YEON MATH · 행복수학

원의 방정식 실전 완전정복
— 중심이 어디고, 반지름이 얼마냐 · 연습 10제

중심·반지름 읽기 · 일반형↔표준형 · 세 점을 지나는 원 · 축에 접하는 원 · 원과 직선 · 현의 길이 · 공통현 · 접선 · 장대경 선생님의 특강

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먼저 · 원의 방정식, 이 여섯 가지면 끝난다

1
표준형이 전부다 — (x−a)² + (y−b)² = r² 는 「중심 (a, b)에서 거리가 r인 점을 모두 모은 것」. 원 문제는 결국 중심이 어디고 반지름이 얼마냐 두 마디를 찾는 일이다.
2
일반형 ↔ 표준형 — x² + y² + Ax + By + C = 0 은 완전제곱으로 묶어 되돌린다. 중심 (−A/2, −B/2), r² = A²/4 + B²/4 − C. 이 값이 양수일 때만 원이다.
3
세 점을 지나는 원 — 중심을 P(a, b)로 놓고 PA² = PB², PB² = PC² 두 식을 세워 연립한다. (일반형에 세 점을 대입해 A, B, C를 구해도 같다.)
4
축에 접하면 반지름이 곧 좌표다 — x축에 접하면 r = |b|, y축에 접하면 r = |a|. 모르는 것이 하나 줄어드는 가장 강한 무기.
5
원과 직선은 「거리」로 본다 — 중심에서 직선까지 거리 d와 반지름 r을 견준다. d < r 두 점 · d = r 접함 · d > r 안 만남. 그리고 현의 길이 = 2√(r² − d²).
6
두 원은 빼거나 더한다 — (원1) − (원2) = 공통현의 직선. (원1) + k(원2) = 0 = 두 교점을 지나는 원. 접선은 x·x₁ + y·y₁ = r²(원 위의 점) 또는 y = mx ± r√(m²+1)(기울기 주어짐).
(a, b) r a b O
중심의 좌표 (a, b)와 반지름 r — 이 세 수만 찾으면 식은 저절로 써진다.

이 개념, 학년마다 이렇게

🐣 초·중등 (직관)
원은 압정 하나에 실을 묶고 연필을 돌린 자국. 압정 자리가 중심, 실 길이가 반지름 — 원의 성질은 이 한 문장에서 다 나온다.
📐 고1 (핵심)
표준형·일반형, 세 점을 지나는 원, 축에 접하는 원, 원과 직선의 위치관계, 현의 길이, 공통현, 접선.
🎓 고2~ (확장)
자취(아폴로니오스의 원), 원 위의 점에서의 최대·최소, 삼각함수 매개변수 표현, 두 원의 위치관계.

🐣 저학년 직관 — "압정 하나와 실 한 가닥"

도화지에 압정을 하나 꽂고 실을 묶은 뒤, 실 끝에 연필을 걸고 팽팽하게 당긴 채 한 바퀴 돌려 보세요. 동그라미가 그려집니다. 이때 압정 자리 = 중심, 실의 길이 = 반지름이에요.

여기서 알 수 있는 건 딱 하나예요 — 원 위의 어느 점을 찍어도 압정까지의 거리는 언제나 똑같다. 고등학교에서 배우는 (x−a)² + (y−b)² = r²도 사실은 "압정 (a, b)에서 거리가 r인 점들"이라는 말을 기호로 적은 것뿐입니다.

압정 = 중심 · 실 = 반지름 · 거리는 어디서나 똑같다

연습 10제 · 그림 해설

문제 1중심·반지름 읽기난이도 C
원 (x + 3)² + (y − 4)² = 20 에 대하여 ① 중심과 반지름을 구하고, ② 이 원이 x축과 만나는 점의 좌표를 모두 구하며, ③ 그때 잘리는 현의 길이를 구하라.
(−3, 4) 4 O −5 −1
x축과 만나는 점은 y에 0을 넣으면 나온다. 중심에서 x축까지의 거리 4가 반지름보다 작으니 반드시 두 점에서 만난다.

풀이 — 식을 그대로 읽고, y에 0을 넣는다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 괄호 안의 부호를 뒤집어 읽는다 (x + 3)² 을 보고 중심의 x좌표를 +3이라 쓰는 것이 이 단원 첫 실수입니다. 표준형의 정식 모양은 (x − a)² 이므로 (x + 3)² = (x − (−3))², 곧 a = −3입니다. 왜 부호가 뒤집히는지는 뜻으로 잡으면 다시는 안 헷갈립니다. (x − a) 는 「x가 a에서 얼마나 떨어졌나」라는 뜻입니다. 그러니 x + 3 이 0이 되는 자리, 즉 x = −3 이 거리가 0인 자리 = 중심입니다. 괄호를 0으로 만드는 값이 중심의 좌표다 — 이 한 줄로 끝납니다. 오른쪽의 20도 반지름이 아니라 반지름의 제곱이니 r = √20 = 2√5입니다.
  2. ① 중심 (−3, 4), 반지름 r = √20 = 2√5 ≈ 4.47.
  3. ② y = 0 대입 : (x+3)² + 16 = 20 → (x+3)² = 4 → x = −1 또는 x = −5. 교점 (−1, 0), (−5, 0).
  4. ③ 현의 길이 = |−1 − (−5)| = 4.
  5. 검산(다른 길): 중심에서 x축까지의 거리 d = |4| = 4 → 현 = 2√(r² − d²) = 2√(20 − 16) = 2√4 = 4 ✓ (그리고 4 < 2√5 이므로 정말 두 점에서 만난다 ✓)
"원의 중심을 찾을 수 있다. 그럼 반지름은 어떻게 구하노? 두 점 사이 거리를 하면 된다."— 장대경 선생님 특강 0:29~0:47 (원의 방정식 첫 장면)
중심 (−3, 4), r = 2√5 · 교점 (−1,0), (−5,0) · 현의 길이 4
문제 2일반형 → 표준형난이도 C
방정식 x² + y² + 10x − 4y − 7 = 0 이 나타내는 도형의 중심과 반지름을 구하고, 그 도형으로 둘러싸인 넓이를 구하라.

풀이 — x끼리 y끼리 모아 완전제곱으로 묶는다

  1. x끼리, y끼리 모은다 : (x² + 10x) + (y² − 4y) = 7.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 더해 넣은 만큼 오른쪽에도 더한다 x² + 10x 를 완전제곱으로 만들려면 일차항 계수의 절반을 제곱한 25를 더해야 합니다. 그런데 왼쪽에만 몰래 25를 더하면 식이 달라집니다. 오른쪽에도 똑같이 25를 더해야 합니다. 한 줄로 적으면 이렇습니다 —
    (x² + 10x + 25) + (y² − 4y + 4) = 7 + 25 + 4
    (x + 5)² + (y − 2)² = 36
    왼쪽에 넣은 25와 4가 오른쪽으로도 그대로 따라가는 것이 이 계산의 전부입니다. 빠뜨리면 반지름이 √7 같은 엉뚱한 값이 됩니다. 공식으로는 r² = (A/2)² + (B/2)² − C = 25 + 4 + 7 = 36 과 똑같습니다.
  3. 중심 (−5, 2), 반지름 r = √36 = 6.
  4. 넓이 = πr² = 36π.
  5. 검산: (x+5)² + (y−2)² − 36 = x² + 10x + 25 + y² − 4y + 4 − 36 = x² + y² + 10x − 4y − 7 ✓ (원식으로 되돌아왔다)
"원의 넓이를 구하시오. 그게 요게 r제곱이니까 원의 넓이가 5파이."— 장대경 선생님 특강 15:38~15:45 (오른쪽 수는 r이 아니라 r²)
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 오른쪽 수를 반지름으로 읽으면 "= 36 이니까 반지름은 36, 넓이는 36²π = 1296π." 표준형의 오른쪽은 언제나 r²입니다. 선생님도 강의에서 "반지름이 5" 라고 말씀하셨다가 그 자리에서 "요게 r제곱이니까" 하고 스스로 바로잡으셨습니다. → 오른쪽 수를 보면 먼저 근호를 씌운다. r = √36 = 6, 넓이 36π.
중심 (−5, 2), 반지름 6, 넓이 36π
문제 3원이 될 조건 · 미정계수난이도 B
방정식 x² + y² − 8x + 4y + k = 0 에 대하여 ① 반지름이 5인 원이 되도록 하는 k의 값을 구하고, ② 이 방정식이 원을 나타내지 못하는 k의 범위를 구하라.

풀이 — 언제나 r²부터 한 덩어리로 만든다

  1. 완전제곱으로 묶는다 : (x − 4)² + (y + 2)² = 16 + 4 − k = 20 − k.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 20 − k 는 반지름이 아니라 반지름의 제곱이다 여기서 20 − k = 5 라고 놓아 k = 15 라고 답하는 사람이 아주 많습니다. 오른쪽 덩어리는 r²이므로 20 − k = 5² = 25 로 놓아야 합니다 → k = −5. 그리고 같은 덩어리 하나가 ②까지 그대로 답해 줍니다. r² 은 「길이의 제곱」이니 반드시 양수여야 합니다.
    · 20 − k > 0 (즉 k < 20) — 진짜 원.
    · 20 − k = 0 (즉 k = 20) — 반지름 0, 그림은 점 (4, −2) 하나뿐.
    · 20 − k < 0 (즉 k > 20) — 제곱의 합이 음수, 그런 점은 없다.
    그래서 원이 못 되는 것은 k ≥ 20 입니다. 등호를 빠뜨려 k > 20 이라 쓰는 것이 두 번째 함정입니다.
  3. ① 20 − k = 25 → k = −5. 이때 식은 (x−4)² + (y+2)² = 25, 중심 (4, −2), 반지름 5 ✓
  4. ② 원이 되려면 20 − k > 0 즉 k < 20. 그러므로 원을 나타내지 못하는 범위는 k ≥ 20.
  5. 검산: k = −5 를 넣으면 x²+y²−8x+4y−5 = (x−4)²+(y+2)²−25 ✓
① k = −5  ·  ② k ≥ 20
문제 4세 점을 지나는 원난이도 B
세 점 A(−1, −3), B(5, 5), C(6, −2) 를 지나는 원의 방정식을 구하고, 이 원이 점 (t, 4) 를 지날 때 t의 값을 모두 구하라.

풀이 — 중심을 P(a, b)로 놓고 「거리가 같다」만 두 번 쓴다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 모르는 것을 셋이 아니라 둘로 줄인다 중심 P(a, b) 와 반지름 r — 모르는 것이 셋이라 막막해 보입니다. 그런데 반지름은 처음부터 쓸 필요가 없습니다. 선생님 말씀대로 A·B·C 까지의 거리가 「전부 다 같아야」 하니, 그 「같다」를 두 번만 적으면 r 은 양변에서 저절로 사라집니다. · PA² = PB² : (−1−a)² + (−3−b)² = (5−a)² + (5−b)²
      → 전개하면 a²+2a+1+b²+6b+9 = a²−10a+25+b²−10b+25 → 12a + 16b = 40 → 3a + 4b = 10
    · PB² = PC² : (5−a)²+(5−b)² = (6−a)²+(−2−b)² → −10a+25−10b+25 = −12a+36+4b+4 → 2a − 14b = −10 → a − 7b = −5
    제곱항 a², b² 가 양쪽에 똑같이 있어 통째로 지워지는 것 — 그래서 남는 것은 일차식 두 개뿐입니다. 연립하면 a = 2, b = 1.
  2. 중심 (2, 1). 반지름은 아무 점 하나로 : r² = (−1−2)² + (−3−1)² = 9 + 16 = 25 → r = 5.
  3. 원의 방정식 (x − 2)² + (y − 1)² = 25.
  4. 검산(세 점 모두): B (5−2)²+(5−1)² = 9+16 = 25 ✓ · C (6−2)²+(−2−1)² = 16+9 = 25 ✓
  5. (t, 4) 대입 : (t−2)² + (4−1)² = 25 → (t−2)² = 16 → t − 2 = ±4 → t = 6 또는 t = −2.
"원의 중심을 a, b라고 하자. 요게 전부 다 반지름이 같아야 되는 걸 알 수 있다. PA제곱하고 PB제곱을 계산을 하면…"— 장대경 선생님 특강 2:15~2:52 (세 점을 지나는 원)
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 답을 하나만 쓰면 (t−2)² = 16 에서 t − 2 = 4 만 보고 "t = 6" 하고 끝낸다. 제곱을 벗기면 언제나 부호가 두 개입니다. 그림으로 보면 높이 y = 4 인 가로선이 원을 왼쪽과 오른쪽 두 곳에서 뚫고 지나갑니다. → t = 6 과 t = −2 둘 다. 두 점 (6,4), (−2,4) 모두 16 + 9 = 25 ✓
(x − 2)² + (y − 1)² = 25 · t = 6 또는 t = −2
문제 5x축에 접하는 원 · 두 개난이도 B
두 점 (1, 2) 와 (3, 4) 를 지나고 x축에 접하는 원은 두 개 있다. 두 원의 반지름의 합을 구하라.
(1,2) (3,4) r=2 r=10 O
두 점을 지나는 원은 무수히 많지만, x축에 접한다는 조건 하나가 그중 딱 두 개만 남긴다.

풀이 — x축에 접하면 반지름은 이미 알고 있는 값이다

  1. ⭐ 여기가 고비 — r 을 새 문자로 두지 않는다 중심을 (a, b), 반지름을 r 로 두면 모르는 것이 셋인데 조건은 둘(두 점)뿐이라 풀리지 않습니다. 여기서 선생님의 무기가 나옵니다 — x축에 접하면 반지름이 곧 중심의 y좌표입니다. 그러니 r = b 로 놓아 모르는 것을 둘로 줄입니다. 원의 식이 (x − a)² + (y − b)² = b² 가 되는 것이 시작이자 전부입니다. 왜 그런가 — 중심 (a, b) 에서 x축(y = 0)까지의 수직 거리가 바로 |b| 이고, 접한다는 것은 그 거리가 반지름과 같다는 뜻이기 때문입니다. 마찬가지로 y축에 접하면 r = |a| 입니다. 여기서는 두 점이 모두 x축 위쪽에 있으니 b > 0, 그래서 r = b.
  2. (1, 2) 대입 : (1−a)² + (2−b)² = b² → a² − 2a + 1 + 4 − 4b = 0 … ①
  3. (3, 4) 대입 : (3−a)² + (4−b)² = b² → a² − 6a + 9 + 16 − 8b = 0 … ②
  4. ① − ② : 4a − 20 + 4b = 0 → a + b = 5. (선생님이 「빼 버려라」 하시는 자리)
  5. a = 5 − b 를 ①에 : (5−b)² − 2(5−b) + 5 − 4b = 0 → b² − 12b + 20 = 0 → b = 2 또는 b = 10.
  6. 중심은 (3, 2)·(−5, 10), 반지름은 2·10. 합 = 12.
  7. 검산: (1−3)²+(2−2)² = 4 = 2² ✓ · (1+5)²+(2−10)² = 36+64 = 100 = 10² ✓ · (3+5)²+(4−10)² = 64+36 = 100 ✓
"x축에 접한다, 그러면 반지름이 바로 뭐? y값이다. … 반지름을 물었다, 반지름은 y값이다. 요거 두 개를 더해 버리면 된다."— 장대경 선생님 특강 7:06~7:17 · 12:25~12:30
2 + 10 = 12
문제 6원과 직선의 위치관계난이도 B
원 x² + y² = 9 와 직선 y = x + k 가 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 k의 값의 범위를 구하고, 접할 때의 k의 값을 구하라.

풀이 — 중심에서 직선까지의 거리 하나면 끝난다

  1. 직선을 x − y + k = 0 꼴로 고친다. 원의 중심은 (0, 0), 반지름은 3.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 「두 점에서 만난다」를 부등식 하나로 바꾼다 연립해서 판별식을 따지는 길도 있지만, 원에서는 거리 한 줄이 훨씬 짧습니다. 중심에서 직선까지 거리를 d라 하면 — d < r 두 점 · d = r 접함 · d > r 안 만남. d = |0 − 0 + k| / √(1² + (−1)²) = |k| / √2 이므로 두 점에서 만날 조건은 |k|/√2 < 3 → |k| < 3√2 → −3√2 < k < 3√2.
    판별식으로 가도 똑같은 곳에 닿습니다 — x² + (x+k)² = 9 → 2x² + 2kx + k² − 9 = 0, 판별식 D = 4k² − 8(k²−9) = 4(18 − k²). D > 0 ⟺ k² < 18 ⟺ |k| < 3√2 — 두 길이 한 글자도 안 어긋납니다. 거리 쪽이 전개도 인수분해도 없이 한 줄이라 실전에서 훨씬 빠릅니다.
  3. 두 점에서 만남 : −3√2 < k < 3√2. (3√2 ≈ 4.24)
  4. 접함 : |k|/√2 = 3 → k = 3√2 또는 k = −3√2.
  5. 검산: k = 3√2 일 때 2x² + 6√2 x + 18 − 9 = 0 → 2x² + 6√2x + 9 = 0, D = 72 − 72 = 0 ✓ (한 점에서만 만난다)
"자꾸 2분의 루트 2로 바꾸는데, 그러면 자꾸 숫자가 커지면 계산하는 게 더 힘들어진다. 자, 그걸 명심하고…"— 장대경 선생님 특강 30:16~30:26 (분모를 유리화한다고 더 어렵게 만들지 마라)
두 점 : −3√2 < k < 3√2 · 접할 때 : k = ±3√2
문제 7현의 길이난이도 B
원 x² + y² − 2x + 4y − 20 = 0 이 직선 3x + 4y − 10 = 0 에 의해 잘리는 현의 길이와, 그 현과 원의 중심이 이루는 삼각형의 넓이를 구하라.
(1,−2) 3 8 5
중심에서 현에 수선을 내리면 반지름·거리·현의 절반이 직각삼각형 하나를 이룬다.

풀이 — 반지름·거리·현의 절반으로 직각삼각형을 만든다

  1. 표준형으로 : (x − 1)² + (y + 2)² = 20 + 1 + 4 = 25 → 중심 (1, −2), 반지름 5.
  2. 중심에서 직선까지 거리 d = |3·1 + 4·(−2) − 10| / √(3²+4²) = |−15|/5 = 3.
  3. ⭐ 여기가 고비 — 피타고라스로 나온 것은 현의 절반이다 중심에서 현에 수선을 내리면 빗변이 반지름 5, 한 변이 거리 3인 직각삼각형이 생깁니다. 그래서 √(5² − 3²) = 4 가 나오는데, 이 4는 현 전체가 아니라 절반입니다. 왜 절반인가 — 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 정확히 이등분하기 때문입니다. 수선이 만든 왼쪽·오른쪽 두 직각삼각형은 빗변이 둘 다 반지름 5이고 높이 3을 함께 쓰므로, 남은 변도 √(25−9) 로 같을 수밖에 없습니다.
    그러니 현의 길이 = 2√(r² − d²) = 2 × 4 = 8. 「구한 것이 전체인가 절반인가」를 답 쓰기 직전에 그림에서 한 번 짚는다 — 이것이 이 유형의 전부입니다.
  4. 현의 길이 = 2√(25 − 9) = 2√16 = 8.
  5. 삼각형의 넓이 = ½ × (밑변 8) × (높이 3) = 12. 또는 반현 × 높이 = 4 × 3 = 12 ✓
  6. 검산(좌표로 직접): 연립하면 교점은 (−2.6, 4.45) 와 (3.8, −0.35), 두 점 사이 거리 = √(6.4² + 4.8²) = √(40.96 + 23.04) = √64 = 8 ✓
"이 길이를 다 하지 말고… 요만큼 길이가 야란 말이야. 야 곱하기 높이면 바로 넓이가 되는 거야."— 장대경 선생님 특강 31:50~32:01 (반현 × 높이 = 삼각형의 넓이)
현의 길이 8, 삼각형의 넓이 12
문제 8두 원의 공통현난이도 B
두 원 x² + y² = 10 과 x² + y² − 4x + 2y − 20 = 0 의 두 교점을 A, B 라 할 때, ① 직선 AB 의 방정식, ② 선분 AB의 길이, ③ 삼각형 OAB(O는 원점)의 넓이를 구하라.
A B O √5
두 원을 빼 버리면 이차항이 사라지고 직선이 남는다 — 그것이 공통현이다.

풀이 — 두 원을 빼면 직선이 튀어나온다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 교점의 좌표를 구하려 들지 않는다 "교점 A, B" 라는 말을 보면 반사적으로 연립해서 좌표부터 구하려드는데, 그러면 이차식이 나와 길어집니다. 선생님의 무기는 딱 한 줄입니다 — (원1) − (원2). 두 식 모두 x² 과 y² 의 계수가 1이므로 빼는 순간 이차항이 통째로 지워지고 직선만 남습니다. 왜 그 직선이 공통현인가 — A와 B는 두 식을 동시에 만족하므로, 두 식의 차인 새 식도 당연히 만족합니다. 그런데 그 새 식은 직선이고, 직선은 두 점으로 하나뿐이니 그것이 바로 직선 AB입니다.
    (x²+y²−10) − (x²+y²−4x+2y−20) = 4x − 2y + 10 = 0 → 2x − y + 5 = 0. 좌표를 하나도 안 구하고 직선을 손에 넣었습니다.
  2. ① 직선 AB : 2x − y + 5 = 0.
  3. ② 원점 O 에서 이 직선까지 거리 d = |5| / √(2²+1²) = 5/√5 = √5. 원 x²+y²=10 의 반지름은 √10 이므로 AB = 2√(10 − 5) = 2√5.
  4. ③ 삼각형 OAB 의 넓이 = 반현 × 높이 = √5 × √5 = 5. (= ½ × 2√5 × √5 와 같다)
  5. 검산(좌표로): y = 2x+5 를 대입하면 5x² + 20x + 15 = 0 → x = −1, −3 → A(−1, 3), B(−3, −1). AB = √(2² + 4²) = √20 = 2√5 ✓ 그리고 두 점 모두 둘째 원에도 있다 : (−1−2)²+(3+1)² = 25 ✓ (−3−2)²+(−1+1)² = 25 ✓
"1번 방정식의 원에서 2번 원을 빼 버리면은 야가 바로 직선의 방정식이 나온다."— 장대경 선생님 특강 29:31~29:42 (공통현)
① 2x − y + 5 = 0  ·  ② AB = 2√5  ·  ③ 넓이 5
문제 9접선의 두 얼굴난이도 B
원 x² + y² = 20 에 대하여 ① 이 원 위의 점 (2, 4) 에서의 접선이 점 (a, −1) 을 지날 때 a의 값을 구하고, ② 기울기가 2이면서 이 원에 접하는 직선의 방정식을 모두 구하라.

풀이 — 접점을 아는가, 기울기를 아는가로 공식을 고른다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 접선 공식은 둘이고, 무엇을 주었는지가 고른다 접선 문제에서 헤매는 까닭은 공식이 하나라고 생각하기 때문입니다. 얼굴이 둘입니다. · 접점을 알 때 : 원 x²+y²=r² 위의 점 (x₁, y₁) 에서의 접선은 x·x₁ + y·y₁ = r². — 원래 식에서 x² 을 x·x₁ 로, y² 을 y·y₁ 로 「반쪽만 갈아 끼우는」 모양이라 외우기 쉽습니다.
    · 기울기를 알 때 : y = mx ± r√(m² + 1). — 접점이 어딘지는 몰라도 중심에서의 거리가 r이라는 조건 하나로 나옵니다.
    주어진 것이 「점」이면 첫째, 「기울기」면 둘째 — 이 갈래만 잡으면 계산은 한 줄입니다.
  2. ① (2, 4) 는 원 위의 점이다 : 2² + 4² = 20 ✓. 접선은 2x + 4y = 20 → x + 2y = 10.
  3. (a, −1) 대입 : a + 2(−1) = 10 → a = 12.
  4. ② y = 2x + c 라 두면 2x − y + c = 0. 중심 (0,0) 까지 거리 = |c|/√5 = √20 = 2√5 → |c| = 2√5 × √5 = 10.
  5. 그러므로 y = 2x + 10 과 y = 2x − 10. (공식 y = 2x ± √20·√5 = 2x ± 10 과 같다 ✓)
  6. 검산: y = 2x + 10 을 원에 대입하면 x² + (2x+10)² = 20 → 5x² + 40x + 80 = 0 → x² + 8x + 16 = 0 → (x+4)² = 0 — 중근이니 정말 한 점 (−4, 2) 에서만 만난다 ✓
"플러스 마이너스 4가 나와야 되는데, 양수를 물었기 때문에 a는 4."— 장대경 선생님 특강 24:28~24:34 (두 답 중 문제가 고르라는 것을 고른다)
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — ②에서 답을 하나만 쓰면 "y = 2x + 10" 하나만 쓰고 끝낸다. 기울기가 같은 접선은 원의 위쪽과 아래쪽에 하나씩, 반드시 두 개입니다(서로 평행). ①에서는 접점을 콕 집어 주었으니 답이 하나였지만, ②는 접점을 안 주었습니다. → 부호 ± 가 붙는 자리를 놓치지 않는다. y = 2x + 10 과 y = 2x − 10 둘 다.
① a = 12  ·  ② y = 2x + 10, y = 2x − 10
문제 10종합 · 넓이 이등분 · 최대최소난이도 A
원 C : x² + y² − 6x + 8y + 9 = 0 에 대하여 ① 이 원의 넓이를 이등분하고 점 (1, 2) 를 지나는 직선의 방정식, ② 원 C 위의 점 P 와 점 A(−1, −1) 사이 거리의 최댓값과 최솟값, ③ 원 C 와 x축의 위치 관계를 구하라.
A (3,−4) (3, 0) 1 9
가장 가깝고 가장 먼 점은 A와 중심을 잇는 직선 위에 있다. 그리고 이 원은 x축에 딱 닿는다.

풀이 — 중심과 반지름을 찾으면 세 물음이 한꺼번에 풀린다

  1. 표준형으로 : (x−3)² + (y+4)² = −9 + 9 + 16 = 16 → 중심 (3, −4), 반지름 4.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 세 물음이 모두 「중심과 반지름」 하나로 답해진다 문제가 셋으로 나뉘어 있어 세 가지 방법을 찾으려 들지만, 쓰는 재료는 (3, −4) 와 4 뿐입니다. · ①넓이 이등분 : 원을 반으로 가르는 직선은 반드시 중심을 지납니다 (중심을 지나야 두 조각이 점대칭으로 포개집니다). 그러니 「중심과 그 점을 잇는 직선」일 뿐입니다.
    · ②최대·최소 : A에서 원 위 점까지의 거리는 (중심까지 거리) ± (반지름) 사이를 오갑니다. 삼각부등식 때문에 |OA − r| ≤ PA ≤ OA + r 이고, 등호는 P가 A와 중심을 잇는 직선 위에 놓일 때 성립합니다.
    · ③x축과의 관계 : 중심에서 x축까지 거리는 |−4| = 4 — 반지름과 똑같습니다. 그러니 접합니다. (문제 5의 무기를 거꾸로 읽은 것)
    표준형 한 줄이 세 물음의 열쇠를 전부 쥐고 있습니다.
  3. ① 중심 (3, −4) 와 (1, 2) 를 잇는 직선 : 기울기 = (−4 − 2)/(3 − 1) = −3 → y − 2 = −3(x − 1) → y = −3x + 5. (검산: x=3 이면 y = −4 ✓ 중심을 지난다)
  4. ② 중심에서 A까지 거리 = √((3+1)² + (−4+1)²) = √(16+9) = 5. A는 원 밖(5 > 4). 최댓값 = 5 + 4 = 9, 최솟값 = 5 − 4 = 1.
  5. ③ 중심에서 x축까지 거리 = |−4| = 4 = r → x축에 접한다. 접점은 y = 0 을 대입해 x² − 6x + 9 = 0 → (x−3)² = 0 → x = 3, 곧 (3, 0).
  6. 검산(②를 다른 길로): 원을 P(3 + 4cos θ, −4 + 4sin θ) 로 두고 PA² 를 한 바퀴 돌려 재면 최댓값이 81 = 9², 최솟값이 1 = 1² ✓
"넓이를 2등분한다는 얘기는 반드시 중점을 지나가야 된다."— 장대경 선생님 특강 25:13~25:19 (넓이 이등분선)
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — ②에서 A까지의 거리를 그대로 답하면 "중심까지 5니까 최댓값 5, 최솟값은… 0?" 구하는 것은 A와 「원 위의 점 P」 사이 거리이지 중심까지가 아닙니다. 5는 가운데 기준일 뿐, P는 그 기준에서 반지름 4만큼 앞뒤로 움직입니다. → 5 − 4 = 1 부터 5 + 4 = 9 까지. A가 원 안에 있었다면 최솟값은 r − OA 가 됩니다.
① y = −3x + 5  ·  ② 최대 9, 최소 1  ·  ③ x축에 접한다 (접점 (3, 0))

도전 4제 · 이 무기만으로 위 학년 문제 풀기

"중심이 어디고 반지름이 얼마냐" 하나로 자취·두 원·최대최소·정수해까지.

도전 · 고1 심화아폴로니오스의 원난이도 A
두 점 A(0, 0), B(6, 0) 에 대하여 PA : PB = 2 : 1 을 만족시키는 점 P 가 그리는 도형을 구하라.

풀이 — 비를 제곱해서 근호를 없앤다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 비례식을 제곱한 등식으로 바꿔 앉힌다 PA : PB = 2 : 1 을 그대로 두면 √ 가 둘이나 붙어 손을 못 댑니다. PA = 2PB → 양변 제곱 → PA² = 4PB² 로 바꾸는 순간 근호가 통째로 사라집니다. P(x, y) 로 두면 x² + y² = 4{(x−6)² + y²}
    → x² + y² = 4x² − 48x + 144 + 4y² → 3x² + 3y² − 48x + 144 = 0 → 3으로 나눠 x² + y² − 16x + 48 = 0
    → (x − 8)² + y² = 16.
    거리의 「비」가 일정한 점들이 놀랍게도 직선이 아니라 원을 그립니다 — 이것이 아폴로니오스의 원입니다. (강의 마지막 예제의 PA² + PB² = 16 자취와 같은 손놀림 — 제곱해서 정리하면 원이 나온다.)
  2. 중심 (8, 0), 반지름 4 인 원.
  3. 검산: P(4, 0) → PA = 4, PB = 2 → 2:1 ✓ · P(12, 0) → 12 : 6 = 2:1 ✓ · P(8, 4) → PA = √80, PB = √20, √80 = 2√20 ✓
중심 (8, 0), 반지름 4인 원 : (x − 8)² + y² = 16
도전 · 고1두 원의 위치관계난이도 B
두 원 x² + y² = 4 와 (x − a)² + y² = 9 (a > 0) 가 ① 외접할 때, ② 내접할 때의 a의 값을 각각 구하고, ③ 서로 다른 두 점에서 만날 a의 범위를 구하라.

풀이 — 두 원의 관계는 「중심거리 vs 반지름의 합·차」 하나로 본다

  1. 중심은 (0,0) 과 (a, 0), 반지름은 2 와 3. 중심거리 d = a.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 재는 자는 합과 차 딱 둘뿐이다 두 원의 관계는 다섯 가지지만 경계는 두 곳뿐입니다 — d = r₁ + r₂ = 5 와 d = |r₁ − r₂| = 1. · d > 5 — 서로 밖에 떨어져 있다.
    · d = 5 — 외접(밖에서 한 점으로 닿음) → a = 5.
    · 1 < d < 5 — 서로 다른 두 점에서 만난다.
    · d = 1 — 내접(작은 원이 큰 원 안에서 한 점으로 닿음) → a = 1.
    · d < 1 — 작은 원이 큰 원 안에 쏙 들어가 만나지 않는다.
    「합보다 크면 떨어지고, 차보다 작으면 삼켜진다」 — 이 한 줄이면 다섯 경우가 한눈에 섭니다.
  3. ① 외접 : a = 2 + 3 = 5. ② 내접 : a = 3 − 2 = 1 (a > 0 이므로).
  4. ③ 두 점에서 만남 : 1 < a < 5.
  5. 검산: a = 5 로 연립하면 교점이 1개((2,0)) ✓ · a = 1 도 교점 1개((−2,0)) ✓ · a = 3 이면 교점 2개 ✓
① a = 5  ·  ② a = 1  ·  ③ 1 < a < 5
도전 · 고2원 위에서의 최대·최소난이도 A
점 (x, y) 가 원 x² + y² − 4x − 2y + 1 = 0 위를 움직일 때, x + y 의 최댓값과 최솟값을 구하라.

풀이 — x + y = k 를 「움직이는 직선」으로 본다

  1. 표준형 : (x − 2)² + (y − 1)² = 4 → 중심 (2, 1), 반지름 2.
  2. ⭐ 여기가 고비 — 구하는 값 x + y 에 이름 k 를 붙여 직선으로 만든다 x + y 의 최대·최소를 「값」으로만 보면 손댈 곳이 없습니다. x + y = k 라 놓으면 그것은 기울기 −1인 직선의 무리가 되고, k 를 키우면 직선이 오른쪽 위로 평행하게 미끄러집니다. 그 직선이 원과 한 점이라도 만나야 그런 (x, y) 가 실제로 있는 것입니다. 그러니 조건은 중심에서 직선까지 거리 ≤ 반지름 — |2 + 1 − k| / √2 ≤ 2 → |3 − k| ≤ 2√2 → 3 − 2√2 ≤ k ≤ 3 + 2√2.
    가장 크고 가장 작은 k는 직선이 원에 「접할 때」입니다 — 더 밀면 원에서 떨어져 버리니까요.
  3. 최댓값 3 + 2√2 ≈ 5.83, 최솟값 3 − 2√2 ≈ 0.17.
  4. 검산(다른 길 · 매개변수): x = 2 + 2cos θ, y = 1 + 2sin θ → x + y = 3 + 2(cos θ + sin θ) = 3 + 2√2 sin(θ + 45°). sin 의 값이 −1 ~ 1 이므로 3 − 2√2 ~ 3 + 2√2 ✓ (두 길이 정확히 일치)
최댓값 3 + 2√2, 최솟값 3 − 2√2
도전 · 경시원 위의 격자점난이도 A
원 x² + y² = 25 위의 점 중 x좌표와 y좌표가 모두 정수인 점은 몇 개인가? 모두 구하라.

풀이 — 25를 두 제곱수의 합으로 쓰는 방법을 먼저 센다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 점을 찍어 세지 말고 「25 = □ + □」를 먼저 센다 원을 그려 놓고 눈으로 찾으면 빠뜨립니다. 순서를 뒤집습니다 — 먼저 x² + y² = 25 를 만족하는 (|x|, |y|) 를 다 찾고, 그다음 부호를 붙입니다. |x| 는 0부터 5까지만 볼 수 있습니다(더 크면 x² 이 25를 넘으니까요).
    0² + 5² = 25 ✓ · 1² + ? = 24 ✗ · 2² + ? = 21 ✗ · 3² + 4² = 25 ✓ · 4² + 3² = 25 ✓ · 5² + 0² = 25 ✓
    그러니 절댓값 짝은 (0,5), (3,4), (4,3), (5,0) 넷.
    부호 붙이기에서 갈립니다 — (3,4)처럼 둘 다 0이 아니면 부호가 2 × 2 = 4가지, (0,5)처럼 0이 끼면 위·아래 2가지뿐입니다(+0 = −0).
    4 + 4 + 2 + 2 = 12개. 여기서 3:4:5 직각삼각형이 또 나타납니다.
  2. (±3, ±4) 4개, (±4, ±3) 4개, (±5, 0) 2개, (0, ±5) 2개.
  3. 검산: −5 ≤ x ≤ 5 의 정수 x 를 하나씩 넣어 25 − x² 이 제곱수인지 확인하면 x = 0, ±3, ±4, ±5 에서만 성립 → 점의 개수 12 ✓
🚧 틀린 길을 한 줄만 가 보자 — 부호를 일률적으로 4배 하면 "절댓값 짝이 4개니까 4 × 4 = 16개." (0, 5) 에서 (+0, 5) 와 (−0, 5) 는 같은 점입니다. 0에는 부호가 없습니다. → 0이 낀 짝은 2가지로 센다. 4 + 4 + 2 + 2 = 12개.
12개 : (±3,±4), (±4,±3), (±5,0), (0,±5)

제일 밑에 · 이 방법을 다른 학년·개념에 쓰는 비법

"중심과 반지름" 하나로 자취·삼각함수·공간까지

오늘 익힌 (x−a)² + (y−b)² = r² 는 「거리가 일정하다」를 적은 것뿐입니다. 그래서 거리를 다루는 모든 자리에 그대로 다시 나타납니다.

① 고1 · 자취(궤적) 문제 전부
고1 · 도형의 방정식
PA² + PB² = 일정, PA : PB = m : n, ∠APB = 90° — 셋 다 정리하면 원이 나옵니다. 정체를 모를 땐 일단 제곱해서 완전제곱으로 묶어 보세요.
② 고2 · 삼각함수의 매개변수 표현
고2 수1 · 삼각함수
원 위의 점은 (a + r cos θ, b + r sin θ) 로 쓸 수 있습니다. 미지수 둘이 하나(θ)로 줄어 최대·최소 문제가 삼각함수 문제로 바뀝니다.
③ 고2 · 부등식의 영역과 최적화
고2 · 부등식의 영역
x² + y² ≤ r² 은 원의 안쪽. 그 위에서 ax + by 의 최대·최소를 묻는 것은 「직선을 밀어 원에 접할 때」를 찾는 일 — 도전 3번과 똑같은 손놀림입니다.
④ 고2 · 공간에서의 구(球)의 방정식
고2 · 공간도형
(x−a)² + (y−b)² + (z−c)² = r² — 항이 하나 늘었을 뿐, 중심과 반지름을 읽는 방법은 완전히 같습니다. 구와 평면이 만나면 그 자리에 원이 생깁니다.
⑤ 경시 · 정수해와 격자점
정수론 · 경시수학
x² + y² = n 의 정수해는 n을 두 제곱수의 합으로 쓰는 방법과 같은 문제입니다. 4로 나눈 나머지가 3인 소인수가 짝수 번 나와야 해가 있다는 정리로 이어집니다.
※ 이 자료의 문항은 장대경 선생님 특강의 방법(무기)만 가져와 새 수치로 다시 지은 것이며, 모든 답·범위·좌표는 대수 계산으로 전수 검산했습니다(대부분 두 가지 길로). 인용한 「구호」는 원본 강의 전사에 실제로 남아 있는 말이며 시각을 함께 적었습니다.
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