일차함수 기울기 완전정복 — 오른팔·왼팔 법칙 연습 10제

먼저 · 3단계로 끝내는 법

점 찍고 긋기 — y=ax는 원점 (0,0)과 (1,a) 두 점을 찍어 잇는다.

평행이동 — 뒤에 +b면 위로 b칸, −b면 아래로 b칸. 모양은 그대로, 위치만.

방향은 팔로 — 기울기가 양수(+) → 오른팔(우상향) 💪, 음수(−) → 왼팔(우하향) 🫸.

＋

크기는 직각삼각형 — 가로 1칸 갈 때 세로 몇 칸? 기울기 = 세로 ÷ 가로 = (y의 증가량)/(x의 증가량). 음수여도 삼각형 크기는 같고 방향만 왼팔.

연습 10제 · 그림 해설

문제 1그리기

y = 3x 의 그래프를 그리고, 오른팔·왼팔 중 어느 쪽인지 답하라.

풀이

x=0 → y=0, x=1 → y=3. 두 점 (0,0),(1,3)을 잇는다.
기울기 3 은 양수 → 오른팔 · 우상향
x가 1 늘 때 y가 3 늘어 가파르게 올라간다.

오른팔 (우상향), 기울기 3

문제 2평행이동

y = 3x + 2 는 y = 3x 를 어느 방향으로 몇 칸 옮긴 것인가? 지나는 점 두 개도 구하라.

풀이

뒤의 +2 → 그래프를 통째로 위로 2칸. 기울기(모양)는 그대로 3.
점: x=0 → y=2 이니 (0,2), x=1 → y=5 이니 (1,5).

위로 2칸 이동 · (0,2), (1,5) · 여전히 오른팔

문제 3그리기

y = −x 의 그래프를 그리고 팔 방향을 답하라.

풀이

y=−x 는 기울기 −1. (0,0),(1,−1) 을 잇는다.
기울기가 음수 → 왼팔 · 우하향. x가 1 늘 때 y는 1 줄어든다.

왼팔 (우하향), 기울기 −1

문제 4부호 판별

아래 그래프의 기울기는 양수·음수 중 무엇인가? 팔로 답하라.

풀이

왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 내려간다 → 우하향.
우하향은 왼팔 → 기울기는 음수(−).

음수 (왼팔·우하향)

문제 5크기 구하기

한 직선에 직각삼각형을 그렸더니 가로 2칸, 세로 4칸이었다. 기울기는?

풀이

기울기 = 세로 ÷ 가로 = 4 ÷ 2
우상향이면 +2, 우하향이면 −2 (크기는 같고 부호만 방향 따라).

기울기 크기 = 2

문제 6그리기 · x절편

y = −2x + 4 의 그래프를 그리고, x축과 만나는 점(x절편)을 구하라.

풀이

x=0 → y=4 점 (0,4), 기울기 −2 → 왼팔, (1,2).
x절편은 y=0: 0 = −2x + 4 → 2x = 4 → x = 2.

x절편 = 2, 즉 점 (2, 0)

문제 7두 점 → 기울기

두 점 (1, 1) 과 (3, 5) 를 지나는 직선의 기울기는?

풀이 — 직각삼각형으로

x는 1→3 이니 가로 2칸 증가, y는 1→5 이니 세로 4칸 증가.
기울기 = (y증가) ÷ (x증가) = 4 ÷ 2 = 2. 둘 다 늘었으니 오른팔.

기울기 = 2

문제 8평행

y = 2x − 1 과 평행하면서 점 (0, 3) 을 지나는 직선의 식을 구하라.

풀이

평행 = 기울기가 같다 → 기울기 2 (오른팔) 그대로.
(0,3) 을 지나니 y절편은 3 → y = 2x + 3.

y = 2x + 3

문제 9가파름 비교

y = 3x 와 y = ½x 중 어느 그래프가 더 가파른가?

풀이

둘 다 양수 → 오른팔(우상향). 방향은 같다.
가파름 = 기울기의 크기. 3 > ½ 이니 y=3x 가 더 가파르다(x 1칸에 y 3칸 vs 0.5칸).

y = 3x 가 더 가파르다

문제 10실생활 활용

빈 물통에 1분에 2L씩 물이 채워진다. 시간 x(분)에 대한 물의 양 y(L) 그래프의 기울기와 팔 방향은? 5분 뒤 물의 양은?

풀이 — 기울기 = 변화의 빠르기

1분에 2L → x가 1 늘 때 y가 2 늘어남 → 기울기 2, 늘어나니 오른팔.
식은 y = 2x. 5분 뒤 y = 2 × 5 = 10.

기울기 2 (오른팔) · 5분 뒤 10L

🔑 여기서 “기울기”는 물이 차는 빠르기예요. 기울기가 크면 빨리 찬다 — 이게 다음 학년의 ‘변화율’로 이어집니다.

제일 밑에 · 이 방법을 다른 학년·개념에 쓰는 비법

“기울기 = 팔 방향 + 삼각형 비율” 하나로 위 학년까지

일차함수에서 익힌 이 눈이, 학년이 올라가면 이름만 바뀌어 그대로 쓰입니다. 핵심은 언제나 “x가 늘 때 y가 어떻게 변하나”.

① 중3 · 삼각비 — 기울기 = tan θ

중3 2학기 삼각비

직각삼각형에서 tan θ = (세로)/(가로). 그런데 기울기도 세로÷가로였죠? 그래서 직선의 기울기 = 그 직선이 x축과 이루는 각의 tan. 오른팔(급할수록) = 각이 크다 = tan이 크다. 기울기 문제를 각도로, 각도 문제를 기울기로 바꿔 풀 수 있어요.

② 중3 · 이차함수 — 평균변화율도 “두 점의 기울기”

중3~고1 이차함수

곡선이라도 두 점을 이으면 직선. 그 직선의 기울기가 (y증가)/(x증가) = 평균변화율. 문제 7과 똑같은 삼각형 계산이에요. 곡선이 올라가는 구간=오른팔, 내려가는 구간=왼팔로 증가·감소를 한눈에 판단합니다.

③ 고등 · 미분 — 접선의 기울기 = 순간의 팔 방향

고2~미적분

두 점을 아주 가깝게 붙이면 평균변화율 → 순간변화율(미분계수), 즉 그 점 접선의 기울기. f′(x)>0이면 오른팔(증가), f′(x)<0이면 왼팔(감소). 미분으로 그래프 개형을 그리는 게 결국 “구간마다 팔 방향 정하기”예요.

④ 과학(물리) — 그래프 기울기가 곧 “속도·가속도”

중등 과학 · 고등 물리

위치–시간 그래프의 기울기 = 속도, 속도–시간 그래프의 기울기 = 가속도. 문제 10의 “물 차는 빠르기”와 똑같은 원리. 가파르면 빠르고, 우하향(왼팔)이면 되돌아오거나 느려지는 것.

⑤ 고1 · 직선의 방정식 — 점 하나 + 기울기면 식이 나온다

고1 도형의 방정식

기울기 m 과 지나는 점 (x₁,y₁) 만 있으면 y − y₁ = m(x − x₁). 문제 8의 평행(기울기 같음)·수직(기울기 곱이 −1) 판단이 여기서 그대로 무기가 됩니다.

도전 · 이 비법만으로 위 학년 문제 풀기

“기울기 = 팔 방향 + 격자 칸 비율” 하나로, 아직 안 배운 학년 문제도 풀린다. 학년별 3문제씩 도전!

도전 · 중3삼각비

기울기가 1 인 직선이 x축과 이루는 예각의 크기는? (힌트: 기울기 = tan)

풀이

기울기 = 세로/가로 = tan θ. 기울기 1이면 가로 1칸 갈 때 세로도 1칸(정사각형 대각선).
tan θ = 1 → θ = 45°.

45°

도전 · 중3이차함수 평균변화율

y = x² 에서 x가 1에서 3까지 변할 때 평균변화율은? (곡선이지만 두 점을 이으면 직선!)

풀이 — 두 점의 기울기(문제 7과 똑같이)

두 점: (1, 1) 과 (3, 9).
가로 2칸, 세로 8칸 → 평균변화율 = 8 ÷ 2 = 4. 올라가니 오른팔.

평균변화율 = 4

💡 격자 칸만 세면 곡선도 “두 점의 기울기”로 풀려요.

도전 · 중3두 직선의 위치

두 직선 y = 2x + 1 과 y = 2x − 3 의 위치 관계는?

풀이

기울기가 둘 다 2(같은 오른팔 각도) → 절대 안 만난다.

평행 (기울기가 같음)

도전 · 고1직선의 방정식

기울기가 3 이고 점 (2, 1) 을 지나는 직선의 식을 구하라.

풀이 — 점 하나 + 기울기

y − y₁ = m(x − x₁) → y − 1 = 3(x − 2)
정리: y = 3x − 6 + 1 = 3x − 5

y = 3x − 5

도전 · 고1두 점 → 기울기

두 점 (−1, 2) 와 (2, −4) 를 지나는 직선의 기울기는?

풀이

x는 −1→2 (가로 3 증가), y는 2→−4 (세로 6 감소).
기울기 = (−6) ÷ 3 = −2 → 내려가니 왼팔.

기울기 = −2

도전 · 고1수직

y = 2x 에 수직이고 원점을 지나는 직선의 기울기는?

풀이 — 수직이면 기울기 곱 = −1

수직인 두 직선은 기울기 곱 = −1. 2 × m = −1
m = −½ → 완만한 왼팔. 식은 y = −½x.

기울기 = −½

도전 · 고등미분 — 접선의 기울기

f(x) = x² 위의 점 x = 3 에서 접선의 기울기는? 그 점에서 함수는 증가·감소 중 무엇인가?

풀이

f′(x) = 2x (미분). f′(3) = 2 × 3 = 6 = 접선의 기울기.
6 > 0 → 오른팔(증가). 순간의 팔 방향이 오른팔이니 그 점에서 그래프는 올라가는 중.

접선의 기울기 = 6 · 증가 중

도전 · 고등미분 — 증가·감소

f(x) = x² − 4x 는 x = 1 에서 증가 중인가, 감소 중인가?

풀이 — f′의 부호 = 팔 방향

f′(x) = 2x − 4. f′(1) = 2 − 4 = −2.
−2 < 0 → 왼팔(감소). x=1에서는 내려가는 중.

감소 중 (f′(1) = −2 < 0)

도전 · 고등물리 — 위치·속도

원점에서 출발한 물체의 위치–시간 그래프가 직선이고, 5초에 20 m 지점이었다. 이 물체의 속도는? (위치–시간 그래프의 기울기 = 속도)

풀이 — 기울기가 곧 속도

가로(시간) 5초 갈 때 세로(위치) 20 m → 기울기 = 20 ÷ 5 = 4.
올라가니 오른팔 = 앞으로 나아가는 중. 이게 속도 4 m/s.

속도 = 4 m/s

※ 이 자료의 예제·그래프는 장대경 선생님 방법을 수학적으로 정확한 값으로 재구성·검산한 교육 자료입니다. 모든 좌표·계산은 직접 검산했습니다.

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