YEON MATH · 행복수학

이등변삼각형의 성질 실전 완전정복
— 두 밑각은 같다 · 연습 10제

두 밑각 · 꼭지각의 이등분선 · 수직이등분 · 거꾸로 성질 · 외각 · 넓이로 길이 구하기 · 장대경 선생님의 특강

연플래닝 ACADEMY

먼저 · 이등변삼각형 문제를 푸는 무기 여섯 가지

1
이등변삼각형의 정의 — 두 변의 길이가 같은 삼각형. 두 변이 만나는 각이 꼭지각, 마주 보는 변이 밑변, 밑변의 양 끝 각이 밑각.
2
두 밑각은 같다 — AB = AC ⇒ ∠B = ∠C. 꼭지각의 이등분선을 그으면 SAS 합동에서 바로 나온다.
3
꼭지각의 이등분선 = 밑변의 수직이등분선 — 같은 합동에서 BD = DC 이고 AD ⊥ BC. 이등분선·수직이등분선·높이가 모두 같은 하나의 선이다.
4
거꾸로도 성립한다 — ∠B = ∠C ⇒ AB = AC. 이번 합동은 ASA. 각을 물어 놓고 길이를 구하게 하는 문제가 여기서 나온다.
5
외각을 함께 쓴다 — 삼각형의 한 외각은 이웃하지 않은 두 내각의 합. 각을 이등분하면 새 이등변삼각형이 태어나고, 그 안에서 같은 길이가 줄줄이 나온다.
6
길이를 물으면 넓이를 쓴다 — 밑변 위의 점에서 두 변에 수선을 내렸을 때, 두 밑변이 같으므로 넓이 식에서 길이의 합이 한 번에 나온다.
꼭지각밑각밑각밑변ABC

이 개념, 학년마다 이렇게

🐣 초등 (직관)
"반으로 접으면 딱 포개지는 삼각형" — 접은 자국이 곧 꼭지각의 이등분선이고 밑변의 수직이등분선이다.
📐 중2 (핵심)
두 밑각이 같다, 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다, 거꾸로 두 각이 같으면 두 변도 같다.
🎓 고등 (확장)
"두 점에서 같은 거리"= 수직이등분선, 좌표평면에서 이등변삼각형, 삼각비·황금비(36°–72°–72°).

🐣 저학년 직관 — "반으로 접으면 딱 포개질까?"

종이에 삼각형을 그려 오리고, 반으로 접어 보세요. 두 변의 길이가 같은 삼각형은 딱 포개집니다. 그때 생긴 접은 자국이 바로 꼭지각을 반으로 나눈 선이에요.

포개졌다는 것은 양쪽 각도 똑같다는 뜻이라, 아래쪽 두 각(밑각)이 같아집니다. 그리고 접은 자국은 밑변을 정확히 반으로 나누면서 직각으로 만나요.

답: 두 변이 같은 삼각형은 접으면 포개진다 → 두 밑각이 같다

연습 10제 · 그림 해설

문제 1두 밑각 · 기본
AB = AC인 이등변삼각형 ABC에서 ∠A = 44°일 때, ∠B의 크기를 구하라.

풀이 — 빼고, 반으로 나눈다

  1. AB = AC 이므로 두 밑각은 같다: ∠B = ∠C.
  2. 세 각의 합은 180°: ∠B + ∠C = 180° − 44° = 136°.
  3. ∠B = 136° ÷ 2 = 68°.
68°
문제 2두 밑각 · 거꾸로 · 기본
AB = AC인 이등변삼각형 ABC에서 ∠C = 57°일 때, 꼭지각 ∠A의 크기를 구하라.

풀이 — 밑각 하나를 알면 다른 하나도 안다

  1. ∠B = ∠C = 57°.
  2. ∠A = 180° − 57° − 57° = 66°.
66°
문제 3수직이등분 · 기본
AB = AC = 13cm, BC = 10cm인 이등변삼각형 ABC에서 꼭지각 A의 이등분선이 BC와 만나는 점을 D라 하자. BD의 길이와 ∠ADB의 크기를 구하라.

풀이 — 이등분선이 곧 수직이등분선

  1. △ABD와 △ACD에서 AB = AC, ∠BAD = ∠CAD, AD 공통 → SAS 합동.
  2. 합동이므로 BD = DC = 10 ÷ 2 = 5cm.
  3. 또 ∠ADB = ∠ADC 이고 두 각의 합이 180° 이므로 ∠ADB = 180° ÷ 2 = 90°.
BD = 5cm, ∠ADB = 90°
※ 여기에 피타고라스 정리를 쓰면 높이 AD = √(13² − 5²) = √144 = 12cm 까지 나온다(도전 문제에서 다시 만난다).
문제 4외각 + 이등분선 · 진가
AB = AC인 이등변삼각형 ABC에서 ∠A = 48°이고, ∠B의 이등분선이 변 AC와 만나는 점을 D라 하자. ∠ADB의 크기를 구하라.

풀이 — 밑각을 구하고, 반으로 나누고, 외각을 쓴다

48°?ABCD
  1. 밑각 ∠B = ∠C = (180° − 48°) ÷ 2 = 66°.
  2. ∠B의 이등분선이므로 ∠DBC = 66° ÷ 2 = 33°.
  3. ∠ADB는 △DBC의 외각: ∠ADB = ∠DBC + ∠C = 33° + 66° = 99°.
  4. 검산 — △ABD에서 180° − 48° − 33° = 99° ✓
∠ADB = 99°
문제 5거꾸로 성질 · 기본
△ABC에서 ∠B = ∠C = 52°이고 AB = 9cm일 때, AC의 길이와 ∠A의 크기를 구하라.

풀이 — 두 각이 같으면 두 변도 같다

  1. ∠A의 이등분선을 그으면 △ABD ≡ △ACD (ASA 합동) → AB = AC.
  2. 따라서 AC = 9cm.
  3. ∠A = 180° − 52° − 52° = 76°.
AC = 9cm, ∠A = 76°
문제 6외각 → 거꾸로 성질 → 길이 · 진가
△ABC에서 ∠A = 40°이고 꼭짓점 C에서의 외각의 크기가 80°이다. BC = 7cm일 때 AC의 길이를 구하라.

풀이 — 각을 물어 놓고 길이를 구하게 하는 문제

  1. 외각은 이웃하지 않은 두 내각의 합: 80° = ∠A + ∠B → ∠B = 80° − 40° = 40°.
  2. ∠A = ∠B = 40° → △ABC는 이등변삼각형.
  3. 같은 두 각과 마주 보는 변이 같다. ∠A와 마주 보는 변은 BC, ∠B와 마주 보는 변은 AC 이므로 AC = BC = 7cm.
  4. 검산 — ∠C = 180° − 80° = 100°, 40 + 40 + 100 = 180 ✓
AC = 7cm
문제 7숨은 이등변삼각형 찾기 · 진가
AB = AC인 이등변삼각형 ABC에서 ∠A = 20°이고, 변 AC 위의 점 D에 대하여 BD = BC이다. ∠ABD의 크기를 구하라.

풀이 — 이등변삼각형이 하나 더 있다

  1. 큰 삼각형의 밑각: ∠ABC = ∠ACB = (180° − 20°) ÷ 2 = 80°.
  2. △DBC에서 BD = BC 이므로 이 두 변과 마주 보는 각이 같다: ∠BDC = ∠BCD = 80°.
  3. ∠DBC = 180° − 80° − 80° = 20°.
  4. ∠ABD = ∠ABC − ∠DBC = 80° − 20° = 60°.
  5. 검산 — △ABD에서 ∠ADB = 180° − 20° − 60° = 100°, 그리고 ∠ADB + ∠BDC = 100° + 80° = 180° ✓ (A, D, C가 한 직선 위)
∠ABD = 60°
문제 8길이를 물으면 넓이를 쓴다 · 진가
AB = AC = 15cm인 이등변삼각형 ABC의 넓이가 90cm²이다. 밑변 BC 위의 점 P에서 AB, AC에 내린 수선의 발을 각각 D, E라 할 때 PD + PE의 값을 구하라.

풀이 — AP로 잘라 넓이를 둘로 나눈다

ABCPDE
  1. △ABC = △ABP + △APC.
  2. △ABP = AB × PD ÷ 2 = 15 × PD ÷ 2, △APC = AC × PE ÷ 2 = 15 × PE ÷ 2.
  3. 두 밑변이 둘 다 15이므로 7.5 × (PD + PE) = 90.
  4. PD + PE = 90 ÷ 7.5 = 12cm.
PD + PE = 12cm
※ P를 밑변 위에서 어디로 옮겨도 합은 그대로 12cm다. 두 밑변이 같아서 한 덩이로 묶이기 때문.
문제 9종이띠 접기 · 평행선의 엇각 · 진가
폭이 일정한 종이띠를 그림과 같이 접었더니 ∠ABC = 62°가 되었다. ∠BAC와 ∠ACB의 크기를 각각 구하라.
62°ABCD종이띠 — 위아래 변이 서로 평행

풀이 — 접은 각은 같다 + 평행선의 엇각

  1. 접었으므로 ∠DAB = ∠BAC (접은 각은 원래 각과 같다).
  2. 띠의 위아래 변이 평행이므로 ∠DAB = ∠ABC (엇각).
  3. 따라서 ∠BAC = ∠ABC = 62°.
  4. ∠ACB = 180° − 62° − 62° = 56°.
∠BAC = 62°, ∠ACB = 56°
※ 두 각이 같으므로 △ABC는 CA = CB인 이등변삼각형이다.
문제 1030° 직각삼각형 · 진가
∠C = 90°, ∠B = 30°인 직각삼각형 ABC에서 AC = 5cm일 때, 빗변 AB의 길이를 구하라. (빗변 위에 DA = DC인 점 D를 잡아 설명하라.)

풀이 — 보조선 하나로 정삼각형과 이등변삼각형을 동시에 만든다

30°5cmABCD
  1. ∠A = 180° − 90° − 30° = 60°.
  2. △DAC는 DA = DC인 이등변삼각형이고 ∠A = 60° 이므로 ∠DCA = 60°, 따라서 ∠ADC = 60° → 정삼각형.
  3. 그러므로 AD = DC = AC = 5cm.
  4. ∠DCB = 90° − 60° = 30° = ∠B → △DBC도 이등변삼각형 → DB = DC = 5cm.
  5. AB = AD + DB = 5 + 5 = 10cm.
AB = 10cm
※ 여기서 "30°인 직각삼각형은 빗변이 짧은 변의 두 배"라는 사실이 나온다. 중3 삼각비의 sin 30° = ½이 바로 이것이다.

제일 밑에 · 이 방법을 다른 학년·개념에 쓰는 비법

"두 변이 같으면 두 각도 같다" 하나로 정삼각형·피타고라스·원·좌표까지

오늘 익힌 두 밑각이 같다 · 이등분선이 수직이등분선이다 · 거꾸로도 성립한다가, 학년이 올라가면 원의 성질·도형의 방정식·삼각비로 그대로 이어집니다.

① 중2 · 정삼각형은 이등변삼각형을 두 번 쓴 것
중2 · 삼각형의 성질
세 변이 같으면 어느 변을 밑변으로 봐도 이등변삼각형이에요. 그래서 세 각이 모두 같고, 한 각은 60°가 됩니다. 거꾸로 세 각이 같으면 세 변도 같아요.
② 중2 · 피타고라스 정리로 높이와 넓이
중2 · 피타고라스 정리
꼭지각의 이등분선이 밑변을 반으로 자르면서 직각이라, 직각삼각형이 두 개 생깁니다. 그러면 높이 = √(빗변² − 반쪽²)로 바로 나오고 넓이까지 이어집니다.
③ 중2·중3 · 원에서는 반지름 두 개가 언제나 이등변삼각형
중2 외심 / 중3 원의 성질
원의 중심에서 그은 반지름은 길이가 모두 같으니, 반지름 두 개와 현이 만드는 삼각형은 늘 이등변삼각형이에요. 삼각형의 외심 성질(90° 법칙·중심각 2배)이 전부 여기서 나옵니다.
④ 고1 · "두 점에서 같은 거리" = 수직이등분선
고1 · 도형의 방정식
A, B에서 같은 거리에 있는 점 P를 모으면 선분 AB의 수직이등분선이 됩니다. △PAB가 항상 이등변삼각형이기 때문이에요. 좌표에서는 PA² = PB² 한 줄로 풉니다.
⑤ 경시 · 36°–72°–72° 황금삼각형과 정오각형
기하 · 경시수학
꼭지각이 36°인 이등변삼각형에서 밑각을 이등분하면 같은 모양의 작은 이등변삼각형이 생겨요. 닮음비를 세우면 황금비 (√5 − 1) ÷ 2가 나오고, 이것이 정오각형의 뼈대입니다.

도전 · 이 비법만으로 위 학년 문제 풀기

"두 변이 같으면 두 각도 같다" 하나로 피타고라스·원·좌표·삼각비·황금비까지. 학년별 2문제씩!

도전 · 중2이등변삼각형 + 연장선
AB = AC인 이등변삼각형 ABC에서 ∠A = 100°이다. 변 CB의 B쪽 연장선 위에 BD = BA인 점 D를 잡을 때, ∠ADB의 크기를 구하라.

풀이 — 이등변삼각형이 두 개, 사이에 평각

  1. 큰 삼각형의 밑각: ∠ABC = ∠ACB = (180° − 100°) ÷ 2 = 40°.
  2. D, B, C가 한 직선 위에 있으므로 ∠ABD = 180° − 40° = 140°.
  3. △ABD에서 BA = BD → 두 밑각이 같다: ∠ADB = ∠DAB = (180° − 140°) ÷ 2 = 20°.
∠ADB = 20°
도전 · 중2피타고라스 + 넓이
AB = AC = 10cm, BC = 12cm인 이등변삼각형 ABC의 높이와 넓이를 구하라.

풀이 — 이등분선이 밑변을 반으로 자르며 직각을 만든다

10cm10cm12cmABCD
  1. 꼭지각의 이등분선 AD를 그으면 BD = DC = 6cm, AD ⊥ BC.
  2. 직각삼각형 ABD에서 AD = √(10² − 6²) = √(100 − 36) = √64 = 8cm.
  3. 넓이 = 12 × 8 ÷ 2 = 48cm².
높이 8cm, 넓이 48cm²
도전 · 중3원 · 반지름은 언제나 이등변
원 O 위의 두 점 A, B에 대하여 ∠AOB = 40°일 때, ∠OAB의 크기를 구하라.

풀이 — 반지름 두 개는 길이가 같다

  1. OA = OB (둘 다 반지름) → △OAB는 이등변삼각형.
  2. 두 밑각이 같으므로 ∠OAB = ∠OBA = (180° − 40°) ÷ 2 = 70°.
∠OAB = 70°
도전 · 중3삼각비 + 30° 직각삼각형
∠C = 90°, ∠B = 30°, AC = 5cm인 직각삼각형 ABC에서 BC의 길이를 구하라.

풀이 — 빗변을 먼저 구하고 피타고라스로 마무리

  1. 연습 10번에서 AB = 2 × AC = 10cm (30°인 직각삼각형).
  2. BC = √(10² − 5²) = √75 = 5√3 (cm).
  3. 검산(삼각비) — tan 30° = AC ÷ BC = 5 ÷ 5√3 = 1/√3 ✓, sin 30° = 5 ÷ 10 = ½ ✓
BC = 5√3 cm
도전 · 고1좌표평면 · 수직이등분선
두 점 A(1, 5), B(−3, 1)에서 같은 거리에 있는 x축 위의 점 P의 좌표를 구하라.

풀이 — PA = PB 이면 △PAB는 이등변삼각형

  1. x축 위의 점이므로 P(a, 0)으로 놓는다.
  2. PA² = (a − 1)² + 25, PB² = (a + 3)² + 1.
  3. (a − 1)² + 25 = (a + 3)² + 1 → −2a + 26 = 6a + 10 → 8a = 16 → a = 2.
  4. 검산 — PA² = 1 + 25 = 26, PB² = 25 + 1 = 26 ✓ (두 거리가 √26으로 같다)
P(2, 0)
도전 · 경시황금삼각형 36°–72°–72°
AB = AC이고 ∠A = 36°인 이등변삼각형 ABC에서 ∠B의 이등분선과 변 AC의 교점을 D라 하자. AB = 1일 때 BC의 길이를 구하라.

풀이 — 같은 모양의 작은 삼각형을 찾아 닮음비를 세운다

  1. 밑각 ∠B = ∠C = (180° − 36°) ÷ 2 = 72°, 이등분해서 ∠ABD = ∠DBC = 36°.
  2. △ABD에서 ∠A = ∠ABD = 36° → DA = DB. △DBC에서 ∠BDC = 180° − 36° − 72° = 72° = ∠C → BD = BC.
    따라서 AD = BD = BC. 이 길이를 x라 하자.
  3. △ABC와 △BCD는 세 각이 36°, 72°, 72°로 같으므로 닮음이다 (A↔B, B↔C, C↔D).
    AB : BC = BC : CD.
  4. AC = AB = 1 이고 CD = AC − AD = 1 − x 이므로
    1 : x = x : (1 − x) → x² = 1 − x → x² + x − 1 = 0.
  5. x = (−1 + √5) ÷ 2 (길이이므로 양수만) ≈ 0.618.
  6. 검산 — x² = (6 − 2√5) ÷ 4 = (3 − √5) ÷ 2, 1 − x = (3 − √5) ÷ 2 ✓ 같다.
BC = (√5 − 1) ÷ 2 (황금비)
※ 이 (√5 − 1) ÷ 2가 황금비이고, 이 36°–72°–72° 삼각형이 정오각형의 뼈대다.
※ 이 자료의 연습문제는 장대경 선생님 방법으로 새로 만들고 값을 직접 전수 검산한 교육 자료입니다(원본 강의와 숫자·예제가 다를 수 있음).
← 장대경 선생님의 특강 칼럼으로