YEON MATH · 행복수학

정비례 실전 완전정복
— 오른팔 왼팔, 그리고 몇 칸 갔나 · 연습 10제

y=ax · 원점을 지나는 직선 · 사분면 · 점 대입 · 역수 곱하기 · 활용 · 장대경 선생님의 특강

연플래닝 ACADEMY

먼저 · 정비례를 푸는 규칙 여섯 가지

1
정비례의 뜻 — x가 2배·3배가 되면 y도 똑같이 2배·3배. 비율이 변하지 않는다.
2
관계식 — y = ax. 표에서 "얼마씩 커지나"를 찾아 그 수에 x를 곱하면 된다.
3
그래프 — 반드시 원점을 지나는 직선. 곡선이 될 수 없다.
4
오른팔 / 왼팔 — a > 0이면 오른팔 🙋 (제1·제3사분면), a < 0이면 왼팔 (제2·제4사분면).
5
기울기 찾기 — 직각삼각형을 그려 x가 몇 칸, y가 몇 칸 갔는지 센다. 좌표가 −3인지가 아니라 칸 수가 중요하다. 부호는 오른팔/왼팔이 정한다.
6
계수 없애기 — 미지수만 남기려면 그 계수의 역수를 양변에 똑같이 곱해 약분한다.
x 2칸 y 1칸 m = 1/2

이 개념, 학년마다 이렇게

🐣 초등 (직관)
"한 개에 얼마" 하나만 알면 몇 개든 값을 알 수 있다 — 개수가 2배면 값도 2배.
📐 중1 (핵심)
y=ax, 원점을 지나는 직선, 사분면, 점 대입으로 a 찾기, 기울기를 칸 수로 읽기.
🎓 중2·고등 (확장)
일차함수 y=ax+b(b=0이 정비례), 직선의 방정식과 수직 조건, 정비례 상수와 물리 법칙.

🐣 저학년 직관 — "한 개에 얼마?"

색연필 한 자루가 300원이에요. 2자루면 600원, 3자루면 900원, 4자루면 1200원. 자루 수가 2배가 되면 값도 2배가 되지요? 이렇게 "한 개에 얼마"만 알면 몇 개든 값을 알 수 있어요. 그게 바로 정비례예요.

값 = 300 × 자루 수 → y = 300x

연습 10제 · 그림 해설

문제 1표에서 식 세우기 · 기본
아래 표에서 y는 x에 정비례한다. 관계식을 세우고, x = 7일 때의 y를 구하라.
x1234
y6121824

풀이 — "얼마씩 커지나"를 본다

  1. x가 1씩 갈 때 y는 6씩 커진다.
  2. 그 6에 x를 곱하면 된다 → y = 6x.
  3. x = 7이면 y = 6 × 7 = 42.
y = 6x, x=7일 때 y = 42
문제 2정비례 판별 · 진가
다음 중 y가 x에 정비례하는 것을 모두 골라라.
① y = 7x   ② y = x + 3   ③ y = x4   ④ y = 12 − x

풀이 — y = ax 꼴이어야 하고, 반드시 원점을 지나야 한다

  1. ① y = 7x — a = 7인 정비례. x=0이면 y=0 → 원점을 지난다. ○
  2. ② y = x + 3 — x=0일 때 y=3이라 원점을 지나지 않는다. ✗
  3. ③ y = x/4 = (1/4)x — a = 1/4인 정비례. ○
  4. ④ y = 12 − x — x=0일 때 y=12. 원점을 지나지 않는다. ✗
①, ③
문제 3점 대입 · a 찾기
y = ax의 그래프가 점 (3, −12)를 지날 때, a의 값과 관계식을 구하라.

풀이 — x 자리에 x값, y 자리에 y값을 그대로 넣는다

  1. −12 = a × 3.
  2. 양변을 3으로 나누면(=1/3을 곱하면) a = −4.
  3. 검산: −4 × 3 = −12 ✓
a = −4, y = −4x
문제 4기울기 · 오른팔
아래 그래프의 관계식을 구하라. (원점에서 x축으로 4칸, y축으로 3칸 간 점을 지난다.)
4칸 3칸 O
원점을 지나고 오른쪽 위로 올라가는 직선

풀이 — 직각삼각형을 찾아 칸 수를 센다

  1. x가 간 거리 4칸, y가 간 거리 3칸 → 기울기 34.
  2. 오른팔(오른쪽 위)이므로 부호는 +.
  3. 검산: x=4를 넣으면 (3/4)×4 = 3 ✓
y = 34x
문제 5기울기 · 왼팔
아래 그래프의 관계식을 구하라. (원점에서 x축으로 5칸 갈 때 y축으로 2칸 내려간다.)
5칸 2칸 O
원점을 지나고 오른쪽 아래로 내려가는 직선

풀이 — 칸 수로 크기, 팔 방향으로 부호

  1. x가 5칸, y가 2칸 → 기울기의 크기는 25.
  2. 왼팔(오른쪽 아래)이므로 부호는 −.
  3. 검산: x=5를 넣으면 −(2/5)×5 = −2 ✓ (5칸 갈 때 2칸 내려감)
y = −25x
문제 6그래프 위의 점 · 진가
y = 32x의 그래프 위에 있는 점을 모두 골라라.
① (2, 3)   ② (4, 6)   ③ (−2, −3)   ④ (6, 8)

풀이 — x값을 넣어 y값이 맞는지 본다

  1. ① (3/2)×2 = 3 → 3과 같다. ○
  2. ② (3/2)×4 = 6 → 6과 같다. ○
  3. ③ (3/2)×(−2) = −3 → −3과 같다. ○
  4. ④ (3/2)×6 = 9 → 주어진 8과 다르다. ✗
①, ②, ③ (④만 아니다)
문제 7사분면
y = −5x의 그래프가 지나는 사분면을 모두 말하고, 그 이유를 설명하라.

풀이 — a의 부호가 팔 방향을 정한다

  1. a = −5 < 0 → 왼팔. 오른쪽 아래로 내려가는 직선이다.
  2. 왼팔은 제2사분면(x<0, y>0)과 제4사분면(x>0, y<0)을 지난다.
  3. 확인: x=1이면 y=−5 (제4사분면), x=−1이면 y=5 (제2사분면). ✓
제2사분면, 제4사분면
문제 8역수 곱하기 · 진가
y = −43x의 그래프가 점 (k, 8)을 지날 때, k의 값을 구하라.

풀이 — 계수를 없애려면 그 역수를 양변에 똑같이 곱한다

  1. 대입하면 8 = −(4/3) × k.
  2. −4/3의 역수인 −3/4를 양변에 곱한다.
  3. 오른쪽은 약분되어 k만 남고, 왼쪽은 8 × (−3/4) = −6.
  4. 검산: −(4/3) × (−6) = 8 ✓
k = −6
문제 9활용 · 물통
어떤 수도로 빈 물통에 물을 받으면 8분에 28 L가 찬다. x분 뒤 물의 양을 y L라 할 때 관계식을 세우고, 20분 뒤의 물의 양을 구하라.

풀이 — "1분에 얼마"라는 기준부터 찾는다

  1. 1분에 28 ÷ 8 = 3.5 L = 7/2 L.
  2. 따라서 y = 3.5x (= (7/2)x).
  3. x = 20이면 3.5 × 20 = 70.
  4. 검산: x=8을 넣으면 3.5 × 8 = 28 ✓
y = 3.5x, 20분 뒤 70 L
문제 10활용 · 기온 · 진가
지면의 기온이 0°C이고, 높이가 1 km 올라갈 때마다 기온이 5°C씩 내려간다고 한다. x km 높이의 기온을 y°C라 할 때, ① 관계식 ② 4.5 km 지점의 기온 ③ 기온이 −35°C가 되는 높이를 구하라.

풀이 — "내려간다"가 곧 마이너스

  1. 1 km에 5도씩 내려가므로 a = −5 → y = −5x.
  2. x = 4.5 → y = −5 × 4.5 = −22.5.
  3. −35 = −5x → 양변에 −1/5을 곱하면 x = 7.
  4. 검산: −5 × 7 = −35 ✓
① y = −5x   ② −22.5°C   ③ 7 km

제일 밑에 · 이 방법을 다른 학년·개념에 쓰는 비법

"몇 칸 갔나 + 오른팔/왼팔" 하나로 일차함수·직선의 방정식·물리 법칙까지

오늘 익힌 "기울기는 칸 수, 부호는 팔 방향"이, 학년이 올라가도 그대로 쓰입니다. 정비례는 y = ax + b에서 b = 0인 가장 깨끗한 경우예요.

① 중2 · 일차함수 y = ax + b
중2 · 일차함수
정비례 y = ax를 y축 방향으로 b만큼 평행이동한 것이 일차함수예요. 기울기 a를 읽는 방법은 똑같습니다 — 몇 칸 갔나.
② 중2 · 두 점으로 기울기 구하기
중2 · 일차함수
두 점의 y 증가량 ÷ x 증가량이 곧 "y가 몇 칸 ÷ x가 몇 칸"이에요. 이름만 바뀌었지 같은 방법입니다.
③ 고1 · 직선의 방정식과 수직 조건
고1 · 도형의 방정식
원점을 지나는 직선은 y = mx. 두 직선이 수직이면 기울기의 곱이 −1이라는 성질까지 이어집니다.
④ 중·고 과학 · 정비례하는 자연 법칙
과학 · 후크의 법칙, 옴의 법칙
용수철이 늘어난 길이는 매단 무게에 정비례(후크의 법칙), 전류는 전압에 정비례(옴의 법칙). 그래프가 모두 원점을 지나는 직선이에요.
⑤ 고2·경시 · 비례식의 연쇄
함수의 합성
y가 x에 정비례하고 z가 y에 정비례하면, z도 x에 정비례합니다. 정비례 상수는 두 상수를 곱한 값이에요.

도전 · 이 비법만으로 위 학년 문제 풀기

"몇 칸 갔나 + 오른팔/왼팔" 하나로 일차함수·직선의 방정식·과학까지. 학년별 2문제씩!

도전 · 중2일차함수 · 평행이동
y = 3x의 그래프를 y축 방향으로 4만큼 평행이동한 직선이 점 (2, k)를 지날 때, k를 구하라.

풀이

  1. y축 방향으로 4만큼 이동하면 y = 3x + 4.
  2. x = 2를 넣으면 k = 3 × 2 + 4 = 10.
k = 10
도전 · 중2두 점으로 기울기 · 진가
두 점 (1, 2)와 (4, 11)을 지나는 직선의 기울기를 구하고, 이 직선이 정비례 그래프인지 판정하라.

풀이 — "y가 몇 칸 ÷ x가 몇 칸"과 같다

  1. x가 4 − 1 = 3칸 갈 때 y는 11 − 2 = 9칸 갔다 → 기울기 9 ÷ 3 = 3.
  2. 정비례라면 y = 3x여야 하는데, x=1을 넣으면 3이 나온다. 그런데 주어진 점의 y는 2이다.
  3. 즉 이 직선은 y = 3x − 1이고, x=0일 때 y=−1이라 원점을 지나지 않는다.
  4. 검산: x=4 → 3×4 − 1 = 11 ✓
기울기 3, 정비례가 아니다 (y = 3x − 1)
도전 · 고1직선의 방정식 · 수직
원점을 지나고 기울기가 −23인 직선 ℓ이 있다. ① ℓ의 방정식 ② ℓ에 수직이고 원점을 지나는 직선의 방정식을 구하라.

풀이 — 수직이면 기울기의 곱이 −1

  1. 원점을 지나므로 y = −(2/3)x.
  2. 수직인 직선의 기울기를 m이라 하면 m × (−2/3) = −1.
  3. 양변에 −3/2를 곱하면 m = 3/2. 원점을 지나므로 y = (3/2)x.
  4. 검산: (3/2) × (−2/3) = −1 ✓
① y = −23x   ② y = 32x
도전 · 고1정비례 상수
y는 x에 정비례하고, x = 6일 때 y = −15이다. x = −4일 때 y의 값을 구하라.

풀이 — 먼저 정비례 상수 a부터 구한다

  1. −15 = a × 6 → 양변에 1/6을 곱하면 a = −15/6 = −5/2.
  2. 따라서 y = −(5/2)x.
  3. x = −4 → −(5/2) × (−4) = 10.
  4. 검산: x=6 → −(5/2) × 6 = −15 ✓
y = 10
도전 · 과학후크의 법칙 · 진가
어떤 용수철에 20 g짜리 추를 매달았더니 5 cm 늘어났다. 늘어난 길이가 매단 무게에 정비례할 때, 32 cm 늘어나게 하려면 몇 g을 매달아야 하는가?

풀이 — "1 g에 얼마 늘어나나"가 기준

  1. 1 g에 5 ÷ 20 = 1/4 cm 늘어난다 → y = (1/4)x (x: 무게 g, y: 늘어난 길이 cm).
  2. 32 = (1/4)x → 1/4의 역수 4를 양변에 곱하면 x = 128.
  3. 검산: (1/4) × 128 = 32 ✓
128 g
도전 · 경시정비례의 연쇄
y는 x에 정비례하여 y = 3x이고, z는 y에 정비례하여 z = 5y이다. ① z를 x로 나타내고 ② z가 x에 정비례함을 설명하라. ③ z = 90일 때 x를 구하라.

풀이 — 대입하면 정비례 상수끼리 곱해진다

  1. z = 5y = 5 × (3x) = 15x.
  2. z = 15x는 z = (상수)×x 꼴이고 x=0일 때 z=0이라 원점을 지난다 → 정비례한다. 정비례 상수는 3 × 5 = 15.
  3. 90 = 15x → 양변에 1/15을 곱하면 x = 6.
  4. 검산: x=6 → y=18, z=5×18=90 ✓
① z = 15x   ② 정비례 상수 15   ③ x = 6
※ 이 자료의 연습문제는 장대경 선생님의 방법(오른팔·왼팔, 몇 칸 갔나, 역수 곱하기)을 그대로 쓰되, 숫자는 새로 만들어 전부 직접 검산한 교육 자료입니다(원본 강의와 숫자·예제가 다릅니다).
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