YEON MATH · 행복수학

정적분의 활용 실전 완전정복
— 범위만 알고 있으면 된다 · 연습 10제

6분의 공식 · 그래프를 옮긴 뒤 재기 · 넓이 이등분 · 속도와 거리 · 최솟값이 나오면 네 가지 · 역함수는 직사각형에서 빼기 · 장대경 선생님의 특강

연플래닝 ACADEMY

먼저 · 이 여섯 가지면 끝난다

1
6분의 공식 — 이차함수와 직선(또는 x축)이 둘러싼 넓이는 \(S=\dfrac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3\). 여기서 \(a\) 는 두 식을 뺀 것의 최고차 계수, \(\alpha,\beta\) 는 두 교점이다.
2
넓이를 주면 거꾸로 쓴다 — 넓이를 구하는 데만 쓰는 공식이 아니다. 넓이를 주고 계수를 물으면 같은 공식을 방정식으로 놓고 푼다.
3
옮긴 그래프는 식부터 세운다 — x축 대칭은 부호를 통째로 뒤집고, x축 방향 \(p\) 만큼은 x 자리에 \(x-p\), y축 방향 \(q\) 만큼은 뒤에 \(+q\). 넓이는 그다음이다.
4
이등분은 전체의 절반 — 먼저 전체 넓이를 구하고 반으로 나눈 값을 한쪽 넓이와 같다고 놓는다. 한쪽만 계산하면 된다 — 나머지는 저절로 정해진다.
5
속도 문제는 구간이 먼저 — 적분 구간이 문제에 안 적혀 있을 때가 많다. 멈춘다 · 방향이 바뀐다 · 최고점에 닿는다 = 모두 \(v(t)=0\). 그 자리를 먼저 구해 구간을 만든 뒤에 적분한다. 위치 변화는 \(\int v\,dt\), 움직인 거리는 \(\int |v|\,dt\) — 둘은 다르다.
6
⭐ 최솟값이 나오면 네 가지 — 완전제곱 · 산술평균≥기하평균 · 미분 · 점과 직선 사이의 거리. 그리고 역함수의 넓이는 역함수를 구하지 않는다 — 직사각형에서 원래 함수의 적분을 뺀다.

이 개념, 학년마다 이렇게

🐣 초등 (직관)
한 시간에 4 km 씩 3시간 걸으면 12 km. 속력 그래프의 직사각형 넓이가 곧 거리다.
📘 중학 (다리)
속력이 일정하지 않으면 직사각형이 아니라 삼각형·사다리꼴이 된다. 그래도 넓이 = 거리는 그대로다.
🎓 고등 (지금)
모양이 아무리 휘어도 \(\int v\,dt\) 하나로 잰다. 넓이·거리·최솟값이 모두 같은 도구로 풀린다.

연습 10제 — 전부 손으로 풀어 보고 해설을 열자

문제 1C6분의 공식 · 기본
곡선 \(y=-x^2+6x\) 와 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하여라.

풀이 — 두 교점부터 찾는다

  1. \(-x^2+6x=0\) 에서 \(-x(x-6)=0\), 곧 두 교점은 \(x=0,\;6\) 입니다.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 적분과 공식, 두 길이 있다 첫째 길은 그대로 적분하는 것입니다. \[\int_0^6(-x^2+6x)\,dx=\Big[-\frac{x^3}{3}+3x^2\Big]_0^6=-72+108=36\] 둘째 길은 6분의 공식입니다. 최고차 계수의 절댓값이 \(1\), 두 교점의 차가 \(6\) 이므로 \[\frac{1}{6}\times 6^3=\frac{216}{6}=36\] 두 길이 똑같이 36 이 나왔습니다. 선생님은 늘 한 문제를 두 길로 푸십니다 — 답이 같으면 그것이 곧 검산이기 때문입니다. 시험에서는 공식이 빠르고, 공식이 헷갈릴 때는 적분이 안전합니다.
  3. 넓이는 항상 0 이상입니다. 음수가 나왔다면 위아래를 거꾸로 뺀 것입니다.
"적분에서는 뭐냐 범위만 알고 있으면 되니까"— 장대경 선생님 강의 lEfGE9YaJvo 14:53~15:00
넓이 = 36
문제 2C넓이를 주고 계수를 묻는다
양수 \(a\) 에 대하여 곡선 \(y=-x^2+ax\) 와 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이가 \(\dfrac{9}{2}\) 일 때, 상수 \(a\) 의 값을 구하여라.

풀이 — 공식을 방정식으로 놓는다

  1. \(-x^2+ax=-x(x-a)=0\) 이므로 두 교점은 \(x=0,\;a\) 입니다.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 공식은 넓이를 구할 때만 쓰는 것이 아니다 6분의 공식에 그대로 넣습니다. 최고차 계수의 절댓값은 \(1\), 두 교점의 차는 \(a\) 이므로 \[S=\frac{1}{6}a^3=\frac{9}{2}\] 양변에 \(6\) 을 곱하면 \(a^3=27\), 곧 \(a=3\) 입니다. 「넓이를 구하여라」만 보다가 「넓이가 …일 때 계수를 구하여라」 가 나오면 당황하기 쉽습니다. 공식은 그대로 두고 모르는 자리를 미지수로 놓아 방정식으로 바꾸면 됩니다. 강의의 840번이 정확히 이 꼴이었습니다.
  3. 검산: \(a=3\) 이면 \(\int_0^3(-x^2+3x)\,dx=-9+\dfrac{27}{2}=\dfrac{9}{2}\) ✓
  4. \(a^3=27\) 의 실근은 \(a=3\) 하나뿐이고, 문제가 양수라 했으므로 조건에도 맞습니다.
a = 3
문제 3B두 곡선 사이의 넓이
곡선 \(y=x^2-2x\) 와 직선 \(y=x\) 로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하여라.

풀이 — 교점을 구하고, 위에서 아래를 뺀다

  1. \(x^2-2x=x\) 에서 \(x^2-3x=0\), 곧 \(x(x-3)=0\) 이므로 교점은 \(x=0,\;3\) 입니다.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 어느 쪽이 위인지부터 정한다 \(x=1\) 을 넣어 보면 직선은 \(1\), 곡선은 \(-1\) 이므로 직선이 위입니다. \[\int_0^3\{x-(x^2-2x)\}dx=\int_0^3(3x-x^2)dx=\frac{27}{2}-9=\frac{9}{2}\] 「위에서 아래를 뺀다」를 지키지 않으면 부호가 뒤집혀 음수 넓이가 나옵니다. 구간 안의 아무 값이나 하나 넣어 보는 것이 가장 빠른 확인법입니다.
  3. 6분의 공식으로도: 두 식을 뺀 것은 \(-x^2+3x\) 라 최고차 계수의 절댓값이 \(1\), 두 교점의 차가 \(3\) 이므로 \(\dfrac{1}{6}\times 3^3=\dfrac{9}{2}\) ✓ 두 갈래가 같습니다.
넓이 = 9/2
문제 4B그래프를 옮긴 뒤 재기
곡선 \(y=x^2-4\) 를 \(x\)축에 대하여 대칭이동한 다음, \(x\)축 방향으로 \(1\)만큼, \(y\)축 방향으로 \(5\)만큼 평행이동한 곡선을 \(C\) 라 하자. 곡선 \(C\) 와 처음 곡선 \(y=x^2-4\) 로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하여라.

풀이 — 옮긴 식을 먼저 세운다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 넓이보다 「식 세우기」가 먼저다 세 걸음을 순서대로 밟습니다. \[y=x^2-4\;\xrightarrow{\;x\text{축 대칭}\;}\;y=-x^2+4\;\xrightarrow{\;x\text{축}\,+1\;}\;y=-(x-1)^2+4\;\xrightarrow{\;y\text{축}\,+5\;}\;y=-(x-1)^2+9\] 학생이 가장 많이 틀리는 자리가 여기입니다. x축 대칭은 우변 전체의 부호를 뒤집고, x축 방향 평행이동은 x 자리에 (x−1) 을 넣고, y축 방향은 뒤에 +5 를 붙입니다. 강의에서도 선생님은 이 세 걸음을 다 밟은 뒤에야 넓이로 넘어가셨습니다.
  2. 교점: \(-(x-1)^2+9=x^2-4\) 에서 \(-x^2+2x+8=x^2-4\), 곧 \(2x^2-2x-12=0\), \(x^2-x-6=0\), \((x+2)(x-3)=0\) 이므로 \(x=-2,\;3\).
  3. 두 식을 뺀 것은 \(-2x^2+2x+12\) 이고 \(C\) 가 위에 있습니다. \[\int_{-2}^{3}(-2x^2+2x+12)\,dx=\frac{125}{3}\]
  4. 6분의 공식으로도: 최고차 계수의 절댓값이 \(2\), 두 교점의 차가 \(5\) 이므로 \(\dfrac{2}{6}\times 5^3=\dfrac{125}{3}\) ✓
넓이 = 125/3
문제 5B⭐ 넓이 이등분
곡선 \(y=-x^2+4x\) 와 \(x\)축으로 둘러싸인 도형이 직선 \(y=mx\;(0<m<4)\) 에 의하여 이등분될 때, \((4-m)^3\) 의 값을 구하여라.

풀이 — 전체부터 구하고 반으로 나눈다

  1. 전체 넓이: \(\displaystyle\int_0^4(-x^2+4x)\,dx=-\frac{64}{3}+32=\frac{32}{3}\)
  2. ⭐ 여기가 고비 — 「이등분」은 한쪽만 계산하면 된다 두 조각을 모두 구할 필요가 없습니다. 전체의 절반인 \(\dfrac{16}{3}\) 과 한쪽을 같다고 놓으면 끝입니다.
    직선과 곡선의 교점은 \(-x^2+4x=mx\) 에서 \(x=0,\;4-m\) 이므로, 위쪽 조각의 넓이는 \[\int_0^{4-m}\{(-x^2+4x)-mx\}dx=\frac{(4-m)^3}{6}\] 두 조각을 다 구해 같다고 놓으려 하면 식이 두 배로 길어지고 계산 실수가 늘어납니다. 전체 → 절반 → 한쪽, 이 세 걸음이 가장 짧습니다. 위쪽 조각의 넓이가 곧바로 6분의 공식 꼴로 나온다는 것도 기억해 두십시오.
  3. \(\dfrac{(4-m)^3}{6}=\dfrac{16}{3}\) 의 양변에 \(6\) 을 곱하면 \((4-m)^3=32\).
  4. 한 걸음 더: \(4-m=\sqrt[3]{32}=2\sqrt[3]{4}\) 이므로 \(m=4-2\sqrt[3]{4}\approx 0.825\). \(0<m<4\) 를 만족합니다 ✓
"여러분 갖고 찾아야 된다 — 계산은"— 장대경 선생님 강의 lEfGE9YaJvo 29:07~29:11
(4 − m)³ = 32
문제 6B속도와 거리 · 쏘아 올리기
지상 \(25\,\text{m}\) 높이에서 똑바로 위로 쏘아 올린 물체의 \(t\)초 후의 속도가 \(v(t)=30-10t\;(\text{m/s})\) 이다. 이 물체가 도달하는 최고 높이와 4초 후의 높이의 차를 구하여라.

풀이 — 최고점은 속도가 0 인 자리다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 「최고점」이라는 말이 구간을 만들어 준다 적분 구간이 문제에 적혀 있지 않습니다. 최고점은 더 올라가지도 내려가지도 않는 순간, 곧 \(v(t)=0\) 인 때입니다. \[30-10t=0\;\Rightarrow\;t=3\] 속도 문제에서 「멈춘다 · 방향이 바뀐다 · 최고점에 닿는다」는 모두 같은 말입니다 — 전부 \(v(t)=0\) 입니다. 선생님은 이것을 「제로가 나와요 — 요기가 바로 방향이 바뀌는 거야」 라고 하셨습니다.
  2. 최고 높이: \(\displaystyle 25+\int_0^3(30-10t)\,dt=25+(90-45)=70\;(\text{m})\)
  3. 4초 후의 높이: \(\displaystyle 25+\int_0^4(30-10t)\,dt=25+(120-80)=65\;(\text{m})\)
  4. 차: \(70-65=5\;(\text{m})\). 3초와 4초 사이에는 \(v(t)<0\) 이라 내려오는 중이므로 높이가 줄어든 것입니다.
"제로(0)가 나와요 — 요기가 바로 방향이 바뀌는 거야"— 장대경 선생님 강의 lEfGE9YaJvo 37:45~37:49
차 = 5 m
문제 7B속도와 거리 · 제동
일정한 속도로 달리던 열차가 제동을 건 뒤 \(t\)초 동안의 속도가 \(v(t)=24-4t\;(\text{m/s})\) 이다. 제동을 건 뒤 완전히 멈출 때까지 달린 거리를 구하여라.

풀이 — 구간을 먼저 만든다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 구간이 없으면 적분할 수 없다 「멈출 때까지」라는 말이 곧 구간입니다. \[24-4t=0\;\Rightarrow\;t=6\] 이제 \(0\) 부터 \(6\) 까지 적분하면 됩니다. \[\int_0^6(24-4t)\,dt=\Big[24t-2t^2\Big]_0^6=144-72=72\] 선생님이 이 유형에서 「곰 일(구간)을 찾아낸 게 굉장히 중요하다」 고 짚으신 까닭입니다 (자동자막이 「구간」을 「곰 일」로 깨뜨렸습니다). 식은 문제에 주어져 있지만 어디부터 어디까지인지는 스스로 만들어야 합니다.
  2. 그림으로도 확인됩니다. \(v(t)\) 의 그래프는 \((0,\,24)\) 와 \((6,\,0)\) 을 잇는 직선이므로 삼각형의 넓이는 \(\dfrac{1}{2}\times 6\times 24=72\) ✓
  3. \(0\le t\le 6\) 에서 \(v(t)\ge 0\) 이므로 움직인 거리와 위치 변화가 같습니다. 절댓값을 따로 씌울 필요가 없습니다.
"곰 일(구간)을 찾아낸 게 굉장히 중요하다"— 장대경 선생님 강의 lEfGE9YaJvo 34:10~34:14 (자동자막이 「구간」을 「곰 일」로 깨뜨린 자리입니다)
거리 = 72 m
문제 8B⭐⭐ 최솟값이 나오면 네 가지
\(a>0\) 일 때 \(S(a)=a+\dfrac{4}{a}\) 의 최솟값을 구하고, 그때의 \(a\) 의 값을 구하여라.

풀이 — 두 가지 도구로 같은 답을 얻는다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 선생님이 세워 주신 네 가지를 먼저 떠올린다 최솟값이 나오면 완전제곱 · 산술평균≥기하평균 · 미분 · 점과 직선 사이의 거리 넷 중 하나입니다. 이 꼴은 두 항의 곱이 상수(\(a\times\dfrac{4}{a}=4\))이므로 산술·기하평균이 딱 맞습니다. \[a+\frac{4}{a}\;\ge\;2\sqrt{a\cdot\frac{4}{a}}=2\sqrt{4}=4\] 산술·기하평균은 두 수가 모두 양수이고 곱이 상수일 때만 쓸 수 있습니다. 그리고 등호가 실제로 성립하는지를 반드시 확인해야 합니다 — 확인하지 않으면 그 값은 「그보다 작지 않다」일 뿐 최솟값이 아닙니다.
  2. 등호는 \(a=\dfrac{4}{a}\), 곧 \(a^2=4\) 에서 성립합니다. \(a>0\) 이므로 \(a=2\) ✓
  3. 미분으로도 확인: \(S'(a)=1-\dfrac{4}{a^2}=0\) 에서 \(a^2=4\), \(a=2\). \(S''(a)=\dfrac{8}{a^3}\) 이고 \(S''(2)=1>0\) 이므로 진짜 최솟값입니다.
  4. 값: \(S(2)=2+2=4\) — 두 도구가 같은 답을 냅니다.
"요 네 가지를 우리가 꼭 기억을 해 주고"— 장대경 선생님 강의 lEfGE9YaJvo 41:10~41:12
최솟값 4 (a = 2)
문제 9A⭐ 역함수의 넓이
\(x\ge 0\) 에서 정의된 함수 \(f(x)=x^3+2\) 의 역함수를 \(f^{-1}\) 이라 할 때, \(\displaystyle\int_{2}^{10}f^{-1}(x)\,dx\) 의 값을 구하여라.

풀이 — 역함수를 구하지 않는다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 역함수를 구하려 들면 지는 문제다 \(f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-2}\) 를 직접 적분하려 하면 계산이 험해집니다. 대신 끝점부터 옮깁니다. 위끝 \(10\) 을 \(f(x)=10\) 으로 놓으면 \[x^3+2=10\;\Rightarrow\;x^3=8\;\Rightarrow\;x=2\] 아래끝 \(2\) 는 \(f(0)=2\) 이므로 \(x=0\) 에 대응합니다. 선생님은 이 대목을 「요 값을 13이라고 놓고 계산하자」 하고 시작하셨습니다. 역함수의 그래프는 원래 그래프를 \(y=x\) 에 대해 뒤집은 것이라, 넓이를 원래 함수 쪽으로 옮겨 놓을 수 있습니다.
  2. 그림으로 보면, 가로 \(2\)·세로 \(10\) 인 직사각형에서 곡선 아래를 뺀 것이 구하는 넓이입니다. \[\int_{2}^{10}f^{-1}(x)\,dx=2\times 10-\int_0^2(x^3+2)\,dx\]
  3. \(\displaystyle\int_0^2(x^3+2)\,dx=\Big[\frac{x^4}{4}+2x\Big]_0^2=4+4=8\)
  4. 따라서 \(20-8=12\) 입니다. 아래끝이 \(2\) 인 까닭은 \(f(0)=2\) 라 역함수가 2보다 작은 곳에서는 정의되지 않기 때문입니다.
"이쪽 넓이하고 이 넓이하고 서로 같다는 사실 또 알 수가 있어"— 장대경 선생님 강의 lEfGE9YaJvo 47:11~47:19
12
문제 10A도전 · 위치 변화와 움직인 거리
수직선 위를 움직이는 점 \(\mathrm{P}\) 의 시각 \(t\;(0\le t\le 5)\) 에서의 속도가 \(v(t)=t^2-4t\) 이다. \(t=0\) 부터 \(t=5\) 까지 점 \(\mathrm{P}\) 의 위치의 변화량과 실제로 움직인 거리를 각각 구하여라.

풀이 — 방향이 바뀌는 자리를 먼저 찾는다

  1. 위치의 변화량은 그대로 적분합니다. \[\int_0^5(t^2-4t)\,dt=\Big[\frac{t^3}{3}-2t^2\Big]_0^5=\frac{125}{3}-50=-\frac{25}{3}\] 음수이므로 출발점보다 왼쪽에 있습니다.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 움직인 거리는 「절댓값」을 씌운 적분이다 \(v(t)=t(t-4)=0\) 에서 \(t=0,\;4\) 이므로, 구간 안에서 \(t=4\) 에 방향이 바뀝니다. \(0<t<4\) 에서는 \(v<0\)(왼쪽으로), \(4<t<5\) 에서는 \(v>0\)(오른쪽으로)입니다. 그래서 구간을 둘로 쪼개 각각의 절댓값을 더합니다. \[\int_0^4|v|\,dt=-\int_0^4(t^2-4t)dt=\frac{32}{3},\qquad\int_4^5 v\,dt=\frac{7}{3}\] \[\therefore\;\frac{32}{3}+\frac{7}{3}=\frac{39}{3}=13\] 쪼개지 않고 \(\int_0^5 v\,dt\) 를 그대로 쓰면 왼쪽으로 간 만큼과 오른쪽으로 간 만큼이 서로 상쇄되어 \(-\dfrac{25}{3}\) 이 나옵니다. 그것은 위치의 변화량이지 움직인 거리가 아닙니다. 「거리를 구하여라」가 나오면 반드시 \(v(t)=0\) 을 먼저 풀어 방향이 바뀌는지 확인하십시오.
  3. 검산: \(-\dfrac{32}{3}+\dfrac{7}{3}=-\dfrac{25}{3}\) — 쪼개서 부호대로 더하면 위치의 변화량과 정확히 같습니다 ✓
위치의 변화량 = −25/3 · 움직인 거리 = 13

한 걸음 더 · 이 도구가 실제로 쓰이는 자리

넓이와 거리는 같은 도구로 잰다

정적분은 「넓이를 구하는 계산」이 아니라 쌓아 올린 양을 재는 도구다. 무엇을 쌓느냐만 바뀐다.

🚗 블랙박스의 속도 기록
속도 그래프 아래의 넓이가 곧 달린 거리다. 후진하면 속도가 음수가 되는데, 그때는 넓이가 아래로 내려가 거리가 깎인다 — 그래서 「실제로 움직인 거리」를 물으면 \(\int |v|\,dt\) 를 쓴다.
💧 수도관에 흘러든 물의 양
유량계가 재는 것은 매 순간의 유량이다. 하루에 얼마나 들어왔는지는 그 유량을 시간에 대해 적분해야 나온다. 여기서도 필요한 것은 식이 아니라 구간이다.
📐 역함수의 넓이 = 뒤집어 보기
\(y=x\) 에 대해 뒤집으면 가로와 세로가 바뀔 뿐 넓이는 그대로다. 그래서 역함수를 구하지 않고도, 직사각형에서 원래 함수의 적분을 빼는 것만으로 답이 나온다.

🐣 초등 친구도 알 수 있게

한 시간에 4 km 씩 3시간 걸으면 12 km 를 간다. 속력 그래프를 그리면 가로가 3, 세로가 4인 직사각형이 되고, 그 넓이가 곧 걸어간 거리다.

그런데 걷는 빠르기가 계속 바뀌면 직사각형이 아니라 울퉁불퉁한 모양이 된다. 그래도 규칙은 그대로다 — 그 모양의 넓이가 걸어간 거리다. 적분은 그 울퉁불퉁한 넓이를 재는 도구일 뿐이다.

한 가지만 더. 왔던 길을 되돌아가면 「집에서 얼마나 멀어졌나」와 「발이 얼마나 움직였나」가 달라진다. 앞의 것이 위치의 변화량, 뒤의 것이 움직인 거리다.

속력 그래프의 넓이 = 간 거리

※ 이 연습 10제는 장대경 선생님 「정적분의 활용 실전」 특강의 방법으로 푸는 새로 지은 문항이며, 강의의 숫자를 옮긴 것이 아닙니다. 넓이 문항은 적분과 6분의 공식 두 갈래로, 속도 문항은 \(v(t)=0\) 인 자리를 따로 구해 두 번씩 검산했습니다. 열 문항 모두 sympy 로 직접 다시 풀었습니다. 인용한 선생님 말씀은 모두 특강 원본에서 실제로 하신 말씀이며 영상 ID 와 시각을 함께 적었습니다. 난이도 배분은 C 2 : B 6 : A 2 입니다.
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