먼저 · 채우는 3단계
1
기둥 = 밑넓이 × 높이 — 밑면(한 층)을 높이만큼 쌓은 것. 원기둥·삼각기둥·직육면체 모두 (밑넓이) × (높이).
2
뿔 = 기둥의 ⅓ — 같은 밑면·같은 높이 기둥에 세 번 부어야 가득 차요. 뿔 부피 = ⅓ × (밑넓이) × (높이).
3
구 = 원기둥의 ⅔ — 딱 맞는 원기둥 속에 구를 넣으면 부피가 ⅔. 그래서 원기둥 : 구 : 원뿔 = 3 : 2 : 1 (아르키메데스).
＋
결합·구멍은 더하거나 빼기 — 두 도형을 붙이면 합, 구멍이 뚫리면 빼기. 겹친(붙은) 면은 부피에 영향 없음.
이 개념, 학년마다 이렇게
🐣 초등 (직관)
부피 = 쌓기나무 개수. 직육면체 = 가로×세로×높이. 한 층을 높이만큼 쌓기.
📐 중1 2학기 (핵심)
기둥 = 밑넓이×높이, 뿔 = ⅓, 구 = ⅔원기둥. 3:2:1.
🎓 고등 (확장)
부피 = ∫A(x)dx. 단면이 같으면 부피도 같다(카발리에리). 뿔의 ⅓도 적분으로.
🐣 저학년 직관 — "부피 = 쌓기나무 개수"
한 변이 1인 정육면체(쌓기나무) 한 개의 부피를 1이라 하면, 상자의 부피는 그 안에 쌓기나무가 몇 개 들어가는지예요. 바닥에 한 층 깔고(가로×세로), 그 층을 높이만큼 올리면 끝. 공식도 π도 아직 필요 없어요.
가로 4, 세로 2 → 한 층 4×2 = 8개. 3층이면 8 × 3.
부피 = 24 (쌓기나무 24개)
연습 10제 · 그림 해설
문제 1원기둥
밑면 반지름 3, 높이 8 인 원기둥의 부피를 구하라.
풀이 — 밑넓이 × 높이
- 밑넓이 = πr² = π·3² = 9π.
- 부피 = 밑넓이 × 높이 = 9π × 8.
부피 = 72π
🔑 겉넓이는 "밑둘레×높이"였지만 부피는 "밑넓이×높이". 잡는 게 둘레냐 넓이냐만 달라요.
문제 2삼각기둥
밑면이 세 변 3, 4, 5 인 직각삼각형이고 높이가 10 인 삼각기둥의 부피를 구하라.
풀이
- 밑넓이 = ½ × 3 × 4 = 6 (직각을 낀 두 변 3, 4).
- 부피 = 6 × 10.
부피 = 60
문제 3직육면체
가로 4, 세로 3, 높이 5 인 직육면체의 부피를 구하라.
풀이 — 밑넓이 × 높이 = 가로×세로×높이
- 밑넓이 = 4 × 3 = 12. 부피 = 12 × 5.
부피 = 60
문제 4원뿔 · ⅓
밑면 반지름 6, 높이 8 인 원뿔의 부피를 구하라.
풀이 — 뿔은 기둥의 ⅓
- 같은 밑면·높이 원기둥 부피 = πr²h = π·36·8 = 288π.
- 원뿔은 그 ⅓ → 288π ÷ 3. (부피엔 높이 8 사용 — 모선 아님)
부피 = 96π
문제 5사각뿔
밑면이 한 변 6 인 정사각형이고 높이가 10 인 사각뿔의 부피를 구하라.
풀이
- 밑넓이 = 6 × 6 = 36.
- 뿔 = ⅓ × 36 × 10 = ⅓ × 360.
부피 = 120
문제 6구
반지름 3 인 구의 부피를 구하라.
풀이 — 구는 외운다: 4/3 πr³
- 부피 = (4/3)πr³ = (4/3)π·3³ = (4/3)π·27.
부피 = 36π
💡 반지름 3인 구는 겉넓이도 36π, 부피도 36π(우연). 헷갈리지 말 것 — 단위가 다름(넓이 vs 부피).
문제 7구멍 뚫린 관 · 빼기
밑면 반지름 4, 높이 5 인 원기둥 한가운데에, 반지름 2 짜리 원기둥 구멍이 위아래로 뚫려 있다. 이 관의 부피를 구하라.
풀이 — 큰 것 − 뚫린 것
- 큰 원기둥 = π·4²·5 = 80π. 뚫린 원기둥 = π·2²·5 = 20π.
- 관의 부피 = 80π − 20π.
부피 = 60π
문제 8결합 · 더하기
반지름 3 인 반구 위에, 밑면 반지름 3·높이 4 인 원뿔을 얹은 입체(아이스크림 모양)의 부피를 구하라.
풀이 — 반구 + 원뿔
- 반구 = ½ × (4/3)π·3³ = (2/3)π·27 = 18π.
- 원뿔 = ⅓ × π·3²·4 = ⅓ × 36π = 12π.
- 합 = 18π + 12π.
부피 = 30π
문제 93:2:1 비율
반지름 r 인 구가 딱 들어맞는 원기둥(반지름 r, 높이 2r)이 있다. 이 원기둥·구·원뿔(같은 밑면·높이)의 부피 비를 구하라.
풀이 — 아르키메데스의 3:2:1
- 원기둥 = πr²·(2r) = 2πr³.
- 구 = (4/3)πr³.
- 원뿔 = ⅓·πr²·(2r) = (2/3)πr³.
- 비 = 2 : 4/3 : 2/3, 각각 ×3 → 6 : 4 : 2 = 3 : 2 : 1.
원기둥 : 구 : 원뿔 = 3 : 2 : 1
🏛 아르키메데스는 이 3:2:1을 자기 묘비에 새겨달라 했대요. 구=원기둥의 ⅔.
문제 10실생활 · 아이스크림
밑면 반지름 3, 높이 8 인 원뿔 콘에, 반지름 3 인 구 모양 아이스크림 한 덩이를 다 녹여 담으면 넘칠까? (콘 용량과 아이스크림 부피를 비교)
풀이 — 두 부피 비교
- 콘(원뿔) 용량 = ⅓ × π·3² × 8 = ⅓ × 72π = 24π.
- 아이스크림(구) = (4/3)π·3³ = 36π.
- 36π > 24π → 아이스크림이 콘보다 12π 만큼 더 많다.
넘친다 (구 36π > 콘 24π)
제일 밑에 · 이 방법을 다른 학년·개념에 쓰는 비법
"밑넓이 × 높이(뿔은 ⅓)" 하나로 회전체·적분까지
부피에서 익힌 "밑을 잡고 높이를 쌓는다"는 눈이, 학년이 올라가면 이름만 바뀌어 그대로 쓰입니다.
① 중1 · 겉넓이의 자매
중1 2학기 · 겉넓이
겉넓이 = "밑둘레×높이 + 밑넓이", 부피 = "밑넓이×높이". 둘 다 밑을 잡고 높이를 쓰는 한 형제예요. 뿔은 겉넓이엔 πrℓ, 부피엔 ⅓.
② 고1 · 회전체 부피
고1 · 회전체
직사각형을 돌리면 원기둥, 직각삼각형을 돌리면 원뿔, 반원을 돌리면 구. 오늘 공식이 그대로 회전체 부피예요. 회전축·반지름만 잡으면 끝.
③ 고2~고3 · 적분 = 부피의 정체
미적분 · 정적분과 부피
부피 = ∫ A(x) dx — 단면 넓이 A(x)를 얇게 잘라 쌓은 것. 기둥은 단면이 일정(A×h), 뿔은 단면이 x²로 커져서 적분하면 정확히 ⅓이 나와요. "밑넓이×높이"의 적분판.
④ 카발리에리 원리 — 단면이 같으면 부피가 같다
고등 · 카발리에리
두 입체를 같은 높이에서 잘랐을 때 단면 넓이가 언제나 같으면, 기울어졌든 휘었든 부피가 같다. 비스듬한 기둥(빗각기둥)도 부피는 밑넓이×높이인 이유.
⑤ 닮음 · 실생활 — 길이 2배면 부피 8배
공학 · 밀도/용량
닮음비 1:2면 넓이는 1:4, 부피는 1:8(길이의 세제곱). 그래서 큰 동물일수록 무게(부피∝)가 급증. 부피 × 밀도 = 무게, 부피 = 담기는 용량.
도전 · 이 비법만으로 위 학년 문제 풀기
"밑넓이×높이(뿔은 ⅓)" 하나로 겉넓이·회전체·적분·닮음까지. 학년별 3문제씩!
도전 · 중1겉넓이 짝
문제 1의 원기둥(반지름 3, 높이 8)의 겉넓이는? (부피는 72π였다)
풀이 — 겉넓이는 밑둘레×높이
- 밑넓이 2개 = 2·9π = 18π, 옆넓이 = 둘레×높이 = 6π×8 = 48π.
- 겉넓이 = 18π + 48π.
겉넓이 = 66π
도전 · 중1구 겉넓이↔부피
겉넓이가 36π 인 구의 부피는?
풀이 — 먼저 반지름을 찾는다
- 겉넓이 4πr² = 36π → r² = 9 → r = 3.
- 부피 = (4/3)π·27 = 36π.
부피 = 36π
도전 · 중1원뿔대 부피
큰 원뿔(반지름 6, 높이 8)에서 위쪽 작은 원뿔(반지름 3, 높이 4)을 잘라낸 원뿔대의 부피는?
풀이 — 큰 뿔 − 작은 뿔
- 큰 원뿔 = ⅓·π·6²·8 = 96π. 작은 원뿔 = ⅓·π·3²·4 = 12π.
- 원뿔대 = 96π − 12π.
부피 = 84π
도전 · 고1회전체 · 원기둥
가로 3, 세로 8 인 직사각형을 세로변을 축으로 한 바퀴 돌린 입체의 부피는?
풀이 — 직사각형 회전 = 원기둥
- 반지름 3, 높이 8 원기둥 → π·3²·8 = 72π.
부피 = 72π
도전 · 고1회전체 · 원뿔
밑변 6, 높이 8 인 직각삼각형을 높이변을 축으로 돌린 원뿔의 부피는?
풀이 — 직각삼각형 회전 = 원뿔
- 반지름 6, 높이 8 원뿔 → ⅓·π·36·8 = 96π.
부피 = 96π
도전 · 고1회전체 · 구
반지름 3 인 반원을 지름을 축으로 돌린 입체의 부피는?
풀이 — 반원 회전 = 구
- 반지름 3 구 → (4/3)π·27 = 36π.
부피 = 36π
도전 · 고등적분 — 부피의 정체
밑넓이가 항상 9π 로 일정한 원기둥(높이 8)의 부피를 ∫₀⁸ A(x)dx 로 구하라.
풀이 — 단면을 쌓는 적분
- ∫₀⁸ 9π dx = 9π × 8 = 72π. (단면 넓이가 일정하니 밑넓이×높이와 같음)
부피 = 72π (문제 1과 일치)
💡 적분은 단면을 얇게 잘라 쌓은 것. 오늘 배운 "밑넓이×높이"가 뿌리예요.
도전 · 고등닮음 — 부피비
반지름이 2배인 구는 부피가 몇 배가 되는가?
풀이 — 부피는 길이의 세제곱
- (4/3)π(2r)³ = (4/3)π·8r³ → 2³ = 8배. (길이 2배 → 넓이 4배, 부피 8배)
부피 8배
도전 · 고등카발리에리
밑넓이와 높이가 같은 곧은 기둥과 비스듬히 기운 기둥(빗기둥)의 부피는 같은가, 다른가?
풀이 — 카발리에리 원리
- 같은 높이에서 자른 단면 넓이가 항상 같으므로 부피도 같다. 기울어져도 밑넓이×높이 그대로.
같다 (밑넓이 × 높이)
※ 이 자료의 예제·그림은 장대경 선생님 방법을 수학적으로 정확한 값으로 재구성·검산한 교육 자료입니다. 모든 부피·계산은 직접 검산했습니다(원본 강의와 숫자·예제가 다를 수 있음).