먼저 · 기본도형, 정확히 세는 규칙 여섯 가지
1
교점·교선 — 입체도형에서 꼭짓점(교점)과 모서리(교선)를 하나씩 짚어가며 센다.
2
직선·반직선 — 직선은 방향 상관없이 1개, 반직선은 시작점이 다르면 다른 것이라 직선의 2배.
3
중점 — 중점은 양쪽을 똑같이 반으로 나눈다. 중점이 이어지면 비율도 그대로 이어진다.
4
평각·직각 방정식 — 일직선은 180°, 직각은 90°. 여러 각을 더해서 방정식을 세운다.
5
맞꼭지각 — 두 직선이 만날 때 마주 보는 각은 항상 서로 같다(평행선과는 무관!).
6
점과 직선 사이의 거리 — 수직으로 내린 선(수선의 발)까지의 거리가 진짜 거리, 삐딱한 선은 아니다.
이 개념, 학년마다 이렇게
🐣 초등 (직관)
"뿔 모형을 손으로 짚어가며 뾰족한 점과 모서리 선을 하나씩 센다"를 그림으로 체험한다.
📐 중1 (핵심)
교점·교선, 직선·반직선, 중점, 평각·직각 방정식, 맞꼭지각, 점과 직선 사이의 거리.
🎓 고등 (확장)
경우의 수·순열의 "체계적으로 세기", 오일러 공식(V−E+F=2), 그래프 이론의 정점·간선.
🐣 저학년 직관 — "뿔 모형, 손으로 짚어가며 세기"
삼각뿔 모형을 손에 쥐고 뾰족한 점(꼭짓점)을 하나씩 짚어보면 4개예요. 이번엔 모서리 선을 손가락으로 따라가며 세면 6개예요. 눈으로 대충 보면 헷갈리지만, 손으로 짚으면서 세면 절대 안 틀려요.
연습 10제 · 그림 해설
문제 1교점·교선 · 기본
삼각기둥에서 교점(꼭짓점)과 교선(모서리)은 각각 몇 개인가?
풀이 — 기둥은 밑면 개수의 2배(교점), 3배(교선)
- 교점: 밑면 3개 + 윗면 3개 = 6개.
- 교선: 밑면 3 + 윗면 3 + 옆 기둥선 3 = 9개.
교점 6개, 교선 9개
문제 2교점·교선 · 진가
육각뿔에서 교점(꼭짓점)과 교선(모서리)은 각각 몇 개인가?
풀이 — 뿔은 밑면 개수+1(교점), 밑면 개수의 2배(교선)
- 교점: 밑면 6개 + 꼭대기 1개 = 7개.
- 교선: 밑면 변 6개 + 옆면 모서리 6개 = 12개.
교점 7개, 교선 12개
문제 3직선·반직선
어느 세 점도 한 직선 위에 있지 않은 네 점 A,B,C,D가 있다. 두 점을 지나는 직선은 모두 몇 개인가?
풀이 — 네 점 중 두 점을 고르는 방법의 수
- AB,AC,AD,BC,BD,CD — 짝을 다 세면 6개.
6개
문제 4중점 · 진가
M은 AB의 중점, N은 AM의 중점이다. AN=4cm일 때, AB의 길이를 구하라.
풀이 — 중점이 이어지면 비율도 그대로 이어진다
- N은 AM의 중점이므로 AN=NM=4cm → AM=8cm.
- M은 AB의 중점이므로 AB=2×AM=16cm.
16cm
문제 5평각 방정식
한 직선 위에 나란히 있는 세 각이 (3x+20)°, (2x+40)°이고 이 둘이 일직선을 이룬다. x를 구하라.
풀이 — 일직선은 180°
- (3x+20)+(2x+40)=180 → 5x+60=180 → x=24°.
x = 24
문제 6맞꼭지각 방정식 · 진가
두 직선이 만날 때 마주 보는 두 각이 각각 (3x−10)°, (x+40)°이다. x를 구하라.
풀이 — 맞꼭지각은 서로 같다(평행선과 무관!)
- 3x−10 = x+40 → 2x=50 → x=25°.
x = 25
문제 7직각 방정식
두 각 (x+20)°, (2x−5)°가 합쳐서 직각(90°)을 이룬다. x를 구하라.
풀이 — 직각은 90°
- (x+20)+(2x−5)=90 → 3x+15=90 → x=25°.
x = 25
문제 8맞꼭지각 · 몇 쌍?
직선 4개가 한 점에서 만날 때, 맞꼭지각은 모두 몇 쌍 생기는가?
풀이 — 직선이 n개면 n×(n−1)쌍
- 직선 3개일 때 6쌍이었으니, 직선 4개면 4×3=12쌍.
12쌍
문제 9점과 직선 사이의 거리
좌표평면 위의 점 (3, 7)에서 x축까지의 거리를 구하라.
풀이 — x축에 내린 수선의 발까지의 거리 = y좌표
- x축에 수직으로 내리면 발은 (3,0), 그 길이는 y좌표 그대로 7.
7
문제 10실생활 · 교차로
두 도로가 교차로에서 만나 생기는 네 각 중 하나가 55°일 때, 마주 보는 각(맞꼭지각)은 몇 도인가?
제일 밑에 · 이 방법을 다른 학년·개념에 쓰는 비법
"규칙대로 체계적으로 센다" 하나로 경우의 수·오일러 공식까지
기본도형에서 익힌 "빠뜨리지 않고 규칙대로 세는 눈"이, 학년이 올라가면 경우의 수·순열·입체도형의 공식으로 그대로 이어집니다.
① 중2 · 경우의 수(곱의 법칙)
중2 · 경우의 수와 확률
직선 4개가 만나 맞꼭지각 12쌍을 셀 때 쓴 "체계적으로 곱해서 센다"가 바로 경우의 수 곱의 법칙의 시작이에요(제28강).
② 고1 · 순열(P)
고1 · 경우의 수
n개의 점 중 두 점을 골라 순서까지 정하는 반직선의 개수는 순열 P(n,2)=n(n−1)과 똑같은 식이에요.
③ 고등 · 오일러 공식(V−E+F=2)
고등 · 다면체
모든 볼록다면체는 꼭짓점−모서리+면=2가 성립해요. 오늘 배운 교점(V)·교선(E) 세기가 이 공식의 재료예요.
④ 대학 · 그래프 이론
이산수학
컴퓨터과학의 그래프 이론에서는 교점을 정점(vertex), 교선을 간선(edge)이라고 불러요. 지도앱 최단경로 찾기도 이 개념이 기초예요.
⑤ 건축·측량 · 최단거리 설계
건축·측량
건물에서 도로까지 가장 짧은 통로를 낼 때도 수선의 발 원리를 그대로 써요. 삐딱하게 낸 길은 항상 더 멀어요.
도전 · 이 비법만으로 위 학년 문제 풀기
"규칙대로 체계적으로 세기" 하나로 경우의 수·오일러 공식까지. 학년별 3문제씩!
도전 · 중2경우의 수 · 곱의 법칙
직선 5개가 한 점에서 만날 때, 맞꼭지각은 모두 몇 쌍인가?
풀이 — n×(n−1)
- 5×4=20쌍.
20쌍
도전 · 중2오일러 공식 확인
사각뿔의 꼭짓점(V)=5, 모서리(E)=8이다. 오일러 공식 V−E+F=2를 이용해 면(F)의 개수를 구하라.
풀이
- F=2−V+E=2−5+8=5 (밑면 1+옆면 4=5, 확인).
5개
도전 · 중2직선·반직선 확장
어느 세 점도 한 직선 위에 있지 않은 다섯 점 중 두 점을 지나는 반직선은 모두 몇 개인가?
풀이 — 순서까지 정하므로 n×(n−1)
- 5×4=20개.
20개
도전 · 고등순열 P(n,2)
서로 다른 6개의 점 중 순서를 정해 두 점을 뽑는 방법의 수(순열 P(6,2))를 구하고, 반직선 개수 공식과 비교하라.
풀이
- P(6,2)=6×5=30 — 반직선 개수 공식 n(n−1)과 완전히 같은 식이다.
30 (반직선 공식과 동일)
도전 · 고등오일러 공식 · 정육면체
정육면체의 V=8, E=12일 때, 오일러 공식으로 면(F)의 개수를 구하고 실제 정육면체 면의 개수와 맞는지 확인하라.
풀이
- F=2−8+12=6 — 실제 정육면체도 면이 6개로 일치한다.
6개 (일치 확인)
도전 · 대학그래프 이론
지하철 노선도에서 역은 정점(V), 역 사이 구간은 간선(E)이라 할 때, 오늘 배운 "교점·교선 세기"가 왜 지하철 노선도 분석에도 쓰이는지 한 문장으로 설명하라.
풀이
- 지하철 노선도도 결국 "정점(역)과 간선(구간)을 정확히 세는 것"과 같은 구조라서, 도형의 교점·교선 세는 법이 그대로 최단경로·환승 분석에 쓰인다.
둘 다 "정점과 간선을 정확히 세는" 같은 구조이기 때문
※ 이 자료의 예제는 장대경 선생님 방법을 수학적으로 정확한 값으로 재구성·검산한 교육 자료입니다. 모든 계산은 직접 검산했습니다(원본 강의와 숫자·예제가 다를 수 있음).