먼저 · 3단계로 끝내는 법
1
사인법칙(비율) — a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R. 각이 크면 마주보는 변도 크고, 이 비율은 삼각형 어디서나 똑같다(외접원 지름 2R까지).
2
코사인법칙(낀각) — c² = a² + b² − 2ab·cosC. 각C를 사이에 낀 두 변 a,b를 알면 마주보는 변 c까지 나온다.
3
직각삼각형은 다리 — 각C=90°면 cosC=0이 되어 코사인법칙이 그대로 a² + b² = c², 중2 때 배운 피타고라스 정리가 된다.
위 그림: 변 a는 A의 맞은편(=BC), 변 b는 B의 맞은편(=CA), 변 c는 C의 맞은편(=AB). "각 이름의 맞은편이 그 변 이름."
연습 10제 · 계산 해설
문제 1사인법칙·변
삼각형 ABC에서 A=45°, B=60°, a=6√2일 때, 변 b를 구하여라.
풀이
- 사인법칙: a/sinA = b/sinB → b = a·sinB/sinA
- sinA=√2/2, sinB=√3/2 이므로 b = 6√2 · (√3/2)/(√2/2) = 6√2 · √3/√2 = 6√3
b = 6√3
문제 2사인법칙·외접원
삼각형 ABC에서 A=60°, a=9일 때, 외접원의 반지름 R은?
풀이
- 사인법칙: a/sinA = 2R
- sinA=√3/2 이므로 2R = 9/(√3/2) = 18/√3 = 6√3
R = 3√3
문제 3코사인법칙·핵심
삼각형 ABC에서 a=6, b=10, 낀각 C=120°일 때, 변 c를 구하여라. (영상 34편의 핵심 예제)
풀이
- 코사인법칙: c² = a² + b² − 2ab·cosC
- cos120° = −1/2 이므로 c² = 36 + 100 − 2·6·10·(−1/2) = 136 + 60 = 196
c = 14
문제 4코사인법칙·예각
삼각형 ABC에서 a=3, b=8, 낀각 C=60°일 때, 변 c를 구하여라.
풀이
- cos60° = 1/2 이므로 c² = 9 + 64 − 2·3·8·(1/2) = 73 − 24 = 49
c = 7
문제 5각의 비
삼각형의 세 각의 비가 3 : 7 : 5일 때, 세 각의 크기를 각각 구하여라. (영상 34편의 두 번째 예제)
풀이
- 세 각의 합은 항상 180°. 비의 합 3+7+5=15 이므로 180°÷15=12°(비 1당 각도)
- 3×12=36°, 7×12=84°, 5×12=60° (합 36+84+60=180° 확인)
36°, 84°, 60°
문제 6코사인법칙=피타고라스
직각삼각형에서 각 C=90°, a=3, b=4일 때, 코사인법칙으로 c를 구하고 피타고라스 정리와 같은지 확인하여라.
풀이
- cos90°=0 이므로 c² = 3² + 4² − 2·3·4·0 = 9+16 = 25
- c=5 — 중2 때 배운 a²+b²=c²(3-4-5 직각삼각형)과 정확히 같다.
c = 5 (피타고라스 정리와 일치)
문제 7역산·각 구하기
삼각형의 세 변이 a=5, b=8, c=7일 때, 각 C(a,b의 낀각)를 구하여라.
풀이
- 코사인법칙을 각 기준으로 바꾸면 cosC = (a²+b²−c²)/(2ab)
- cosC = (25+64−49)/(2·5·8) = 40/80 = 1/2
C = 60°
문제 8사인법칙·모호한 경우
삼각형 ABC에서 A=30°, a=5, b=5√3일 때, 가능한 각 B의 값을 모두 구하여라.
풀이
- 사인법칙: sinB = b·sinA/a = 5√3·(1/2)/5 = √3/2
- sinB=√3/2를 만족하는 각은 60°와 120° 두 가지. 둘 다 A+B<180°를 만족해 삼각형이 실제로 만들어진다.
B = 60° 또는 120° (변 두 개 + 낀각이 아닌 각을 알 때는 답이 하나로 안 정해질 수 있다!)
문제 9실생활·측량
한 지점 O에서 나무 A까지 거리가 7m, 나무 B까지 거리가 8m이고 ∠AOB=120°일 때, 두 나무 사이의 거리 AB는?
풀이 — O를 낀각으로 하는 코사인법칙
- AB² = OA² + OB² − 2·OA·OB·cos120° = 49 + 64 − 2·7·8·(−1/2) = 113 + 56 = 169
AB = 13m
문제 10종합·두 법칙 잇기
문제3의 삼각형(a=6, b=10, C=120°, c=14)에서, 이번엔 사인법칙으로 외접원의 반지름 R을 구하여라.
풀이 — 코사인법칙으로 구한 c를 사인법칙에 이어서
- 사인법칙: c/sinC = 2R
- sin120° = √3/2 이므로 2R = 14/(√3/2) = 28/√3 = 28√3/3
R = 14√3/3
제일 밑에 · 이 방법을 다른 학년·개념에 쓰는 비법
"각을 알면 변이 보인다" 하나로 위·아래 학년까지
사인법칙·코사인법칙에서 익힌 이 눈이, 학년을 오르내리며 그대로 쓰입니다. 핵심은 언제나 "각과 변은 서로를 비추는 거울".
① 중2·중3 · 피타고라스 정리는 코사인법칙의 특수한 경우
중2 2학기 피타고라스 정리
각C=90°를 코사인법칙 c²=a²+b²−2ab·cosC에 넣으면 cosC=0이 되어 그대로 a²+b²=c². 문제6이 그 증거입니다.
② 고1 · 이차방정식 — 두 근이 나오는 이유
고1 수학(상) 이차방정식
낀각이 아닌 각을 알 때(문제8의 상황) 코사인법칙을 변 하나에 대해 정리하면 이차방정식이 나와요. 근이 두 개면 삼각형도 두 가지가 나올 수 있습니다 — 이게 바로 "모호한 경우(SSA)".
③ 고등 물리 · 벡터의 합성(평행사변형법칙)
고등 물리 힘의 합성
두 힘(벡터)을 더할 때 쓰는 R²=F₁²+F₂²+2F₁F₂cosφ는 코사인법칙과 완전히 같은 구조예요. 문제9의 측량 삼각형이 그대로 힘의 삼각형이 됩니다.
④ 고등 기하 · 벡터의 내적
고등 기하 벡터
벡터의 내적 정의 a·b=|a||b|cosθ에 삼각형의 세 변을 벡터로 놓고 전개하면, 코사인법칙이 그대로 유도됩니다. 코사인법칙은 사실 벡터 내적의 그림자예요.
도전 · 이 비법만으로 위·아래 학년 문제 풀기
도전 · 중3(직관)코사인법칙→피타고라스
직각삼각형에서 a=9, b=12, 낀각 C=90°일 때, 코사인법칙으로 빗변 c를 구하여라.
풀이
- cos90°=0 이므로 c² = 81+144−0 = 225
c = 15 (3-4-5를 3배 키운 9-12-15 직각삼각형)
도전 · 고1이차방정식(모호한 경우)
삼각형 ABC에서 a=7, b=8, A=60°일 때, 코사인법칙을 c에 대한 이차방정식으로 세워 c를 모두 구하여라.
풀이
- a²=b²+c²−2bc·cosA → 49=64+c²−8c (∵ 2·8·cos60°=8)
- 정리하면 c²−8c+15=0 → (c−3)(c−5)=0
c = 3 또는 c = 5 (둘 다 실제 삼각형이 된다)
도전 · 고등벡터의 합성(물리)
두 힘 F₁=7N, F₂=8N이 이루는 각이 60°일 때, 평행사변형법칙 R²=F₁²+F₂²+2F₁F₂cosφ으로 합력 R을 구하여라.
풀이
- cos60°=1/2 이므로 R² = 49+64+2·7·8·(1/2) = 113+56 = 169
R = 13N
※ 이 자료의 예제·그림은 장대경 선생님 방법을 수학적으로 정확한 값으로 재구성·검산한 교육 자료입니다. 모든 계산은 직접 검산했습니다.