YEON MATH · 행복수학

조합 nCr 실전 완전정복
— 순서를 지우면 나누기 · 연습 10제

nCr = nPr ÷ r! · nCr = nC(n−r) · nCr 방정식 · 곱과 합 · 반드시 포함 · 적어도(여사건) · 뽑고 나서 세우기 · 도형과 격자

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먼저 · 조합 문제를 푸는 무기 여섯 가지

1
nCr 은 nPr 을 r! 로 나눈 것 — nCr = nPr ÷ r!. 순열은 누가 먼저인지까지 따졌지만 조합은 안 따진다. 그래서 줄 세운 가짓수 r! 만큼 통째로 나눈다. 3C2 = 3P2 ÷ 2! = 6 ÷ 2 = 3.
2
nCr = nC(n−r) — 고르는 것과 남기는 것은 같은 일이다. 그래서 아래 숫자를 작게 만들어라. 12C9 → 12C3 으로 바꾸면 세 번만 곱하면 끝난다.
3
함께 뽑으면 곱하고, 이쪽이거나 저쪽이면 더한다 — 남자에서 둘 그리고 여자에서 셋이면 ×. 남자만 넷 또는 여자만 넷이면 동시에 일어날 수 없으므로 +.
4
「반드시 뽑는다」는 집에 보낸다 — 그 사람을 먼저 빼면 전체도 줄고 뽑을 개수도 준다. 거꾸로 「절대 안 뽑는다」는 전체만 줄고 뽑을 개수는 그대로다.
5
「적어도」는 전체에서 안 되는 것을 뺀다 — 「남녀 각각 적어도 한 명」이면 전체 − 남자만 − 여자만. 조건을 직접 만족시키려 갈래를 나누는 것보다 훨씬 짧다.
6
뽑고 나서 세운다 · 도형은 「점을 몇 개 고르나」 — 줄 세우기가 붙으면 nCr × (줄 세우기). 「이웃한다」가 붙으면 묶고, 묶음 안에서도 센다. 도형은 직선이면 점 2개, 삼각형이면 점 3개를 고르는 일이고, 한 직선 위의 점만 따로 빼 준다.
순열 — 누가 먼저인지까지 따진다ABBAACCABC⋯↓ 짝이 되는 둘을 하나로 합친다ABACBC조합 — 순서를 지운다 여섯 개에서 넷을 고른다고른 넷남긴 둘둘은 서로 하나씩 짝이 된다

이 개념, 학년마다 이렇게

🐣 초등 (직관)
"사탕 다섯 개 중에서 두 개를 골라 가져가는 방법은?" 순서가 없다. 딸기·포도를 고르나 포도·딸기를 고르나 가져가는 것은 같다. 이 「같은 것을 두 번 세지 않기」 가 조합의 씨앗이다.
📐 중2~중3 (준비)
경우의 수의 합의 법칙과 곱의 법칙. "악수를 몇 번 하나", "선분이 몇 개 생기나" 는 이미 nC2 다. 다각형의 대각선의 개수도 여기서 처음 만난다.
🎓 고1~고2 (확장)
조합 → 같은 것이 있는 순열 → 중복조합 → 이항정리 (a+b)ⁿ 의 계수 → 확률. 「전체 − 아닌 것」은 그대로 여사건의 확률이 된다.

🐣 저학년 직관 — 줄을 세우고 나서, 줄 세운 만큼 나눈다

사탕이 딸기·포도·레몬 세 개 있습니다. 그중 두 개를 골라 가져가는 방법은 몇 가지일까요?

먼저 순서를 따져서 세어 봅시다. 첫째로 고를 것이 3가지, 둘째로 고를 것이 2가지 → 3 × 2 = 6가지.
딸기·포도, 포도·딸기, 딸기·레몬, 레몬·딸기, 포도·레몬, 레몬·포도 — 이렇게 여섯 가지예요.

그런데 가져가는 것만 보면 딸기·포도와 포도·딸기는 똑같습니다. 두 개씩 짝이 되어 같은 것을 두 번 센 거예요.
그러니까 6 ÷ 2 = 3가지. 이것이 3C2 입니다. 순서를 지운 만큼 나눈다 — 조합은 이 한 줄이 전부예요.

순서를 따지면 6가지  ·  순서를 지우면 3가지

⚠️ 여기서 학생들이 가장 많이 넘어집니다

① 순서를 따져야 하는데 조합만 쓰는 것 — 「뽑아서 한 줄로 세우시오」 라면 뽑기로 끝이 아닙니다. nCr 로 뽑은 다음에 줄 세우기를 곱해야 합니다. 거꾸로 「뽑기만」 하는데 nPr 을 쓰면 답이 r! 배로 커집니다.

② 이쪽이거나 저쪽인데 곱하는 것 — 「성별이 모두 같은 네 명」은 남자 넷이거나 여자 넷입니다. 남자를 뽑았으면 여자는 하나도 없으므로 동시에 일어날 수 없습니다. 이럴 때는 더합니다.

③ 「반드시 포함」에서 전체만 줄이는 것 — 반드시 뽑을 사람을 집에 보내면 전체도 줄고 뽑을 개수도 줍니다. 둘 중 하나만 줄이면 답이 어긋납니다. (반대로 「제외」는 전체만 줄어듭니다.)

④ 도형에서 「+1」 을 빠뜨리거나, 반대로 붙이는 것 — 한 직선 위에 놓인 점들로는 직선이 하나밖에 안 생깁니다. 그래서 직선을 셀 때는 빼고 나서 1을 다시 더합니다. 그런데 삼각형은 하나도 안 생기므로 더하지 않습니다. 이 하나 때문에 답이 딱 1 어긋나는 학생이 가장 많습니다.

연습 10제 · 상세 해설

연습 1nCr 의 계산
9C3 의 값을 구하시오.

풀이 — 순열을 구하고 r! 로 나눈다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 왜 하필 3! 로 나누는가 9 × 8 × 7까지는 쉬운데, 「6으로 나눈다」는 걸음이 왜 필요한지가 안 보이면 문제가 조금만 달라져도 무너집니다. 9P3 = 504는 세 사람을 뽑아 줄까지 세운 가짓수입니다. 그런데 우리가 묻는 것은 「누구를 뽑았나」일 뿐, 서 있는 차례는 상관이 없습니다. 같은 세 사람 A·B·C를 줄 세우는 방법은 3! = 6가지인데, 504 안에서 그 여섯이 모두 「따로따로」 세어져 있습니다. 그러니 여섯 번 겹쳐 센 것을 6으로 나누어 한 번으로 되돌리는 것입니다 — 504 ÷ 6 = 84. 「순서를 지우려면 그 순서의 가짓수로 나눈다」 — 이것이 조합의 전부입니다.
  2. 9C3 = 9P3 ÷ 3!, 9P3 = 9 × 8 × 7 = 504.
  3. 3! = 6 이므로 504 ÷ 6 = 84.
  4. 검산 — 아홉 개에서 세 개를 고르는 모든 경우를 실제로 늘어놓아 세어도 84 가지 ✓
"순서를 지우면 나누기 — 순열을 먼저 구하고 줄 세운 만큼(r!)을 나눈다. 그것이 조합이다."— 장대경 선생님 제61강 「순열과 조합」
84
연습 2nCr = nC(n−r)
11C8 의 값을 구하시오.

풀이 — 아래 숫자를 작게 만든다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 여덟 번 곱하고 8! 로 나눌 일이 아니다 11C8을 곧이곧대로 하면 11 × 10 × ⋯ × 4를 여덟 번 곱하고 8! = 40320으로 나누어야 합니다. 계산 중에 틀리기 딱 좋습니다. 계산하기 전에 아래 숫자를 작게 만드십시오. 까닭은 뜻을 보면 분명합니다 — 열한 개에서 고를 여덟 개를 정하는 것과 안 고를 세 개를 정하는 것은 완전히 같은 일입니다. 남는 것이 정해지면 고르는 것도 저절로 정해지니까요. 그래서 nCr = nC(n−r). 11C8 = 11C3 = (11 × 10 × 9) ÷ 6 = 165 — 세 번만 곱하면 끝입니다. 아래 숫자가 위의 절반을 넘으면 반드시 뒤집어 놓고 시작하십시오.
  2. 11C8 = 11C3 = (11 × 10 × 9) ÷ 3! = 990 ÷ 6 = 165.
  3. 검산 — 11C8 을 그대로 11P8 ÷ 8! 로 계산해도 165. 열한 개에서 여덟 개를 고르는 경우를 전수로 늘어놓아 세어도 165 ✓
"될 수 있으면 아래 숫자를 작게 만들어라 — ₁₂C₉는 ₁₂C₃로 바꾸면 세 번만 곱하면 끝난다."— 장대경 선생님 제61강 「순열과 조합」
165
연습 3nCr 방정식
nC3 = nC7 을 만족시키는 자연수 n 의 값을 구하시오.

풀이 — 아래 두 수를 더하면 위가 된다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 아래가 다른데 값이 같아지는 길은 하나뿐이다 nC3 = nC7을 보고 양쪽을 팩토리얼로 펼쳐 풀려 하면 식이 지저분해집니다. 3과 7이 서로 다른데도 값이 같아지는 까닭을 생각하십시오 — 앞 문제의 성질 하나뿐입니다. nCr = nC(n−r)이므로 nC7 = nC(n−7). 아래끼리 맞추면 3 = n − 7, 곧 n = 10. 외우기 쉽게는 「아래 두 수를 더하면 위가 된다」 — 3 + 7 = 10. ⛔ 다만 3 = 7인 경우(아래가 같은 경우)는 애초에 성립하지 않으니 이 길밖에 없습니다, 그래서 해가 오직 하나입니다. (물론 n ≥ 7이어야 nC7이 뜻을 가지므로 10은 그 조건도 지킵니다.)
  2. nC7 = nC(n−7) 이므로 3 = n − 7 → n = 10.
  3. 검산 — 10C3 = 120, 10C7 = 10C3 = 120 ✓ (n 을 1부터 80까지 모두 넣어 보아도 해는 10 하나뿐)
n = 10
연습 4nCr 방정식
nC2 = 36 을 만족시키는 자연수 n 의 값을 구하시오.

풀이 — 2! 를 곱해 위만 남긴다

  1. nC2 = n(n−1) ÷ 2 이므로 n(n−1) = 72.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 이차방정식을 풀지 않고 「연속한 두 수」로 쪼갠다 n(n−1) = 72를 펼쳐 n² − n − 72 = 0으로 풀어도 됩니다. 그런데 펼치지 않는 편이 훨씬 빠릅니다. 왼쪽이 「연속한 두 자연수의 곱」이라는 특별한 모양이기 때문입니다. 그러니 72를 연속한 두 수의 곱으로 쪼개 보면 됩니다 — 8 × 9 = 72. 큰 쪽이 n이니 n = 9. 찾는 요령도 있습니다 — √72 ≈ 8.5 언저리의 두 수를 보면 곧바로 8과 9가 보입니다. (펼쳐 풀어도 (n−9)(n+8) = 0에서 음수 근 −8은 자연수가 아니라 버려져 같은 답입니다.) 조합 방정식은 대개 이렇게 「연속한 몇 수의 곱」 꼴로 정리되니, 펼치기 전에 쪼개 보십시오.
  3. 72 를 연속한 두 수의 곱으로 쪼개면 72 = 9 × 8 → n = 9.
  4. 따라서 n = 9.
  5. 검산 — 9C2 = (9 × 8) ÷ 2 = 36 ✓ (식을 풀어도 n² − n − 72 = (n−9)(n+8) = 0 이고 n 은 자연수이므로 9)
n = 9
연습 5함께 뽑으면 곱
남학생 6명과 여학생 4명이 있다. 이 중에서 남학생 3명과 여학생 2명을 뽑는 방법의 수를 구하시오.

풀이 — 두 무리에서 함께 뽑으니 곱한다

  1. 남학생 6명에서 3명 → 6C3 = 20. 여학생 4명에서 2명 → 4C2 = 6.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 열 명에서 다섯을 뽑는 10C5 가 아니다 사람이 모두 열 명이고 뽑는 사람이 모두 다섯이니 10C5 = 252라 답하기 쉽습니다. 그 252 안에는 남학생이 넷인 경우, 다섯인 경우까지 다 들어 있습니다. 문제는 남 3명 · 여 2명으로 수를 못 박았으니, 두 무리를 따로 뽑아야 합니다. 남학생 쪽에서 20가지, 여학생 쪽에서 6가지인데 — 남학생을 어떻게 뽑든 여학생 쪽 6가지는 그대로 열려 있으므로 「함께 일어나는 일」이라 곱합니다 : 20 × 6 = 120. 「그리고(함께)」는 곱, 「또는(이쪽이거나 저쪽이거나)」은 합 — 이것이 다음 문제와 갈리는 자리입니다. 검산으로 252 가운데 남학생이 정확히 셋인 것을 세어 보면 과연 120입니다.
  3. 두 무리에서 함께 뽑으므로 곱한다 → 20 × 6 = 120.
  4. 검산 — 열 명에서 다섯 명을 뽑는 252가지를 전수로 늘어놓아 남학생이 정확히 셋인 것을 세어도 120 ✓
120
연습 6갈래가 둘이면 합
남학생 6명과 여학생 4명 중에서 3명을 뽑을 때, 뽑힌 3명의 성별이 모두 같은 경우의 수를 구하시오.

풀이 — 남자만이거나 여자만이다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 바로 앞 문제는 곱했는데 이번엔 더한다 앞 문제에서 20 × 6으로 곱했으니 여기서도 20 × 4 = 80이라 쓰기 쉽습니다. 가르는 잣대는 하나입니다 — 「두 일이 함께 일어날 수 있는가?」 앞 문제는 남학생도 뽑고 여학생도 뽑았으니 「함께」 — 그래서 곱했습니다. 이번에는 남자만 셋이면 여자는 하나도 없습니다. 두 갈래가 결코 함께 일어날 수 없습니다. 그러니 「이쪽이거나 저쪽이거나」라 더합니다 — 20 + 4 = 24. (덧셈에는 겹침이 없는지도 함께 확인하십시오 — 여기서는 겹치는 뽑기가 하나도 없어 그냥 더하면 됩니다.) 말로 옮겨 읽는 것이 가장 확실합니다 — 「그리고」면 곱, 「또는」이면 합. (4C3은 4C1 = 4로 바꿔 세면 손이 덜 갑니다.)
  2. 남학생만 3명 → 6C3 = 20. 여학생만 3명 → 4C3 = 4C1 = 4.
  3. 함께 일어날 수 없으므로 더한다 → 20 + 4 = 24.
  4. 검산 — 열 명에서 세 명을 뽑는 120가지를 전수로 늘어놓아 성별이 한 가지뿐인 것을 세어도 24 ✓
"곱하는 게 아니고 더한다 — 함께 뽑으면 곱, 이쪽이거나 저쪽이면 합. 동시에 일어날 수 없으면 더한다."— 장대경 선생님 제61강 「순열과 조합」
24
연습 7반드시 포함
서로 다른 8명 중에서 4명을 뽑을 때, 특정한 2명이 반드시 포함되도록 뽑는 방법의 수를 구하시오.

풀이 — 반드시 뽑을 둘은 집에 보낸다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 위에서도 빼고 아래에서도 뺀다 「반드시 포함」이라 하니 6C4처럼 사람 수만 줄이고 뽑을 수는 그대로 두기 쉽습니다. 둘 다 줄여야 합니다. 그 2명은 이미 뽑힌 것으로 확정되었으니 — 고를 후보에서도 빠지고(8 − 2 = 6명), 앞으로 더 뽑을 자리에서도 빠집니다(4 − 2 = 2명). 그러니 6C2 = 15. 다음 문제의 「제외」와 나란히 놓고 보십시오 — 「반드시」는 위·아래를 둘 다 줄이고, 「제외」는 위만 줄입니다. 이 둘을 뒤바꾸는 것이 이 단원에서 가장 흔한 실수입니다.
  2. 그 2명은 이미 뽑힌 것으로 치면 남은 사람 8 − 2 = 6 명, 더 뽑을 사람 4 − 2 = 2 명.
  3. 6C2 = (6 × 5) ÷ 2! = 15.
  4. 검산 — 여덟 명에서 네 명을 뽑는 70가지를 전수로 늘어놓아 그 둘이 모두 든 것을 세어도 15 ✓
"반드시 뽑을 사람은 집에 보내 — 너는 무조건 뽑히니까 집에 가 있어라. 전체에서도 빼고, 뽑을 개수에서도 뺀다."— 장대경 선생님 제61강 「순열과 조합」
15
연습 8제외
서로 다른 9명 중에서 3명을 뽑을 때, 특정한 1명은 뽑히지 않도록 뽑는 방법의 수를 구하시오.

풀이 — 제외는 전체만 줄어든다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 이번에는 「아래」를 건드리면 안 된다 앞 문제에서 위·아래를 둘 다 줄였으니 여기서도 그러고 싶어져 8C2라 쓰기 쉽습니다. 여기서는 위만 줄입니다 — 8C3. 두 조건이 하는 일이 서로 다르기 때문입니다. 「반드시 포함」은 자리를 하나 차지합니다 — 그래서 뽑을 자리가 줄었습니다. 「제외」는 자리를 차지하지 않고 후보에서 사라질 뿐입니다 — 뽑아야 할 사람은 여전히 3명 그대로이고, 다만 고를 후보가 8명으로 줄었을 뿐입니다. 그래서 8C3 = 56. 다른 길로도 확인됩니다 — 전체 9C3 = 84에서 그 한 명이 든 경우 8C2 = 28을 빼면 84 − 28 = 56 ✓ 두 길이 만나면 답을 믿어도 좋습니다.
  2. 그 1명을 빼면 남은 사람 9 − 1 = 8 명이지만, 뽑을 사람 수는 그대로 3명이다.
  3. 8C3 = (8 × 7 × 6) ÷ 3! = 336 ÷ 6 = 56.
  4. 검산 — 아홉 명에서 세 명을 뽑는 84가지를 전수로 늘어놓아 그 한 명이 안 든 것을 세어도 56 ✓ (또한 84 − 8C2 = 84 − 28 = 56 으로도 맞는다)
56
연습 9적어도 = 여사건
남학생 5명과 여학생 4명 중에서 3명을 뽑을 때, 남학생과 여학생이 각각 적어도 1명씩 포함되도록 뽑는 방법의 수를 구하시오.

풀이 — 전체에서 한쪽만인 경우를 뺀다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 「각각 적어도 1명」을 정면으로 세면 갈래가 늘어난다 정면으로 세려면 남2여1 · 남1여2로 갈래를 나눠야 하고, 사람 수가 조금만 늘어도 갈래가 서너 개로 불어납니다. 반대를 세면 언제나 갈래가 적습니다. 「남녀가 각각 적어도 하나」의 반대는 「한쪽 성별만 뽑힌다」이고, 그것은 남자만 셋 · 여자만 셋, 딱 두 가지뿐입니다 — 5C3 = 10, 4C3 = 4. 전체 9C3 = 84에서 빼면 84 − 10 − 4 = 70. 정면으로 나눠 세어도 같습니다 — 5C2 × 4C1 + 5C1 × 4C2 = 40 + 30 = 70 ✓ 「적어도」가 보이면 먼저 반대를 세어 보고, 갈래가 적은 쪽으로 가십시오.
  2. 전체는 9C3 = 84. 안 되는 경우는 남학생만 3명이거나 여학생만 3명인 때다.
  3. 5C3 = 10, 4C3 = 4.
  4. 84 − 10 − 4 = 70.
  5. 검산 — 갈래를 직접 나누어도 같다. 남2여1 5C2 × 4C1 = 10 × 4 = 40, 남1여2 5C1 × 4C2 = 5 × 6 = 30 → 40 + 30 = 70 ✓ (전수 열거로도 70)
"미스코리아가 너무 많으면 아닌 쪽만 집에 보낸다 — 적어도가 나오면 전체에서 안 되는 것을 뺀다."— 장대경 선생님 제61강 「순열과 조합」
70
연습 10도형은 점을 고르는 일
한 원 위에 서로 다른 7개의 점이 있다. 이 중 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 개수를 구하시오.

풀이 — 원 위의 점은 어느 셋도 한 직선에 있지 않다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 「원 위」라는 말이 걸러 낼 것을 없애 준다 삼각형을 세라니 모양을 그려 보며 세려 들기 쉽습니다. 삼각형 하나는 점 세 개가 정하므로, 세는 일은 「점 세 개를 고르는 일」과 똑같습니다 — 7C3. 다만 한 가지 반드시 물어야 할 것이 있습니다 — 「세 점을 골랐는데 삼각형이 안 되는 경우가 있는가?」 세 점이 한 직선 위에 나란히 있으면 납작해져 삼각형이 되지 못하므로 그런 경우는 빼야 합니다. 그런데 여기서는 점이 모두 원 위에 있습니다. 직선은 원과 많아야 두 점에서 만나므로, 원 위의 세 점이 한 직선에 놓이는 일은 결코 없습니다. 그래서 뺄 것이 하나도 없어 7C3 = 35가 그대로 답입니다. 「원 위」라는 한 마디가 그 확인을 대신해 준 것입니다 — 점이 평면에 흩어져 있는 도전 6에서는 이 확인이 진짜 일을 합니다.
  2. 삼각형 하나는 점 세 개가 정하고, 원 위의 점은 어느 셋도 한 직선에 놓이지 않아 뺄 것이 없다.
  3. 7C3 = (7 × 6 × 5) ÷ 3! = 210 ÷ 6 = 35.
  4. 검산 — 일곱 점에서 세 점을 고르는 경우를 전수로 늘어놓아도 35 ✓
35

도전 6제 · 한 걸음 더

도전 1아래가 n 인 방정식
(n+1)C2 = 28 을 만족시키는 자연수 n 의 값을 구하시오.

풀이 — 덩어리를 그대로 두고 푼다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 답이 8이 아니라 7이다 연습 4와 셈은 똑같습니다. 마지막 한 걸음에서 갈립니다. (n+1)n = 56 = 8 × 7까지 오면 「8」이 답처럼 보이지만, 8인 것은 n이 아니라 n + 1입니다. 아래 숫자가 2이니 위는 (n+1)부터 두 개가 내려옵니다 — (n+1)C2 = (n+1)n ÷ 2, 곧 (n+1)n = 56. 연속한 두 수 8 × 7 가운데 큰 쪽이 n + 1이므로 n + 1 = 8, n = 7. 미지수가 n이 아니라 덩어리 (n+1)일 때는, 덩어리를 구한 뒤 반드시 「그래서 n은 얼마인가」를 한 번 더 물으십시오. 구한 값을 문제의 물음과 견주는 것이 마지막 걸음입니다.
  2. (n+1)n = 56 = 8 × 7 이므로 n+1 = 8 → n = 7.
  3. 검산 — 8C2 = (8 × 7) ÷ 2 = 28 ✓ (n 을 1부터 200까지 넣어 보아도 해는 7 하나뿐)
n = 7
도전 2n 을 찾고 다시 계산
nC4 = nC6 일 때, nC2 의 값을 구하시오.

풀이 — 두 걸음이다. n 을 먼저 찾는다

  1. ⭐ 여기가 고비 — n 을 찾은 것이 답이 아니다 4 + 6 = 10으로 n = 10을 얻는 순간 다 풀었다는 느낌이 들어 「10」이라 적고 끝내기 쉽습니다. 물음을 다시 보십시오 — 구하라는 것은 nC2입니다. 이 문제는 두 걸음짜리입니다 — ① 조건에서 n을 찾는다 ② 찾은 n으로 묻는 값을 구한다. 10C2 = (10 × 9) ÷ 2 = 45. 조건이 준 것과 물음이 요구하는 것이 다를 때는 언제나 이렇게 걸음이 하나 더 있습니다. 풀이를 마치기 전에 「문제가 무엇을 구하라 했는가」를 소리 내어 다시 읽는 것이 이런 실점을 막는 가장 확실한 방법입니다.
  2. 아래가 다른 두 조합이 같으므로 4 = n − 6 → n = 10. 묻는 것은 10C2 다.
  3. 10C2 = (10 × 9) ÷ 2 = 45.
  4. 검산 — 10C4 = 210, 10C6 = 210 으로 조건이 맞고 ✓ 10C2 = 45 ✓
45
도전 3뽑고 나서 세운다
남학생 4명과 여학생 3명 중에서 남학생 2명과 여학생 1명을 뽑아 일렬로 세우는 방법의 수를 구하시오.

풀이 — 뽑기와 세우기를 갈라 놓는다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 「뽑기」와 「세우기」는 서로 다른 일이다 「뽑아서 세운다」를 한 덩이로 보면 어디에 C를 쓰고 어디에 P를 쓸지 헷갈립니다. 일을 둘로 갈라 놓으십시오 — ① 누구를 뽑을까 ② 그 사람들을 어떤 차례로 세울까. ① 뽑기는 차례가 상관없으니 조합 — 남학생 4C2 = 6, 여학생 3C1 = 3, 함께 뽑으니 6 × 3 = 18. ② 세우기는 차례가 있으니 계승 — 뽑힌 세 사람을 줄 세우는 방법 3! = 6입니다. (⛔ 여기서 남학생끼리·여학생끼리 따로 세우면 안 됩니다 — 줄에는 셋이 섞여 서므로 3명을 통째로 세워야 합니다.) 뽑은 다음에 세우니 이어서 일어나는 일이라 곱합니다 — 18 × 6 = 108. 「고르고 나서 늘어놓는다」 — 조합과 순열을 잇는 표준 차례입니다.
  2. 뽑기 — 남학생 4C2 = 6, 여학생 3C1 = 3 → 18. 세우기 — 3! = 6.
  3. 뽑기와 세우기는 이어서 일어나므로 곱한다 → 18 × 6 = 108.
  4. 검산 — 조건에 맞게 뽑아 늘어놓은 줄을 전수로 세어도 108 ✓
"편지가 움직이나, 우체통이 움직이나" — 왜 나누는가에 대한 선생님의 비유. 움직이는 것은 편지다.— 장대경 선생님 제61강 「순열과 조합」
108
도전 4뽑고 · 묶고 · 세우고 · 자리 바꾸기
어른 5명과 아이 4명 중에서 어른 2명과 아이 2명을 뽑아 일렬로 세울 때, 아이 2명이 서로 이웃하도록 세우는 방법의 수를 구하시오.

풀이 — 네 걸음을 순서대로 밟는다

  1. 뽑기 — 어른 5C2 = 10, 아이 4C2 = 6 → 10 × 6 = 60.
  2. 묶기 — 「이웃한다」가 나왔으니 아이 둘을 한 덩어리로 묶는다.
  3. 줄 세우기 — 덩어리 1개 + 어른 2명 = 3개 → 3! = 6.
  4. ⭐ 여기가 고비 — 묶어 놓고 「묶음 안」을 잊으면 절반이 된다 「이웃한다」를 보고 아이 둘을 한 덩어리로 묶는 데까지는 잘 갑니다. 그리고 3! = 6으로 줄을 세우고 거기서 끝내 60 × 6 = 360이라 적습니다. 딱 절반입니다. 묶음 하나를 통째로 옮기는 동안 그 안에서 아이 둘이 서로 자리를 바꿀 수 있다는 것을 잊었기 때문입니다 — (아이A 아이B)와 (아이B 아이A)는 서로 다른 줄입니다. 그러니 2! = 2를 한 번 더 곱해야 합니다 — 60 × 6 × 2 = 720. 「이웃하기」는 언제나 네 걸음입니다 : 뽑기 → 묶기 → 덩어리째 줄 세우기 → 묶음 안에서 자리 바꾸기. 마지막 한 걸음을 빠뜨렸는지 늘 확인하십시오 — 잊으면 답이 정확히 2!배만큼 모자랍니다.
  5. 묶음 안 자리 바꾸기 — 아이 둘이 서로 자리를 바꾼다 → 2! = 2.
  6. 모두 곱한다 → 60 × 6 × 2 = 720.
  7. 검산 — 조건에 맞는 줄을 전수로 늘어놓아 세어도 720 ✓ (④를 빠뜨리면 360 이 되어 절반이 된다)
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 묶어 놓고 그대로 끝내면 뽑기 60 × 덩어리째 줄 세우기 3! = 6 만 하면 60 × 6 = 360. 「어른A · (아이1 아이2) · 어른B」와 「어른A · (아이2 아이1) · 어른B」는 서로 다른 줄인데 360에는 이 둘이 하나로만 세어져 있습니다. → 2! = 2 를 곱해 720. 답이 딱 절반이면 이 걸음을 빠뜨린 것입니다.
720
도전 5격자와 평행사변형
서로 평행한 5개의 직선과, 그것들과 모두 만나면서 서로 평행한 6개의 직선이 있다. 이 직선들로 만들어지는 평행사변형의 개수를 구하시오.

풀이 — 두 방향에서 두 줄씩 고른다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 세는 것은 「사각형」이 아니라 「직선 두 쌍」이다 격자 그림을 놓고 사각형을 하나하나 세려 들면 크기가 다른 것들이 뒤섞여 반드시 빠뜨립니다. 거꾸로 보십시오 — 평행사변형 하나에는 「이쪽 방향 두 줄」과 「저쪽 방향 두 줄」이 딱 짝지어 있습니다. 곧 두 줄씩 고르기만 하면 평행사변형이 하나 저절로 정해지고, 거꾸로 평행사변형 하나에는 그 네 줄이 하나뿐입니다. 그러니 세는 일이 「직선을 고르는 일」로 바뀝니다 — 다섯 줄에서 둘 5C2 = 10, 여섯 줄에서 둘 6C2 = 15. 두 방향을 함께 골라야 하나가 정해지므로 곱합니다 — 10 × 15 = 150. 「모양을 세지 말고, 그 모양을 정하는 것을 세라」 — 삼각형은 점 셋, 직선은 점 둘, 평행사변형은 두 줄씩 두 쌍. 이 눈이 도형 개수 문제의 전부입니다.
  2. 평행사변형 하나는 한쪽 방향 두 줄과 다른 방향 두 줄이 정한다.
  3. 다섯 줄에서 둘 → 5C2 = 10.
  4. 여섯 줄에서 둘 → 6C2 = 15.
  5. 둘을 함께 고르므로 곱한다 → 10 × 15 = 150.
  6. 검산 — 두 줄씩의 짝을 전수로 늘어놓아 세어도 150 ✓
150
도전 6직선은 +1, 삼각형은 그냥 뺀다
평면 위에 12개의 점이 있다. 그중 5개는 한 직선 위에 있고, 그 밖에는 어느 세 점도 한 직선 위에 있지 않다. 이때 (1) 두 점을 지나는 서로 다른 직선의 개수와 (2) 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 개수를 각각 구하시오.

풀이 — 한 줄 위의 점을 어떻게 처리하느냐가 전부다

  1. (1) 직선 — 두 점을 고르면 직선 하나 → 12C2 = 66.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 직선은 −10 + 1, 삼각형은 −10 만. 「+1」이 갈리는 자리 두 물음이 똑같이 빼는 것처럼 보여 양쪽에 같은 손질을 하기 쉽습니다. 「+1」은 직선에만 붙습니다. 까닭은 「겹쳐 센 것」과 「아예 안 되는 것」의 차이입니다. (1) 직선 — 5점의 5C2 = 10쌍이 모두 「그 한 직선」이니 하나를 열 번 센 것, 열을 빼고 그 하나를 되돌립니다 — 66 − 10 + 1 = 57. (2) 삼각형 — 한 줄 위 3점은 아예 삼각형이 안 되니 그냥 뺍니다 — 220 − 10 = 210.
  3. 한 직선 위 5점의 5C2 = 10 쌍은 모두 같은 직선 하나이므로 10 을 빼고 그 하나를 더한다.
  4. 66 − 10 + 1 = 57.
  5. (2) 삼각형 — 세 점을 고르면 삼각형 하나 → 12C3 = 220.
  6. 한 직선 위의 5점에서 고른 5C3 = 10 가지는 삼각형이 하나도 안 된다. 그래서 그냥 빼기만 한다. 여기서는 +1 을 하지 않는다.
  7. 220 − 10 = 210.
  8. 검산 — 조건에 맞게 좌표를 잡아 12개의 점을 실제로 놓고, 두 점을 잇는 직선과 세 점이 이루는 삼각형을 전수로 세어 직선 57 · 삼각형 210 을 확인했다 ✓
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 삼각형에도 「+1」을 붙이면 삼각형도 220 − 10 + 1 = 211 이라 해 봅시다. 그 「+1」은 겹쳐 센 「그 한 직선」을 되살린 것인데, 삼각형 쪽 10가지는 아예 안 되는 것들이라 되살릴 것이 없습니다. → 220 − 10 = 210.
(1) 57  ·  (2) 210

이 방법이 자라나는 길

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같은 것이 있는 순열 — 「순서를 지운 만큼 나눈다」가 그대로 이어진다. banana 를 늘어놓는 가짓수가 6! ÷ (3! · 2!) 인 까닭이 바로 이것이다.
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이항정리 — (a+b)ⁿ 을 펼쳤을 때 각 항의 계수가 전부 nCr 이다. n 개의 괄호에서 b 를 몇 개 고를 것인가 를 세는 일이기 때문이다.
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확률 — 「전체 − 아닌 것」이 그대로 여사건의 확률 P(Aᶜ) = 1 − P(A) 이 된다. 오늘의 무기 다섯이 확률 단원에서 다시 나온다.
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중복조합 — 「같은 것을 여러 번 고를 수 있을 때」로 넓어진다. 그때도 먼저 세고 겹친 만큼 나눈다는 뼈대는 똑같다. 뽑기 하나에서 이 모든 것이 갈라져 나온다.
※ 이 자료의 연습문제는 장대경 선생님 방법으로 새로 만들고 값을 손과 전수 열거로 검산한 교육 자료입니다(원본 강의와 숫자·예제가 다를 수 있음).
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