먼저 · 3단계로 끝내는 법
1
반지름을 자로 삼기 — 호의 길이가 딱 반지름 하나만큼(=r)일 때 그 중심각이 1 라디안. 즉 호도법 = "반지름 자"로 각을 잰 것.
2
변환 공식 하나 — 반원(180°)의 호는 반지름의 π배이므로 180° = π (라디안). 이 한 줄로 60분법↔호도법을 자유롭게 오간다.
3
부채꼴 공식 — 중심각 θ(라디안), 반지름 r일 때 호의 길이 l = rθ, 넓이 S = ½r²θ. "반지름×각도"만 기억하면 끝.
연습 10제 · 계산 해설
문제 1도→라디안
60°를 라디안으로 나타내라.
풀이
- 180° = π 이므로 1° = π/180.
- 60° = 60 × π/180 = π/3
π/3
문제 2라디안→도
5π/6 라디안을 도(°)로 나타내라.
풀이
- π = 180° 이므로 1(라디안) = 180/π (°).
- 5π/6 × 180/π = 5×180/6 = 150°
150°
문제 3호의 길이
반지름 6, 중심각 π/3인 부채꼴의 호의 길이는?
풀이
- l = rθ = 6 × π/3 = 2π
호의 길이 = 2π
문제 4부채꼴 넓이
반지름 4, 중심각 π/2인 부채꼴의 넓이는?
풀이
- S = ½r²θ = ½ × 16 × π/2 = 4π
넓이 = 4π
문제 5역산 · 중심각
반지름 3인 부채꼴의 호의 길이가 3π일 때, 중심각(라디안)은?
풀이
- θ = l/r = 3π/3 = π (즉 180°, 반원).
θ = π
문제 6역산 · 중심각
반지름 4인 부채꼴의 넓이가 6π일 때, 중심각(라디안)은?
풀이
- S = ½r²θ → 6π = ½ × 16 × θ = 8θ
- θ = 6π/8 = 3π/4
θ = 3π/4
문제 7각의 합
30°와 45°의 합을 라디안으로 나타내라.
풀이
- 30°+45°=75°
- 75° = 75 × π/180 = 5π/12 (약분: 75,180의 최대공약수 15)
5π/12
문제 8실생활 · 관람차
반지름 10m인 관람차가 한 바퀴(2π 라디안) 돌 때, 곤돌라가 움직인 거리(원 둘레)는?
풀이 — 한 바퀴 = 2π 라디안
- l = rθ = 10 × 2π = 20π (m)
20π m (원의 둘레 공식 2πr과 정확히 같다)
문제 9실생활 · 시계
시계의 분침이 15분 동안 움직인 각(라디안)은? (60분에 한 바퀴 2π)
풀이
- 15분은 60분의 1/4.
- 2π × 1/4 = π/2
π/2 (=90°)
문제 10비율 → 중심각
부채꼴의 넓이가 원 전체 넓이의 1/6일 때, 이 부채꼴의 중심각(라디안)은?
풀이 — 원 전체는 2π 라디안
- 2π × 1/6 = π/3
π/3 (=60°)
제일 밑에 · 이 방법을 다른 학년·개념에 쓰는 비법
"반지름 자로 재기" 하나로 위·아래 학년까지
호도법에서 익힌 이 눈이, 학년을 오르내리며 그대로 쓰입니다. 핵심은 언제나 "각도 = 반지름 대비 호의 비율".
① 중2·중3 · 부채꼴 공식(60분법)과 비교
중2 2학기 부채꼴
중학교에서 배운 l=2πr×(x/360), S=πr²×(x/360)은 사실 l=rθ, S=½r²θ의 다른 표현일 뿐이에요. 문제 8이 두 공식이 똑같은 값을 준다는 증거입니다.
② 고2 · 삼각함수의 그래프 — 주기가 2π인 이유
고2 수학I 삼각함수의 그래프
한 바퀴를 2π 라디안이라 정했기 때문에, sin,cos 그래프의 기본 주기가 360°가 아니라 2π로 딱 떨어지게 됩니다.
③ 고등 · 각속도(물리)
고등 물리 원운동
회전하는 물체가 초당 도는 각을 각속도 ω(라디안/초)라 해요. 문제 9의 "분당 도는 각"과 완전히 같은 개념 — 원운동·주기 문제의 기본 도구입니다.
④ 고2 · 사인법칙 — 원과 삼각형의 다리
고2 수학I 삼각함수
사인법칙의 a/sinA=2R에서 R(외접원 반지름)이 등장하는 이유가, 결국 원 위의 호·중심각 관계(오늘 배운 것)에서 나옵니다.
도전 · 이 비법만으로 위·아래 학년 문제 풀기
도전 · 중2(직관)60분법 부채꼴
반지름 6, 중심각 120°인 부채꼴의 호의 길이를 60분법 공식 l=2πr×(x/360)으로 구하고, 라디안 공식 결과와 같은지 확인하라.
풀이
- 60분법: l=2π×6×(120/360)=12π×(1/3)=4π
- 라디안: 120°=2π/3, l=rθ=6×2π/3=4π — 똑같다!
둘 다 4π로 일치
도전 · 고2삼각함수 그래프 주기
y=sin x의 그래프가 x=0부터 x=2π까지 한 번 반복된다. x=4π일 때 sin x의 값은?
풀이
- 4π = 2×2π → 정확히 두 바퀴 돈 것과 같다.
- sin 4π = sin 0 = 0
0
도전 · 고등각속도(물리)
어떤 물체가 반지름 5m인 원을 4초에 한 바퀴 돈다. 이 물체의 각속도(라디안/초)는?
풀이
- 한 바퀴 = 2π 라디안, 이걸 4초에 도니 ω = 2π/4 = π/2 (라디안/초)
각속도 = π/2 rad/s
※ 이 자료의 예제·그래프는 장대경 선생님 방법을 수학적으로 정확한 값으로 재구성·검산한 교육 자료입니다. 모든 계산은 직접 검산했습니다.