YEON MATH · 행복수학

삼각형의 외심 실전 완전정복
— 반지름이 다 같다 · 연습 10제

외접원의 중심 · 90° 법칙 · 중심각 2배 · 직각삼각형의 빗변 중점 · 장대경 선생님의 특강

연플래닝 ACADEMY

먼저 · 외심 문제를 푸는 무기 여섯 가지

1
외심의 정의 — 삼각형의 세 꼭짓점을 모두 지나는 원(외접원)의 중심이 외심이다.
2
반지름이 다 같다 — OA = OB = OC. 모든 풀이가 여기서 시작한다.
3
이등변삼각형 세 개 — △OAB, △OBC, △OCA가 모두 이등변삼각형이라 같은 각이 세 쌍 생긴다.
4
90° 법칙 — 세 쌍에서 하나씩만 더하면 ∠OAB + ∠OBC + ∠OCA = 90°.
5
중심각은 두 배 — ∠BOC = 2∠A (∠AOB = 2∠C, ∠COA = 2∠B 도 마찬가지).
6
직각삼각형 — 직각이 있으면 빗변이 곧 지름이고 외심은 빗변의 중점, 반지름은 빗변의 절반.
A B C O

이 개념, 학년마다 이렇게

🐣 초등 (직관)
"세 집에서 똑같이 떨어진 우물 자리 찾기" — 컴퍼스로 원을 그려 손으로 찾아본다.
📐 중2 (핵심)
외접원의 중심, 수직이등분선의 교점, 90° 법칙, 중심각 2배, 직각삼각형의 빗변 중점.
🎓 고등 (확장)
사인법칙 a ÷ sin A = 2R, 좌표평면에서 외심 구하기, 원의 방정식.

🐣 저학년 직관 — "세 집에서 똑같이 떨어진 우물은 어디?"

마을에 집이 세 채 있어요. 세 집에서 똑같은 거리에 우물을 파려면 어디에 파야 할까요? 컴퍼스로 원을 그려서 세 집이 딱 그 원 위에 놓이게 만들면, 그 원의 중심이 바로 답이에요. 세 집까지의 거리가 전부 반지름이라 자동으로 같아지니까요.

거꾸로도 해 보세요. 원을 먼저 그리고 그 위에 점 세 개를 찍어 이으면 삼각형이 생기는데, 그 원의 중심이 그 삼각형의 외심이에요.

답: 세 집을 모두 지나는 원의 중심 = 삼각형의 외심

연습 10제 · 그림 해설

문제 190° 법칙 · 기본
점 O가 △ABC의 외심이고 ∠OAB=32°, ∠OBC=28°일 때, ∠OCA의 크기를 구하라.

풀이 — 세 각을 하나씩만 더하면 90°

  1. OA=OB=OC 이므로 △OAB, △OBC, △OCA는 모두 이등변삼각형 → 같은 각이 세 쌍.
  2. 세 쌍을 전부 더하면 삼각형의 내각의 합 180°, 하나씩만 더하면 그 절반: ∠OAB+∠OBC+∠OCA=90°.
  3. 32°+28°+∠OCA=90° → ∠OCA=30°.
30°
문제 2중심각 2배 · 기본
점 O가 △ABC의 외심이고 ∠A=54°일 때, ∠BOC의 크기를 구하라.

풀이 — 중심각은 원주각의 두 배

  1. ∠BOC = 2∠A = 2 × 54° = 108°.
108°
문제 390° 법칙 → 한 내각 · 진가
점 O가 △ABC의 외심이고 ∠OBC=25°, ∠OCA=40°일 때, ∠B의 크기를 구하라.

풀이 — 90°로 나머지 하나를 먼저 찾고, ∠B는 두 조각의 합

  1. ∠OAB = 90° − 25° − 40° = 25°.
  2. OA=OB 이므로 △OAB는 이등변삼각형 → ∠OBA = ∠OAB = 25°.
  3. ∠B = ∠OBA + ∠OBC = 25° + 25° = 50°.
∠B = 50°
문제 4직각삼각형 · 빗변의 중점
∠A=90°인 직각삼각형 ABC에서 BC=13cm이고 점 O가 외심일 때, OA의 길이와 외심 O의 위치를 말하라.

풀이 — 빗변이 지름이므로 외심은 빗변의 중점

A B C O
  1. ∠A=90° 이므로 빗변 BC가 외접원의 지름이고, 외심 O는 BC의 중점이다.
  2. 반지름 = 지름 ÷ 2 = 13 ÷ 2 = 6.5cm.
  3. OA = OB = OC = 6.5cm.
OA = 6.5cm, O는 BC의 중점
문제 5외접원의 둘레·넓이
직각삼각형의 빗변이 16cm일 때, 이 삼각형의 외접원의 둘레와 넓이를 구하라.

풀이 — 빗변이 지름

  1. 지름 = 16cm → 반지름 r = 8cm.
  2. 둘레 = 2πr = 2 × π × 8 = 16π (cm).
  3. 넓이 = πr² = π × 8² = 64π (cm²).
둘레 16π cm, 넓이 64π cm²
문제 6중심각의 비 · 진가
점 O가 △ABC의 외심이고 ∠AOB : ∠BOC : ∠COA = 3 : 4 : 5일 때, ∠A, ∠B, ∠C의 크기를 각각 구하라.

풀이 — 세 중심각을 모두 더하면 한 바퀴 360°

  1. 비를 3a : 4a : 5a로 놓으면 3a+4a+5a = 12a = 360° → a = 30°.
  2. ∠AOB=90°, ∠BOC=120°, ∠COA=150°.
  3. 중심각의 절반이 마주 보는 원주각: ∠A = ½∠BOC = 60°, ∠B = ½∠COA = 75°, ∠C = ½∠AOB = 45°.
  4. 검산: 60+75+45 = 180° ✓
∠A=60°, ∠B=75°, ∠C=45°
문제 7수직이등분선 · 둘레
점 O가 △ABC의 외심이고, O에서 세 변에 내린 수선의 발을 각각 D(변 BC 위), E(변 CA 위), F(변 AB 위)라 하자. BD=4cm, CE=5cm, AF=6cm일 때, △ABC의 둘레를 구하라.

풀이 — 외심에서 내린 수선의 발은 그 변의 중점

  1. OB=OC 인 이등변삼각형 OBC에서 OD⊥BC 이므로 D는 BC의 중점 → BC = 2×4 = 8cm.
  2. 같은 방식으로 CA = 2×5 = 10cm, AB = 2×6 = 12cm.
  3. 둘레 = 2 × (4+5+6) = 30cm.
30cm
문제 8이등변삼각형 · 진가
AB=AC인 이등변삼각형 ABC에서 ∠A=40°이고 점 O가 외심일 때, ∠OBC의 크기를 구하라.

풀이 — 중심각으로 △OBC를 만들고 이등변삼각형을 쓴다

  1. ∠BOC = 2∠A = 2 × 40° = 80°.
  2. OB=OC 이므로 △OBC는 이등변삼각형 → ∠OBC = ∠OCB = (180° − 80°) ÷ 2 = 50°.
50°
문제 9내심=외심 · 정삼각형 · 진가
△ABC의 내심과 외심이 같은 점일 때 이 삼각형은 어떤 삼각형인지 말하고, 한 변의 길이가 6cm일 때 외접원의 반지름을 구하라.

풀이 — 내심=외심이면 정삼각형

  1. 내심은 세 내각의 이등분선의 교점, 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이다. 두 점이 일치하면 각 꼭짓점에서 각의 이등분선이 곧 대변의 수직이등분선이 되어 세 변·세 각이 모두 같아진다 → 정삼각형, 한 내각은 60°.
  2. 정삼각형에서 외심은 무게중심과 같고, 높이는 h = (√3 ÷ 2) × 6 = 3√3.
  3. 외접원의 반지름은 높이의 2/3: R = (2/3) × 3√3 = 2√3 (cm).
  4. 검산(사인법칙): 6 ÷ sin60° = 6 ÷ (√3/2) = 4√3 = 2R → R = 2√3 ✓
정삼각형, R = 2√3 cm
문제 10내심·외심 결합 · 진가
△ABC에서 점 I가 내심이고 ∠BIC=125°이다. 점 O가 같은 삼각형의 외심일 때 ∠BOC의 크기를 구하라.

풀이 — 내심으로 ∠A를 먼저 찾고, 그 값을 외심 공식에 넣는다

  1. 내심: ∠BIC = 90° + ½∠A → 125° = 90° + ½∠A → ½∠A = 35° → ∠A = 70°.
  2. 외심: ∠BOC = 2∠A = 2 × 70° = 140°.
140°

제일 밑에 · 이 방법을 다른 학년·개념에 쓰는 비법

"반지름이 다 같다" 하나로 원주각·피타고라스·사인법칙·좌표까지

오늘 익힌 OA=OB=OC 와 중심각 = 원주각 × 2가, 학년이 올라가면 원의 성질·삼각함수·도형의 방정식으로 그대로 이어집니다.

① 중3 · 원주각과 중심각
중3 · 원의 성질
오늘의 ∠BOC = 2∠A가 바로 "중심각은 원주각의 두 배"예요. 중3에서는 이걸 원 위의 임의의 점으로 넓혀서 같은 호에 대한 원주각은 모두 같다까지 갑니다.
② 중3 · 반원에 대한 원주각은 직각
중3 · 원의 성질 / 피타고라스
"직각삼각형의 빗변이 지름"의 거꾸로가 "지름에 대한 원주각은 90°"예요. 두 변을 알면 피타고라스로 빗변을 구해 외접원의 반지름까지 한 번에 나옵니다.
③ 고1 · 좌표평면에서 외심 구하기
고1 · 도형의 방정식
세 점을 지나는 원의 중심은 결국 두 변의 수직이등분선의 교점이에요. 좌표에서는 "세 점까지의 거리가 같다"는 식 두 개를 세워 풀면 됩니다.
④ 고1 · 사인법칙과 외접원의 반지름
고1·고2 · 삼각함수의 활용
중심각 2배 성질에서 a ÷ sin A = 2R이 나와요. 한 변과 그 대각만 알면 외접원의 반지름 R이 바로 나옵니다.
⑤ 고2·경시 · 오일러 선
기하 · 경시수학
외심 O, 무게중심 G, 수심 H는 한 직선 위에 있고 OG : GH = 1 : 2예요. 그리고 이 셋이 한 점으로 모이는 경우가 바로 정삼각형입니다.

도전 · 이 비법만으로 위 학년 문제 풀기

"반지름이 다 같다 · 중심각은 두 배" 하나로 원주각·피타고라스·사인법칙·좌표까지. 학년별 2문제씩!

도전 · 중3원주각과 중심각
원 O 위의 세 점 A, B, C에 대해 호 BC에 대한 원주각 ∠BAC = 35°일 때, 중심각 ∠BOC의 크기를 구하라.

풀이

  1. O는 △ABC의 외심이고, 중심각은 원주각의 두 배: ∠BOC = 2 × 35° = 70°.
70°
도전 · 중3피타고라스 + 외접원
직각을 낀 두 변의 길이가 6cm, 8cm인 직각삼각형의 외접원의 반지름과 넓이를 구하라.

풀이 — 빗변부터 구하고, 그 절반이 반지름

  1. 빗변 = √(6² + 8²) = √100 = 10cm.
  2. 빗변이 지름이므로 R = 10 ÷ 2 = 5cm.
  3. 넓이 = π × 5² = 25π (cm²).
R = 5cm, 넓이 25π cm²
도전 · 고1좌표평면 · 외심
세 점 A(0,0), B(6,0), C(0,8)을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 외심의 좌표와 외접원의 반지름을 구하라.

풀이 — ∠A가 직각이므로 외심은 빗변 BC의 중점

  1. AB는 x축 위, AC는 y축 위 → ∠A = 90°. 빗변은 BC.
  2. 외심 = BC의 중점 = ((6+0)/2, (0+8)/2) = (3, 4).
  3. 반지름 = 원점까지의 거리 = √(3²+4²) = 5. (B까지 √(9+16)=5, C까지 √(9+16)=5 로 검산 ✓)
외심 (3, 4), 반지름 5
도전 · 고1사인법칙
△ABC에서 BC = 10, ∠A = 30°일 때, 외접원의 반지름 R를 구하라.

풀이 — 사인법칙 a ÷ sin A = 2R

  1. 10 ÷ sin30° = 10 ÷ ½ = 20 = 2R → R = 10.
R = 10
도전 · 고2코사인법칙 + 사인법칙
△ABC에서 b = 8, c = 5, ∠A = 60°일 때, 변 a의 길이와 외접원의 반지름 R를 구하라.

풀이 — 코사인법칙으로 a를 구하고, 사인법칙으로 R를 구한다

  1. a² = b² + c² − 2bc·cos A = 64 + 25 − 2·8·5·½ = 89 − 40 = 49 → a = 7.
  2. a ÷ sin A = 2R → 7 ÷ (√3/2) = 14/√3 = (14√3)/3 = 2R.
  3. R = (7√3)/3.
a = 7, R = 7√3 ÷ 3
도전 · 경시정삼각형 · 외접원과 내접원
한 변의 길이가 a인 정삼각형에서 외접원의 반지름 R와 내접원의 반지름 r의 비 R : r를 구하라.

풀이 — 정삼각형은 외심·내심·무게중심이 모두 한 점

  1. 높이 h = (√3 ÷ 2)a. 세 점이 일치하므로 그 점은 무게중심이고, 높이를 2 : 1로 나눈다.
  2. R = (2/3)h = (√3/3)a, r = (1/3)h = (√3/6)a.
  3. R : r = (√3/3)a : (√3/6)a = 2 : 1.
R : r = 2 : 1
※ 이 자료의 연습문제는 장대경 선생님 방법으로 새로 만들고 값을 직접 전수 검산한 교육 자료입니다(원본 강의와 숫자·예제가 다를 수 있음).
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