먼저 · 극한과 연속, 네 가지 무기
1
0/0 꼴은 인수분해 — 분자·분모를 인수분해해서 공통인수를 약분하면 진짜 극한값이 나온다.
2
∞−∞ 꼴은 유리화 — 근호가 있는 뺄셈은 켤레식을 곱해 유리화하면 0/0이나 ∞/∞ 꼴로 바뀐다.
3
연속의 조건 — x=a에서 연속이려면 좌극한=우극한=f(a) 셋이 모두 같아야 한다.
＋
미정계수 역산 — 극한값이 존재하려면 분모를 0으로 만드는 값에서 분자도 반드시 0이어야 한다 — 이 조건으로 상수를 거꾸로 구한다.
이 개념, 학년마다 이렇게
🐣 초등 (직관)
"딱 그 점만 빼고 나머지는 다 이어진 길"을 그림으로 체험한다.
📐 고2 (핵심)
0/0 인수분해, ∞−∞ 유리화, 연속조건, 미정계수 역산.
🎓 고등 (확장)
미분계수(순간변화율)의 정의, 좌극한·우극한 부호 판정, 중간값 정리.
🐣 저학년 직관 — "딱 그 점만 빼고 이어진 길"
산책로에 딱 한 곳만 돌이 파여서 걸을 수 없다고 해봐요. 그래도 그 점 바로 앞까지, 그리고 바로 다음부터는 길이 똑같이 이어져 있어요. "그 점으로 다가갈 때 향하는 값"이 바로 극한이에요.
그 점이 진짜로 메워져 있어서 안 끊기면 "연속", 구멍이 있으면 "불연속"이에요.
극한 = 다가갈 때 향하는 값
연습 10제 · 그림 해설
문제 10/0 꼴 · 기본
lim(x→2) (x²-4)/(x-2)의 값을 구하라.
풀이 — 인수분해 후 약분
- (x²-4)/(x-2) = (x-2)(x+2)/(x-2) = x+2. x=2 대입: 2+2=4.
4
문제 20/0 꼴 · 진가
lim(x→1) (x³-1)/(x-1)의 값을 구하라.
풀이 — 세제곱 인수분해
- x³-1 = (x-1)(x²+x+1)이므로 약분하면 x²+x+1.
- x=1 대입: 1+1+1=3.
3
문제 3∞−∞ 꼴 · 진가
lim(x→∞) (√(x²+x) − x)의 값을 구하라.
풀이 — 켤레식을 곱해 유리화
- 켤레식 √(x²+x)+x를 분모·분자에 곱하면 x/(√(x²+x)+x).
- 분모·분자를 x로 나누면 1/(√(1+1/x)+1). x→∞이면 1/x→0.
- 1/(1+1)=1/2.
1/2
문제 4연속조건 · 미정계수 · 진가
함수 f(x) = (x²-a)/(x-2) (x≠2), b (x=2)가 x=2에서 연속일 때, 상수 a, b의 값을 구하라.
풀이 — 극한이 존재하려면 분자도 0
- x→2일 때 분모가 0이 되므로, 극한이 존재하려면 x=2에서 분자도 0: 4-a=0 → a=4.
- a=4 대입: (x²-4)/(x-2)=x+2. x=2 대입한 극한값 4이 b와 같아야 함(연속 조건): b=4.
a = 4, b = 4
문제 50/0 꼴 · 근호
lim(x→0) (√(x+9)-3)/x의 값을 구하라.
풀이 — 유리화
- 켤레식 √(x+9)+3을 곱하면 x/(x(√(x+9)+3)) = 1/(√(x+9)+3).
- x=0 대입: 1/(3+3)=1/6.
1/6
문제 6연속 판별
함수 f(x)=(x²-9)/(x-3) (x≠3), 6 (x=3)는 x=3에서 연속인가?
풀이
- (x²-9)/(x-3)=x+3, x→3 극한값=6, f(3)=6으로 정의되어 있으니 연속.
연속이다
문제 7∞−∞ 꼴 응용
lim(x→∞) (√(x²+4x)-x)의 값을 구하라.
풀이
- 유리화하면 4x/(√(x²+4x)+x), x로 나누면 4/(√(1+4/x)+1) → 4/2=2.
2
문제 80/0 꼴 · 근호
lim(x→4) (√x-2)/(x-4)의 값을 구하라.
풀이 — 분모도 유리화 형태로 분해
- x-4=(√x-2)(√x+2)이므로 약분하면 1/(√x+2). x=4 대입: 1/4.
1/4
문제 9좌극한·우극한
함수 f(x)=|x|/x (x≠0)의 x→0에서의 좌극한과 우극한을 각각 구하라.
풀이
- x>0이면 |x|/x=1, x<0이면 |x|/x=-1.
좌극한 −1, 우극한 1 (극한값 존재하지 않음)
문제 10실생활 · 순간속도
물체의 위치가 s(t)=t²일 때, t=1에서의 순간속도 lim(h→0) (s(1+h)-s(1))/h를 구하라.
풀이
- ((1+h)²-1)/h = (2h+h²)/h = 2+h. h→0: 2.
2
제일 밑에 · 이 방법을 다른 학년·개념에 쓰는 비법
"0/0은 인수분해, ∞−∞은 유리화" 하나로 미분·중간값정리까지
극한에서 익힌 "약분되는 형태로 바꾼다"는 눈이, 학년이 올라가면 미분·중간값정리로 그대로 이어집니다.
① 고2 · 미분계수의 정의
수학Ⅱ · 미분
미분계수는 lim(h→0) (f(a+h)-f(a))/h로 정의돼요. 오늘 배운 0/0 인수분해 기술이 미분의 출발점이에요.
② 고2 · 중간값 정리
수학Ⅱ · 함수의 연속
연속함수는 끊기지 않고 모든 값을 지나가요. 그래서 f(a)<0<f(b)이면 그 사이에 f(c)=0인 c가 반드시 존재해요.
③ 고3 · 함수의 극한과 그래프 개형
미적분
점근선(제16강)도 결국 x→∞일 때의 극한이에요. 그래프 개형을 그릴 때 극한값으로 점근선을 먼저 확인해요.
④ 물리학 · 순간속도·순간가속도
물리학
순간속도는 "아주 짧은 시간에서의 평균속도의 극한"이에요. 오늘 배운 극한 계산이 물리의 순간변화율 계산과 똑같아요.
⑤ 공학 · 신호의 연속성
전자공학·신호처리
전기 신호나 통신 신호가 끊기지 않고 연속이어야 안정적으로 전달돼요. 연속의 정의(좌극한=우극한=함숫값)가 공학적 안정성의 기준이 돼요.
도전 · 이 비법만으로 위 학년 문제 풀기
"인수분해와 유리화" 하나로 미분·중간값정리·물리까지. 학년별 3문제씩!
도전 · 고2미분계수 정의
f(x)=x²+1일 때, lim(h→0) (f(2+h)-f(2))/h의 값을 구하라.
풀이
- ((2+h)²+1-5)/h = (4h+h²)/h = 4+h → 4.
4
도전 · 고2연속 미정계수
함수 f(x)=(x²-a)/(x-3) (x≠3), b (x=3)가 x=3에서 연속일 때, a+b의 값을 구하라.
풀이
- 분자도 0: 9-a=0 → a=9. 극한 (x+3)→6=b.
a+b = 15
도전 · 고2중간값 정리
연속함수 f(x)=x³-x-1에서 f(1)=-1, f(2)=5일 때, 방정식 f(x)=0은 구간 (1,2)에서 해를 가지는가?
풀이
- f(1)<0<f(2)이고 f가 연속이므로 중간값 정리에 의해 반드시 해가 존재.
가진다 (중간값 정리)
도전 · 고3점근선=극한
lim(x→∞) (3x-1)/(x+2)의 값을 구하고, 이 값이 어떤 직선을 의미하는지 말하라.
풀이
- 표준형 3-7/(x+2)에서 x→∞이면 3. 이는 수평점근선 y=3을 의미.
3 (수평점근선 y=3)
도전 · 물리순간속도
자유낙하 물체의 위치가 s(t)=5t²(m)일 때, t=2에서의 순간속도를 구하라.
풀이
- lim(h→0) (5(2+h)²-20)/h = lim (20h+5h²)/h = 20+5h → 20.
20 (m/s)
도전 · 공학신호 연속성
어떤 회로 신호가 t=0에서 좌극한=2V, 우극한=2V, 실제 전압=2V로 측정됐다. 이 신호는 t=0에서 연속인가?
풀이
- 좌극한=우극한=함숫값=2V로 모두 일치하므로 연속.
연속이다 (좌극한=우극한=함숫값=2V)
※ 이 자료의 예제는 장대경 선생님 방법을 수학적으로 정확한 값으로 재구성·검산한 교육 자료입니다. 모든 계산은 직접 검산했습니다(원본 강의와 숫자·예제가 다를 수 있음).