YEON MATH · 행복수학

반비례 실전 완전정복
— 곡선이다, x가 분모에 있다 · 연습 10제

반비례 판별 · 점 하나로 a 구하기 · 오른팔/왼팔 · 그래프 성질 · 실생활 응용 · 장대경 선생님의 특강

연플래닝 ACADEMY

먼저 · 반비례, 절대 안 틀리는 규칙 여섯 가지

1
반비례는 곡선이다 — 직선이면 정비례, 곡선이면 반비례. 서로 떨어진 곡선 두 개로 그려진다.
2
x가 분모에 있다 — y = ax 꼴. 분모에 x가 없으면 반비례가 아니다.
3
곱하면 항상 a — 양변에 x를 곱하면 x × y = a. 그래서 점 하나만 있으면 x좌표 × y좌표가 곧 a다.
4
오른팔 / 왼팔 — a > 0이면 오른팔(제1·3사분면), a < 0이면 왼팔(제2·4사분면).
5
원점을 지나지 않는다 — x=0을 넣을 수 없으므로 좌표축과 절대 만나지 않는다.
6
|a|가 작을수록 원점에 가깝다 — a가 클수록 곡선이 원점에서 멀어진다.
a > 0
🙋 오른팔 · 제1·3사분면
a < 0
🙋 왼팔 · 제2·4사분면

이 개념, 학년마다 이렇게

🐣 초등 (직관)
"사탕 24개를 여러 명이 똑같이 나눠 먹기" — 사람이 늘면 몫이 줄고, 곱하면 늘 같은 수.
📐 중1 (핵심)
y = a/x 판별, 점 대입으로 a 구하기, 오른팔·왼팔, 그래프 성질, 실생활 관계식.
🎓 고등 (확장)
유리함수 y = k/(x−p)+q 의 평행이동·점근선, 산술기하평균 x + a/x 의 최솟값.

🐣 저학년 직관 — "사탕 24개, 몇 개씩 먹을까?"

사탕 24개를 친구들과 똑같이 나눠 먹어요. 2명이면 12개씩, 3명이면 8개씩, 4명이면 6개씩, 6명이면 4개씩. 사람이 늘어나면 내 몫은 줄어들죠. 그런데 사람 수 × 한 사람 몫을 해 보면 언제나 24예요. 이렇게 곱한 값이 늘 같은 것이 반비례랍니다.

사람 수 x23468
한 사람 몫 y128643
x × y2424242424
y = 24 ÷ x — 곱하면 언제나 24

연습 10제 · 그림 해설

문제 1반비례 판별 · 기본
다음 중 y가 x에 반비례하는 것을 모두 고르시오.
① y = 5x    ② y = 6x    ③ y = x4    ④ xy = 12    ⑤ y = x + 3

풀이 — x가 분모에 있는가, 곱해서 일정한가

  1. ① y = 5x → x가 분자에. 정비례다.
  2. ② y = 6/x → x가 분모에. 반비례 ✓ (xy = 6)
  3. ③ y = x/4 = (1/4)x → 분모는 4이지 x가 아니다. 정비례다. (자주 속는 함정!)
  4. ④ xy = 12 → y = 12/x → 반비례 ✓
  5. ⑤ y = x + 3 → 더해서 일정. 반비례가 아니다.
②, ④
문제 2점 대입으로 a 구하기
y가 x에 반비례하고, x = 4일 때 y = −9이다. y를 x의 식으로 나타내고, x = 6일 때 y의 값을 구하라.

풀이 — a는 그냥 x와 y를 곱한 값

  1. a = 4 × (−9) = −36 → y = −36/x.
  2. x = 6을 넣으면 y = −36 ÷ 6 = −6.
  3. 검산: 6 × (−6) = −36 ✓ 처음 곱한 값과 같다.
y = −36/x,   y = −6
문제 3그래프 위의 점
y = ax의 그래프가 점 (−5, 8)을 지난다. a의 값을 구하고, 이 그래프가 점 (10, k)도 지날 때 k의 값을 구하라.

풀이 — 그래프 위의 점은 모두 곱하면 a

  1. a = (−5) × 8 = −40 → y = −40/x.
  2. 같은 그래프이므로 10 × k = −40 → k = −4.
a = −40,   k = −4
문제 4두 점 · 진가
y가 x에 반비례하고, 그 그래프가 두 점 (3, 8)과 (b, −6)을 지날 때 b의 값을 구하라.

풀이 — 두 점의 (x × y)가 같아야 한다

  1. 첫 점에서 a = 3 × 8 = 24.
  2. 둘째 점도 같은 그래프 위이므로 b × (−6) = 24 → b = −4.
  3. 검산: (−4) × (−6) = 24 ✓
b = −4
문제 5실생활 · 넓이
넓이가 48 cm²인 직사각형의 가로를 x cm, 세로를 y cm라 할 때 x와 y 사이의 관계식을 구하고, 가로가 16 cm일 때 세로를 구하라.
가로 x 세로 y 넓이 48

풀이 — 직사각형 넓이 = 가로 × 세로

  1. x × y = 48 → y = 48/x. 곱해서 일정하므로 반비례.
  2. x = 16이면 y = 48 ÷ 16 = 3.
y = 48/x,   세로는 3 cm
문제 6실생활 · 속력
240 km 떨어진 곳까지 시속 x km로 가면 y시간이 걸린다. 관계식을 구하고, 4시간 만에 도착하려면 시속 몇 km로 가야 하는지 구하라.

풀이 — 시간 = 거리 ÷ 속력

  1. 거리 = 속력 × 시간이므로 x × y = 240 → y = 240/x.
  2. y = 4를 넣으면 4 = 240/x → x = 240 ÷ 4 = 60.
  3. 검산: 시속 60 km로 4시간이면 60 × 4 = 240 km ✓
y = 240/x,   시속 60 km
문제 7반비례가 아닌 것 · 진가
다음 중 y가 x에 반비례하지 않는 것을 고르시오.
① 넓이가 20 cm²인 삼각형의 밑변 x cm, 높이 y cm
② 한 개에 1000원인 물건을 x개 살 때 낸 돈 y원
③ 60 L 물탱크를 매분 x L씩 채울 때 걸리는 시간 y분
④ 사탕 36개를 x명에게 똑같이 나눌 때 한 명이 받는 개수 y개

풀이 — 곱해서 일정한지 하나씩 확인

  1. ① x × y × 1/2 = 20 → xy = 40 → 반비례 ✓
  2. ② y = 1000x → x가 분자에. 정비례이므로 반비례가 아니다.
  3. ③ x × y = 60 → 반비례 ✓
  4. ④ x × y = 36 → 반비례 ✓
②
문제 8그래프의 성질 · 진가
y = −8x의 그래프에 대한 설명 중 옳은 것을 모두 고르시오.
① 원점을 지난다
② 제2사분면과 제4사분면을 지난다
③ 점 (2, −4)를 지난다
④ x > 0인 부분에서 x의 값이 커지면 y의 값도 커진다
⑤ 좌표축과 만나지 않는다

풀이 — 값을 직접 넣어 확인한다

(2, −4)
  1. ① x = 0을 넣을 수 없으므로 원점을 지나지 않는다 → 거짓.
  2. ② a = −8 < 0 → 왼팔 → 제2·4사분면 → 참.
  3. ③ −8 ÷ 2 = −4 → 참. (또는 2 × (−4) = −8 = a)
  4. ④ x = 1, 2, 4를 넣으면 y = −8, −4, −2. −8 → −4 → −2로 커진다 → 참.
  5. ⑤ 그래프가 x축·y축에 한없이 가까워지지만 닿지는 않는다 → 참.
②, ③, ④, ⑤
문제 9a의 절댓값 비교 · 진가
네 그래프 y = 1x, y = −6x, y = 3x, y = −2x 에 대하여 (가) 원점에서 가장 먼 것과, (나) 제2·4사분면을 지나는 것을 모두 구하라.

풀이 — 멀고 가까움은 |a|, 사분면은 a의 부호

  1. |a| 를 나열하면 1, 6, 3, 2. 가장 큰 것은 |−6| = 6 → 원점에서 가장 멀다.
  2. 제2·4사분면은 a < 0일 때(왼팔) → −6/x, −2/x.
  3. 참고로 원점에 가장 가까운 것은 |a|가 가장 작은 y = 1/x이다.
(가) y = −6/x  ·  (나) y = −6/x, y = −2/x
문제 10넓이 응용 · 진가
y = 12x (단, x > 0)의 그래프 위의 한 점 P에서 x축과 y축에 각각 수선을 내려 직사각형을 만들었다. 이 직사각형의 넓이를 구하고, P를 그래프 위에서 다른 곳으로 옮기면 넓이가 어떻게 되는지 설명하라.
P 넓이 = xy

풀이 — 직사각형의 두 변이 곧 x좌표와 y좌표다

  1. P의 좌표를 (p, 12/p)라 하자 (p > 0).
  2. 가로는 p, 세로는 12/p이므로 넓이는 p × 12/p = 12.
  3. p가 약분되어 사라졌다 → P를 어디로 옮겨도 넓이는 언제나 12로 변하지 않는다.
  4. 확인: P(2, 6) → 2×6=12, P(4, 3) → 4×3=12, P(6, 2) → 6×2=12 ✓
넓이는 항상 12 (점의 위치와 무관 — 그 값이 곧 a)

제일 밑에 · 이 방법을 다른 학년·개념에 쓰는 비법

"곱해서 일정하다(xy = a)" 하나로 유리함수·과학 법칙까지

오늘 익힌 "x와 y를 곱하면 늘 같은 수" 하나가, 학년이 올라가면 유리함수의 점근선·최솟값·과학의 보일 법칙으로 그대로 이어집니다.

① 중2 · 일차함수와 헷갈리지 않기
중2 · 일차함수
일차함수는 y = ax + b로 x의 차수가 1이어야 해요. y = a/x는 x가 분모에 있으니 일차함수가 아닙니다. "직선이냐 곡선이냐"로 바로 갈라져요.
② 중2·중3 · 톱니바퀴와 일의 양
중2 · 일차함수의 활용
맞물린 두 톱니바퀴에서 (톱니 수) × (회전수)는 늘 같습니다. 일을 여러 명이 나눠 할 때도 (사람 수) × (걸리는 시간)이 일정하죠 — 전부 같은 반비례예요.
③ 고1 · 유리함수의 평행이동과 점근선
고1 · 유리함수
y = k/x를 x축으로 p, y축으로 q만큼 옮기면 y = k/(x−p) + q가 되고, 점근선은 x = p, y = q가 돼요. 중1의 반비례가 그대로 좌표만 옮겨간 거예요.
④ 고1 · 산술평균과 기하평균
고1 · 부등식의 활용
x > 0일 때 x + a/x ≥ 2√a이고, 등호는 x = a/x, 즉 x = √a일 때 성립해요. 반비례하는 두 양을 더할 때 언제 가장 작아지는지를 알려 줍니다.
⑤ 과학 · 보일의 법칙과 옴의 법칙
중등 과학 · 고등 물리
일정한 온도에서 기체의 압력 × 부피 = 일정(PV = k) — 압력이 두 배면 부피는 반. 전압이 일정할 때 전류 = 전압 ÷ 저항도 저항에 반비례해요.

도전 · 이 비법만으로 위 학년 문제 풀기

"곱해서 일정하다(xy = a)" 하나로 유리함수·최솟값·정수해까지. 학년별 2문제씩!

도전 · 중2일차함수와 구분
y = 3x는 일차함수인가? 그렇게 판단한 이유를 쓰라.

풀이

  1. 일차함수는 y = ax + b (a ≠ 0) 꼴, 즉 x의 차수가 1이어야 한다.
  2. y = 3/x는 x가 분모에 있어 이 꼴로 고칠 수 없다. 그래프도 직선이 아니라 곡선이다.
일차함수가 아니다 (x가 분모에 있어 y = ax+b 꼴이 아님)
도전 · 중2톱니바퀴
톱니가 30개인 톱니바퀴 A가 4바퀴 도는 동안, 맞물린 톱니바퀴 B는 y바퀴 돈다. B의 톱니 수를 x개라 할 때 관계식을 구하고, B의 톱니가 24개일 때 몇 바퀴 도는지 구하라.

풀이 — 맞물린 톱니 수는 서로 같다

  1. A가 지나간 톱니 수 = 30 × 4 = 120개.
  2. B도 같은 수만큼 맞물리므로 x × y = 120 → y = 120/x.
  3. x = 24이면 y = 120 ÷ 24 = 5.
  4. 검산: 24 × 5 = 120 ✓
y = 120/x,   5바퀴
도전 · 고1유리함수 · 평행이동
y = 12x의 그래프를 x축 방향으로 2, y축 방향으로 3만큼 평행이동한 그래프의 식과 두 점근선의 방정식을 구하라.

풀이 — x 대신 (x−2), y 대신 (y−3)

  1. y − 3 = 12/(x − 2) → y = 12/(x − 2) + 3.
  2. 원래 점근선 x = 0, y = 0이 그대로 2, 3만큼 옮겨간다.
  3. 확인: x = 5를 넣으면 12/3 + 3 = 7. 원래 그래프의 (3, 4)가 (5, 7)로 옮겨간 것 ✓
y = 12/(x−2) + 3,   점근선 x = 2, y = 3
도전 · 고1유리식 변형 · 점근선
y = 3x + 7x + 2를 y = kx − p + q 꼴로 고치고, 두 점근선의 방정식을 구하라.

풀이 — 분자를 분모의 배수 + 나머지로 가른다

  1. 3x + 7 = 3(x + 2) + 1.
  2. 따라서 y = [3(x+2) + 1] / (x+2) = 3 + 1/(x+2), 즉 y = 1/(x+2) + 3.
  3. 점근선은 x = −2, y = 3.
  4. 검산: x = 0일 때 원식은 7/2 = 3.5, 고친 식은 1/2 + 3 = 3.5 ✓
y = 1/(x+2) + 3,   점근선 x = −2, y = 3
도전 · 고1산술기하평균 · 최솟값
x > 0일 때 x + 4x의 최솟값과, 그때의 x의 값을 구하라.

풀이 — 두 양수의 곱이 일정하면 합은 둘이 같을 때 가장 작다

  1. 두 수 x와 4/x는 곱이 x × 4/x = 4로 일정하다(반비례!).
  2. 산술평균 ≥ 기하평균에 의해 x + 4/x ≥ 2√(x · 4/x) = 2√4 = 4.
  3. 등호는 x = 4/x, 즉 x² = 4, x > 0이므로 x = 2일 때.
  4. 검산: x = 2 → 2 + 2 = 4. x = 1 → 1 + 4 = 5, x = 4 → 4 + 1 = 5 ✓ 둘 다 4보다 크다.
최솟값 4 (x = 2일 때)
도전 · 경시격자점 · 정수해
y = 6x의 그래프 위의 점 중 x좌표와 y좌표가 모두 정수인 점은 몇 개인가?

풀이 — xy = 6이므로 x는 6의 약수여야 한다

  1. xy = 6에서 x, y가 모두 정수이려면 x는 6의 약수(음수 포함)여야 한다.
  2. x가 될 수 있는 값: ±1, ±2, ±3, ±6 — 모두 8개.
  3. 각각의 점: (1,6) (2,3) (3,2) (6,1) (−1,−6) (−2,−3) (−3,−2) (−6,−1).
  4. 부호가 다르면 곱이 음수가 되어 6이 될 수 없으므로 (−1, 6) 같은 점은 없다.
8개
※ 이 자료의 예제는 장대경 선생님 방법을 수학적으로 정확한 값으로 재구성·검산한 교육 자료입니다. 모든 계산은 직접 검산했습니다(원본 강의와 숫자·예제가 다를 수 있음).
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