YEON MATH · 행복수학

속도와 가속도 실전 완전정복
— "미분 한 칸이 속도, 또 한 칸이 가속도" · 연습 10제

위치 → 속도 → 가속도 · 운동 방향 전환 · 원점 통과 · 정지 거리 · 최고 높이 · 변화율 · 그래프 읽기 · 장대경 선생님의 특강

연플래닝 ACADEMY

먼저 · 속도와 가속도를 푸는 규칙 일곱 가지

1
한 칸씩 내려간다 — 부피 → 넓이 → 길이(= 위치) → 속도 → 가속도. 위치 x(t)를 미분하면 v(t), 한 번 더 미분하면 a(t). 오늘 나오는 문제는 전부 이 두 칸 중 어디를 묻는가일 뿐이다.
2
"멈춘다 · 꼭대기 · 방향을 바꾼다" = v(t) = 0 — 말은 셋이지만 식은 하나다. 앞으로 가다 뒤로 가려면 반드시 한 번 멈추기 때문이다.
3
"원점을 지난다 · 땅에 떨어진다" = 위치가 0 — 같은 "0"이라도 0이 되는 대상이 다르다. 속도가 0인지 위치가 0인지, 이것부터 갈라야 한다.
4
시간에는 마이너스가 없다 — 인수분해해서 근이 둘 나와도 음수는 그 자리에서 버린다. 당연해 보이지만 시험에서 가장 많이 놓치는 한 줄이다.
5
찾은 t를 어디에 넣을지 먼저 정한다 — 거리·높이를 물으면 원래 식(위치), 속도를 물으면 한 번 미분, 가속도를 물으면 두 번 미분.
6
변화율 = 미분 — "1초에 얼마씩 변하는가"가 곧 미분이다. 다만 문자가 둘이면 미분할 수 없으므로, 닮음이나 주어진 관계로 문자를 하나로 줄인 뒤 미분한다.
7
그래프에서는 기울기가 곧 다음 칸 — 위치 그래프의 기울기는 속도, 속도 그래프의 기울기는 가속도. 봉우리·골짜기는 기울기 0 자리다.

이 개념, 학년마다 이렇게

🐣 초등 (직관)
1시간에 4 km를 걸으면 빠르기는 시속 4 km. "간 거리 ÷ 걸린 시간"이 속도다. 그 빠르기가 점점 커지는 것이 가속도 — "빠르기가 변하는 빠르기".
📐 고2 (핵심)
위치 x(t)를 미분해 속도, 또 미분해 가속도. 운동 방향 전환, 최고점, 정지 거리, 부피·넓이의 변화율.
🎓 그 위 (확장)
적분으로 거꾸로 올라가기(속도 → 위치), 평면 위의 운동과 속력 √(x′² + y′²), 물리의 등가속도 공식, 관련 변화율.

🐣 저학년 직관 — "빠르기"와 "빠르기가 변하는 빠르기"

자전거를 타고 1초에 2 m씩 나아가면 속도는 초속 2 m예요. 그런데 페달을 더 밟아서 1초 뒤에는 초속 3 m, 그 1초 뒤에는 초속 4 m가 되었다면? 속도가 1초에 1 m씩 커지고 있지요. 이 "속도가 커지는 빠르기"가 바로 가속도예요.

그래서 가속도가 0이라는 말은 "멈췄다"가 아니라 "빠르기가 그대로다"라는 뜻이에요. 브레이크를 밟으면 속도가 점점 줄어드니까 가속도는 음수가 되고요. 위치 → 속도 → 가속도, 한 칸씩 내려가면서 "무엇이 얼마나 빨리 변하는가"를 묻는 거예요.

위치가 변하는 빠르기 = 속도 · 속도가 변하는 빠르기 = 가속도

연습 10제

문제 1기본 · 규칙 1
원점을 출발한 점 P의 t초 후의 위치가 x = 2t3 − 9t2 + 12t이다. ① 속도 v(t)와 가속도 a(t)를 구하고, ② t = 3일 때의 속도와 가속도를 구하여라.

풀이 — 미분 한 칸, 그리고 또 한 칸

  1. ⭐ 여기가 고비 — 가속도를 물으면 미분을 두 번 한다 속도까지 구해 놓고 거기서 멈추는 실수가 가장 잦습니다. 위치와 가속도 사이에는 칸이 둘 있습니다. 사슬을 다시 그려 보면 — 위치 x → (미분) → 속도 v → (미분) → 가속도 a.
    그러니 문제가 무엇을 묻는지 읽는 순간 「미분을 몇 번 할 것인가」가 정해집니다.
    거리·높이를 물으면 0번(원래 식), 속도를 물으면 1번, 가속도를 물으면 2번.
    이 한 줄만 먼저 정해 놓고 계산에 들어가면, 나머지는 그냥 다항식 미분일 뿐입니다.
  2. ① v(t) = x′(t) = 6t2 − 18t + 12 = 6(t − 1)(t − 2).
  3.    a(t) = v′(t) = 12t − 18.
  4. ② v(3) = 54 − 54 + 12 = 12, a(3) = 36 − 18 = 18.
v = 6t²−18t+12, a = 12t−18 · v(3) = 12, a(3) = 18
문제 2방향 전환 · 규칙 2·4
원점을 출발한 점 P의 t초 후의 위치가 x = t3 − 3t2 − 9t이다. 점 P가 운동 방향을 바꾸는 시각과 그때의 가속도를 구하여라.

풀이 — 방향을 바꾼다 = 속도가 0

  1. ⭐ 여기가 고비 — 근이 둘 나와도 시간에는 마이너스가 없다 3(t − 3)(t + 1) = 0에서 t = 3과 t = −1이 나옵니다. 그런데 t는 출발한 뒤 흐른 시간입니다. "1초 전"이 아니라 "출발하기 1초 전"은 이 문제에 아예 없는 시간입니다. 그러니 t = −1은 계산이 틀린 것이 아니라 이 상황에 해당하지 않는 근이라 버립니다.
    인수분해를 끝낸 바로 그 자리에서 음수 근에 줄을 긋는 습관을 들이십시오. 나중에 대입할 때 섞이면 답이 통째로 어긋납니다.
    남는 것은 t = 3 하나 — 그러니 이 점은 방향을 딱 한 번만 바꿉니다.
  2. 방향을 바꾼다 ⇒ v(t) = 0. v(t) = 3t2 − 6t − 9 = 3(t − 3)(t + 1).
  3. t > 0이므로 t = 3(초).
  4. 가속도 a(t) = 6t − 6, a(3) = 18 − 6 = 12.
t = 3초, 가속도 12
문제 3원점 통과 · 규칙 3
원점을 출발한 점 P의 t초 후의 위치가 x = t3 − 5t2 + 4t이다. 점 P가 마지막으로 원점을 지날 때의 속도를 구하여라.

풀이 — 원점을 지난다 = 위치가 0

  1. ⭐ 여기가 고비 — 여기서 0이 되는 것은 속도가 아니라 위치다 앞 문제에서 v = 0으로 놓았다고 여기서도 그렇게 하면 완전히 다른 답이 나옵니다. "원점을 지난다"는 제자리로 돌아왔다, 곧 x = 0입니다. "멈춘다"가 아닙니다 — 지나갈 때는 오히려 속도가 살아 있습니다.
    그러니 원식을 0으로 놓고 인수분해합니다 : t(t − 1)(t − 4) = 0 ⇒ t = 0, 1, 4.
    0초는 출발한 순간, 1초에 한 번 돌아왔다가, 4초에 또 돌아옵니다. "마지막으로"라고 했으니 t = 4.
    그리고 속도를 물었으니 이제 미분합니다 — 0이 되는 대상을 가르고, 묻는 것을 미분한다. 이 두 걸음이 순서입니다.
  2. x = t(t2 − 5t + 4) = t(t − 1)(t − 4) = 0 ⇒ t = 0, 1, 4.
  3. 마지막은 t = 4(초).
  4. v(t) = 3t2 − 10t + 4, v(4) = 48 − 40 + 4 = 12.
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — v = 0으로 놓으면 3t² − 10t + 4 = 0 → t = (5 ± √13)/3. 무리수가 튀어나옵니다. 원점을 "지나는" 시각을 물었는데 멈추는 시각을 구한 것이니 애초에 다른 물음입니다. → 답이 지저분해지면 0이 되는 대상을 잘못 잡은 것은 아닌지 먼저 의심하십시오.
12
문제 4실생활 · 규칙 5
달리던 자동차가 브레이크를 밟은 뒤 t초 동안 달린 거리가 x = 24t − 0.6t2(m)이다. 이 자동차가 완전히 멈출 때까지 달린 거리를 구하여라.

풀이 — 멈추는 시각을 찾고, 그 시각을 원식에

  1. ⭐ 여기가 고비 — 찾은 t = 20을 어디에 넣을 것인가 v = 0으로 t = 20을 구해 놓고, 그대로 속도식에 다시 넣어 0이라고 답하는 일이 실제로 아주 잦습니다. 문제가 물은 것은 「달린 거리」입니다 — 거리는 위치이지 속도가 아닙니다. 그러니 t = 20은 원래 식에 넣어야 합니다.
    속도식은 「언제 멈추는가」를 알아내는 도구였을 뿐이고, 답을 만드는 자리는 원식입니다.
    머릿속에 이 두 줄을 나란히 두십시오 — 「언제?」는 미분한 식에서, 「얼마나?」는 원래 식에서.
    선생님이 이 자리에서 "20초를 어디에? 그렇지, 원식에 넣어야 거리가 나오지" 하고 되물으신 까닭입니다.
  2. 완전히 멈춘다 ⇒ v = 0. v(t) = 24 − 1.2t.
  3. 24 − 1.2t = 0 ⇒ t = 20(초).
  4. x(20) = 24 × 20 − 0.6 × 400 = 480 − 240 = 240(m).
240 m
문제 5쏘아 올린 물체 · 규칙 2·5
지면으로부터 25 m 높이에서 똑바로 위로 쏘아 올린 물체의 t초 후의 높이가 h = 25 + 30t − 5t2(m)이다. 이 물체가 가장 높이 올라갔을 때 지면으로부터의 높이를 구하여라.
t = 3 · 꼭대기 70 25 3 t
꼭대기에서는 더 올라가지 못하고 멈춥니다. "멈춘다"를 식으로 옮기면 무엇이 0일까요?

풀이 — 꼭대기 = 속도가 0

  1. ⭐ 여기가 고비 — 답은 지면부터 잰 높이이지 「올라간 높이」가 아니다 t = 3까지 옳게 구해 놓고도, 올라간 거리 45 m를 그대로 답으로 쓰는 실수가 잦습니다. 이 문제의 위치식 h = 25 + 30t − 5t²에서 맨 앞의 25가 바로 「출발선이 이미 지면에서 25 m 위」라는 뜻입니다.
    그러니 h(3)을 계산하면 지면부터의 높이가 저절로 나옵니다 — 25 + 90 − 45 = 70.
    반면 「올라간 높이」는 70 − 25 = 45 m 입니다. 문제가 어느 쪽을 물었는지 한 번 더 읽으십시오.
    위치식의 상수항은 언제나 「출발한 자리」입니다 — 원점 출발 문제에서 상수항이 없었던 것도 그 때문입니다.
  2. 꼭대기 ⇒ v = 0. v(t) = 30 − 10t.
  3. 30 − 10t = 0 ⇒ t = 3(초).
  4. h(3) = 25 + 90 − 45 = 70(m).
70 m
문제 6변화율 · 규칙 6
반지름의 길이가 2 cm인 공 모양의 풍선에 공기를 넣어 반지름이 1초에 2 cm씩 늘어나게 한다. 4초 후 부피의 변화율을 구하여라.

풀이 — 반지름을 t로 나타내고 미분한다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 1초에 2 cm씩이면 4πr²에서 끝나지 않는다 구의 부피를 r로 미분하면 4πr²입니다. 그런데 문제가 물은 것은 「r가 1 늘 때」가 아니라 「t가 1초 지날 때」의 변화율입니다. 반지름이 1초에 2 cm씩 늘어나므로 r = 2 + 2t. 이것을 부피식에 먼저 넣고 t로 미분하면 흔들릴 일이 없습니다 :
    V = 43π(2 + 2t)³ ⇒ V′(t) = 4π(2 + 2t)² × 2 = 8πr².
    앞 강의의 풍선 문제는 「1초에 1 cm」였기에 곱하는 수가 1이라 보이지 않았을 뿐입니다.
    변화율 문제는 언제나 「무엇을 무엇으로 미분하는가」를 소리 내어 확인하십시오 — 여기서는 부피를 시간으로입니다.
  2. 4초 후 반지름 r = 2 + 2 × 4 = 10(cm).
  3. V = 43πr3, r = 2 + 2t이므로 V(t) = 43π(2 + 2t)3.
  4. V′(t) = 4π(2 + 2t)2 × 2 = 8π(2 + 2t)2.
  5. V′(4) = 8π × 102 = 800π (cm³/초).
800π cm³/초
문제 7변화율 · 정육면체
한 모서리의 길이가 1 cm인 정육면체가 있다. 한 모서리가 1초에 1 cm씩 길어질 때, 3초 후의 ① 부피의 변화율과 ② 겉넓이의 변화율을 구하여라.

풀이 — 모서리를 t로 놓고 각각 미분한다

  1. ⭐ 여기가 고비 — "부피를 미분하면 겉넓이"는 공에서만 딱 맞는다 강의에서 V = 43πr³을 미분하니 겉넓이 4πr²이 나왔지요. 그런데 정육면체는 V = a³을 미분해도 3a², 겉넓이 6a²의 절반입니다. 까닭은 재는 길이의 자리가 다르기 때문입니다. 공의 반지름은 중심에서 겉면까지라, r가 조금 늘면 겉면 전체가 그만큼 바깥으로 나갑니다.
    정육면체의 한 모서리는 그런 자리가 아닙니다 — a가 조금 늘면 여섯 면 가운데 세 면 쪽으로만 살이 붙습니다. 그래서 6a²이 아니라 3a²인 것이지요.
    그러니 사슬(부피 → 넓이)은 「외우는 공식」이 아니라 「그래서 그런 것」입니다. 도형이 바뀌면 반드시 다시 미분해서 확인하십시오.
  2. 한 모서리 a = 1 + t, 3초 후 a = 4(cm).
  3. ① V = a3 = (1 + t)3 ⇒ V′ = 3(1 + t)2, V′(3) = 3 × 16 = 48(cm³/초).
  4. ② S = 6a2 = 6(1 + t)2 ⇒ S′ = 12(1 + t), S′(3) = 48(cm²/초).
  5. 값은 우연히 둘 다 48이지만 단위가 다르다 — 하나는 cm³/초, 하나는 cm²/초.
부피 48 cm³/초, 겉넓이 48 cm²/초
문제 8가속도가 0 · 규칙 1
원점을 출발한 점 P의 t초 후의 위치가 x = −t3 + 6t2이다. 가속도가 0이 되는 시각과 그때의 속도를 구하여라.

풀이 — 가속도가 0인 순간은 멈춘 순간이 아니다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 가속도 0 ≠ 속도 0. 오히려 속도가 가장 빠른 순간이다 "0이 되었으니 멈춘 것 아닌가" 하고 속도도 0이라고 답하기 쉬운 자리입니다. 가속도가 0이라는 것은 「속도가 더 이상 커지지도 작아지지도 않는 순간」입니다 — 빠르기는 살아 있고, 다만 그 빠르기가 바뀌지 않는 것이지요.
    실제로 v(t) = −3t² + 12t = −3t(t − 4)는 위로 볼록한 포물선이라 t = 2에서 꼭짓점, 곧 속도가 최대가 됩니다. 그 최댓값이 v(2) = 12입니다.
    「속도의 최대·최소를 물으면 가속도를 0으로 놓는다」 — 이 문제는 그 관계를 거꾸로 보여 주고 있습니다.
    자동차로 치면 가속 페달을 가장 세게 밟다가 힘을 빼기 시작하는 그 순간입니다.
  2. v(t) = −3t2 + 12t, a(t) = −6t + 12.
  3. a(t) = 0 ⇒ t = 2(초).
  4. v(2) = −12 + 24 = 12.
t = 2초, 속도 12 (그때가 속도의 최댓값)
문제 9두 점 · 읽기
수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q가 원점을 동시에 출발하여 t초 후의 위치가 각각 xP = t2 − 2t, xQ = −t2 + 6t이다. 두 점의 속도가 같아지는 시각과 그때 두 점 사이의 거리를 구하여라.

풀이 — 속도끼리 같다고 놓는다

  1. ⭐ 여기가 고비 — "속도가 같다"와 "만난다"는 전혀 다른 조건이다 xP = xQ로 놓으면 두 점이 같은 자리에 있는 시각(= 만나는 때)이 나옵니다. 문제는 그것을 묻지 않았습니다. "속도가 같다"는 두 점을 각각 미분해서 그 둘을 같다고 놓는 것입니다 : 2t − 2 = 6 − 2t ⇒ 4t = 8 ⇒ t = 2.
    그리고 여기서 한 번 더 갈립니다 — 이제 「두 점 사이의 거리」를 물었으니 속도가 아니라 위치로 되돌아가야 합니다.
    xP(2) = 0, xQ(2) = 8 ⇒ 거리 |8 − 0| = 8.
    미분한 식에서 시각을 얻고, 원래 식으로 돌아와 거리를 만든다 — 문제 4와 똑같은 손놀림입니다.
    (참고로 두 점이 만나는 때는 t² − 2t = −t² + 6t ⇒ 2t(t − 4) = 0 ⇒ t = 4로 다른 시각입니다.)
  2. vP = 2t − 2, vQ = −2t + 6.
  3. 2t − 2 = −2t + 6 ⇒ t = 2(초).
  4. xP(2) = 4 − 4 = 0, xQ(2) = −4 + 12 = 8.
  5. 두 점 사이의 거리 = |8 − 0| = 8.
t = 2초, 거리 8
문제 10가장 멀리 · 규칙 2
원점을 출발한 점 P의 t초 후의 위치가 x = t3 − 9t2 + 24t이다. 0 ≤ t ≤ 4에서 점 P가 원점에서 가장 멀리 떨어질 때의 시각과 그때의 거리를 구하여라.

풀이 — 속도가 0인 곳과 끝점을 함께 견준다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 끝점도 후보다. 극값만 보면 틀린다 v = 3(t − 2)(t − 4) = 0에서 t = 2, 4를 구했다고 거기서 끝내면 안 됩니다. 구간이 0 ≤ t ≤ 4로 잘려 있기 때문입니다. 닫힌구간에서 최대·최소를 찾을 때의 후보는 언제나 셋입니다 — ① v = 0인 곳, ② 왼쪽 끝, ③ 오른쪽 끝.
    여기서는 t = 0(끝), t = 2, t = 4(끝, 마침 v = 0이기도 함) 셋을 모두 넣어 봅니다 :
    x(0) = 0, x(2) = 8 − 36 + 48 = 20, x(4) = 64 − 144 + 96 = 16.
    가장 큰 것은 20이므로 t = 2일 때 가장 멉니다.
    그리고 「거리」이므로 절댓값입니다 — 이 문제에서는 x가 줄곧 양수라 그대로지만, 음수로 깊이 내려가는 문제라면 골짜기가 답이 됩니다 (도전 5에서 그 경우를 봅니다).
  2. v(t) = 3t2 − 18t + 24 = 3(t − 2)(t − 4) = 0 ⇒ t = 2, 4.
  3. 후보 t = 0, 2, 4 : x(0) = 0, x(2) = 20, x(4) = 16.
  4. 거리는 |x|이고 이 구간에서 x ≥ 0이므로 최대는 t = 2일 때 20.
t = 2초, 거리 20

도전 6제

도전 1미정계수 · 두 조건
원점을 출발한 점 P의 t초 후의 위치가 x = t3 + at2 + bt이다. 점 P가 t = 1에서 운동 방향을 바꾸고, t = 2에서 가속도가 0이 될 때, 상수 a, b의 값과 t = 3일 때의 위치를 구하여라.

풀이 — 두 조건이 서로 다른 칸을 가리킨다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 두 조건은 서로 다른 칸의 이야기다 둘 다 "0이 된다"고 하니 같은 식에 넣기 쉽지만, 하나는 속도, 하나는 가속도입니다. 「t = 1에서 운동 방향을 바꾼다」 ⇒ v(1) = 0
    「t = 2에서 가속도가 0」 ⇒ a(2) = 0, 곧 v′(2) = 0
    그러니 미분을 두 번 해 놓고 각각의 식에 각각의 시각을 넣습니다 :
    v = 3t² + 2at + b, v′ = 6t + 2a.
    v′(2) = 12 + 2a = 0 ⇒ a = −6. 이것을 v(1) = 3 + 2a + b = 0에 넣으면 b = 9.
    미지수가 둘이면 조건도 둘이고, 어느 조건이 어느 칸의 식인지 표를 만들듯 갈라 적는 것이 이 유형의 전부입니다.
    (덧붙여 a가 상수 이름과 가속도 기호로 겹치니, 가속도는 v′(t)로 적는 편이 안전합니다.)
  2. v(t) = 3t2 + 2at + b, v′(t) = 6t + 2a.
  3. v′(2) = 12 + 2a = 0 ⇒ a = −6.
  4. v(1) = 3 + 2a + b = 3 − 12 + b = 0 ⇒ b = 9.
  5. 따라서 x = t3 − 6t2 + 9t, x(3) = 27 − 54 + 27 = 0.
  6. 확인 : v = 3(t − 1)(t − 3)이므로 t = 1에서 정말 방향이 바뀐다 ✓
a = −6, b = 9 · x(3) = 0 (원점으로 돌아온다)
도전 2속도의 최솟값
원점을 출발한 점 P의 t초 후의 위치가 x = t3 − 6t2 + 5t이다. 점 P의 속도가 최소가 되는 시각과 그때의 속도를 구하여라.

풀이 — 최소를 물으면 한 칸 더 미분한다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 미분하는 대상이 위치가 아니라 속도로 내려간다 "최소"라는 말에 반사적으로 v = 0을 놓으면 엉뚱한 답이 나옵니다. 최소가 되는 것은 위치가 아니라 속도이기 때문입니다. "어떤 것이 최대·최소" ⇒ 「그것을 미분해서 0」이 원칙입니다. 여기서 그것은 속도이므로, 속도를 미분한 것 = 가속도를 0으로 놓습니다 :
    v = 3t² − 12t + 5, a = v′ = 6t − 12 = 0 ⇒ t = 2.
    v는 아래로 볼록한 포물선이라 이 자리가 곧 최솟값이고, v(2) = 12 − 24 + 5 = −7입니다.
    −7의 마이너스는 「느리다」가 아니라 「뒤로 간다」는 뜻입니다 — 속력(빠르기)으로 치면 이때가 오히려 뒤로 가장 빠른 순간이지요.
    「속도가 최소」와 「속력이 최소」는 다른 물음임을 여기서 확실히 갈라 두십시오.
  2. v(t) = 3t2 − 12t + 5.
  3. v′(t) = 6t − 12 = 0 ⇒ t = 2(초).
  4. v(2) = 12 − 24 + 5 = −7. (v의 이차항 계수가 양수이므로 최솟값 ✓)
t = 2초, 속도의 최솟값 −7
도전 3변화율 · 문자 줄이기
원기둥 모양의 그릇에 물을 붓는데, 물이 이루는 원기둥은 언제나 밑면의 반지름이 높이의 12이고 높이는 1초에 1 cm씩 올라간다. 물의 높이가 6 cm일 때 물의 부피의 변화율을 구하여라.

풀이 — 문자를 하나로 줄인 뒤 미분한다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 문자가 둘이면 미분할 수 없다 V = πr²h를 그대로 놓고 미분하려 하면 r와 h가 함께 변해 손을 댈 수 없습니다. 그래서 먼저 「둘을 잇는 한 줄」을 찾습니다. 문제가 준 것은 r = h2 — 이것이 그 한 줄입니다.
    넣어서 문자를 h 하나로 만들면 : V = π(h2)2h = π4h3.
    이제야 미분이 됩니다 — V′ = 3π4h2, h = 6 ⇒ 3π4 × 36 = 27π.
    (높이가 1초에 1 cm씩이므로 h로 미분한 것이 곧 t로 미분한 것과 같습니다. 문제 6처럼 1이 아닌 수라면 반드시 그 수를 곱해야 합니다.)
    변화율 문제의 첫 손은 언제나 「문자를 하나로」입니다.
  2. V = πr2h, r = h2.
  3. V = π · h24 · h = π4h3.
  4. V′ = 3π4h2, h = 6 ⇒ V′ = 3π4 × 36 = 27π.
27π cm³/초
도전 4속도 그래프 읽기 · 규칙 7
아래는 수직선 위를 움직이는 점 P의 0 ≤ t ≤ 4에서의 속도 v(t) = t3 − 6t2 + 9t + 4의 그래프이다. ① 가속도가 0이 되는 시각을 모두 구하고, ② 가속도가 최소가 되는 시각과 그때의 가속도를 구하여라.
t = 1 t = 3 t = 2 0 4 v t
속도 그래프입니다. 이 그래프에서 가속도는 무엇으로 보일까요? 봉우리와 골짜기의 접선을 떠올려 보세요.

풀이 — 속도 그래프의 기울기가 가속도

  1. ⭐ 여기가 고비 — 여기서 그래프는 위치가 아니라 속도다 같은 곡선이라도 세로축이 무엇이냐에 따라 봉우리·골짜기의 뜻이 완전히 달라집니다. 세로축이 위치였다면 봉우리·골짜기는 운동 방향이 바뀌는 자리였습니다. 그런데 여기 세로축은 속도이므로, 봉우리·골짜기는 가속도가 0이 되는 자리입니다 (t = 1, 3).
    그리고 이 그래프에서 「가속도」는 곧 기울기입니다. 가속도가 최소라는 것은 가장 가파르게 내려가는 곳을 찾으라는 말이지요 — 눈으로는 봉우리와 골짜기의 한가운데입니다.
    식으로 확인하면 a = v′ = 3t² − 12t + 9 = 3(t − 1)(t − 3), 이 포물선의 꼭짓점이 t = 2이고 a(2) = 12 − 24 + 9 = −3.
    그래프 문제는 「세로축이 무엇인가」를 소리 내어 읽는 것부터가 풀이의 절반입니다.
    (덧붙여 이 구간에서 v는 늘 양수 — 속도가 0인 적이 없으니 방향은 한 번도 바뀌지 않습니다.)
  2. a(t) = v′(t) = 3t2 − 12t + 9 = 3(t − 1)(t − 3).
  3. ① a(t) = 0 ⇒ t = 1, 3 — 그래프의 봉우리와 골짜기.
  4. ② a는 아래로 볼록한 포물선이므로 꼭짓점 t = 2에서 최소.
  5. a(2) = 12 − 24 + 9 = −3.
① t = 1, 3  ② t = 2, 가속도 −3
도전 5위치 그래프 읽기 · 절댓값
아래는 수직선 위를 움직이는 점 P의 0 ≤ t ≤ 5에서의 위치 x(t) = t3 − 3t2 − 9t + 5의 그래프이다. ① 운동 방향이 바뀌는 시각, ② 원점에서 가장 멀리 떨어진 때와 그 거리, ③ 그때의 가속도를 구하여라.
t = 3 · x = −22 5 10 x t O
위치 그래프입니다. 그래프가 t축 아래로 깊이 내려간 곳을 눈여겨보세요 — 부호는 음수지만 거리는?

풀이 — 거리는 절댓값이다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 가장 멀다 = |x|가 가장 크다. 오른쪽 끝이 아니다 그래프에서 가장 높이 올라간 곳(오른쪽 끝, x = 10)을 고르기 쉽습니다. 그런데 물은 것은 원점에서의 거리입니다. 거리에는 앞뒤가 없습니다 — |x|가 클수록 먼 것이지요. 골짜기의 x = −22는 부호만 음수일 뿐 원점에서 22만큼 떨어져 있고, 오른쪽 끝 x = 10보다 두 배 넘게 멉니다.
    그러니 후보를 모두 적어 견줍니다 — |x(0)| = 5, |x(3)| = 22, |x(5)| = 10.
    답은 t = 3일 때 거리 22.
    그래프에서 「멀다」를 물으면 t축(원점 높이)에서 위아래 어느 쪽으로든 가장 벌어진 곳을 봅니다 — 높이가 아니라 벌어진 폭입니다.
    그리고 v = 3(t − 3)(t + 1)이므로 방향이 바뀌는 것은 t = 3 한 번뿐 (t = −1은 시간이 아니므로 버립니다). 가장 먼 자리가 마침 방향을 바꾸는 자리인 것도 그래서입니다.
  2. v(t) = 3t2 − 6t − 9 = 3(t − 3)(t + 1), t > 0 ⇒ t = 3.
  3. ① 운동 방향이 바뀌는 시각은 t = 3(초), 딱 한 번.
  4. ② 후보 : x(0) = 5, x(3) = 27 − 27 − 27 + 5 = −22, x(5) = 125 − 75 − 45 + 5 = 10.
  5.    거리는 |x|이므로 5, 22, 10 중 최대는 22 → t = 3.
  6. ③ a(t) = 6t − 6, a(3) = 12.
① t = 3초  ② t = 3초, 거리 22  ③ 가속도 12
도전 6실생활 · 0의 뜻 가르기
지면으로부터 60 m 높이의 옥상에서 똑바로 위로 쏘아 올린 물체의 t초 후의 높이가 h = 60 + 20t − 5t2(m)이다. ① 최고 높이, ② 지면에 떨어질 때까지 걸린 시간, ③ 지면에 닿는 순간의 속도를 구하여라.

풀이 — 같은 "0"이라도 0이 되는 대상이 다르다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 꼭대기는 「속도 0」, 지면은 「높이 0」 세 물음이 모두 「0이 되는 때」를 다루는데, 0이 되는 대상이 서로 다릅니다. 여기서 뒤섞이면 답이 전부 어긋납니다. · ① 최고 높이 — 더 올라가지 못하고 멈추는 순간이므로 v = 0 : 20 − 10t = 0 ⇒ t = 2, h(2) = 60 + 40 − 20 = 80 m.
    · ② 지면에 떨어진다 — 높이가 0이므로 h = 0 : −5t² + 20t + 60 = 0 ⇒ t² − 4t − 12 = 0 ⇒ (t − 6)(t + 2) = 0 ⇒ t = 6 (t = −2는 시간이 아니므로 버림).
    · ③ 그때의 속도 — 시각을 알았으니 속도식에 넣습니다 : v(6) = 20 − 60 = −40.
    −40의 마이너스는 「느리다」가 아니라 「아래로」라는 뜻입니다 — 초속 40 m로 떨어지고 있는 것이지요.
    올라가는 데 2초, 옥상 높이까지 되돌아오는 데 다시 2초, 거기서 지면까지 2초 — 그래서 모두 6초입니다.
  2. v(t) = h′(t) = 20 − 10t.
  3. ① v = 0 ⇒ t = 2, h(2) = 60 + 40 − 20 = 80(m).
  4. ② h = 0 ⇒ −5t2 + 20t + 60 = 0 ⇒ t2 − 4t − 12 = (t − 6)(t + 2) = 0 ⇒ t = 6(초).
  5. ③ v(6) = 20 − 60 = −40 — 아래로 초속 40 m.
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 꼭대기를 「높이 0」으로 놓으면 h = 0을 풀어 t = 6을 얻고, 이것을 최고 높이라 여겨 h(6) = 0 m. 최고 높이가 0 m? 물체는 옥상 60 m에서 출발했는데 말이 되지 않습니다. → 「멈춘다」는 속도, 「닿는다·지난다」는 위치 — 물음의 낱말부터 갈라 놓고 식을 세우십시오.
① 80 m  ② 6초  ③ −40 (아래로 초속 40 m)

더 넓혀 쓰는 비법

이 방법이 어디까지 가는가

"한 칸 내려가면 속도, 또 한 칸 내려가면 가속도" — 이 한 줄이 계속 자란다.

① 거꾸로 올라가기 — 적분
고2 · 수학Ⅱ 정적분의 활용
미분이 위치 → 속도 → 가속도로 내려가는 계단이었다면, 적분은 그 계단을 거꾸로 올라간다. 속도를 적분하면 위치의 변화량, 속도에 절댓값을 씌워 적분하면 움직인 거리가 된다. 그래서 이 강의와 「정적분의 활용」은 한 몸이다.
② 등가속도 공식이 저절로 나온다
물리와 이어짐
가속도가 상수 g인 운동은 v = v₀ − gt, 이것을 적분하면 h = h₀ + v₀t − ½gt². 이 강의에서 나온 40 + 20t − 5t², 60 + 20t − 5t²가 바로 그 꼴이다(½g = 5). 물리 공식을 외울 필요가 없어진다.
③ 평면 위의 운동 — 속력과 벡터
고3 · 미적분
점이 직선이 아니라 평면을 움직이면 위치가 (x(t), y(t)) 둘이 된다. 속도도 둘, 그리고 속력은 √(x′² + y′²). "미분하면 속도"라는 규칙은 그대로이고, 칸이 가로세로로 늘어났을 뿐이다.
④ 관련 변화율 — 문자를 잇는 한 줄 찾기
고3 · 심화
사다리가 미끄러지는 속도, 그림자가 길어지는 속도, 물이 차오르는 속도… 모두 "문자가 둘이면 하나로 줄인다"는 이 강의의 손놀림 그대로다. 다른 점은 잇는 한 줄이 닮음이 아니라 피타고라스 정리이거나 부피 공식이라는 것뿐이다.
※ 이 자료의 문항은 장대경 선생님 방법을 수학적으로 정확한 값으로 재구성·검산한 교육 자료입니다. 16문항의 모든 속도·가속도·근·변화율을 전수 재검산했습니다(원본 강의와 숫자·예제가 다를 수 있음).
← 장대경 선생님의 특강 칼럼으로 ▶ 속도와 가속도 특강 영상 보기 ↔ 짝 강의 · 도함수의 활용 연습문제 ↔ 거꾸로 올라가기 · 정적분의 활용 연습문제