입체도형 겉넓이 완전정복
— 펼쳐서 읽으면 공식이 필요 없다 · 연습 10제

풀이 — 밑넓이 2개 + 옆넓이

풀이

1. 옆면을 펼치면 직사각형: 가로 = 밑면 둘레 = 2π·5 = 10π, 세로 = 높이 = 7.
2. 옆넓이 = 10π × 7.

풀이 — 옆면 세 조각을 “한 직사각형”으로

풀이 — 둘레×높이 법으로도, 여섯 면으로도

1. 밑넓이 = 4 × 3 = 12, 2개 → 24.
2. 옆넓이 = (밑면 둘레)×높이 = 2(4+3) × 5 = 14 × 5 = 70.
3. 겉넓이 = 24 + 70. (확인: 2(4·3 + 4·5 + 3·5) = 2(12+20+15) = 94 ✓)

풀이 — 옆면은 부채꼴, 넓이 = πrℓ

풀이 — 모선은 피타고라스로

1. 반지름·높이·모선은 직각삼각형: ℓ = √(r² + h²) = √(6² + 8²) = √100 = 10.
2. 옆넓이 = πrℓ = π·6·10 = 60π. 밑넓이 = π·6² = 36π.
3. 겉넓이 = 60π + 36π.

풀이 — 곡면 + “잘린 원”

풀이 — 구는 외운다: 4πr²

1. 구의 겉넓이 = 4πr² = 4π·4² = 4π·16.

풀이 — 밑넓이 1개 + 삼각형 4장

풀이 — 라벨 = 옆넓이

1. 라벨은 옆면 하나 = (밑면 둘레)×높이 = 2π·4 × 10 = 8π × 10 = 80π.
2. 뚜껑·바닥 = 2 × π·4² = 2 × 16π = 32π. 전체 겉넓이 = 80π + 32π.

풀이 — 부피 = 밑넓이 × 높이

1. 밑넓이 = πr² = 9π. 부피 = 9π × 8.

풀이

1. 밑넓이 = ½·3·4 = 6. 부피 = 6 × 10.

풀이 — 뿔은 기둥의 ⅓

1. 같은 밑면·높이 기둥 부피 = πr²h = π·36·8 = 288π.
2. 뿔은 그 ⅓ → 288π ÷ 3. (부피엔 높이 8을 쓰고, 모선은 안 씀)

풀이 — 직사각형 회전 = 원기둥

1. 축에서 가로 3만큼 떨어져 도니 반지름 3, 높이 8 원기둥.
2. 겉넓이 = 2·πr² + 2πr·h = 18π + 48π (문제 1과 동일).

풀이 — 직각삼각형 회전 = 원뿔

1. 반지름 = 밑변 5, 높이 12 → 모선 = 빗변 = √(5²+12²) = 13.
2. 겉넓이 = πr² + πrℓ = 25π + 65π (문제 5와 동일).

풀이 — 반원 회전 = 구

1. 반원을 지름 축으로 돌리면 반지름 4인 구.
2. 겉넓이 = 4πr² = 4π·16 (문제 8과 동일).

풀이 — “둘레 × 높이”의 적분판

1. 옆면을 높이 방향으로 잘게 쪼갠 띠 하나 넓이 = 둘레 2πr × 두께 ds.
2. ∫₀⁸ 2π·3 ds = 6π × 8 = 48π.

풀이 — 같은 부피면 구가 껍질이 가장 작다

1. 같은 부피를 담을 때 겉넓이는 구가 최소(등주부등식). 모서리가 없을수록 껍질이 준다.
2. 그래서 물방울·비눗방울은 구가 됩니다(표면적 최소로 에너지 절약).

풀이 — 넓이는 “길이의 제곱”으로 커진다

1. 겉넓이 4πr² 에서 r → 2r 이면 4π(2r)² = 4π·4r².
2. 즉 2² = 4배. (길이 2배 → 넓이 4배, 부피는 8배)