먼저 · 조합의 세 정신 + 네 무기
精
세 정신 — ① 뽑고 나서 세운다(선택·배열 분리) · ② 구조를 먼저 잡는다(낱개 말고 덩어리) · ③ 중복은 나누고 자리엔 배분(같은 건 ÷, 다른 자리엔 ×).
①
구조 먼저 짝·쌍·묶음을 통째로 먼저 잡고, 낱개는 나중에.
②
뽑고 세우기 조합으로 뽑기를 끝낸 뒤 순열로 세운다. 이웃 금지 = 상대를 먼저 세우고 빈자리에.
③
격자 2방향 평행선·좌표는 방향 2개씩, 각 방향 2줄씩 C₂×C₂ 하고 더한다.
④
÷대칭 ×배분 같은 크기 조는 ÷(개수!)로 중복 제거, 다른 자리엔 ×(자리!)로 배분.
이 무기, 학년마다 이렇게 써요
🧒 저학년 · 초등
경우의 수 = 가지를 쳐서 세어보기. 나뭇가지·표로 눈으로 센다.
📐 이 강의 · 고1
네 무기로 조합 실전 문제를 정확히. 함정(중복·배분)까지.
🎓 연결 · 중2~고2
곱셈공식·경우의 수·기울기·같은것 순열·이항정리가 전부 이 무기.
→ 뿌리는 하나: ‘분리하고, 덩어리로, 중복은 나눈다’. 아래에서 초등 세어보기부터 고2 이항까지 한 번에.
연습 8제 · 그림 해설
문제 1무기① 구조 먼저
8쌍의 부부(16명)에서 4명을 뽑는데, 딱 한 쌍만 부부가 되게 하는 경우의 수는?
풀이 — 쌍을 통째로, 낱개는 나중
- 부부될 1쌍 먼저: ₈C₁ = 8
- 남은 7쌍 중 낱개로 데려올 2쌍: ₇C₂ = 21
- 그 2쌍에서 각각 한 명씩: 2² = 4
- 8 × 21 × 4 = 672
672
⚠️ "남은 14명서 그냥 2명"으로 세면 그 안에서 또 부부가 생겨 조건이 깨져요. 쌍을 먼저 고르고 낱개는 나중이 안전.
문제 2무기① 변형
5켤레(10짝)의 장갑에서 4짝을 뽑는데, 딱 한 켤레만 짝이 맞게 하는 경우의 수는?
풀이 — 문제 1과 똑같은 손놀림
- 짝 맞을 1켤레: ₅C₁ = 5 × 남은 4켤레서 2켤레: ₄C₂ = 6 × 각 켤레서 한 짝: 2² = 4
- 5 × 6 × 4 = 120
120
🔑 부부든 장갑이든 양말이든 ‘짝’ 구조는 다 같은 무기. 숫자만 바뀔 뿐.
문제 3무기② 뽑고 세우기
가수 6명·댄서 5명에서 가수 3명·댄서 2명을 뽑아 한 줄로 세우는데, 댄서끼리 이웃하면 안 될 때의 경우의 수는?
풀이 — 뽑기 끝내고, 상대를 먼저 세운다
- 뽑기: ₆C₃ × ₅C₂ = 20 × 10 = 200
- 세우기: 가수 3명 일렬 3! = 6 → 가수 사이·양끝 빈자리 4곳
- 그 4곳 중 2곳에 댄서 2명 순서대로: ₄P₂ = 12 → 세우기 6 × 12 = 72
- 200 × 72 = 14,400
14,400
⚠️ 이웃 금지는 붙으면 안 되는 쪽(댄서)을 나중에 빈자리에. 빈자리는 서로 다른 자리라 ₄C₂ 아니라 ₄P₂(순서).
문제 4무기② 변형
남학생 5명·여학생 3명에서 남 3·여 2를 뽑아 한 줄로, 여학생끼리 이웃하지 않게 세우는 경우의 수는?
풀이
- 뽑기 ₅C₃ × ₃C₂ = 10 × 3 = 30
- 세우기 3! × ₄P₂ = 6 × 12 = 72 (남 먼저 세워 빈자리 4곳)
- 30 × 72 = 2,160
2,160
문제 5무기③ 격자
서로 다른 세 방향의 평행선 — 빨강 5줄, 파랑 4줄, 초록 3줄. 이들로 만들어지는 평행사변형의 개수는?
풀이 — 방향 2개씩, 각 방향 2줄씩
- 빨·파: ₅C₂ × ₄C₂ = 10 × 6 = 60
- 파·초: ₄C₂ × ₃C₂ = 6 × 3 = 18
- 빨·초: ₅C₂ × ₃C₂ = 10 × 3 = 30
- 60 + 18 + 30 = 108
108
🔑 평행사변형 = 두 쌍의 평행선. 방향을 2개 고르고 각 방향서 2줄씩 C₂.
문제 6무기③ 변형 — 모눈
가로선 4줄, 세로선 5줄인 모눈에서 만들어지는 직사각형의 개수는?
풀이 — 두 방향(가로·세로) 2줄씩
- ₄C₂ × ₅C₂ = 6 × 10 = 60
60
💡 모눈(중1 좌표평면) 직사각형도 평행사변형과 완전히 같은 무기 — 격자는 다 ‘선 2줄씩’.
문제 7무기④ ÷대칭 ×배분
8명의 학생을 (3, 3, 2)명의 세 조로 나눈다. (가) 조 이름이 없을 때 / (나) 나눈 세 조를 서로 다른 3개 방(A·B·C)에 배정할 때의 경우의 수는?
풀이 — 나누기(÷대칭) 그리고 배분(×자리)
- 순서대로 뽑기: ₈C₃ × ₅C₃ × ₂C₂ = 56 × 10 × 1 = 560
- 같은 크기 조(3·3) 중복 → ÷ 2! : 560 ÷ 2 = 280 → (가) 280
- 다른 방 배정 → × 3! : 280 × 6 = 1,680 → (나) 1,680
(가) 280 · (나) 1,680
⚠️ 두 함정 — ① 같은 크기 조 있을 때 ÷(개수!) 잊기, ② 나누기만 하고 배분 ×(자리!) 빼먹기.
문제 8무기 판별
"7명을 3명·2명·2명 세 조로 나누는 경우의 수"는 어느 무기이고, 답은?
풀이 — 무기④, 같은 크기 조(2·2) ÷2!
- ₇C₃ × ₄C₂ × ₂C₂ = 35 × 6 × 1 = 210
- 같은 크기 2·2조 → 210 ÷ 2! = 105
무기④ · 105
🔑 새 문제를 만나면 ‘세 정신 중 뭐지?’부터. 나누기가 보이면 ÷대칭을 의심.
저학년(초등)도 — 그냥 세어보면 돼
공식 없이도 OK. 가지를 쳐서 세어보는 것이 조합의 씨앗이에요.
초등 · 놀이나뭇가지
티셔츠 2가지(빨강·파랑), 바지 2가지(청바지·반바지). 입을 수 있는 옷차림은 모두 몇 가지?
풀이
- 빨강티에 청·반 두 갈래, 파랑티에 청·반 두 갈래 → 가지를 세면 2 × 2 = 4가지.
4가지
💡 이 ‘단계마다 곱하기’가 커서 무기② 뽑고 세우기가 돼요.
초등 · 놀이짝 세기
친구 4명(가·나·다·라) 중 2명을 뽑아 짝을 만든다. 짝은 모두 몇 가지? (가나 = 나가, 순서 없음)
풀이 — 겹치지 않게 세기
- 가나·가다·가라·나다·나라·다라 → 6가지. (이게 ₄C₂ = 6, 조합의 시작!)
6가지
제일 밑에 · 이 무기를 다른 학년에 쓰는 비법
“무기 넷, 뿌리 셋”은 학년이 올라가도 그대로다
조합에서 익힌 세 정신 — 분리하고 · 덩어리로 · 중복은 나눈다 — 은 이름만 바뀌어 위·아래 학년에서 그대로 쓰입니다.
① 무기① 구조 먼저 = 중3 곱셈공식(우리 2편 식의 구조)
낱개 x, y를 안 구하고 덩어리 (x+y)·xy로. x+y=5, xy=6이면 x²+y²=(x+y)²−2xy=13. 짝을 통째로 다루는 눈과 똑같아요.
② 무기② 뽑고 세우기 = 중2 경우의 수(곱의 법칙)
단계로 쪼개 각 단계를 곱. 티셔츠 3·바지 4·모자 2 = 3×4×2=24. 뽑기와 세우기를 ‘단계’로 곱하는 것과 같은 뼈대.
③ 무기③ 격자 = 중1 좌표 모눈 · 우리 3편 기울기
기울기의 가로·세로 칸 세기, 모눈 직사각형 세기 — 전부 선 2줄씩 뽑기. 격자는 다 같은 무기예요.
④ 무기④ ÷대칭 = 중3 같은 것이 있는 순열
BANANA 배열 = 6! ÷ (3!·2!) = 60. 같은 글자를 나눠주는 것과, 같은 크기 조를 ÷하는 게 똑같은 손놀림. → 고2 이항계수 ₙCᵣ도 결국 ‘같은 것 나눠주기’.
도전 · 이 무기로 다른 학년 문제 풀기
도전 · 중3식의 구조
x+y=5, xy=6 일 때 x³+y³ 의 값은? (덩어리로!)
풀이 — 구조 먼저
- x³+y³ = (x+y)³ − 3xy(x+y) = 125 − 3·6·5 = 125 − 90 = 35
35
도전 · 중1좌표 모눈
가로선 3줄·세로선 4줄 모눈에서 만들 수 있는 직사각형의 개수는?
풀이 — 무기③
- ₃C₂ × ₄C₂ = 3 × 6 = 18
18
도전 · 고2이항정리
(a+b)⁴ 를 전개할 때 a²b² 의 계수는?
풀이 — 계수 = 조합
- 4개의 괄호 중 b가 나올 2개를 고르는 것 = ₄C₂ = 6.
6
💡 이항정리 계수가 전부 ₙCᵣ — 오늘 무기가 고2까지 그대로.
※ 이 자료의 문제·수치는 장대경 선생님 강의의 방법(4대 무기)을 살려 정확한 값으로 재구성·전수 검산한 교육 자료입니다. 모든 답을 손으로 검산하고 교차검증했으며, 원본 영상의 수치와는 다를 수 있습니다.