먼저 · 3단계로 끝내는 법
1
변 이름 붙이기 — 기준각 θ를 정하면, 직각 맞은편이 빗변, θ 맞은편이 높이, θ와 붙어있는 나머지 변이 밑변.
2
빗대높으로 비율 읽기 — sin θ = 높이/빗변, cos θ = 밑변/빗변, tan θ = 높이/밑변. 셋 다 분모에 뭐가 오는지만 기억하면 끝.
3
닮음이면 값이 똑같다 — 삼각형이 커지거나 작아져도 각 θ가 같으면 sin,cos,tan 값은 절대 안 변한다. 그래서 "삼각형 하나만 외우면" 다 풀린다.
연습 10제 · 그림 해설
문제 13-4-5 삼각형
직각삼각형의 밑변이 3, 높이가 4, 빗변이 5일 때, θ의 sin θ, cos θ, tan θ를 구하라.
풀이
- sin θ = 높이/빗변 = 4/5
- cos θ = 밑변/빗변 = 3/5
- tan θ = 높이/밑변 = 4/3
sin θ=4/5, cos θ=3/5, tan θ=4/3
문제 2특수각 30°
빗변이 10이고 θ=30°인 직각삼각형에서 높이와 밑변을 구하라.
풀이 — 30° 특수각 표 이용
- sin 30° = 1/2이므로 높이 = 10 × 1/2 = 5.
- cos 30° = √3/2이므로 밑변 = 10 × √3/2 = 5√3.
높이 = 5, 밑변 = 5√3
문제 3특수각 45°
빗변이 6√2인 직각이등변삼각형(θ=45°)에서 두 변의 길이를 구하라.
풀이
- sin 45° = cos 45° = √2/2 (45°는 높이·밑변이 같음).
- 높이 = 밑변 = 6√2 × √2/2 = 6.
두 변 모두 6
문제 4tan에서 역산
tan θ = 3/4일 때 sin θ, cos θ를 구하라.
풀이 — 밑변·높이 비를 삼각형으로
- tan θ = 높이/밑변 = 3/4 → 높이 3, 밑변 4로 놓는다.
- 빗변 = √(3²+4²) = √25 = 5.
- sin θ = 3/5, cos θ = 4/5.
sin θ=3/5, cos θ=4/5
문제 5실생활 · 나무 높이
나무 그림자 길이가 10m이고 태양의 고도각(그림자와 이루는 각)이 60°일 때, 나무의 높이는?
풀이 — 그림자=밑변, 나무=높이
- tan 60° = 높이/밑변 = 높이/10 = √3
- 높이 = 10 × √3 = 10√3 (m)
나무 높이 = 10√3 m (약 17.3m)
문제 6실생활 · 사다리
길이 10m인 사다리가 벽에 기대어 있고, 바닥과 이루는 각이 60°일 때, 사다리가 벽에 닿는 높이는?
풀이 — 사다리=빗변, 벽 높이=높이
- sin 60° = 높이/빗변 = 높이/10 = √3/2
- 높이 = 10 × √3/2 = 5√3 (m)
벽에 닿는 높이 = 5√3 m (약 8.7m)
문제 7닮음 확인 · 6-8-10
밑변 6, 높이 8, 빗변 10인 직각삼각형에서 θ(높이 8쪽 각)의 sin,cos,tan을 구하고, 문제 1의 3-4-5 삼각형과 비교하라.
풀이 — 닮음이면 값이 똑같다
- sin θ = 8/10 = 4/5, cos θ = 6/10 = 3/5, tan θ = 8/6 = 4/3
- 3-4-5 삼각형을 2배 늘린 것(닮음)이라 값이 완전히 똑같다.
sin θ=4/5, cos θ=3/5, tan θ=4/3 — 문제1과 동일(닮음)
문제 8경사면
경사각 45°인 언덕을 수평으로 20m 나아갔다면, 높이는 얼마나 올라갔나?
풀이
- tan 45° = 높이/밑변 = 높이/20 = 1
- 높이 = 20 × 1 = 20 (m)
높이 = 20m (45°는 밑변=높이)
문제 9개념 확인
크기가 다른 두 직각삼각형 A, B가 서로 닮음이고 대응각 θ가 같다. A의 sin θ와 B의 sin θ 중 어느 쪽이 더 큰가?
풀이
- 닮음이면 세 변의 비율이 그대로 유지된다 — 크기만 다르고 모양(비율)은 같다.
- 그래서 sin θ 값은 둘 다 똑같다. 크기가 아니라 "각 θ"에만 값이 달려있다.
같다(둘 다 똑같은 값)
문제 10실생활 · 드론
지면에서 수평으로 50m 떨어진 곳에서 드론을 올려본각(고도각)이 30°였다. 드론의 높이는?
풀이
- tan 30° = 높이/밑변 = 높이/50 = √3/3
- 높이 = 50 × √3/3 = 50√3/3 (m)
드론 높이 = 50√3/3 m (약 28.9m)
🔑 눈높이를 무시한 간단 모형입니다. 실제로는 관측자 눈높이를 더해야 정확한 지면 높이가 됩니다.
제일 밑에 · 이 방법을 다른 학년·개념에 쓰는 비법
"빗대높 = 닮음이면 값 고정" 하나로 위 학년까지
중3에서 익힌 이 눈이, 학년이 올라가면 이름만 바뀌어 그대로 쓰입니다. 핵심은 언제나 "각이 같으면 비율도 같다".
① 중2 · 피타고라스 정리 — 세 변의 관계가 먼저
중2 2학기 피타고라스 정리
삼각비를 쓰려면 먼저 (밑변)²+(높이)²=(빗변)²이 성립해야 직각삼각형. 문제 4처럼 두 변만 알아도 피타고라스로 나머지 변을 구해야 삼각비를 마저 쓸 수 있어요.
② 고1 · 직선의 기울기 — tan θ = 기울기
고1 도형의 방정식
직선이 x축과 이루는 각을 θ라 하면 tan θ = (세로)/(가로) = 기울기. "오른팔·왼팔 법칙"(기울기 특강)에서 본 그 비율이 바로 tan θ였던 거예요. 각도 문제를 기울기로, 기울기 문제를 각도로 바꿔 풀 수 있습니다.
③ 고2 수학I · 일반각 삼각함수 — 예각을 넘어 모든 각으로
고2 수학I 삼각함수
지금까지는 0°~90° 예각만 다뤘죠. 고2에서는 단위원을 이용해 둔각·음수각·360° 넘는 각까지 sin, cos, tan을 확장합니다. 정의(빗대높)는 똑같고, 좌표축 부호만 새로 배웁니다.
④ 고2 · 사인법칙·코사인법칙 — 직각이 아니어도 된다
고2 수학I 삼각함수
지금까지 삼각비는 직각삼각형만 다뤘는데, 사인법칙·코사인법칙을 배우면 일반 삼각형(직각이 없어도)의 변·각을 구할 수 있게 됩니다. "빗대높"의 확장판이에요.
⑤ 물리(공학) — 힘의 분해, 경사면
중등 과학 · 고등 물리
경사면 위 물체에 작용하는 힘을 경사 방향 성분·수직 성분으로 나눌 때 sin θ, cos θ가 그대로 쓰입니다. 문제 8의 경사면 계산이 물리에서 "힘의 분해"라는 이름으로 다시 등장해요.
도전 · 이 비법만으로 위·아래 학년 문제 풀기
"각이 같으면 비율도 같다" 하나로, 초등 비례부터 고등 확장까지 풀린다!
도전 · 초등(직관)그림자 비례식
1m 막대의 그림자가 2m일 때, 같은 시각 나무의 그림자가 10m라면 나무의 높이는? (힌트: 삼각비를 몰라도 비례식으로 풀 수 있어요)
풀이 — 닮은 삼각형은 비율이 같다(삼각비의 뿌리)
- 막대와 나무는 같은 시각 같은 태양각이니 닮은 삼각형: 높이 : 그림자 = 1 : 2.
- 나무도 같은 비율이어야 하므로 x : 10 = 1 : 2 → x = 5.
나무 높이 = 5m
💡 이 "닮은 삼각형 비율"이 나중에 tan θ라는 이름을 갖게 됩니다.
도전 · 중2피타고라스 정리
직각삼각형의 밑변이 5, 빗변이 13일 때, 높이를 구하라.
풀이
- (밑변)²+(높이)²=(빗변)² → 5²+높이²=13²
- 높이² = 169-25=144 → 높이=12
높이 = 12 (5-12-13 삼각형)
도전 · 고1기울기 = tan θ
직선이 x축과 이루는 예각이 45°일 때, 이 직선의 기울기는?
풀이
- 기울기 = tan θ = tan 45° = 1
기울기 = 1
도전 · 고등사인법칙 맛보기
삼각형 ABC에서 각 A=30°, 대변 a=5일 때, 외접원의 지름 2R = a/sin A를 구하라.
풀이 — 직각삼각형 밖으로 확장된 sin
- 2R = a/sin A = 5/sin30° = 5/(1/2) = 10
2R = 10
💡 직각삼각형이 없어도 sin이 그대로 쓰입니다 — 이게 사인법칙.
※ 이 자료의 예제·그래프는 장대경 선생님 방법을 수학적으로 정확한 값으로 재구성·검산한 교육 자료입니다. 모든 좌표·계산은 직접 검산했습니다.