YEON MATH · 행복수학

부정적분 실전 완전정복
— "미분을 거꾸로 올라가면 C가 붙는다" · 연습 10제

적분상수 C · 적분과 미분의 순서 · 분모 합치기 · 전개 · 접선의 기울기 · 극값으로 C 잡기 · 장대경 선생님의 특강

연플래닝 ACADEMY

먼저 · 부정적분 문제를 푸는 규칙 일곱 가지

1
적분은 미분을 거꾸로 올라가는 길 — F′(x) = f(x) 이면 ∫ f(x)dx = F(x) + C. 맞는지 확인은 언제나 미분으로.
2
지수보다 하나 큰 것을 분모에 — ∫ xndx = 1n+1xn+1 + C. 상수에는 그냥 x를 붙인다.
3
적분이 끝나면 반드시 + C — 미분하면 상수는 사라진다. 거꾸로 올라올 때는 사라진 상수를 되살려 놓아야 한다.
4
순서가 바뀌면 C가 갈린다 — ddx[∫f(x)dx] = f(x) (C 없음) / ∫[ddxf(x)]dx = f(x) + C (C 붙음).
5
분모가 같으면 합치고, 괄호는 전개한다 — 적분은 다항식으로 만들어 놓고 시작하는 것이 제일 빠르다.
6
「접선의 기울기」라는 말이 곧 f′(x) — 그것을 적분하고, 곡선이 지나는 점으로 C를 잡으면 끝.
7
조건 하나가 C 하나를 잡는다 — f(0)이 주어졌으면 x에 0을 넣어라. 다른 항이 모두 0이 되어 C만 남는다. 극값이 주어져도 같은 일을 한다.

이 개념, 학년마다 이렇게

🐣 초등 (직관)
＋3을 한 것을 되돌리려면 −3을 한다. 「했던 것을 거꾸로 되돌리기」 — 적분이 미분에게 하는 일이 바로 이것.
📐 고2 (핵심)
부정적분의 뜻과 적분상수 C, 다항함수의 부정적분, 적분과 미분의 관계, 조건으로 C 정하기, 접선의 기울기와 극값.
🎓 그 위 (확장)
정적분과 넓이, 치환·부분적분, 미분방정식, 속도를 적분해 위치 구하기.

🐣 저학년 직관 — "되돌리면 처음이 되는데, 딱 하나를 모른다"

어떤 수에 3을 곱했더니 12가 되었대요. 처음 수는? 거꾸로 3으로 나누어 4를 찾지요. 했던 것을 거꾸로 하는 것, 이게 적분이에요.

그런데 이런 경우도 있어요. 형이 사탕을 몇 개 먹었는지만 알려 주고 원래 몇 개였는지는 말해 주지 않았대요. 먹은 개수를 거꾸로 되돌려도 처음 개수는 알 수 없죠? 그 모르는 처음 값이 바로 적분상수 C랍니다. 누가 "처음엔 10개였어"라고 한 마디만 해 주면 C가 딱 정해져요.

되돌리기 = 적분 · 모르는 처음 값 = C · 조건 한 개 = C 하나 결정

연습 10제

문제 1기본 손놀림 · 규칙 2·3
다음 부정적분을 구하여라.
∫ (6x2 − 4x + 3) dx

풀이 — 지수를 하나 키우고, 그 수를 분모에

  1. ⭐ 여기가 고비 — + C 를 쓰지 않으면 이 문제는 틀린 답이다 계산은 세 줄이면 끝납니다. 그런데 이 문제에서 점수가 갈리는 곳은 계산이 아니라 마지막 두 글자예요. 부정적분의 답은 함수 하나가 아니라 「함수의 무리」이기 때문입니다. 2x3−2x2+3x, 2x3−2x2+3x+7, 2x3−2x2+3x−100 … 이 셋을 미분하면 전부 같은 식이 나옵니다.
    그러니 "미분해서 6x2−4x+3 이 되는 것"은 하나가 아니라 무한히 많고, 그 전부를 한 번에 적는 방법이 + C 입니다.
  2. 6x2 → 지수 2를 3으로, 분모에 3 → 63x3 = 2x3
  3. −4x → 지수 1을 2로, 분모에 2 → −42x2 = −2x2
  4. 상수 3 → 그냥 x를 붙여 3x
  5. 확인 : (2x3−2x2+3x+C)′ = 6x2−4x+3 ✓
2x³ − 2x² + 3x + C
문제 2f(0)으로 C 잡기 · 규칙 7
f ′(x) = 4x − 3 이고 f(0) = 5 일 때, f(2)의 값을 구하여라.

풀이 — 적분한 뒤 x에 0을 넣는다

  1. ⭐ 여기가 고비 — x = 0 을 넣으면 C 만 살아남는다 f(x) = 2x2 − 3x + C 에서 x 자리에 0을 넣으면 2·0 − 3·0 + C, 즉 C 하나만 남습니다. 그래서 f(0)이 주어졌다는 것은 사실상 "C 의 값을 알려 주겠다"는 말이에요. 문제에 f(0)이 보이면 다른 계산을 하기 전에 먼저 0을 넣으십시오. x가 들어간 항이 전부 사라져 한 줄에 C가 나옵니다 — 이 단원에서 가장 값싼 한 걸음입니다.
  2. 적분 : f(x) = 2x2 − 3x + C
  3. f(0) = C = 5 → f(x) = 2x2 − 3x + 5
  4. f(2) = 8 − 6 + 5 = 7
f(2) = 7
문제 3적분 → 미분 · 규칙 4
다음을 간단히 하여라.
ddx [ ∫ (x3 − 2x + 1) dx ]

풀이 — 적분을 먼저 하면 C가 붙었다가 미분에서 도로 사라진다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 이 순서에서는 C 를 쓰면 틀린다 답을 x3−2x+1+C 라고 쓰고 싶어지는데, 여기서는 C 를 쓰면 안 됩니다. 적분을 하면 C 가 붙지만, 그 뒤에 미분을 한 번 더 하므로 그 C 는 도로 0 이 되어 사라지기 때문입니다. 차례대로 따라가 보면 —
    ① 적분 : 14x4 − x2 + x + C ← 여기까지는 C 가 있다
    ② 미분 : x3 − 2x + 1 + 0 ← C 는 상수라 미분하면 0
    그래서 적분 → 미분 은 「자기 자신 그대로」. C 가 붙지 않습니다.
  2. 적분하면 14x4 − x2 + x + C
  3. 다시 미분하면 x3 − 2x + 1
x³ − 2x + 1
문제 4미분 → 적분 · 규칙 4
다음을 간단히 하여라. (적분상수는 C로 나타낸다)
∫ [ ddx (x3 − 2x + 1) ] dx

풀이 — 순서를 바꾸면 상수 1이 C에 먹힌다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 원래 있던 상수 1 은 어디로 갔나 미분을 먼저 하는 순간 상수 1은 사라집니다. 그러니 되돌아 적분해도 1은 되살아나지 않아요. 그 자리를 이름 모를 상수 C 가 대신 차지합니다. ① 미분 : 3x2 − 2 ← 1이 없어진 자리
    ② 적분 : x3 − 2x + C
    C 는 1일 수도 있지만 아닐 수도 있습니다 — 그 정보가 미분에서 이미 지워졌기 때문이에요. 그래서 미분 → 적분 은 「자기 자신 + C」. 문제 3과 답이 다른 까닭이 바로 이것입니다.
  2. 미분하면 3x2 − 2 (상수 1은 없어진다)
  3. 적분하면 x3 − 2x + C
x³ − 2x + C
문제 5분모가 같으면 합친다 · 규칙 5
∫ x2x + 2 dx − ∫ 4x + 2 dx = f(x) 이고 f(0) = 3 일 때, f(2)의 값을 구하여라.

풀이 — 분모가 똑같으면 하나로 만들어 버린다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 분모가 같다는 것을 본 순간 문제가 끝난다 분수를 그대로 적분하려 들면 고2 과정에서는 손댈 방법이 없습니다. 그런데 두 적분의 분모가 x + 2 로 똑같아요. 그러면 하나의 적분으로 합쳐 버리면 분자끼리 계산되어 분수가 통째로 사라집니다. x2x+2 − 4x+2 = x2 − 4x+2
    여기서 분자를 인수분해하면 x2−4 = (x+2)(x−2) 이므로 x + 2 가 약분되어 x − 2 라는 일차식만 남습니다.
    분수 → 다항식으로 바꿔 놓는 것, 이것이 적분에서 가장 자주 쓰는 손질입니다.
  2. 합치면 ∫ x2 − 4x + 2 dx = ∫ (x − 2) dx
  3. 적분 : f(x) = 12x2 − 2x + C
  4. f(0) = C = 3
  5. f(2) = 2 − 4 + 3 = 1
f(2) = 1
문제 6전개부터 · 규칙 5
f(x) = ∫ { (1 + x)2 − (1 − x)2 } dx 이고 f(0) = 1 일 때, f(1)의 값을 구하여라.

풀이 — 괄호가 보이면 먼저 전개한다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 전개하면 네 항 중 셋이 지워진다 괄호 두 개를 각각 적분하려 하면 길이 막힙니다. 먼저 전개해 한 덩어리로 만드세요. 그러면 놀랍게도 거의 다 지워지고 한 항만 남습니다. (1+x)2 = 1 + 2x + x2 · (1−x)2 = 1 − 2x + x2
    빼면 (1−1) + (2x+2x) + (x2−x2) = 4x
    부호가 엇갈리는 홀수 자리만 살아남고, 짝수 자리는 서로 지워집니다. 이 「지워짐」을 미리 알아보면 계산이 열 배 짧아져요.
  2. 전개하고 빼면 4x
  3. 적분 : f(x) = 2x2 + C
  4. f(0) = C = 1 → f(x) = 2x2 + 1
  5. f(1) = 2 + 1 = 3
f(1) = 3
문제 7접선의 기울기 · 규칙 6
곡선 y = f(x) 위의 점 (x, f(x)) 에서의 접선의 기울기가 6x2 − 2x 이고, 이 곡선이 점 (1, 4) 를 지날 때 f(2)의 값을 구하여라.
y = f(x) (1, 4) 기울기 = f ′(x)

풀이 — 기울기를 적분하고, 지나는 점으로 C를 잡는다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 이번 C 는 x = 1 을 넣어야 잡힌다 앞 문제들은 f(0) 이 주어져 0을 넣으면 됐지만, 이 문제는 지나는 점이 (1, 4) 입니다. 그러니 0이 아니라 1을 넣어야 합니다. "점 (p, q)를 지난다" = f(p) = q 라는 뜻입니다. 여기서는 f(1) = 4.
    f(x) = 2x3 − x2 + C 에 x = 1 을 넣으면 2 − 1 + C = 4, 그래서 C = 3.
    습관적으로 0을 넣지 말고, 문제가 알려 준 그 점을 넣으십시오.
  2. 기울기가 곧 f ′(x) → 적분 : f(x) = 2x3 − x2 + C
  3. f(1) = 4 → 2 − 1 + C = 4 → C = 3
  4. f(x) = 2x3 − x2 + 3 → f(2) = 16 − 4 + 3 = 15
f(2) = 15
문제 8미지수 둘 · 조건 둘
f ′(x) = 3x2 + 2ax + 3 이고 f(0) = 2, f(1) = 7 일 때, f(2)의 값을 구하여라.

풀이 — 쉬운 조건부터 써서 미지수를 하나씩 지운다

  1. ⭐ 여기가 고비 — a 와 C 를 동시에 잡으려 하지 않는다 미지수가 a 와 C 둘이라 연립방정식을 세우고 싶어지지만, 그럴 필요가 없습니다. f(0) = 2 를 먼저 쓰면 a 가 든 항이 전부 0 이 되어 C 만 나옵니다. C 를 먼저 없애 놓고, 남은 조건 하나로 a 를 잡으면 두 줄에 끝납니다. f(x) = x3 + ax2 + 3x + C 에서
    ① x = 0 : 0 + 0 + 0 + C = 2 → C = 2 (a 는 등장조차 하지 않는다)
    ② x = 1 : 1 + a + 3 + 2 = 7 → a = 1
    조건이 여럿이면 「미지수가 적게 남는 쪽」부터 쓴다 — 이것이 연립을 피하는 요령입니다.
  2. 적분 : f(x) = x3 + ax2 + 3x + C
  3. f(0) = 2 → C = 2
  4. f(1) = 7 → 1 + a + 3 + 2 = 7 → a = 1
  5. f(x) = x3 + x2 + 3x + 2 → f(2) = 8 + 4 + 6 + 2 = 20
f(2) = 20
문제 9인수분해된 도함수 · 분수 C
f ′(x) = (x − 1)(x + 3) 이고 f(1) = 0 일 때, f(0)의 값을 구하여라.

풀이 — 곱해진 채로는 적분할 수 없다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 괄호를 풀지 않고 적분하면 반드시 틀린다 (x−1)(x+3) 을 보고 각 괄호를 따로 적분해 (x−1)22·(x+3)22 같은 것을 쓰는 실수가 아주 흔합니다. 곱은 그렇게 적분되지 않습니다. 확인하는 법은 간단합니다 — 미분해서 되돌려 보면 됩니다. 위의 틀린 식을 미분하면 곱의 미분법 때문에 전혀 다른 것이 나오지요.
    그러니 먼저 전개합니다 : (x−1)(x+3) = x2 + 2x − 3. 그다음에야 항마다 규칙 2를 씁니다.
  2. 전개 : f ′(x) = x2 + 2x − 3
  3. 적분 : f(x) = 13x3 + x2 − 3x + C
  4. f(1) = 0 → 13 + 1 − 3 + C = 0 → C = 53
  5. f(0) = C = 53
f(0) = 5/3
문제 10극값으로 C 잡기 · 규칙 7
f ′(x) = x2 − 4x + 3 인 함수 f(x) 의 극댓값이 5 일 때, 극솟값을 구하여라.

풀이 — 어느 쪽이 극대인지부터 가려낸다

  1. ⭐ 여기가 고비 — x = 1 이 극대, x = 3 이 극소 를 먼저 가른다 f ′(x) = 0 인 곳이 x = 1, 3 두 개인데, 어느 쪽이 극대인지 정하지 않으면 C 를 엉뚱한 식으로 잡게 됩니다. 여기서 답이 통째로 갈립니다. f ′(x) = (x−1)(x−3) 는 아래로 볼록한 이차식이므로 두 근 사이에서만 음수입니다.
    · x < 1 : ＋  ·  1 < x < 3 : −  ·  x > 3 : ＋
    ＋에서 −로 바뀌는 x = 1 이 극대, −에서 ＋로 바뀌는 x = 3 이 극소입니다.
    삼차함수에서 x³의 계수가 양수면 「왼쪽이 극대, 오른쪽이 극소」 — 이 한 줄을 외워 두면 빠릅니다.
  2. 적분 : f(x) = 13x3 − 2x2 + 3x + C
  3. 극댓값 f(1) = 5 → 13 − 2 + 3 + C = 5 → C = 113
  4. 극솟값 f(3) = 9 − 18 + 9 + 113 = 113
극솟값 = 11/3

제일 밑에 · 이 방법을 다른 개념·과목에 쓰는 비법

"되돌리면 처음이 되는데, 딱 하나를 모른다" — C 하나로 이어지는 길

오늘 익힌 "거꾸로 올라가면 모르는 상수가 하나 생긴다"는, 뒤로 갈수록 넓이·운동·미분방정식으로 그대로 이어집니다.

① 정적분 — C 가 저절로 사라지는 자리
고2 · 정적분
정적분은 F(b) − F(a) 인데, C 가 있어도 (F(b)+C) − (F(a)+C) 로 서로 지워집니다. 부정적분에서는 그렇게 신경 쓰던 C 가 정적분에서는 왜 안 보이는지 — 이유가 바로 이것이에요.
② 속도를 적분하면 위치, 가속도를 적분하면 속도
고2 · 적분의 활용 / 물리
속도를 적분하면 위치가 되는데, 「처음 위치」를 모르면 답이 하나로 정해지지 않습니다. 그 처음 위치가 곧 적분상수 C. 문제에서 "t = 0 일 때 원점에 있었다"고 말해 주는 이유예요.
③ 접선의 기울기만 알려 주고 곡선을 찾으라는 문제
고2 · 도함수의 활용
기울기 f′(x) 만으로는 곡선이 위아래로 평행이동한 무수히 많은 곡선이 됩니다. 지나는 점 하나가 그중 하나를 콕 집어 주지요. 오늘의 문제 7이 정확히 이 이야기입니다.
④ 미분방정식 — 대학 수학의 시작도 같은 자리
고3~ · 미분방정식
"변화율이 이러이러하다"에서 원래 함수를 찾는 것이 미분방정식이고, 거기서도 초기조건이 상수를 정합니다. 조건 하나가 상수 하나 — 오늘 배운 규칙 7 그대로예요.
⑤ 「적분해서 미분」과 「미분해서 적분」은 시험에 반드시 나온다
모든 학년 · 개념 확인
순서만 바꿔 놓고 C 가 붙느냐 안 붙느냐를 묻는 문제는 매년 나옵니다. 적분을 나중에 한 쪽에만 C 가 붙는다 — 이 한 줄만 외워 두면 절대 안 틀립니다.

도전 6제 · 규칙을 두 개 이상 겹쳐 쓰기

한 문제에 규칙이 둘 이상 들어 있습니다. 어떤 규칙을 쓰는지 먼저 말해 보고 푸세요.

도전 1전개 + C 잡기
f(x) = ∫ { (x + 1)3 − (x − 1)3 } dx 이고 f(0) = 1 일 때, f(1)의 값을 구하여라.

풀이 — 세제곱 두 개를 빼면 짝수 항만 남는다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 이번엔 홀수 자리가 지워지고 짝수 자리가 남는다 연습 6번과 반대입니다. 거기서는 (1+x)2 − (1−x)2 였는데, 여기는 (x+1)3 − (x−1)3 이에요. 부호가 어느 항에 붙느냐가 달라 살아남는 항도 달라집니다. (x+1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1
    (x−1)3 = x3 − 3x2 + 3x − 1
    빼면 0 + 6x2 + 0 + 2 = 6x2 + 2
    −1 이 붙은 쪽에서 홀수 번 곱해진 항만 부호가 뒤집힌다는 것이 핵심이라, 「무엇을 빼느냐」에 따라 남는 자리가 정반대가 됩니다. 외우지 말고 매번 전개하십시오.
  2. 빼면 6x2 + 2
  3. 적분 : f(x) = 2x3 + 2x + C
  4. f(0) = C = 1
  5. f(1) = 2 + 2 + 1 = 5
f(1) = 5
도전 2미분 → 적분 · C가 상수를 덮는다
f(x) = x3 − 3x + 5 이고 F(x) = ∫ f ′(x) dx, F(0) = 1 일 때, F(2)의 값을 구하여라.

풀이 — F(x)는 f(x)가 아니다. f(x) + C 다.

  1. ⭐ 여기가 고비 — F(x) = f(x) 라고 쓰면 답이 틀린다 "미분했다가 적분했으니 원래대로"라고 생각해 F(2) = f(2) = 8 − 6 + 5 = 7 이라 답하기 쉽습니다. 그런데 문제는 F(0) = 1 이라고 못 박았어요. f(0) = 5 인데 F(0) = 1 이니 둘은 애초에 같은 함수가 아닙니다. F(x) = f(x) + C = x3 − 3x + 5 + C
    F(0) = 5 + C = 1 → C = −4
    그래서 F(x) = x3 − 3x + 1, 원래 함수보다 4만큼 아래로 내려간 곡선입니다.
    미분 → 적분은 「자기 자신 + C」이지 「자기 자신」이 아닙니다. 그 C 를 문제가 F(0)으로 정해 준 것이에요.
  2. F(x) = f(x) + C = x3 − 3x + 5 + C
  3. F(0) = 5 + C = 1 → C = −4
  4. F(x) = x3 − 3x + 1 → F(2) = 8 − 6 + 1 = 3
F(2) = 3
도전 3곱의 미분을 거꾸로
다항함수 f(x) 가 모든 실수 x에 대하여 { x f(x) } ′ = 3x2 + 4x 를 만족시키고 f(1) = 3 일 때, f(2)의 값을 구하여라.

풀이 — 미분된 것이 x f(x) 통째이므로, 적분한 것도 x f(x) 통째다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 곱의 미분법을 풀어 쓰지 말고, 통째로 적분한다 {x f(x)}′ = f(x) + x f ′(x) 로 풀어 쓰면 모르는 것이 f 와 f ′ 둘이 되어 길이 막힙니다. 미분된 대상이 x f(x) 라는 「한 덩어리」임을 그대로 두고 양변을 적분하세요. 적분하면 x f(x) = x3 + 2x2 + C 입니다.
    여기에 x = 1 을 넣으면 왼쪽은 1 · f(1) = 3 이니 3 = 1 + 2 + C → C = 0.
    그러면 x f(x) = x3 + 2x2 = x2(x + 2) 이므로 양변을 x 로 나누어 f(x) = x2 + 2x.
    「덩어리째 미분된 것은 덩어리째 적분한다」 — 이 한 수가 이 유형의 전부입니다.
  2. 양변 적분 : x f(x) = x3 + 2x2 + C
  3. x = 1 대입 : f(1) = 3 → 3 = 1 + 2 + C → C = 0
  4. x f(x) = x3 + 2x2 → f(x) = x2 + 2x
  5. 확인 : {x(x2+2x)}′ = (x3+2x2)′ = 3x2 + 4x ✓ · f(2) = 4 + 4 = 8
f(2) = 8
도전 4함수방정식 + 미분계수의 정의
미분가능한 함수 f(x) 가 모든 실수 x, y 에 대하여 f(x + y) = f(x) + f(y) + 4xy 를 만족시키고 f ′(0) = 3 일 때, f(2)의 값을 구하여라.

풀이 — 먼저 f(0)을 구하고, 미분계수의 정의로 f′(x)를 만든다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 정의식에 조건을 넣으면 f(x) 가 통째로 지워진다 f ′(x) = limh→0 f(x+h) − f(x)h 에서 f(x+h) 자리에 주어진 조건식을 그대로 넣는 것이 이 유형의 유일한 열쇠입니다. f(x+h) = f(x) + f(h) + 4xh 이므로 분자는
    {f(x) + f(h) + 4xh} − f(x) = f(h) + 4xh ← f(x) 가 서로 지워진다
    그러면 limh→0 f(h)h + 4x 인데, f(0) = 0 이므로 앞의 것은 정확히 f ′(0) 의 정의, 즉 3입니다.
    그래서 f ′(x) = 3 + 4x. 이제부터는 오늘의 규칙 1·7 그대로예요.
  2. x = y = 0 : f(0) = 2f(0) → f(0) = 0
  3. 정의에 대입 → f ′(x) = f ′(0) + 4x = 4x + 3
  4. 적분 : f(x) = 2x2 + 3x + C · f(0) = 0 → C = 0
  5. 확인 : f(x+y) = 2(x+y)2 + 3(x+y) = 2x2+2y2+3x+3y+4xy = f(x)+f(y)+4xy ✓
  6. f(2) = 8 + 6 = 14
f(2) = 14
도전 5극솟값으로 C · 극댓값 구하기
f ′(x) = 3x2 − 12 인 함수 f(x) 의 극솟값이 − 16 일 때, 극댓값을 구하여라.

풀이 — 극소는 오른쪽 근, 극대는 왼쪽 근

  1. ⭐ 여기가 고비 — 극솟값 조건은 x = 2 에, 구할 것은 x = −2 에 있다 3x2 − 12 = 3(x−2)(x+2) 이므로 극값 자리는 x = ±2. 조건이 걸린 자리와 구할 자리가 서로 다른 근이라, 여기서 헷갈리면 부호가 통째로 뒤집힙니다. f ′ 는 아래로 볼록한 이차식이라 두 근 사이에서 음수, 즉 ＋ → − → ＋ 로 바뀝니다.
    · x = −2(왼쪽 근) : ＋에서 −로 → 극대
    · x = 2(오른쪽 근) : −에서 ＋로 → 극소
    그러니 주어진 −16 은 f(2) 이고, 구할 것은 f(−2) 입니다. C 를 잡을 때 쓰는 자리와 답을 낼 자리를 먼저 종이에 적어 두십시오.
  2. 적분 : f(x) = x3 − 12x + C
  3. 극솟값 f(2) = 8 − 24 + C = −16 → C = 0
  4. 극댓값 f(−2) = −8 + 24 = 16
극댓값 = 16
도전 6미지수 a 와 C 를 차례로
f ′(x) = 3x2 − 2ax − 9 인 함수 f(x) 가 x = 3 에서 극값을 가지고, 그 극솟값이 − 5 일 때, 극댓값을 구하여라.

풀이 — a 를 먼저 잡고, 그다음에 C 를 잡는다

  1. ⭐ 여기가 고비 — 「극값을 가진다」는 f ′ = 0 이라는 뜻, 여기서 a 가 나온다 미지수가 a 와 C 둘인데, 조건도 둘입니다. 순서를 지켜야 합니다. x = 3 에서 극값을 가진다는 말은 f ′(3) = 0 이라는 뜻이고, 이것은 적분하기 전에 쓸 수 있는 조건이에요. f ′(3) = 27 − 6a − 9 = 0 → a = 3
    그러면 f ′(x) = 3x2 − 6x − 9 = 3(x−3)(x+1) 이라 극값 자리는 x = 3(극소) 과 x = −1(극대) 입니다.
    C 는 그다음에 극솟값 −5 로 잡습니다. 「적분 전에 쓸 수 있는 조건」과 「적분 후에 쓸 조건」을 갈라 놓는 것이 이 문제의 전부예요.
  2. f ′(3) = 0 → 27 − 6a − 9 = 0 → a = 3
  3. f ′(x) = 3(x−3)(x+1) → 극대 x = −1, 극소 x = 3
  4. 적분 : f(x) = x3 − 3x2 − 9x + C
  5. 극솟값 f(3) = 27 − 27 − 27 + C = −5 → C = 22
  6. 극댓값 f(−1) = −1 − 3 + 9 + 22 = 27
극댓값 = 27
※ 이 자료의 문항은 장대경 선생님 방법을 따라 새로 만들고 수학적으로 전수 검산한 교육 자료입니다. 16문항의 모든 적분·함숫값을 손계산과 기호계산으로 전수 재검산했습니다(원본 강의와 숫자·예제가 다를 수 있음).
← 장대경 선생님의 특강 칼럼으로 ▶ 부정적분 특강 영상 보기 ▶ 이어서 · 정적분 연습문제