.
③ 순서 대칭 → 순열·조합의 뿌리
고1 · 경우의 수, 확률
"순서만 바꾼 경우는 확률이 같다"는 대칭이, 조합 C와 순열 P의 차이를 만듭니다. 순서 상관없으면 대칭인 경우들을 묶어 세고(조합), 상관있으면 나눠 세는 것(순열). 문제 5·7의 ×2가 이 원리예요.
＋ 여사건 → 어느 학년이든 최강 무기
중2~수능
"적어도 하나" 문제는 학년 불문 여사건이 정답 루트. 1 − P(반대). 뽑는 개수가 많아질수록(적어도 하나 불량품 등) 정면으로 세면 폭발하지만, 반대는 늘 하나로 딱 떨어져요.

도전 · 이 직관만으로 위 학년 문제 풀기

"곱·합·반대" 세 직관 하나로, 아직 안 배운 학년 문제도 풀린다. 중2가 봐도 이해되게 풀어놨어요. 학년별 도전!

도전 · 중3＋여사건 심화
O·X 문제 3개를 아무렇게나 찍는다(정답 확률 각 1/2). 적어도 한 문제는 맞힐 확률은?

풀이 — 반대는 "다 틀림"

  1. 반대 = 3문제 모두 틀림 = (1/2)³ = 1/8.
  2. 여사건: 1 − 1/8 = 7/8.
7/8
💡 동전 3개(문제 10)와 완전히 같은 구조 — 상황만 바뀌어도 직관은 그대로예요.
도전 · 고1조건부확률 맛보기
검은공 6·흰공 4(총 10)에서 2개를 연달아 꺼낼 때, 첫 번째가 검은공이었다면 두 번째가 흰공일 확률은? (이미 검은공 하나가 빠진 상태에서 생각)

풀이 — 조건이 붙으면 "그 시점의 주머니"로 다시 센다

  1. 첫째로 검은공을 이미 뽑았으니, 남은 것은 검은공 5·흰공 4 = 9개.
  2. 이때 흰공일 확률 = 4/9.
4/9
💡 이게 P(흰|검) = 4/9. 문제 5에서 검→흰 계산의 두 번째 분수와 똑같죠? 비복원 계산이 곧 조건부확률의 시작이에요.
도전 · 고1독립시행 — 곱과 여사건 동시에
두 명이 각각 과녁을 쏜다. 명중 확률이 각각 0.8, 0.6이고 서로 영향이 없다. ⑴ 둘 다 명중할 확률과 ⑵ 적어도 한 명이 명중할 확률은?

풀이 — ⑴은 곱, ⑵는 여사건

  1. ⑴ 둘 다 명중(동시) → 곱한다: 0.8 × 0.6 = 0.48.
  2. ⑵ "적어도 한 명" → 반대 "둘 다 빗맞음": (1−0.8)(1−0.6) = 0.2 × 0.4 = 0.08.
  3. 여사건: 1 − 0.08 = 0.92.
⑴ 0.48　⑵ 0.92
💡 관문 곱셈법(곱)과 여사건(반대)이 한 문제에 같이 등장. 세 직관은 결국 한 몸이에요.
※ 이 자료의 문제·수형도·표는 장대경 선생님의 방법을 정확한 값으로 재구성·검산한 교육 자료입니다. 모든 분수·확률은 직접 손으로 검산했습니다. — 연플래닝 수학특강 담당, 장대경 선생님의 행복수학
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