왜 곱셈공식과 인수분해를 배울까?
곱셈공식은 큰 수 암산(98×102)을 가능하게 하고, 인수분해는 이차방정식을 푸는 첫 열쇠예요. 식을 묶고 펴는 이 손놀림은 분수식·함수·고등 수학 전체의 공용 도구랍니다.
이 단원에서 할 수 있게 돼요. ① 곱셈공식으로 전개한다. ② 공통인수로 묶는다. ③ 합차·완전제곱으로 인수분해한다. ④ 곱·합을 이용해 x²+bx+c를 인수분해한다.
읽는 법. 본문은 짧고 또렷하게, 더 알고 싶을 땐 색깔 단추를 누르세요 —
왜 그럴까 원리·직관 ·
다른 방법 또 다른 풀이 ·
흔한 실수 자주 틀리는 곳 ·
더 나아가기 실생활·다음 학년. 인쇄하면 단추 속 설명이 모두 펼쳐져 종이 참고서가 됩니다.
출발 점검 — 준비됐나요?
이 두 가지를 떠올려 봐요.
① (x+2)(x+3) 을 펴면 가운데·끝 항은?
② 곱이 6, 합이 5인 두 수는?
① x²+5x+6 · ② 2와 3. ‘곱과 합’을 보는 눈이 인수분해의 핵심이에요.
곱셈공식 — 전개를 빠르게
괄호를 일일이 풀지 않고 바로 펴는 공식이에요. (a+b)² = a²+2ab+b², (a−b)² = a²−2ab+b², (a+b)(a−b) = a²−b², (x+a)(x+b) = x²+(a+b)x+ab. 넓이 그림으로 보면 왜 그런지 한눈에 보여요.
기억해요 — (a+b)² = a²+2ab+b², (a+b)(a−b) = a²−b² (합·차의 곱)
움직이는 그림 — (a+b)²를 넓이로
큰 정사각형을 네 조각으로 나눠 봐요. ▶ 다시보기·한 단계씩.
이건 영상 파일이 아니라 코드(SVG)로 그려 움직여요 → 만드는 비용·용량 거의 0, 숫자 100% 정확, 다시보기 무한.
인수분해 — 전개의 반대로 되돌리기
인수분해는 곱셈공식을 거꾸로 — 합을 다시 곱으로 묶는 거예요. ① 공통인수로 묶기, ② a²−b² = (a+b)(a−b), ③ 완전제곱 a²±2ab+b² = (a±b)², ④ x²+(a+b)x+ab = (x+a)(x+b) — 곱이 ab, 합이 (a+b)인 두 수를 찾기. 넓이를 두 변으로 되돌리는 셈이에요.
기억해요 — 인수분해 = 넓이를 두 변으로 되돌리기. 곱 ab·합 a+b 인 두 수 찾기
①공통인수
3x²−12 = 3(x²−4) = 3(x+2)(x−2).
②합차 공식
x²−25 = (x+5)(x−5).
③완전제곱
x²+6x+9 = (x+3)².
④곱·합 찾기
x²+5x+6 → 곱 6·합 5인 2와 3 → (x+2)(x+3).
기억 그림 · 곱셈 공식은 직사각형 넓이로 이해!
(a+b)²는 한 변이 (a+b)인 정사각형의 넓이예요. 4칸으로 나누면 a²+ab+ab+b²=a²+2ab+b². 그림으로 보면 공식이 저절로 외워져요!
왜 인수분해가 가능할까
곱셈공식은 정확히 넓이를 두 가지 방식으로 세는 것이에요. 큰 정사각형의 넓이=(a+b)²이고, 네 조각의 합=a²+2ab+b². 같은 도형이라 같을 수밖에 없죠. 인수분해는 그 과정을 거꾸로 돌리는 것이에요.곱셈공식으로 빠른 암산
98 × 102 = (100−2)(100+2) = 100² − 2² = 9996. 21² = (20+1)² = 400+40+1 = 441. 곱셈공식을 알면 큰 수 계산도 머리로 가능해요.자주 틀리는 곳
(a+b)² ≠ a²+b²! 가운데 2ab를 빠뜨리는 실수가 가장 많아요. (a+b)²=(a+b)(a+b)를 직접 전개해보면 2ab가 반드시 나와요. 합차공식도 (a+b)(a−b)=a²−b²인데 a²+b²으로 쓰는 오류 주의!다음으로
인수분해는 이차방정식을 푸는 첫 번째 길이에요(다음 단원). 분수식 약분, 고등학교 다항식·함수의 핵심 도구이기도 합니다.
스스로 풀어요 (3단계)
곱셈공식 전개, 기본 인수분해부터.
비평 데스크가 챙긴 것 — ‘더 쉽게’: 인수분해를 ‘곱 ab·합 a+b 인 두 수 찾기’ 한 가지 눈으로 통일했어요. ‘더 간결하게’: 곱셈공식으로 큰 수 암산까지 빠르게 하도록 했습니다.
새 문제로 무한 연습
버튼을 누를 때마다 숫자가 바뀐 새 문제가 나와요. 곱셈공식 전개·인수분해가 손에 익을 때까지 연습해요. 답은 컴퓨터가 계산해 항상 정확해요.
1번째 문제 · 기본
답을 구해 보세요. (풀고 ‘정답·풀이 보기’로 확인)
지금까지 받은 문제: 1
특목고·영재 대비 — 다양한 유형 도전
한 가지 유형만 반복하지 않아요. 합차 큰수 암산·식의 값(a²+b²)·완전제곱식·연속수 곱·합차 응용까지 — 진짜 사고력 문제예요. 모두 무료, 답·풀이는 딥시크로 검산했어요.
1합차 큰수
1000² − 999² 을 계산하면?
답: 1999
(1000+999)(1000−999) = 1999×1 = 1999
(1000+999)(1000−999) = 1999×1 = 1999
2대입값
x² − 4x + 4 = (x−2)² 일 때, x=2를 대입한 값은?
답: 0
(2−2)² = 0
(2−2)² = 0
3곱셈공식 활용
a + b = 5, ab = 6 일 때, a² + b² 의 값은?
답: 13
a²+b² = (a+b)² − 2ab = 25 − 12 = 13
a²+b² = (a+b)² − 2ab = 25 − 12 = 13
4곱셈공식 활용
a + b = 6, ab = 8 일 때, (a − b)² 의 값은?
답: 4
(a−b)² = (a+b)² − 4ab = 36 − 32 = 4
(a−b)² = (a+b)² − 4ab = 36 − 32 = 4
5수의 성질
x² − 1 = (x+1)(x−1) 임을 이용하여, 10² − 1 을 두 자연수의 곱으로 나타내면?
답: 11 × 9 = 99
(10+1)(10−1) = 11×9 = 99
(10+1)(10−1) = 11×9 = 99
6식의 값
x − 1/x = 3 일 때, x² + 1/x² 의 값은?
답: 11
(x − 1/x)² = x² − 2 + 1/x² = 9 → x²+1/x² = 11
(x − 1/x)² = x² − 2 + 1/x² = 9 → x²+1/x² = 11
7곱셈공식 암산
96 × 104 를 곱셈공식으로 계산하면?
답: 9984
(100−4)(100+4) = 10000 − 16 = 9984
(100−4)(100+4) = 10000 − 16 = 9984
8계수 추론
x² + bx + c = (x+2)(x−5) 일 때, b와 c는?
답: b = −3, c = −10
전개 x²−3x−10 → b=−3, c=−10
전개 x²−3x−10 → b=−3, c=−10
9넓이 전개
가로 (x+5), 세로 (x+2)인 직사각형의 넓이를 전개하면?
답: x² + 7x + 10
(x+5)(x+2) = x²+7x+10
(x+5)(x+2) = x²+7x+10
10연속수 곱
45² = 2025 임을 이용하여 44 × 46 의 값을 구하면?
답: 2024
44×46 = (45−1)(45+1) = 45²−1 = 2024
44×46 = (45−1)(45+1) = 45²−1 = 2024
11합차 응용
x² − y² = 20, x + y = 10 일 때, x − y 의 값은?
답: 2
x²−y² = (x+y)(x−y) → 20 = 10(x−y) → x−y = 2
x²−y² = (x+y)(x−y) → 20 = 10(x−y) → x−y = 2
객관식 진단 퀴즈 — 곱셈과인수분해
5지선다 10문항이에요. 풀면 바로 채점되고, 학습 기록이 자동 저장돼요.
직접 해보기 — (x+a)(x+b) 펴기
a 2
b 3
틀려도 괜찮아요. 틀린 문제는 ‘내 뇌가 자라는 신호’예요. 한 번에 안 풀려도, 비책을 떠올리며 다시 도전해 봐요. 답보다 ‘어떻게 생각했는지’가 더 소중하답니다.
한 장 핵심
- 1곱셈공식: (a±b)², (a+b)(a−b)=a²−b², (x+a)(x+b).
- 2인수분해 = 곱셈공식을 거꾸로(합→곱).
- 3순서: ① 공통인수 ② 합차 ③ 완전제곱 ④ 곱·합 찾기.
- 4넓이를 두 변으로 되돌리는 셈.
이 단원의 말·기호
- 전개
- 곱으로 된 식을 펴서 합으로 쓰기.
- 인수분해
- 합으로 된 식을 곱으로 묶기.
- 인수
- 곱을 이루는 각 식(또는 수).
- 완전제곱식
- (a±b)² 꼴로 묶이는 식.
내 말로 설명하기
인수분해가 전개와 어떤 관계인지 한 줄로?
예시 — “전개는 (x+2)(x+3)→x²+5x+6처럼 펴는 것, 인수분해는 그 반대로 x²+5x+6→(x+2)(x+3)로 묶는 거야.”
이 단원, 나는 얼마나 알게 됐을까?
기록하기 전에 — 방금 배운 걸 눈을 감고 꼭 한 번 떠올려 봐요.
그렇게 스스로 떠올려 본 것이 진짜 ‘내 것’이 된답니다.
1. 이 단원을 얼마나 이해했나요?
2. 어떤 부분이 헷갈렸나요? (없으면 안 골라도 돼요)
3. 떠올리며 생각난 것 한 줄 (안 써도 돼요)
◍ 나의 생각 지도 · 복습 노트
내가 배운 것들이 어떻게 이어지는지, 어디를 더 봐야 하는지 한눈에 봐요. (위에서 이해도 평가를 하면 색으로 표시돼요.)
잘 알아요
거의
복습 필요
아직
복습 체크 · 연 복습법 5·2·5·5
어른을 위한 한 줄. 아이가 막히면 답을 알려주기보다 “무엇을 구하는 걸까?”, “어떤 성질·식을 쓰면 될까?” 하고 한 단계만 되물어 주세요. 스스로 길을 찾는 힘이 자랍니다.