포함관계 = 명제 증명 — 진리집합 P⊂Q 이면 명제 p→q는 항상 참. 집합 연산만으로 명제를 증명한다.
2
여집합 변환 — A∪B=U 같은 식은 양변에 여집합(드모르간)을 취하면 포함관계로 바뀐다.
3
원소 순환추적 — 조건을 만족하는 원소를 하나씩 직접 대입해서 따라가면, 순환하는 지점에서 최솟값이 보인다.
＋
부분집합 원소합 — 원소 n개 집합의 부분집합은 2ⁿ개, 각 원소는 정확히 2ⁿ⁻¹번씩 등장한다.
이 개념, 학년마다 이렇게
🐣 초등 (직관)
"~이면 ~이다"를 동그라미 안에 동그라미로 그려서 확인. 작은 동그라미 안에 있으면 큰 동그라미에도 있다.
📐 고1 (핵심)
진리집합의 포함관계로 명제 증명, 조건 만족 원소 찾기, 부분집합 개수·원소합.
🎓 고등 (확장)
필요충분조건·역·이·대우의 논리 구조, 확률의 사건과 집합 연결.
🐣 저학년 직관 — "작은 동그라미는 큰 동그라미 안에"
"강아지이면 동물이다"를 그림으로 그려 봐요. 강아지 동그라미가 동물 동그라미 안에 쏙 들어가 있으면, 강아지는 항상 동물이 맞다는 뜻이에요. 동그라미가 안에 들어있는가만 확인하면 "~이면 ~이다"가 참인지 알 수 있어요.
강아지 ⊂ 동물 (작은 원이 큰 원 안에) → "강아지이면 동물이다"는 항상 참.
포함관계 = 명제가 참인지 확인하는 방법
연습 10제 · 그림 해설
문제 1기본 포함관계
조건 p: "x는 4의 배수", 조건 q: "x는 2의 배수"일 때, 명제 p→q는 참인가 거짓인가?
풀이 — 진리집합의 포함관계 확인
진리집합 P={4,8,12,...}, Q={2,4,6,8,...}. P⊂Q(4의 배수는 항상 2의 배수).
참이다 (P⊂Q이므로)
문제 2포함관계 증명 · 진가
전체집합 U의 세 조건 p, q, r의 진리집합을 각각 P, Q, R이라 하자. P∩Q=P, Q∪R^c=U가 성립할 때, 항상 참인 명제를 모두 구하라.
풀이 — 식을 포함관계로 바꾼다
P∩Q=P → P⊂Q → 명제 p→q는 항상 참.
Q∪R^c=U의 양변에 여집합: Q^c∩R=∅ → R⊂Q → 명제 r→q도 항상 참.
p→q, r→q 모두 항상 참
문제 3여집합 변환 · 연습
A∩B^c=∅이 성립할 때, A와 B의 포함관계를 구하라.
풀이 — 벤다이어그램으로 직접 확인
A에서 B에 없는 부분이 공집합 → A의 모든 원소가 B에 있다 → A⊂B.
A⊂B
문제 4원소 순환추적 · 진가
집합 S가 다음 두 조건을 만족한다. (가)5∈S(나)x∈S이면 1/(1−x)∈S이다. 집합 S의 원소 개수의 최솟값을 구하라. (단, x≠1)
풀이 — 하나씩 대입해서 순환을 확인한다
x₁=5. x₂=1/(1−5)=−1/4.
x₃=1/(1−(−1/4))=1/(5/4)=4/5.
x₄=1/(1−4/5)=1/(1/5)=5 → 처음(5)으로 돌아옴, 순환!
최솟값 = 3 ({5, −1/4, 4/5})
🔑 대입을 반복하다 처음 값으로 되돌아오면 그게 전부야. 그 이상 원소가 늘지 않아.
문제 5집합의 경계값 · 진가
자연수 n에 대하여 집합 Aₙ = {x | x는 √n 이하의 홀수}라 하자. A₂₅ = Aₙ을 만족하는 자연수 n의 최댓값을 구하라.
풀이 — 양 끝 경계를 부등식으로
A₂₅ = √25=5 이하의 홀수 = {1,3,5}.
Aₙ = {1,3,5}가 되려면: 5는 포함되어야 하니 √n ≥ 5, 다음 홀수 7은 포함되면 안 되니 √n < 7.
25 ≤ n < 49 → 자연수 n의 최댓값은 48.
n의 최댓값 = 48
🔑 이 문제는 "Aₙ이 A₂₅과 똑같아지는" 경우(등호)를 묻는 것 — 원소가 딱 {1,3,5}로 고정되는 n의 범위를 양쪽 경계로 잡아요.
문제 6부분집합 원소합 · 진가
집합 A={−1,0,1,2}의 서로 다른 16개의 부분집합을 A₁,...,A₁₆이라 하자. 각 부분집합의 모든 원소의 합을 S(Aᵢ)라 할 때, Σᵢ₌₁¹⁶ S(Aᵢ)의 값을 구하라.
풀이 — 각 원소는 절반의 부분집합에 등장
원소 4개 → 부분집합 2⁴=16개. 각 원소는 2⁴⁻¹=8번씩 등장.
총합 = 8×(−1+0+1+2) = 8×2.
16
문제 7부분집합 개수
집합 A={1,2,3,4,5}의 부분집합 중 1을 반드시 포함하는 부분집합의 개수를 구하라.
풀이 — 정해진 원소는 빼고 세기
1은 고정, 나머지 4개(2,3,4,5)는 자유 → 2⁴=16.
16개
문제 8대우
명제 "x=2 이면 x²=4"의 대우를 말하고, 참인지 확인하라.
풀이 — 대우 = ~q → ~p
대우: "x²≠4 이면 x≠2".
원명제가 참이므로 대우도 항상 참(대우는 원명제와 참·거짓이 같다).
대우: x²≠4 → x≠2, 참이다
문제 9충분·필요조건
p: "x=3", q: "x²=9" 일 때, p는 q이기 위한 무슨 조건인가?
풀이 — P⊂Q면 충분조건
P={3}, Q={3,−3}. P⊂Q이지만 Q⊄P.
p→q는 참(충분), q→p는 거짓(필요 아님).
충분조건이지만 필요조건은 아니다
문제 10실생활 · 분류
"연아카데미 학생이면 수학을 배운다"가 참일 때, "수학을 안 배우면 연아카데미 학생이 아니다"는 참인가?
풀이 — 이건 원명제의 대우
"수학 안 배움 → 연아카데미 학생 아님"은 원명제의 대우 → 원명제가 참이면 대우도 항상 참.
참이다 (대우 관계)
제일 밑에 · 이 방법을 다른 학년·개념에 쓰는 비법
"포함관계가 곧 증명이다" 하나로 확률·함수까지
명제와 집합에서 익힌 "동그라미 안에 동그라미"는 눈이, 학년이 올라가면 확률·함수로 그대로 이어집니다.
① 고2 · 확률 — 사건은 집합이다
고2 · 확률
사건 A가 사건 B에 포함되면(A⊂B), A가 일어나면 B도 항상 일어난 것. 확률의 사건 포함관계는 이 단원의 진리집합 포함관계와 완전히 같은 구조예요.
② 고1 · 함수의 정의역·공역
고1 · 함수
함수가 되려면 정의역의 모든 원소가 공역의 원소에 대응해야 해요. 이것도 집합 간의 포함·대응 관계로 이해하면 "함수가 아닌 경우"를 쉽게 걸러낼 수 있어요.
③ 고3 · 집합의 연산과 벤다이어그램 심화
고3 · 확률과 통계
여러 사건의 배반·독립 조건은 집합의 교집합이 공집합인지, 곱셈정리가 성립하는지로 확인해요. 오늘 배운 여집합·교집합 변환이 그대로 확률 계산의 도구가 됩니다.
④ 논리적 글쓰기 — 대우로 증명하기
국어·논술 연계
원명제를 직접 증명하기 어려우면 대우를 증명하는 게 훨씬 쉬울 때가 많아요("귀류법"의 사촌). 수학뿐 아니라 논리적인 글쓰기에서도 자주 쓰이는 사고법이에요.
⑤ 실생활 · 분류와 조건 확인
일상 논리
"자격이 되면 지원 가능"같은 조건은 전부 포함관계예요. 자격 집합이 지원가능 집합에 포함되는지 확인하는 게 이 단원의 핵심 사고력이에요.
도전 · 이 비법만으로 위 학년 문제 풀기
"포함관계가 곧 증명이다" 하나로 확률·함수·귀류법까지. 학년별 3문제씩!
도전 · 고2확률 — 사건의 포함관계
주사위를 던져 사건 A="3의 배수가 나온다", 사건 B="6이 나온다"일 때, B⊂A인지 확인하고 P(A)를 구하라.
풀이
A={3,6}, B={6}. B⊂A 맞다(6은 항상 3의 배수).
P(A) = 2/6 = 1/3.
B⊂A 성립, P(A)=1/3
도전 · 고1함수 판별
정의역 X={1,2,3}에서 공역 Y={a,b}로, 1→a, 2→b를 대응시켰다. 이것이 함수가 되려면 무엇이 더 필요한가?
풀이 — 정의역 모든 원소가 대응해야
3이 아직 대응 안 됨 → 함수가 되려면 3도 Y의 원소 하나에 반드시 대응해야 한다.
3에 대한 대응(예: 3→a 또는 3→b)이 추가로 필요
도전 · 고1필요충분조건
p: "삼각형이 정삼각형이다", q: "삼각형의 세 변의 길이가 같다"일 때, p는 q이기 위한 무슨 조건인가?
풀이 — 양방향 다 성립하면 필요충분
정삼각형 ⟺ 세 변이 같다. P=Q → 양방향 참.
필요충분조건
도전 · 고3배반사건
사건 A="짝수가 나온다", 사건 B="홀수가 나온다"(주사위)일 때, A와 B는 배반사건인가?
풀이 — 교집합이 공집합이면 배반
A={2,4,6}, B={1,3,5}. A∩B=∅ → 배반사건.
배반사건이다
도전 · 고3귀류법(대우 활용)
"√2가 유리수라면 모순이 생긴다"는 증명법의 이름은? 이 방법이 대우와 어떻게 연결되는가?
풀이
귀류법. "결론이 거짓이면 가정도 거짓"이라는 대우의 논리 구조를 이용해, 결론을 부정해서 모순을 이끌어낸다.
귀류법 (대우의 논리를 활용한 증명법)
도전 · 고3벤다이어그램 심화
전체집합 U에서 A∩B=A이고 A∪C=U일 때, A와 B, A와 C의 포함관계를 각각 구하라.
풀이 — 두 조건을 각각 변환
A∩B=A → A⊂B.
A∪C=U의 여집합: A^c∩C^c=∅ → A^c⊂C.
A⊂B, A^c⊂C
※ 이 자료의 예제는 장대경 선생님 방법을 수학적으로 정확한 값으로 재구성·검산한 교육 자료입니다. 문제 5는 원본의 관계 표기(⊂)가 자동 전사 과정에서 흐려져, 등호(=) 조건으로 정확히 재구성했습니다. 모든 계산은 직접 검산했습니다(원본 강의와 숫자·예제가 다를 수 있음).