먼저 · 대각선으로 읽는 사각형
1
직사각형 — 두 대각선의 길이가 같다(SAS 합동으로 증명). 각이 전부 90°인 도형의 표식.
2
마름모 — 두 대각선이 서로 수직이등분한다(SSS 합동으로 증명). 변의 길이가 전부 같은 도형의 표식.
3
정사각형 — 직사각형 + 마름모, 그래서 대각선이 길이도 같고 수직이등분도 한다.
＋
등변사다리꼴 — 대각선 길이가 같다. 보조선을 그어 평행사변형·이등변삼각형으로 바꿔 푼다.
이 개념, 학년마다 이렇게
🐣 초등 (직관)
네모를 변의 길이·각도로 구분. 정사각형은 변도 각도 다 같다.
📐 중2 (핵심)
각 사각형이 되는 조건을 합동(SAS·SSS)으로 증명, 대각선 성질로 판별.
🎓 고등 (확장)
좌표평면에서 벡터·기울기로 사각형 판별, 도형의 방정식 연결.
🐣 저학년 직관 — "변과 각을 보면 이름이 보인다"
네모 모양은 변의 길이와 각의 크기로 구분해요. 네 각이 모두 직각이면 직사각형, 거기에 네 변까지 같으면 정사각형. 네 변이 다 같지만 각이 삐뚤면 마름모예요.
직사각형(각 90°만) → 정사각형(각 90°+변 같음) → 마름모(변만 같음, 각은 삐뚤어도 OK).
핵심: 변이 같은가? 각이 90°인가? 두 질문으로 구분
연습 10제 · 그림 해설
문제 1직사각형 · 진가
직사각형 ABCD에서 두 대각선의 교점을 O라 하자. AC = 5x − 2, BD = 2x + 7 일 때, 대각선 BD의 길이를 구하라.
풀이 — 직사각형의 두 대각선은 길이가 같다
- 직사각형 대각선은 길이가 같다 → AC = BD.
- 5x − 2 = 2x + 7 → 3x = 9 → x = 3.
- BD = 2(3) + 7 = 13.
대각선 BD = 13
문제 2마름모 · 넓이
두 대각선의 길이가 각각 6cm, 8cm인 마름모의 넓이를 구하라.
풀이 — 마름모 넓이 = 대각선 곱의 절반
- 대각선이 수직이등분하므로 마름모는 직각삼각형 4개로 나뉜다.
- 넓이 = (대각선1 × 대각선2) ÷ 2 = (6 × 8) ÷ 2.
넓이 = 24cm²
문제 3정사각형
대각선의 길이가 10cm인 정사각형의 한 변의 길이를 구하라.
풀이 — 대각선 = 한 변 × √2
- 정사각형 대각선은 직각이등변삼각형의 빗변 → 대각선 = 변 × √2.
- 변 = 10 ÷ √2 = 10√2/2 = 5√2.
한 변 = 5√2 cm
문제 4정사각형 · 진가
정사각형 ABCD의 내부의 한 점 P에 대하여 삼각형 PBC가 정삼각형일 때, 각 APD의 크기를 구하라.
풀이 — 이등변삼각형 두 개로 쪼갠다
- PBC 정삼각형 → PB=PC=BC, 각 PBC=60°.
- 각 ABP = 90−60 = 30°. AB=BP(둘 다 정사각형 변=정삼각형 변) → 삼각형 ABP는 이등변.
- 각 BAP = 각 BPA = (180−30)/2 = 75°. 대칭으로 각 CPD = 75°.
- 각 APD = 360 − (60+75+75) = 150°.
각 APD = 150°
문제 5등변사다리꼴 · 진가
윗변의 길이가 5cm, 옆변의 길이가 7cm이고 밑각이 60°인 등변사다리꼴 ABCD의 아랫변 BC의 길이를 구하라.
풀이 — 보조선으로 평행사변형 + 정삼각형 만들기
- A에서 DC와 평행한 보조선 AE(E는 BC 위) → AECD는 평행사변형: EC=AD=5, AE=DC=7.
- 삼각형 ABE: AB=AE=7, 각 B=60° → 이등변+60°=정삼각형 → BE=7.
- BC = BE + EC = 7 + 5 = 12.
아랫변 BC = 12cm
문제 6직사각형 · 각도
직사각형 ABCD에서 두 대각선의 교각(∠AOB, O는 교점)이 70°일 때, ∠OAB의 크기를 구하라. (O는 대각선 교점, △OAB는 이등변삼각형)
풀이 — 대각선이 만든 이등변삼각형
- 대각선 길이가 같고 서로 이등분 → OA=OB, 삼각형 OAB는 이등변.
- ∠AOB=70° → 밑각의 합 = 180−70=110°, 각각 55°.
∠OAB = 55°
문제 7마름모 · 각도
마름모 ABCD에서 ∠A = 70°일 때, ∠ABC의 크기를 구하라.
풀이 — 마름모는 평행사변형, 이웃각 합=180°
- 마름모도 평행사변형이므로 이웃한 두 각의 합은 180° → 180 − 70 = 110°.
∠ABC = 110°
문제 8등변사다리꼴 · 각도
등변사다리꼴 ABCD(AD∥BC)에서 밑각 ∠B = 65°일 때, 윗각 ∠A의 크기를 구하라.
풀이 — 평행선의 같은쪽 내각의 합 = 180°
- AD∥BC이므로 ∠A + ∠B = 180° → 180 − 65 = 115°.
∠A = 115°
문제 9되는 조건 판별
평행사변형 ABCD가 다음 중 어느 조건을 만족하면 직사각형이 되는가? (가) 한 내각이 90° (나) 두 대각선이 서로 수직
풀이 — 직사각형 조건 vs 마름모 조건
- (가): 평행사변형에서 한 각이 90°면 나머지도 다 90°(이웃각 합 180°, 대각 같음) → 직사각형.
- (나): 대각선이 수직이면 그건 마름모가 되는 조건.
(가)가 직사각형 조건
문제 10실생활 · 액자
직사각형 액자의 대각선을 재었더니 두 대각선의 길이가 각각 26cm, 25cm였다. 이 액자는 정확한 직사각형인가?
풀이 — 대각선 길이로 직사각형 검사
- 직사각형이라면 두 대각선의 길이가 반드시 같아야 한다. 26 ≠ 25이므로 정확한 직사각형이 아니다(살짝 비뚤어짐).
아니다 (직사각형이면 두 대각선이 같아야 함)
제일 밑에 · 이 방법을 다른 학년·개념에 쓰는 비법
"대각선을 보면 정체가 보인다" 하나로 좌표기하까지
사각형에서 익힌 "대각선의 길이·각도로 판별한다"는 눈이, 학년이 올라가면 좌표와 벡터로 그대로 이어집니다.
① 중2 · 판별 조건 총정리
중2 · 사각형의 성질
평행사변형에 조건을 하나씩 추가하면: 한 각 90°→직사각형, 이웃 변 같음→마름모, 대각선 수직→마름모, 대각선 길이 같음→직사각형. 조건표를 대각선으로 외우면 헷갈리지 않아요.
② 고1 · 좌표평면의 사각형
고1 · 도형의 방정식
네 꼭짓점의 좌표가 주어지면 기울기로 평행, 거리공식으로 변의 길이, 내분점 공식으로 대각선의 중점을 확인해 사각형 종류를 증명합니다. 대각선 중점이 같으면 평행사변형!
③ 고2 · 벡터로 증명
기하와 벡터
두 대각선 벡터의 내적이 0이면 수직(마름모 조건), 크기가 같으면 직사각형 조건. 벡터 내적 하나로 사각형 성질을 한 줄에 증명할 수 있어요.
④ 도형의 넓이 최적화
고등 · 최적화
둘레가 일정한 사각형 중 넓이가 최대인 것은 정사각형. 대각선이 같고 수직이등분하는 조건이 겹쳐야 가장 "균형 잡힌" 도형이 되기 때문이에요.
⑤ 실생활 · 건축·측량
공학
문제 10처럼 대각선 길이 비교는 실제 건축 현장에서 직각을 확인하는 방법이에요("대각선 재기"). 두 대각선이 같아야 진짜 직사각형.
도전 · 이 비법만으로 위 학년 문제 풀기
"대각선을 보면 정체가 보인다" 하나로 좌표기하·벡터까지. 학년별 3문제씩!
도전 · 고1좌표 — 평행사변형 판별
네 점 A(0,0), B(4,0), C(6,3), D(2,3)이 평행사변형을 이루는지, 대각선의 중점으로 확인하라.
풀이 — 대각선 AC, BD의 중점이 같으면 평행사변형
- AC 중점 = ((0+6)/2,(0+3)/2)=(3, 1.5).
- BD 중점 = ((4+2)/2,(0+3)/2)=(3, 1.5). 같다!
평행사변형이다 (대각선 중점이 일치)
도전 · 고1좌표 — 직사각형 판별
위 사각형 ABCD에서 대각선 AC, BD의 길이를 각각 구하고, 직사각형인지 판별하라.
풀이 — 거리공식으로 대각선 길이 비교
- AC = √(6²+3²)=√45. BD = √((4-2)²+(0-3)²)=√(4+9)=√13.
- 길이가 다르다(√45 ≠ √13) → 직사각형 아님(평행사변형만).
직사각형이 아니다
도전 · 고1마름모 넓이 응용
한 변의 길이가 5cm이고 한 대각선의 길이가 6cm인 마름모의 넓이를 구하라.
풀이 — 피타고라스로 나머지 대각선의 절반 구하기
- 대각선 절반은 3, 변은 5 → 나머지 대각선 절반 = √(5²−3²)=√16=4, 나머지 대각선 = 8.
- 넓이 = (6×8)÷2.
넓이 = 24cm²
도전 · 고2벡터 — 수직 판별
대각선 벡터 a⃗=(3,4), b⃗=(4,−3)일 때, 이 사각형은 마름모 조건(대각선 수직)을 만족하는가?
풀이 — 내적이 0이면 수직
- a⃗·b⃗ = 3×4 + 4×(−3) = 12−12 = 0 → 수직이다.
만족한다 (내적=0, 수직)
도전 · 고2벡터 — 길이 판별
위 벡터 a⃗, b⃗의 크기를 비교하여 직사각형 조건(대각선 길이 같음)도 만족하는지 확인하라.
풀이
- |a⃗|=√(9+16)=5, |b⃗|=√(16+9)=5. 같다!
만족한다 → 이 사각형은 정사각형(수직+길이같음)
도전 · 고등최적화
둘레가 20cm로 일정한 직사각형 중 넓이가 최대인 것은 가로·세로가 각각 몇 cm일 때인가?
풀이 — 산술기하평균 또는 이차함수 최댓값
- 가로+세로=10. 넓이 S=x(10−x)=−x²+10x, x=5일 때 최대.
가로=세로=5cm (정사각형일 때 최대)
※ 이 자료의 예제는 장대경 선생님 방법을 수학적으로 정확한 값으로 재구성·검산한 교육 자료입니다. 모든 각도·길이·계산은 직접 검산했습니다(원본 강의와 숫자·예제가 다를 수 있음).